﻿ 考虑随机干扰的高超声速滑翔飞行器轨迹优化
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Trajectory optimization for hypersonic gliding vehicle considering stochastic disturbance
Guo Haifeng, Huang Changqiang, Ding Dali, Xiao Hong
Aeronautics and Astronautics Engineering College, Air force Engineering University, Xi'an 710038, China
Abstract:To solve the problem of the reentry trajectory optimization for the hypersonic gliding vehicle with stochastic disturbance, the numerical method of trajectory optimization based on the generalized polynomial chaos was put forward. The sampling space was formed by the sampling of stochastic variable using generalized polynomial chaos. The space of the observations came into being after putting every sampling value into solving the problem of the deterministic trajectory optimization iteratively. The expected value, variance and covariance were computed and the outputs were approximated. The simulation of maximizing the downrange angle of the reentry trajectory optimization for the hypersonic gliding vehicle with stochastic disturbance was carried out based on this method. The results of the simulation indicate that the method could solve the problem of trajectory optimization with stochastic disturbance, and the computational efficiency was improved greatly contrasted with the Monte Carlo method.
Key words: stochastic     disturbance     hypersonic     gliding     reentry     trajectory optimization     generalized polynomial chaos

2003年,美国DARPA与空军联合启动了FALCON计划,该计划的近期目标是使用小型运载火箭将通用航空飞行器(CAV)或增强型CAV(ECAV)发射到亚轨道,然后CAV再入机动滑翔飞行实现快速打击[1].CAV飞行环境复杂,受到各种干扰和约束条件的限制,对其再入轨迹优化研究一直以来都是许多学者研究的热点[2, 3, 4].再入初值受到外界干扰会直接影响再入轨迹的生成,此外滑翔段气动参数摄动也会使得飞行器有可能不满足原本狭窄的再入走廊要求.因此,研究具有随机干扰问题的高超声速滑翔飞行器轨迹优化问题显得尤为必要.

2 随机轨迹优化数值解法描述 2.1 随机轨迹优化问题模型描述

 图 1 随机轨迹优化解法Fig. 1 Solution of stochastic trajectory optimization

Γi≡pi(Ω),将概率密度函数转换到样本空间Ω的有限范围(例如正态分布为区域)内,则总的有限范围定义为

3.2 gPC维数扩展

gPC使用多维正交多项式来近似随机变量p,而一维正交多项式空间扩展到多维空间成为维数扩展关键[13].一维多项式空间定义为

1) 状态方程离散化.通过对全局插值多项式求导来近似状态变量对时间的导数,从而将微分方程约束转换为一组代数约束.

2) 约束条件的离散化.路径约束条件C[X(t),U(t),t]在Nk个配置点处离散化方程为

3) 目标函数的离散化.目标函数的离散化是利用Lagrange积分代替目标函数的积分项.离散化结果为

 随机分布 正交多项式 配点 Gauss Hermite Gauss-Hermite Uniform Legendre Legendre-Gauss

6 随机轨迹优化求解算法

1) 根据随机变量的分布选择一定的配点和积分权重,并进行维数扩展.配点和积分权重的选取必须跟扩展系数中的积分准则相一致.

2) 利用生成的NQ个配点作为采样点,选取第Nq(q=1,2,…,Q)个配点代入到状态方程或初始条件中.

3) 对状态方程、约束方程和目标函数进行离散化,离散化为非线性规划问题,利用SNOPT软件进行求解,解出状态变量、控制变量、目标函数.Nq=Nq+1,如果NqQ,转到2);如果Nq≥NQ,转到4).

4) 建立观测矩阵z=[X(t),U(t),J(X,U)]T.

5) 利用式(20)求解gPC扩展系数,并利用式(18)计算观测值估计值.

6) 利用式(21)~式(23)求解观测值的期望、方差和协方差.

 图 2 随机轨迹优化求解流程Fig. 2 Solution chart of stochastic trajectory optimization
7 数字仿真

 图 3 随机变量初值采样配点Fig. 3 Samples of stochastic initial variables
 图 4 初始偏差下的速度-高度曲线Fig. 4 Curves of velocity vs height under initial disturbance
 图 5 初始偏差下经度-纬度曲线Fig. 5 Curves of longitude vs latitude under initial disturbance
 图 6 初始偏差下的落点Fig. 6 Terminal positions under initial disturbance
 图 7 初始偏差下的弹道倾角曲线Fig. 7 Curves of flight-path angle under initial disturbance
 图 8 初始偏差下的弹道偏角曲线Fig. 8 Curves of heading angle under initial disturbance
 图 9 初始偏差下控制量曲线Fig. 9 Curves of control under initial disturbance
 图 10 初始偏差下的高度均方差曲线Fig. 10 SD curve of height under initial disturbance
 图 11 初始偏差下的经度均方差曲线Fig. 11 SD curve of longitude under initial disturbance
 图 12 初始偏差下的纬度均方差曲线Fig. 12 SD curve of latitude under initial disturbance
 图 13 初始偏差下的速度均方差曲线Fig. 13 SD curve of velocity under initial disturbance
 图 14 初始偏差下的弹道倾角均方差曲线Fig. 14 SD curve of flight-path angle under initial disturbance
 图 15 初始偏差下的弹道偏角均方差曲线Fig. 15 SD curve of heading angle under initial disturbance

1) 由图 3可知,由于gPC方法随机变量配点数为7,随机变量的个数为3,总的配点数目Q=73=343.其中初始高度范围为[64, 56]km,初始速度范围为[5.6,6.4]km/s,初始弹道倾角的范围为[－1.4°,－0.6°],它们的所有组合构成了初始随机变量采样空间.

2) 由图 4速度-高度曲线可以看出,不同的再入初值对再入轨迹产生了一定的影响,在轨迹初期超出了再入走廊的上界(软约束),但是曲线不管怎么波动,始终没有超出再入走廊的下界(硬约束),满足过程约束条件;此外,在轨迹的末端,误差变得越来越小,最终达到了终端约束的高度和速度值.

3) 由图 4中的误差棒形图的计算公式(ei=max(Xi)-Zi,i=1,2,…,6)可知,它表征了轨迹的最大扩散范围,从图中可以看出,由于具有初始偏差,轨迹的扩散范围初始段最大,然后呈逐渐减小并收敛的趋势.

gPC与MC产生的期望轨迹与确定方法产生的轨迹基本一致,证明了gPC方法的有效性.

4) 图 5经度-纬度曲线可以看出,受初始值偏差的影响,曲线成发散趋势,由误差棒形图可以得到纬度最大扩散范围为±0.8°.gPC方法和MC方法得到的经度-纬度曲线与确定性轨迹方法得到的曲线基本上一致,但gPC方法更为接近.由于考虑了地球自转的影响,虽然是以最大经度为代价函数,但是纬度有一定的偏移.

5) 图 6中分别以gPC方法的期望落点为圆心,以gPC方法最大落点偏差为半径作圆;以MC方法的期望落点为圆心,以MC方法最大落点偏差为半径作圆.由图 6可以看出,具有随机初值干扰的最大纵程轨迹落点散布在赤道两侧,但偏差不大;虽然gPC方法初值干扰产生的落点散布比MC方法大,但是期望落点与确定性方法的落点更为接近.

6) 图 7显示弹道倾角在一定的范围内呈近似衰减振荡形式,使得飞行器轨迹跳跃下降,跳跃程度逐渐减小,末端为了达到终端约束值,弹道倾角增大,轨迹下压以满足终端高度和速度约束.

7) 由图 8图 9可知,由于本文算例以最大经度为代价函数,所以弹道偏角近似保持在90°附近,控制量保持为零,也就使得飞行器沿着赤道飞行,达到最大经度.大部分时间内弹道偏角和控制量波动较小,只有在末端为了达到终端约束,出现了一定的波动.

8) 由图 10~图 15可以看出,均方差显示了状态量偏离期望值的程度,对于初始偏差,gPC方法较MC方法产生的状态量均方差略小.图 10图 13显示高度和速度具有初始偏差,但均方差逐渐减小,证明了图 4中速度-高度散布逐渐减小的结果;同理,图 11图 12显示经度和纬度的均方差逐渐增大,也证明了图 5经度-纬度曲线逐渐散布的结果.

9) 从计算时间上来说,基于gPC方法的随机轨迹优化方法消耗的时间在20min左右,基于MC方法消耗的时间却在1h以上,由此可以看出基于gPC方法的随机轨迹优化方法计算效率明显优于MC方法.但是两种方法都不能作为在线轨迹优化方法使用. 7.2 考虑气动偏差的仿真

 图 16 气动干扰参数随机采样配点Fig. 16 Samples of stochastic perturbed variables
 图 17 气动干扰下的速度-高度曲线Fig. 17 Curves of velocity vs height under aerodynamic disturbance
 图 18 气动干扰下的经度-纬度曲线Fig. 18 Curves of longitude vs latitude under aerodynamic disturbance
 图 19 气动干扰下的落点Fig. 19 Terminal positions under aerodynamic disturbance
 图 20 气动干扰下的弹道倾角曲线Fig. 20 Curves of flight-path angle under aerodynamic disturbance
 图 21 气动干扰下的弹道偏角曲线Fig. 21 Curves of heading angle under aerodynamic disturbance
 图 22 气动干扰下的控制量曲线Fig. 22 Curves of control under aerodynamic disturbance
 图 23 气动干扰下的高度均方差曲线Fig. 23 SD curves of height under aerodynamic disturbance
 图 24 气动干扰下的经度均方差曲线Fig. 24 SD curves of longitude under aerodynamic disturbance
 图 25 气动干扰下的纬度均方差曲线图Fig. 25 SD curves of latitude under aerodynamic disturbance
 图 26 气动干扰下的速度均方差曲线Fig. 26 SD curves of velocity under aerodynamic disturbance
 图 27 气动干扰下的弹道倾角均方差曲线Fig. 27 SD curves of flight-path angle under aerodynamic disturbance
 图 28 气动干扰下的弹道偏角均方差曲线Fig. 28 SD curves of heading angle under aerodynamic disturbance

1) 图 16显示了气动参数干扰值随机干扰p(ρ),p(CL)p(CD)的采样范围,总共产生343个随机采样配点,其中p(ρ)∈[－0.2,0.2],p(CL)∈[－0.15,0.15],p(CL)∈[－0.15,0.15].

2) 由图 17速度-高度曲线可以看出,gPC方法、MC方法和确定性轨迹优化方法产生的均值轨迹基本一致.虽然气动干扰对轨迹生成产生了影响,但始终满足再入走廊下边界和终端约束等硬约束的指标,体现了gPC算法的有效性.

3) 由图 18图 20图 21可以看出,虽然gPC方法、MC方法与确定性轨迹优化方法产生的期望状态量基本一致,但是gPC更为接近确定性轨迹状态量.

4) 图 23~图 28显示了由气动偏差引起的状态量的均方差值,可以看出,状态量初始均方差都为零,高度、速度和弹道倾角呈现波动,但最终减小为零,验证了图 17中速度-高度棒形图中误差散布情况,同理,经度和纬度呈现逐渐增大的趋势,验证了图 18中纬度偏差逐渐增大的结论.

5) 图 19中显示气动参数干扰下的落点,以均值落点为圆心,以最大落点偏差为半径的作圆.可以看出gPC方法比MC方法产生的散布更大,这是由于其状态量均方差更大造成的,但是由气动干扰产生了终端落点最大偏差为(-4.544°,5.056°),gPC方法估计的期望落点坐标为(62.044°,0.005°),不考虑气动干扰的落点坐标为(62.027°,0.089°),可见gPC方法估计的落点相较于MC方法更接近于确定性轨迹优化方法. 8 结 论

1) gPC方法估计生成的轨迹与MC方法生成的均值轨迹都与确定性轨迹优化方法生成的轨迹基本一致,能满足各种约束条件的限制,且gPC方法效果稍微好一些,证明了gPC方法能够有效处理带有随机干扰的轨迹优化问题.

2) 初始偏差对于高度和速度产生的均方差有逐渐减小并趋近于零的趋势,但气动偏差对整个轨迹的影响一直存在.两者对轨迹产生的落点偏差均较大,因此在轨迹优化过程中必须考虑.

3) 在计算效率方法,gPC方法比MC方法大大提高,但gPC方法也不能作为在线轨迹优化方法,在计算时间上还有待提高.

4) gPC方法能够给出状态量的统计信息,有助于研究分析随机干扰对轨迹优化问题的影响因素,也可以为随机轨迹优化数值解法提供参考.

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#### 文章信息

Guo Haifeng, Huang Changqiang, Ding Dali, Xiao Hong

Trajectory optimization for hypersonic gliding vehicle considering stochastic disturbance

JOURNAL OF BEIJING UNIVERSITY OF AERONAUTICS AND A, 2014, 40(9): 1281-1290.
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2013.0755