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k/N系统维修时机与备件携行量联合优化

1. 装甲兵工程学院 技术保障工程系, 北京 10007;
2. 海军航空兵学院 兴城场站, 葫芦岛 125000

Joint optimization of maintenance time and carrying spare parts for k-out-of-N system
ZHANG Yongqiang1,2 , XU Zongchang1 , HU Kaikai1 , HU Chunyang1
1. Department of Technical Support Engineering, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 10007 ;
2. Xingcheng Station, Naval Air Force Institute, Huludao 125000, China
Received: 2015-09-23; Accepted: 2015-12-25; Published online: 2016-01-21
Corresponding author. Tel.:18613886550, E-mail:wying40852@163.com
Abstract: Maintenance support of repairable warship k-out-of-N system during a task was researched. A method of how to trade off maintenance frequency, carrying spare parts and repair capacity was given. Taking the three parameters as decision variables and combined with the using and maintenance processes of k-out-of-N system, a joint optimization model of maintenance and carrying spare parts was established, in which operational availability was taken as a constraint condition and minimal maintenance costs as objective function, and repair initial condition, numbers of carrying spare parts and numbers of repair men were taken as decision variables. A modified marginal analysis algorithm was applied to solve the model through improving some drawbacks of the traditional one, and the drawbacks and corresponding improvements were also listed. Three tests were done: firstly, in order to verify the proposed model, a simulation for k-out-of-N system was implemented, and the results show that the absolute error of the proposed model is very small; second, using the optimal solution of enumeration as benchmark, performances of traditional marginal analysis algorithm and its modified algorithm were compared, and the results show that the modified algorithm has lower error and can enhance optimizing probability; third, the contribution of each modified item to marginal analysis algorithm was respectively tested.
Key words: k-out-of-N system     carrying spare parts     joint optimization     repairable components     marginal analysis algorithm

1 相关研究

1.1 批量维修与备件的联合优化

Acharya等[3]针对一个具有n个独立同分布部件的系统，开发了一种批量维修与周期检查库存联合优化模型。模型忽略了延迟时间，使用了一种迭代程序来优化单周期模型与多周期模型的间隔期。该迭代程序从选择一个间隔增量和更换间隔期开始，每次迭代都会计算订购量上限和总成本。当迭代终止条件满足时，选择总成本最小的那组方案。

Brezavscek和Hudoklin[5]开发了一种用于机车电子机头的批量更换和周期检查联合模型，通过包含一个非零、确定性的延迟时间改进了Acharya等[3]的研究成果。

Huang等[6]通过引入随机延迟时间，不但改进了Brezavscek和Hudoklin[5]的模型，还证明了订购量上限为目标函数的唯一决策变量时，联合模型最小解的存在性和唯一性。

Panagiotidou[7]分析了n个同类型部件的联合优化问题，通过将故障分为主要故障和次要故障，建立了以单位时间成本最小为目标函数的优化模型，并给出了不同的维修方案与备件库存策略，是为数不多的研究不同程度故障对方案影响的文献。

Jiang等[8]研究了备件性能退化条件下的维修与备件联合优化。根据备件性能退化数据是否可得，分别建立了确定性和随机性2种退化模型，并以Brezavscek和Hudoklin[5]中的数据为例验证了模型的正确性和有效性。

1.2 定期维修与备件的联合优化

Armstrong和Atkins[9]对定期更换与备件周期检查联合优化展开了研究，通过搜索更换时间和订货时间的最优组合，来使得总成本最小，并通过实例验证了分别优化比联合优化的成本要高3%。

Hu等[10]提出的工龄更换与备件库存联合优化模型采用了以下策略：定期更换部件并连续检查当前备件库存，若当前库存低于某一阈值则产生一次订货，订货量以库存达到某一设定值为准。模型采用仿真与遗传算法结合的优化方法，实验结果明显优于Kabir和Ahmed[2]提出的方案。

Lynch等[11]研究了预防性维修频率与备件的联合优化，利用遗传算法对决策变量进行求解，结果表明优化后的值每年可节省44%的保障成本。

1.3 视情维修与备件的联合优化

Xie和Wang[12]对视情维修与备件联合优化进行了研究，将检查成本加入到成本计算公式中，提出的模型类似于Hu等[10]的模型，利用仿真与遗传算法的组合搜索联合策略的优化解，实例表明联合优化比分别优化的成本低3.78%。

Wang等[13-15]针对视情维修与备件联合优化进行了研究。文献[13]针对单部件系统开发了一个数学模型，并进行了分析计算，利用遗传算法计算了决策变量值。文献[14]将研究扩展到一组相同部件上。模型中系统的退化过程基于马尔可夫链，而对于决策变量的寻优则是利用蒙特卡罗仿真与枚举法的组合。文献[15]则采用基于遗传算法的仿真优化技术确定出连续检查库存(s, S)策略和视情维修策略的决策变量值。

Bjarnason等[16]针对k/N系统检修频率与备件库存联合优化问题，开发了一个优化模型，以故障件的可修率服从指数分布为条件对模型进行了仿真，并用算例证明了联合优化比分别优化更节省成本。

2 联合优化模型 2.1 问题描述与假设

 图 1 k/N系统使用与维修过程 Fig. 1 Using and maintenance process of k-out-of-N system

2.2 模型建立

 (1)

 (2)

Wt可分解为第1个部件的故障产生时间，第1个部件与第2个部件故障的时间间隔，……，以此类推，直至第m个部件故障结束。由于各部件的故障服从参数为λ的指数分布，根据指数分布的“无记忆性”可知，第i个部件与第i+1个部件之间的故障间隔时间服从参数(Ni)λ的指数分布。因此，Wt的期望值[17]可表示为

 (3)

 (4)

E(Rt)取决于维修开始前的可用备件数量BR。由于本文忽略掉了备件更换时间，因此若维修开始前有BRm+AL，则有Rt=0。因此维修时长Rt主要是维修[m+ALBR]+个故障件所花费的时间，其中，[x]+=max{x, 0}。假设配置了c个维修人员，故障件的维修时间相互独立，且均服从参数为μ的指数分布，则有[17]

 (5)

 (6)

 (7)

c个维修人员在Wt这段时间内可修复的故障件个数Vc

 (8)

 (9)

 (10)

3 模型求解算法 3.1 边际分析法

Step 1根据使用要求设置使用可用度的下限ψ，初始化m=Nk－1，S=0，c=1，计算出Ao|m, S, cCtotal|m, S, c

Step 2m－－；S++；c++。

Step3分别计算出Ao|m--, S, cAo|m, S++, cAo|m, S, c++，以及Ctotal|m--, S, cCtotal|m, S++, cCtotal|m, S, c++

Step 4令(x, y, z)遍历集合{(m－1, S, c), (m, S+1, c), (m, S, c+1)}，如果有一个或多个(x, y, z)使用Aoψ成立，选择使得Ctotal|x, y, z最小的那组；否则选择使得(Ao|x, y, zAo|m, S, c)/(Ctotal|x, y, zCtotal|m, S, c)最大的那组(x, y, z)。

Step 5m=xS=yc=zAo=Ao|x, y, z，若Ao < ψ成立，转向Step 3；否则，转向Step 6。

Step 6输出当前的mSc值，算法结束。

3.2 存在的问题

1)算法中c的步长。当c很小时，维修人员的利用率很高，那么增加c会对CtotalAo产生很大的影响。例如，假设当c=1(c的最小值)时，维修人员的利用率为1.0，那么当c=2，利用率会降为0.4~0.5，即c的变化会对利用率产生很大影响，这一影响如此之大很难称之为“边际的”[18]

2) SAo的影响是非单调的。在算法初始阶段，备件携行量S很小，远小于维修期间更换所需的期望数量时，备件的数量远远不够。此时，增加S的边际值对使用可用度Ao的影响很小。因此，算法不可能选择增加一个备件。取而代之的是尝试增加c或减小m。然而，随着S的增加，S的边际值对Ao的影响也会提高，携行更多的备件也更有吸引力。而当进一步增加S，超过实际所需时，边际值对Ao的影响又会减少。因此，Ao并不是S的凹函数，而这却是边际分析法所需要的。

3)假设算法运行到某步时得到的最优解为m=6，S=3，c=2，且下一步增加一个备件(S=4)时的边际收益最高。若模型的最优解为m=7，S=4，c=2，那么算法将不会搜索到该最优解，因为边际分析法不允许m增加。

4)当算法运行的初始阶段，m的值很高(初始设置m=Nk－1，为m的最高值)，意味着预防性维修的频次很低，因此当需要维修作业时，往往会产生对维修人员的突发性大量需求，而这会使得算法倾向于增加维修人员的数量c。随着算法的运行，m值逐渐减小，对c的要求也降低，因此寻优过程应当减小c值，然而边际分析法却只允许增加该值，这就使得算法求得的c值过高。另外，对于备件携行量S也有类似的影响。

3.3 算法改进

1)改进一:针对第3.2节问题1)，在算法的初始阶段暂时不考虑增加c。只要算法计算出的费用值Ctotal在减少，且使用可用度Ao在增加，就只对mS进行变化。这样，只在必要的阶段增加c值，减弱了c值对算法初期的影响力度，避免在算法初期导致c值增长过快。

2)改进二：针对第3.2节问题2)，算法分为2步。首先以使用可用度约束ψ为目标值进行搜索；然后再以费用Ctotal最小为目标在Ao=ψ的附近搜索解空间。算法接受满足Aoψ这一约束条件的所有解，并从中选择Ctotal最小的解，这样在第2步时避免了SAo的影响。

3)改进三:第3.2节中问题3)与问题4)需要综合考虑解决方法。问题3)中的“不允许m增加”，以及问题4)中mcS的影响，迫使算法降低m的初始值，并且cS的初始值应当与m对应，以避免算法在初始阶段因变量之间的强相关性而错失最优解。

 (11)

c的初始值cinit应为满足Aoψ这一约束条件下，维修Tc内产生的故障件数量所需要的维修人员数量，因此有

 (12)

4)改进四:第3.2节中问题1)~问题4)的一个共同原因是边际分析法的搜索路径是单条线的，算法对单条线的周围区域没有搜索。算法永远会沿着当前的边际效益值最大的解推进，而忽视了对整体效益值的考虑。为解决这一问题，应当在算法收敛时扩大搜索范围，为此本文提出了4个方向：

Step 1根据使用要求设置使用可用度的下限ψ，初始化m=1，S=Sinitc=cinit，根据式(1)计算出Ao|m, S, c，根据式(9)计算出Ctotal|m, S, c

Step 2x=m+1，y=Sinit|m=m+1，z=c，并分别计算Ao|x, y, zCtotal|x, y, z

Step 3若关系式Ao|x, y, z > Ao|m, S, cCtotal|x, y, z < Ctotal|m, S, cmNk－1同时成立，则令m=xS=yc=zAo|m, S, c=Ao|x, y, zCtotal|m, S, c=Ctotal|x, y, z，并转向Step 2；否则，转向Step 4。

Step 4Ao|m, S, cψ成立，转入Step 8；否则，转入Step 5。

Step 5暂不考虑c，搜索满足约束条件的Sm最大步进值。

Step 6计算Ao|m, S, cCtotal|m, S, c；令(x, y, z)遍历集合{(m, S, c), (m, S, c+1)}，如果有(x, y, z)使得Aoψ成立，选择使得Ctotal|x, y, z最小的那组；否则，选择使得(Ao|x, y, zAo|m, S, c)/(Ctotal|x, y, zCtotal|m, S, c)最大的那组(x, y, z)。

Step 7c=z，转入Step 4。

Step 8令(x, y, z)遍历集合{(m, S+1, c－1), (m－1, S, c－1), (m－1, S－1, c), (m, S－1, c－1)}，选择使得Aoψ成立，且使得Ctotal|x, y, z最小的那组(x, y, z)，若min{Ctotal|x, y, z} < Ctotal|m, S, c，则令m=xS=yc=zAo|m, S, c=Ao|x, y, zCtotal|m, S, c=Ctotal|x, y, z，并重新执行Step 8；否则，转入Step 9。

Step 9输出当前的m、S、c值，算法结束。

4 算例验证与分析 4.1 联合优化模型验证

 图 2 仿真流程图 Fig. 2 Flowchart of simulation
 (13)
 (14)
 (15)
 (16)

 参数 统计分布情况(共135组) 均值 最大值 分布区间 出现次数 errAo < 0.02 43 0.02~0.04 33 0.04~0.06 27 0.036 0.092 0.06~0.08 20 > 0.08 12 eCtotalrr < 100 49 100~150 36 150~200 30 145 287 200~250 14 > 250 6

4.2 改进算法验证

 参数 10/14系统 84/100系统 1 200/2 000系统 T 1 600;16 000 2 000;20 000 4 000;40 000 L 50;100 100;200 200;400 λ 0.003;0.000 3 0.002;0.000 2 0.001;0.000 1 μ 0.000 07;0.000 007 0.000 05;0.000 005 0.000 03;0.000 003 Cstore 80;100 60;40 30;20 Cspare 100;150 50;30 20;15 Cperson 300;600 300;600 300;600 Cinit 5 000;10 000 8 000;16 000 20 000;40 000 Creplace 100;130 60;90 50;80

 算法 指标 10/14系统 84/100系统 1 200/2 000系统 边际分析法 平均误差/% 10.35 19.54 29.92 最大误差/% 17.63 28.67 59.21 寻优概率/% 33.95 19.61 0 改进算法 平均误差/% 2.76 13.48 17.44 最大误差/% 5.14 22.53 28.65 寻优概率/% 82.27 68.32 45.76

4.3 各改进项的贡献

 项号 指标 10/14系统 84/100系统 1 200/2 000系统 ① 平均误差/% 5.83 19.11 33.75 最大误差/% 9.28 30.83 48.56 寻优概率/% 74.86 59.12 37.24 ② 平均误差/% 4.66 16.53 27.51 最大误差/% 7.34 27.13 43.85 寻优概率/% 77.21 62.47 39.13 ③ 平均误差/% 3.91 15.23 20.62 最大误差/% 8.62 26.96 35.77 寻优概率/% 80.19 64.19 40.83

5 结论

1)与仿真结果相比，所建模型的误差较小，其中使用可用度的平均误差为0.036，保障总费用的平均误差为145。

2)改进边际分析法的性能提升较为显著，可有效降低平均误差与最大误差，提高寻优能力。

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ZHANG Yongqiang, XU Zongchang, HU Kaikai, HU Chunyang
k/N系统维修时机与备件携行量联合优化
Joint optimization of maintenance time and carrying spare parts for k-out-of-N system

Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2016, 42(10): 2189-2197
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2015.0622