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基于系统PSN曲线的齿轮箱疲劳可靠度评估
马洪义, 谢里阳     
东北大学 现代设计与分析研究所, 沈阳 110819
摘要: 蒙特卡罗方法可以准确评估复杂机械系统疲劳共因失效概率,但效率偏低,因此提出系统PSN曲线的概念和基于此概念的系统可靠度蒙特卡罗评估方法。在给定的恒幅载荷下,基于同一零件的疲劳寿命在不同应力水平下的概率分位点具有一致性的原则,对系统中零件PSN曲线进行随机抽取;根据线性累积损伤法则和相应的系统可靠度模型,得到齿轮传动的恒幅载荷下的疲劳寿命分布,拟合恒幅载荷与寿命分布之间的关系得到系统PSN曲线。将系统视为一个零件,完成"零件"-"系统"-"零件"的寿命分析过程。通过损伤等效原则,将随机载荷下的复杂串联系统可靠度评估问题转化为恒幅载荷下零件的可靠度评估问题。
关键词: 疲劳可靠度     系统PSN曲线     串联系统     共因失效     蒙特卡罗    
Assessment of gearbox fatigue reliability based on system PSN curve
MA Hongyi, XIE Liyang     
Institute of Modern Design and Analysis, Northeast University, Shenyang 110819, China
Received: 2017-06-05; Accepted: 2017-07-07; Published online: 2017-06-05 17:09
Foundation item: National Natural Science Foundation of China (51335003)
Corresponding author. XIE Liyang, E-mail:lyxie@mail.neu.edu.cn
Abstract: To improve the efficiency of Monte Carlo simulation applied to evaluating the common cause failure probability of complex mechanical system, the concept of system fatigue life PSN curve was set up first, and then a Monte Carlo method for system reliability assessment based on this concept was proposed. With a given constant load, based on the correspondence of probability percentiles between specimen fatigue lives associated with different cyclic stress levels, every single PSN curve of component can be extracted stochastically. According to the linear cumulative damage rule and the corresponding system reliability model, the fatigue life distribution of gear-series-system was acquired. System PSN curve can be obtained by fitting constant load and life distribution. The system can be treated as a component, and the life analysis process of component-system-component has been completed. By means of damage equivalence principle between random load and constant load, the problem of reliability assessment of a complicated series system under random load can be converted to the problem of reliability assessment of component under constant load.
Key words: fatigue reliability     system PSN curve     series system     common cause failure     Monte Carlo    

齿轮传动系统在可靠度意义上可视为串联系统,系统中任意轮齿疲劳失效则系统失效。齿轮传动系统作为设备中造价昂贵的关键部件,其疲劳可靠度评估十分重要。

目前,科研人员针对齿轮传动系统可靠度评估问题进行了许多研究,研究方法有通过对产品寿命直接分析,通过状态监测手段评估,以及基于应力-强度干涉模型的评估方法。

通过对产品寿命直接分析[1]得到寿命分布,通过寿命分布预测可靠度。该方法适用于已经投入使用的齿轮产品,可以更全面地体现环境随机性和复杂性。但是对处于设计、研发或只有少量生产的产品,往往难以获得足够的失效数据。

通过状态监测手段评估系统可靠度。例如对齿轮箱润滑油的监测以及振动情况的监测[2-3],在线监测信号可以很好地反映当前系统的磨损状态,但齿轮属于无初始裂纹零件,其疲劳失效具有突然性,多数疲劳失效在破坏前并不能发出异常信号。

基于应力-强度干涉模型[4]评估系统可靠度。Dong等[5]基于裂纹扩展理论研究了齿轮轮齿的齿面接触疲劳寿命。Place等[4]以扩展的应力-强度干涉模型研究了直升机齿轮箱系统的可靠度,并以2个零件的串联系统为例,通过多元累积分布函数的轮廓线方法计算了考虑失效相关的系统可靠度。Nejad等[6]以经验公式方法计算了风力发电机齿轮箱内各轮齿对输入轴扭矩的应力响应,并使用线性累积损伤方法计算了随机载荷下各轮齿的寿命。笔者团队[7]运用全概率思想建立了考虑失效相关的风力发电机齿轮箱串联系统可靠度函数。此外,经典的结构可靠度评估方法[8-10]和较新的系统可靠度评估方法[11-13]都是在应力-强度干涉模型的基础上的不同扩展。然而齿轮系统存在多部件,多失效模式且失效相关,同时具有变构特性,现有的基于应力-强度干涉模型的可靠度评估方法[4-13]尚未完全考虑影响可靠度的因素(失效相关、系统变构特性)。

针对上述问题,本文提出系统PSN曲线的思想,在此基础上通过蒙特卡罗仿真方法建立齿轮串联系统的寿命评估模型,以提高仿真效率且兼顾齿轮传动系统共因失效。

1 齿轮箱结构及零件PSN曲线 1.1 齿轮箱结构

齿轮系统结构选用750 kW级风力发电机常用增速齿轮箱,该齿轮箱由一级行星轮系与两级固定轴斜齿轮齿轮副组成,如图 1所示。

图 1 齿轮箱传动原理图 Fig. 1 Schematic of gearbox transmission

图 1中Tin为输入轴,r为固定的内齿圈,s为太阳轮,c为行星架,p为行星轮,4、5为互相啮合的中速级斜齿轮,6、7为互相啮合的高速级斜齿轮,Tout为输出轴。

由文献[14]获知风力发电机常用齿轮箱各齿轮轮齿几何参数如表 1所示。

表 1 齿轮箱零件参数 Table 1 Gearbox component parameters
参数 太阳轮 行星轮 内齿圈 齿轮4 齿轮5 齿轮6 齿轮7
Z 21 38 99 84 23 92 24
Mn 10 10 10 8 8 5 5
αn/(°) 20 20 20 20 20 20 20
β/(°) 7.5 7.5 7.5 14 14 14 14
αt′/(°) 22.6 22.6 22.6 21.5 21.5 21.5 21.5

表 1Z为齿数,Mn为齿轮模数,αn为齿轮法向压力角,β为齿轮螺旋角,αt′为端面压力角。

根据齿轮传动系统结构和各齿轮轮齿参数,按照机械设计手册中斜齿轮齿根强度校核相关理论,计算各轮齿所受尺面接触应力σH与输入轴扭矩关系如表 2所示。表中KA为使用系数,KV为动载系数;KHβ为纵向载荷分布系数;KHα为横向载荷分布系数;Tin为输入轴扭矩。

表 2 齿面接触应力 Table 2 Gear surface contact stress
啮合齿轮 太阳轮/行星轮 行星轮/内齿圈 齿轮1/齿轮2 齿轮3/齿轮4
σH/MPa 0.052 1 0.022 5 0.030 9 0.031 6

1.2 零件PSN曲线

文献[15]中PSN曲线不包含寿命在104~107循环之外的寿命所对应的载荷,因此大载荷造成的损伤不能根据该曲线定量。近些年超高周疲劳研究发现很多小的载荷仍能对材料造成损伤,且大、小载荷均会出现在随机载荷历程中。因此,本文在文献[15]的基础上重新构建了零件PSN曲线。零件在恒幅循环载荷下的寿命服从对数正态分布[15],其对数寿命中值PSN曲线为μ(s)=ln(c)+m·ln(s), 其中c=5.632 2×1031, m=-8.451 7,cm为参数。本文将不同应力下的对数寿命的标准差σ均设为其对数寿命均值的3.5%,即σ(s)=0.035μ(s)。通过计算多级恒幅载荷下相同失效概率对应的寿命值,然后拟合应力与寿命值关系,得到该失效概率下的零件PSN曲线如图 2所示。

图 2 零件PSN曲线 Fig. 2 PSN curves of components

经过比较,该曲线在寿命104~107cycle部分接近文献[15]的曲线, 其中cycle为循环次数。

2 系统寿命评估的蒙特卡罗仿真

蒙特卡罗仿真计算寿命的关键是零件所受载荷的抽样是否正确,零件疲劳性能的抽样是否合理,以及零件受载后的损伤计算。假设零件所受载荷为假设零件所受载荷为服从某种分布的随机变量,当载荷作用一次时,即从分布中随机抽取一个载荷值。零件的疲劳性能抽样是靠对零件的PSN曲线的随机生成实现的:首先对1 000 MPa恒幅应力下的寿命进行随机抽样得到一个寿命样本,然后计算该寿命样本对应的累积概率P1(P1为第1次失效概率P的计算样本值),则P1所对应的PSN曲线抽样完为常数c1m1s为确定性应力,Ns为确定性寿命变量:

(1)

当第i次载荷作用时,产生确定的应力,该载荷产生的损伤1/Ns(si)为确定值,即1/(c1si-m1)。在多次载荷作用后,应用线性累积损伤法则计算总的轮齿损伤,当任意轮齿的损伤大于1时,系统失效。

每个轮齿都相当于串联系统的一个零件,表 1显示该系统共有457个零件。齿轮系统每次啮合时都有若干轮齿参与啮合,而参与啮合的轮齿所受应力均来源于相同的外部输入载荷——输入轴扭矩,参与啮合的轮齿损伤为共因损伤。齿轮系统每次啮合时参与啮合的轮齿不同,所以从抵抗疲劳载荷的能力上看,齿轮系统是时变的。本文编制蒙特卡罗数值仿真流程(见图 3)计算齿轮传动系统可靠度。

图 3 齿轮传动系统可靠度仿真流程 Fig. 3 Gear transmission system reliability simulation process

假设输入轴扭矩载荷为随机变量且服从威布尔分布W(1.25×108, 1.63),50次仿真得到50个系统寿命数据,以对数正态分布对寿命数据进行拟合,得到对数正态分布参数为(11.485 7, 0.348 0),其统计分布如图 4所示。

图 4 基于零件PSN,随机载荷下齿轮系统寿命概率分布 Fig. 4 Gear system life probability distribution under random load based on component PSN

使用MATLAB拟合优度KS检验模块进行假设检验,检验统计量的观测值ksstat为0.062 8。由于ksstat小于1,证明在显著水平0.05下接受系统寿命服从参数为(11.485 7, 0.348 0)的对数正态分布的假设。

当串联系统寿命较短或受载次数较少时,仿真次数较少,上述方法是简单有效的。当设计寿命较长时(例如风力发电机齿轮箱中值设计寿命通常为20年),例如90%可靠度下的寿命为1×1010次以上时,采用上述的直接的蒙特卡罗仿真方法需要耗费大量时间。

为此本文在串联系统寿命的直接仿真基础上,进行了提升效率的研究。定义系统的恒幅循环下的疲劳特性(串联系统PSN曲线),这样就能够避免仿真时频繁使用多个零件的PSN曲线,从而达到把系统看成一个零件的目的,把复杂的系统问题变成简单的零件可靠度评估问题。

3 齿轮传动系统PSN曲线

将已经建立的蒙特卡罗特仿真程序中随机载荷变为指定的确定性载荷,用于计算系统在恒幅载荷下的寿命。本文系统PSN曲线为PSN曲线的扩展,其中的“S”不是应力而是扭矩,亦可以写为系统PTN曲线(T代表扭矩),表示不同失效概率P下寿命N与扭矩S的函数关系。在确定性的3~4级扭矩或者更多级恒幅扭矩下,将得到的寿命进行统计分析,可以得到各恒幅扭矩下的寿命拟合分布,进而获得串联系统PSN曲线。

3.1 齿轮传动系统恒幅应力下寿命生成

根据国标GB/T 24176—2009[16]所述,为获得材料的PSN曲线,一般选定3~5级应力,且每级应力不低于8个试样。

齿轮系统内部的不同轮齿受应力不同,而输入轴扭矩一致,所以针对齿轮串联系统的蒙特卡罗仿真实验设计为在输入轴扭矩为2×108,3×108,5×108,6×108 N·mm下,各做50次仿真实验,寿命计算结果如表 3所示。

表 3 各级恒幅扭矩下齿轮系统寿命统计及统计矩 Table 3 Gear system life andstatistics moment under various constant torque
输入轴扭矩/(108 N·mm) 寿命标准差/cycle 寿命均值/cycle
2 3.3×105 6.6×105
3 6.2×104 1.1×105
5 4.2×103 1.2×104
6 2.2×103 5.9×103

3.2 串联系统恒幅应力下寿命统计矩分析

表 3中齿轮串联系统的寿命均值和标准差与输入轴扭矩的关系画成散点图