引言

租买决策是从承租人的角度研究是每期支付一个较小的租赁费用还是一次性支付大额的价格购买产品(设备)获得使用权的决策。对投资者来说，作为一种资金来源，租赁方式具有快捷扩大企业融资的能力，同时具有避免技术更新导致设备陈旧、市场变化等引起产品需求波动的不确定性风险的优势。但是，为规避投资风险，投资者在租赁设备时需要付出比设备折旧成本更高的租赁费用。随着技术革新和市场需求变化的不断加剧，不确定性是投资者在进行租赁问题决策时面临的越来越重要的问题。分析不确定环境下租赁决策问题的传统研究方法包括净现值(net present values, NPV)方法^[1-3]和实物期权理论(option theory)^[4-5]。这两类方法都是基于经典的期望效用理论(expected utility theory, EUT)，假定租赁问题的决策者做决策时符合“经济人”的特征：即是完全理性的、掌握很强的计算能力和完全信息，能预测资产未来的收益或给出精确的概率分布以计算出他们的(预期)最优决策。然而，当知识、经验不足和缺乏历史数据时，决策者实际上无法准确地预测未来的收益，给出的概率分布函数可能不完全符合客观概率分布。Simon^[6]提出有限理性概念, 认为行为主体打算做到理性, 决策程序是理性的，但现实中由于不完全信息、处理信息费用以及非传统决策目标引入经济分析等原因使得人们在决策中只能做到有限理性，因此决策者难以获得最优解而是寻求一个相对满意的解决方案。

有限理性理论自被提出以来获得了广泛的认可，主流经济学将文献[6]中提到的“不完全信息、处理信息费用以及非传统决策目标”引入最优决策与博弈模型，进而揭示这些因素对经济行为及其交互作用的影响。然而，许多研究者认为这些最优模型不属于有限理性，如Aumann等^[7]认为不完全信息和信息不对称博弈模型中要求没有完全信息的局中人知道对方的生产函数、目标函数以及不确定生产函数参数的所有可能状态和事前概率, 模型中的局中人不是有限理性而是超级无限理性。杨小凯^[8]认为有限理性应是指决策者面对“根本的不确定性”, 决策时不但不知道他人的生产函数、效用函数而且对不确定性参数取值范围及其概率分布一无所知。虽然有限理性概念被广泛接受，但由于经济学家一直没有能够找到合适地描述有限理性决策分析过程的表述形式，所以有限理性的经济分析模型还没有得到广泛应用。Rubinstein^[9]认为有限理性研究不应因为没有合适的描述形式就止步不前，研究可以先从某个问题的某个角度展开建模分析，如作者从决策成本的角度考虑固定决策规则的有限理性“囚徒困境”超级博弈模型。

Loomes等^[10]提出遗憾理论(regret theory)作为对不确定性问题理性分析的替代方法，该理论认为：人们不仅关注得到了什么，而且关注他们本来可以得到什么；人们是不喜欢遗憾的，当完全理性是不可能时(不可能获得最优方案)，减少决策所带来的遗憾(机会损失)是人们在决策时所追求的目标。心理学研究成果验证了在不确定性决策中对规避遗憾和自我保护规则的偏好^[11-12]。投资决策行为理论也揭示了人们对损失的恐惧程度要高于收益对投资者的吸引程度^[13-14]。Kouvelis等^[15]对遗憾理论进行了系统的总结并定义了绝对遗憾(absolute regret)和相对遗憾(relative regret)两类遗憾概念。绝对遗憾是指所选择方案产生的结果与最优方案的偏差(机会损失)；相对遗憾是指所选方案相对于最优方案的偏差，是方案与最优方案的偏差与最优方案之比，反映决策方案偏离最优方案的幅度。Hayashi^[16]运用遗憾理论分析了拍卖中的过高投标报价问题。遗憾理论主要用于分析在决策者缺乏未知事件的准确信息情况下寻求使最大遗憾最小化的方案。相对于完全理性需要描述概率模型求解最优方案，遗憾理论的模型结构更为简单，容易为个体学习与理解。

本文基于心理学和行为科学，在决策者面临“根本的不确定性”环境时，针对投资者在不确定性环境下规避遗憾的意愿高于收益的决策行为特征，应用最小最大程序理性(procedures of rational choice)分析方法^[6]，提出了不确定性环境下基于最小最大遗憾决策准则的有限理性租赁决策行为模型。在不能确定未来需求时，本文设计了投资者获得生产能力的固定决策规则有限理性投资策略，该策略可以确保投资者的相对最优方案的相对遗憾小于1。

1 数学模型 1.1 问题描述

在不确定性市场环境下的生产设备投资决策中，决策者获得生产能力使用权有租赁和购买两类基本模式。租赁策略使企业不需要大量的资金获得所需要的生产能力从而降低了市场的投资风险。但是出租人承担了生产设备投资的风险，所以租赁市场的租赁价格应是高于租赁设备的折旧成本，因此，相对于购买设备，租赁设备会增加决策者的运作成本。相反，如果采用购买策略获得生产设备，则决策者自己承担投资的风险，不需要支付过高的租赁成本，从而降低生产运作成本。显然，如果该项目运营时间足够长则购买投资策略成本低；如果运营时间短则租用生产设备策略的成本更低。

在模型的发展中本文使用以下符号：T表示投资者需要现有设备的实际时间，由于产品市场需求和新设备技术革新，因此T是不确定的；B表示新设备的市场价格；b为设备单位周期折旧成本；h为每周期的市场租赁费；B_j表示设备在使用j周期后的价值；k₁和k₂分别为购买和二手市场出售旧设备的交易成本率(0≤k₁ < 1，0≤k₂ < 1)；交易成本包括时间、信息成本和税收等。此外，本文模型有如下假设。

假设1  在没有出现新技术之前，设备的价格不变，使用j周期后设备的价值B_j=B-bj，即等于新设备价格减去累计折旧成本。

假设2  租赁市场中h > b，否则出租收入低于折旧成本，出租公司将处于亏损状态。

假设3  决策者采用购买策略使用新设备一个周期然后出售旧设备的运营成本大于租赁一个周期的成本，即k₁B+b+k₂(B-b) > h，否则决策者在0时刻总是忽略租赁策略选择购买投资策略。

1.2 最小最大相对遗憾定义

在考虑某项生产设备的租或买决策时，投资者一方面受产品市场未来需求变化的影响，另一方面还要考虑所投资的生产设备技术更新。由于投资者不具有关于未来的完备信息和超强的计算能力，无法获得关于不确定变量的准确信息，不可能做到完全理性。因此，投资者不能确定需要使用当前的设备多长时间，也无法描述使用时间准确的概率分布。此时，个体如果执意追求最优的方案，可能由于缺乏准确的信息使方案的实际结果与最优方案产生巨大的偏差。在无法获得最优方案的情况下，有限理性的决策者选择一个方案，使该方案相对于最优方案的遗憾在所有情形下(包括最坏情形下)控制在某一可以接受范围内(相对于最优方案的满意方案)。

对于有限理性的决策者来说，由于其不能确定需要目前设备时间T，因而无法知道最优的方案是租赁还是购买，因此选择先租赁一段时间t，然后再购买。有限理性个体选择先租赁一段时间t然后购买设备的成本为

${f_t}\left( T \right) = ht + \left( {1 + {k_1}} \right)B- \left( {1- {k_2}} \right)\left[{B-b\left( {T-t} \right)} \right]$

(1)

式(1) 中右边第一项为租赁成本, 第二项为在t周期购买新设备的成本, 第三项为设备使用结束后出售旧设备的收入。

用f_OPT(T)表示事先已经知道需要设备需求时间T的最优投资策略的成本，根据文献[15]可知决策者策略的绝对遗憾是f_t(T)-f_OPT(T)，相对遗憾是[f_t(T)-f_OPT(T)]/f_OPT(T)。决策者策略的遗憾值(绝对遗憾或相对遗憾)越大，相对于最优策略的性能越差。R_Max(t)表示租赁决策者所设计策略的最大相对遗憾，定义为

${R_{{\rm{Max}}}}\left( {t, T} \right) = \mathop {{\rm{Max}}}\limits_T \frac{{{f_t}\left( T \right)-{f_{{\rm{OPT}}}}\left( T \right)}}{{{f_{{\rm{OPT}}}}\left( T \right)}}$

(1)

式(1) 是决策者策略的相对遗憾在最坏情形下的值。对于有限理性的租赁决策者，当其不能确定使用设备所需时间T时，为了避免最坏情形，理智行为是从所有可能出现的最坏(最大相对遗憾)情形中选择最有利(最小最大相对遗憾)的方案，即寻找最优t^*，使决策者策略的相对遗憾在所有情形下有R_MAX(t^*, T)≤R_MAX(t, T)。t^*策略保证有限理性决策者策略的相对遗憾总控制在某个范围内并是最优的，如式(2) 所示

${R_{{\rm{max}}}}\left( {{t^*}, T} \right) = \mathop {\min }\limits_t \mathop {\max }\limits_T \frac{{{f_t}\left( T \right)-{f_{{\rm{OPT}}}}\left( T \right)}}{{{f_{{\rm{OPT}}}}\left( T \right)}}$

(2)

2 最小最大相对遗憾租赁策略

引理1  对于事先已知设备需要使用的周期数T时最优策略的成本为

$\begin{array}{l} \;\;\;\;{f_{{\rm{OPT}}}}\left( T \right) = \\ \left\{ \begin{array}{l} hT\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T < \frac{{\left( {{k_1} + {k_2}} \right)B}}{{h-\left( {1-{k_2}} \right)b}}\\ \left( {{k_1} + {k_2}} \right)B + \left( {1-{k_2}} \right)bT\;\;\;\;\;T \ge \frac{{\left( {{k_1} + {k_2}} \right)B}}{{h - \left( {1 - {k_2}} \right)b}} \end{array} \right. \end{array}$

证明  对于一个完全理性的人来说，如果他准确地知道设备需要使用周期数T，投资者者应用租赁策略的成本为f(T)=hT；应用购买策略的成本为购买设备的成本减去设备结束后的残值f(T)=(1+k₁)B-(1-k₂)(B-bT)，式中第一项为购买新设备的成本，第二项为使用结束后出售旧设备的收益。

根据假设h > (1-k₁)b和(k₁+k₂)B > 0可知，决策者采用租赁策略的固定成本小于购买策略的固定成本，而租赁策略的可变成本大于购买策略的可变成本。因此，当实际需求T < [(k₁+k₂)B]/[h-(1-k₂)b]时选择租赁方式是最优；如果T≥[(k₁+k₂)B]/[h-(1-k₂)b]则选择购买是最优。证毕。

定理1  投资者租赁设备直至第t=[(k₁+k₂)B]/[h-(1-k₂)b]周期结束，然后投资购买一个新设备，该投资策略在所有情形下相对于最优策略的最大相对遗憾小于1且该策略是最优。

证明  首先分析投资策略的相对遗憾，考虑设备实际需求周期数T∈[0, ∞]的两类情形。

情形1  实际设备需求周期T < [(k₁+k₂)B]/ [h-(1-k₂)b]，此时投资者仍然一直处于租赁状态，其成本为f_t(T)=hT，与最优策略成本相同。因此其相对遗憾为

$R\left( {t, T} \right) = \left[{{f_t}\left( T \right)-{f_{{\rm{OPT}}}}\left( T \right)} \right]/{f_{{\rm{OPT}}}}\left( T \right) = 0$

情形2  T≥[(k₁+k₂)B]/[h-(1-k₂)b]，此时投资者的设备使用成本为

${f_t}\left( T \right) = ht + \left( {1 + {k_1}} \right)B- \left( {1- {k_2}} \right)\left[{B-b\left( {T-t} \right)} \right]$

(3)

最优方案的成本是f_OPT(T)=(k₁+k₂)B+(1-k₂)bT，相对遗憾为

$R(t, T) = [{f_t}(T)-{f_{{\rm{OPT}}}}(T)]/{f_{{\rm{OPT}}}}(T) = [h-(1-{k_2})b]t/[({k_1} + {k_2})B + (1-{k_2})bT]$

(4)

根据式(4) 求相对遗憾函数，关于T的一阶导数有∂R(t, T)/∂T < 0。可知当T≥(k₁+k₂)B/[h-(1-k₂)b]时，有限理性投资者策略的相对遗憾随着T的增加而递减。显然，为了使有限理性个体决策方案的相对遗憾尽可能大(最不利情形)，应使T尽可能小。也就是个体刚从租赁状态转为购买新设备时即结束设备实际需求即T=t。将t=(k₁+k₂)B/[h-(1-k₂)b]T=t代入式(4)，则有投资者策略的最大相对遗憾为

$\begin{array}{c} R\left( {t, T} \right) \le \frac{{\left[{h-\left( {1-{k_2}} \right)b} \right]t}}{{\left( {{k_1} + {k_2}} \right)B + \left( {1 - {k_2}} \right)bT}} = \\ \frac{{\left[{h-\left( {1-{k_2}} \right)b} \right]\left[{\left( {{k_1} + {k_2}} \right)B-h + \left( {1-{k_2}} \right)b} \right]}}{{\left[{h-\left( {1-{k_2}} \right)b} \right]\left( {{k_1} + {k_2}} \right)B + \left( {{k_1} + {k_2}} \right)\left( {1 -{k_2}} \right)Bb}} \end{array}$

根据假设2有h>b，则h>(1-k₂)b，可知R(t, T)≤1。

下面分析在t=(k₁+k₂)B/[h-(1-k₂)b]时从租赁转为购买新设备是投资者所有最不利情形下的最有利时机(最大相对遗憾最小)。设租赁到一个任意的时刻t′(t′≠t)然后购买的成本f_t′(T)=h _t′+(1+k₁)B-(1-k₂)[B-b(T-t′)]。考虑任意t′∈[0, ∞]的两类情形。

情形1  t′ < t。如果此时实际需求T < (k₁+k₂)B/[h-(1-k₂)b]，最优方案的成本f_OPT(T)=hT，方案的相对遗憾为

$\begin{array}{l} \;\;\;\;R\left( {t', T} \right) = \\ \frac{{\left( {{k_1} + {k_2}} \right)B + \left( {1- {k_2}} \right)bT + \left[{h-\left( {1-{k_2}} \right)b} \right]t'}}{{hT}} \end{array}$

(5)

根据式(5)，相对遗憾函数式中对T求导有∂R(t′, T)/∂T < 0，相对遗憾随着T的增加而递减。为了使方案的相对遗憾尽可能大，总是选择实际需要周期T=t′，则有

$R\left( {t', T} \right) = \left[{\left( {{k_1} + {k_2}} \right)B + ht'} \right]/ht'$

(6)

根据式(6)，对t′求导有∂R(t′, T)/∂t < 0，可知当t′ < t时相对遗憾随着t′的增加而递减。

如果实际需求T≥(k₁+k₂)B/[h-(1-k₂)b]，最优方案的成本f_OPT(T)=(k₁+k₂)B+(1-k₂)bT，方案的相对遗憾为

$R\left( {t', T} \right) = \frac{{\left[{h-\left( {1-{k_2}} \right)b} \right]t'}}{{\left( {{k_1} + {k_2}} \right)B + \left( {1 -{k_2}} \right)bT}}$

(7)

根据式(7)，相对遗憾函数式中对T求导有∂R(t′, T)/∂T < 0，相对遗憾随着T的增加而递减。为了使方案的相对遗憾尽可能大，总是选择实际需要周期T=t′ < t。由分析可知，当t′ < t时，最大相对遗憾随着t′的增加而递减。

情形2  t′>t。同样为了使相对遗憾尽可能大，使T=t′。此时最优方案的成本f_OPT(T)=(k₁+k₂)B+(1-k₂)bt′，而投资者方案的成本f_t′(T)=(k₁+k₂)B+ht′，则其决策的相对遗憾为

$R\left( {t', T} \right) = \frac{{ht'-\left( {1-{k_2}} \right)bt'}}{{\left( {{k_1} + {k_2}} \right)B + \left( {1-{k_2}} \right)bt'}}$

(8)

根据式(8)，相对遗憾函数式中对t′求导有

$\frac{{\partial R\left( {t', T} \right)}}{{\partial t'}} = \frac{{ht'- \left( {1- {k_2}} \right)bt'}}{{{{\left[{\left( {{k_1} + {k_2}} \right)B + \left( {1-{k_2}} \right)bt'} \right]}^2}}} > 0。$

因此可知当t′>t时最大相对遗憾随着t′的增加而递增。

综合情形1、2的分析可知，t=(k₁+k₂)B/[h-(1-k₂)b]是投资者决策方案所有最不利情况(最大相对遗憾)下的最有利情况(最小最大相对遗憾)。证毕。

定理1的结论显示：有限理性的投资者在产品市场需求波动、设备技术更新导致现有生产设备需求不确定的情况下，在了解市场中设备的价格、租赁费用以及交易税率后，通过简单的公式计算先租赁设备一段时间t=(k₁+k₂)B/[h-(1-k₂)b]，然后购买设备投资。该策略可以保证投资者在所有不确定情况下，相对于最优策略的最大相对遗憾都小于1，且是最小的最大相对遗憾策略。

3 有限理性租赁策略应用案例

大学毕业后，张强与郑雪峰计划开设一个不同于目前餐饮形式的餐厅，提供具有特色风味的饮食产品。由于该产品不同于现在的产品，两人没有以往相关的市场数据可供决策参考，而进行一个完全新产品试销调查的可信度较低且调研成本很高，因此不能预测未来市场的需求变化，无法确定未来餐馆能经营多长时间。二人对于餐厅运营的设备进行了调查研究，发现餐馆场地费用对二人来说是短期无法筹集的大额资金，因此只能采用租赁策略。一些易耗品由于没有租赁只能购买，用于食品制作的设备则可以购买也可以租赁。

经调查，新的食品制作设备市场价为B=12万元，制造商保证设备使用寿命为12年，设备每年折旧成本计b=1万，市场中设备租赁费用为每年h=1.7万元，用于设备购买和出售的信息、交通与税收等费用的比率为k₁=k₂=1%。

启发式策略由于没有关于市场需求的准确信息，二人决定首先租赁食品制作设备一年，然后在一年后再根据获取的信息进行决策：若市场形势差，则中断经营；如市场形势好，则由租赁改为购买设备；若市场形势仍然模糊不确定，则继续租赁；租赁至t=[(0.1+0.1)×12]/[1.7-(1-0.1)×1]=3年结束，市场仍不明确则转为购买设备。根据定理1可知，启发式策略的最小最大相对遗憾为

$\begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;R\left( {t, T} \right) = \\ \frac{{\left[{1.7-\left( {1-0.1} \right)} \right]\left[{\left( {0.1 + 0.1} \right) \times 12-1.7 + \left( {1-0.1} \right)} \right]}}{{\left[{1.7-\left( {1-0.1} \right)} \right]\left( {0.1 + 0.1} \right) \times 12 + \left( {0.1 + 0.1} \right) \times \left( {1 -0.1} \right) \times 12}} = 0.314 \end{array}$

计算显示，启发式策略的最小最大相对遗憾是0.314，表明张强与郑雪峰的有限理性策略在最坏情形下相对于最优策略的相对遗憾为0.314，根据相对于最优策略的遗憾值可以评价启发策略的满意度。

4 结束语

本文从决策者面临的“根本的不确定性”环境角度建立投资者的有限理性租赁决策行为模型。基于心理学和行为科学对投资者在不确定性环境下规避遗憾的决策行为特征，应用最小最大相对遗憾理论建立租赁决策模型并设计了有限理性投资策略。分析结果显示：该策略相对最优策略的相对遗憾小于1，有限理性租赁策略案例应用分析展示了本文方法的实际应用价值。