引言

项目财务评价方法是公司财务决策的重要手段之一^[1]。传统的项目财务评价指标都是基于特定情形下参数的精确值计算得到，然而这种理想情形越来越不适应复杂多变的项目环境。事实上，在一个经济模型中，几乎每一个参数的估计值都是不确定的，而这种不确定性将会对决策者的最终决策造成很大影响。因此，在进行复杂财务决策前，有必要将各个参数的不确定性考虑在内。针对不确定情形下的财务决策问题，不少学者开始关注如何将确定情形下的项目财务评价指标推广到不确定情形。目前，描述不确定情形的量化方法主要有概率、模糊数和区间数。Choobineh等^[2]对经济分析中区间分析和可能性分布的应用进行了深入的探讨；本课题组^[3]前期利用国债利率期限结构模型确定无风险折现率, 给出了4种情形下的净现值计算公式；Chiu等^[4]对现值标准下的模糊现金流量进行了分析；Liou等^[5]研究了模糊年产值标准下替代选择的模糊决策分析。上述文献对关于概率型和模糊型的财务评价指标和方法进行了相关研究，但是关于区间型财务评价指标的研究成果较少。与概率法相比，区间数不需要考虑不确定量的分布特征；与模糊数相比，它能处理更加不精确数据，具有计算简单、需要数据量少等优点。关于区间数方法，包括区间回归^[6]、区间估计^[7]、区间预测^[8]等近年日益成为研究热点。对于一家公司其财务指标定为某一实数不是十分准确的, 往往具有一定的偏差，采用区间数来刻画更合理。因此研究区间型财务评价指标更具有实际意义。本课题组^[9]将财务所用数据由实数型拓展到区间数，并没有涉及财务评价指标；兰继斌等^[10]仅将区间数推广到区间投资回收期。现有成果涉及区间数型的财务指标较少，并且也很少给出各财务指标的具体计算公式。本文将区间数引入项目财务评价领域，在区间运算的基础之上系统推导出了区间净现值、区间终值、区间内部收益率、区间投资回收期、区间收益-成本比率等5个区间财务指标的表达式，并给出了算例验证，为决策者提供获取更多信息的手段。

1 区间数及其运算

通常一个区间数记为X=[a, b]=[a≤x≤b]；特别地，若a=b，则X退化为一个实数。若0＜a≤b，则称[a, b]为正闭区间数；若0＜a≤b＜∞，则称[a, b]为正有界闭区间数。假定X=[a, b]，Y=[c, d]，Z=[e, f]，其代数运算法则可表示为：kX=[ka, kb]，X-Y=[a-d, b-c]；X×Y=[min(a×c, a×d, b×c, b×d), max(a×c, a×d, b×c, b×d)]；如果0∉[c, d]，X/Y=[a, b]×[1/d, 1/c]；X×0=0；X的n次幂为：

${X^n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {[{a^n},{b^n}]}&{当a > 0或n是奇数}\\ {[{b^n},{a^n}]}&{当b < 0或n是偶数}\\ {[0,{{(\max \left\{ {\left| a \right|,|b|} \right\})}^n}]}&{当0 \in [a,b]或n是偶数} \end{array}} \right.$

此外，与实数运算一样，区间变量的代数运算也满足结合律和交换律，即X+(Y+Z)=(X+Y)+Z，X×(Y×Z)=(X×Y)×Z，X+Y=Y+X，X×Y=Y×X。

2 基于区间数的项目财务评价指标的构建

将一家公司的财务指标定为某一实数往往具有一定的偏差，采用区间数来刻画更合理。因此，将区间数现金流和区间数贴现率分别应用于文献[1]中的财务评价指标，得到如下用区间数表示的系列项目财务评价指标的计算公式。

2.1 区间净现值和区间终值

设某项目的存续期为n年，每年年末的净现金流量为区间数P_t=[P_t^L, P_t^U]，每年的资金使用成本贴现率为I_t=[I_t^L, I_t^U]。其中，P_t^L代表时刻t现金流的下界值，P_t^U代表时刻t现金流的上界值；I_t^L代表基准收益率的下界值，I_t^U代表基准收益率的上界值；t=1, 2, …, n。

考虑区间数的情况下，用区间数现金流和区间数贴现率表示的净现值计算公式为：

${V_{{\rm{NP}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{t = 0}^n {\left( {\frac{{{\rm{max}}\left( {P_t^{\rm{L}},0} \right)}}{{\prod\limits_{t\prime = 0}^t {\left( {1 + I_{t\prime }^{\rm{U}}} \right)} }}} \right.} + \left. {\frac{{{\rm{min}}\left( {P_t^{\rm{L}},0} \right)}}{{\prod\limits_{t\prime = 0}^t {\left( {1 + I_{t\prime }^{\rm{L}}} \right)} }}} \right),}\\ {\sum\limits_{t = 0}^n {\left( {\frac{{{\rm{max}}(P_t^{\rm{U}},0)}}{{\prod\limits_{t\prime = 0}^t {(1 + I_{t\prime }^{\rm{L}})} }}} \right.} + \left. {\frac{{{\rm{min}}(P_t^{\rm{U}},0)}}{{\prod\limits_{t\prime = 0}^t {(1 + I_{t\prime }^{\rm{U}})} }}} \right)} \end{array}} \right]$

(1)

根据净现值和终值的关系，用区间数现金流和区间数贴现率表示的终值公式为：

${V_{\rm{F}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{t = 0}^{n - 1} {\left[ {{\rm{max}}\left( {P_t^{\rm{L}},0} \right)\prod\limits_{t\prime = t + 1}^n {\left( {1 + I_{t\prime }^{\rm{L}}} \right)} + {\rm{min}}\left( {P_t^{\rm{L}},0} \right)\prod\limits_{t\prime = t + 1}^n {\left( {1 + I_{t\prime }^{\rm{U}}} \right)} } \right] + P_n^{\rm{L}},} }\\ {\sum\limits_{t = 0}^{n - 1} {\left[ {{\rm{max}}(P_t^{\rm{U}},0)\prod\limits_{t\prime = t + 1}^t {(1 + I_{t\prime }^{\rm{U}})} + {\rm{min}}(P_t^{\rm{U}},0)\prod\limits_{t\prime = t + 1}^t {(1 + I_{t\prime }^{\rm{L}})} } \right] + P_n^{\rm{U}}} } \end{array}} \right\}$

(2)

算例分析 设某项目的存续期为7年，每年年末的净现金流量为区间数P_t，其中P₀=[-16000, -14000]，当t=1, 2, …, 7时，P_t=[5000, 6000]，且每年的资金使用成本贴现率为I_t=[9.75%, 11.00%]。根据式(1)，项目区间净现值为[7560.98, 15452.51]；根据式(2)，项目区间终值为[13854.53, 31848.69]。

2.2 区间内部收益率

考虑某项目的存续期为n年，每年年末的净现金流量为区间数P_t，P_t=[P_t^L, P_t^U]，在不考虑区间数的情况下，内部收益率(R_IR)的计算公式为：

$\sum\limits_{t = 1}^n {{P_t}} {(1 + {R_{{\rm{IR}}}})^{ - t}} + {P_0} = 0$

考虑存在不确定性的情况下，假定现金流P_t和R_IR均为区间数，有：

$\left[ {\sum\limits_{t = 1}^n {\frac{{P_t^{\rm{U}}}}{{{{(1 + R_{{\rm{IR}}}^{\rm{U}})}^t}}}} ,\sum\limits_{t = 1}^n {\frac{{P_t^{\rm{L}}}}{{{{(1 + R_{{\rm{IR}}}^{\rm{L}})}^t}}}} } \right] = {\rm{ }}[ - P_0^{\rm{U}}, - P_0^{\rm{L}}]$

(3)

式(3) 给出了区间内部收益率上界和下界的隐式解。针对具体项目条件，可用插值法计算出相应的内部收益率。

算例分析 设某项目的存续期为7年，每年年末的净现金流量为区间数P_t，其中P₀=[-16000, -14000]，当t=1, 2, …, 7时，P_t=[5000, 6000]。

根据等式(3)，利用插值法，可计算得区间内部收益率为[25%, 38%]。

2.3 区间投资回收期

在考虑区间数的情况下，投资方案的静态投资回收期m可以通过下式计算：

$\left[ {\sum\limits_{t = 1}^{{m^{\rm{L}}}} {P_t^{\rm{U}}} ,\sum\limits_{t = 1}^{{m^{\rm{U}}}} {P_t^{\rm{L}}} } \right] \ge [ - P_0^{\rm{U}}, - P_0^{\rm{L}}]$

(4)

此投资方案的动态回收期m的最小值为：

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{t = 1}^{{m^{\rm{U}}}} {\left( {\frac{{{\rm{max}}\left( {P_t^{\rm{L}},0} \right)}}{{\prod\limits_{t\prime = 0}^t {\left( {1 + I_{t\prime }^{\rm{U}}} \right)} }}} \right. + } \left. {\frac{{{\rm{min}}\left( {P_t^{\rm{L}},0} \right)}}{{\prod\limits_{t\prime = 0}^t {\left( {1 + I_{t\prime }^{\rm{L}}} \right)} }}} \right)}\\ {\sum\limits_{t = 1}^{{m^{\rm{L}}}} {\left( {\frac{{{\rm{max}}(P_t^{\rm{U}},0)}}{{\prod\limits_{t\prime = 0}^t {(1 + I_{t\prime }^{\rm{L}})} }}} \right. + \left. {\frac{{{\rm{min}}(P_t^{\rm{U}},0)}}{{\prod\limits_{t\prime = 0}^t {(1 + I_{t\prime }^{\rm{U}})} }}} \right)} } \end{array}} \right] \ge \left[ { - P_0^{\rm{U}}, - P_0^{\rm{L}}} \right]$

(5)

经过n年后，假定P_t均为正闭区间数，则式(5) 可简化为：

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{t = 1}^{{m^{\rm{L}}}} {(P_t^{\rm{U}}/{{(1 + I_t^{\rm{L}})}^t})} ,}\\ {\sum\limits_{t = 1}^{{m^{\rm{U}}}} {(P_t^{\rm{L}}/{{(1 + I_t^{\rm{U}})}^t})} } \end{array}} \right] \ge [ - P_0^{\rm{L}}, - P_0^{\rm{U}}]$

(6)

设t≥1时，P_t为正闭区间数，则经过n年后区间数净现值为：

${V_{{\rm{NP}}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{t = 0}^n {(P_t^{\rm{L}}/{{(1 + I_t^{\rm{U}})}^t})} ,}\\ {\sum\limits_{t = 0}^{{m^{\rm{U}}}} {(P_t^{\rm{U}}/{{(1 + I_t^{\rm{L}})}^t})} } \end{array}} \right]$

(7)

参考文献[7]的思路，为了求出动态投资回收期的上界和下界，先令 $\gamma \left( n \right)\sum\limits_{t = 0}^n {\left( {\frac{{P_t^{\rm{L}}}}{{{{(1 + I_t^{\rm{U}})}^t}}}} \right)} $ ，δ $\left( n \right)\sum\limits_{t = 0}^n {\left( {\frac{{P_t^{\rm{U}}}}{{{{(1 + I_t^{\rm{L}})}^t}}}} \right)} $ ，则γ(n)、δ(n)均随着n的增加而增大，且满足γ(n)≤δ(n)。将n=1, 2, …代入γ(n)和δ(n)中，存在N₁，N₂，使得

$\gamma ({N_1}) \le 0,\gamma ({N_1} + 1) > 0$

(8)

$\delta ({N_2}) \le 0,\delta ({N_2} + 1) > 0$

(9)

利用内部差值法，求得M₁和M₂的表达式，且M₂≤M₁。

${M_1} = {N_1} - \frac{{\gamma ({N_1})}}{{\gamma ({N_1} + 1) - \gamma ({N_1})}}$

(10)

${M_2} = {N_2} - \frac{{\gamma ({N_2})}}{{\gamma ({N_2} + 1) - \gamma ({N_2})}}$

(11)

算例分析 设某项目的存续期为7年，每年年末的净现金流量为区间数P_t，其中P₀=[-16000, -14000]，当t=1, 2, …, 7时，P_t=[5000, 6000]；每年的资金使用成本贴现率为I_t=[9.75%, 11.00%]。

根据式(8) 和(9)，求得N₁=4，N₂=2；再根据式(10) 和(11)，分别求得M₁=4.16，M₂=2.78，得项目的区间投资回收期为[2.78，4.16]。

2.4 区间收益-成本比率

收益-成本率通常是一个静态指标，其定义R_BC=(B－D)/C，其中，B表示收入；D表示支出；C表示净成本。若多个投资项目的投资成本相同，则此指标值越大的项目，成本费用控制得越有效率。当互斥项目选择时，有必要分析增量的收入和支出。假设有两个互斥的项目，那么忽略了支出的增量R_BC比率为：

${B_{2 - 1}}/{C_{2 - 1}} = {P_{{\rm{VB}},2 - 1}}/{P_{{\rm{VC}},2 - 1}}$

(12)

其中，P_VB是收入的现值，P_VC是成本的现值。如果B_2－1/C_2－1≥1，那么方案2占优。

在考虑区间数的情况下，假定方案1在第t年的现金流的最大可能值比方案2在第t年的最小可能值要小。区间增量BCR即为：

$\Delta B/\Delta C = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\sum\limits_{t = 0}^n {(B_{2t}^{\rm{L}} - B_{1t}^{\rm{U}}){{(1 + I_t^{\rm{U}})}^{ - t}}} }}{{\sum\limits_{t = 0}^n {C_{2t}^{\rm{U}} - C_{1t}^{\rm{L}}){{(1 + I_t^{\rm{L}})}^{ - t}}} }},}\\ {\frac{{\sum\limits_{t = 0}^n {(B_{2t}^{\rm{U}} - B_{1t}^{\rm{L}}){{(1 + I_t^{\rm{L}})}^{ - t}}} }}{{\sum\limits_{t = 0}^n {(C_{2t}^{\rm{L}} - C_{1t}^{\rm{U}}){{(1 + I_t^{\rm{U}})}^{ - t}}} }}} \end{array}} \right]$

(13)

如果ΔB/ΔC等于或者比[1, 1]大，那么方案2占优。

在已知年值的情况下，单个投资方案的区间R_BC可以表示为：

${R_{{\rm{BC}}}} = [{A^{\rm{L}}}\gamma (n,I_t^{\rm{U}})/{C^{\rm{U}}},{A^{\rm{U}}}\gamma (n,I_t^{\rm{L}})/{C^{\rm{L}}}]$

(14)

其中，C是净成本，A是净年收入(年金)， $\gamma \left( {n,r} \right) = \frac{{[{{(1 + {I_t})}^n} - 1]}}{{{{(1 + {I_t})}^n}{I_t}}}$ 。

在已知年值的情况下，ΔB/ΔC比率为：

$\Delta B/\Delta C = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{(A_2^{\rm{L}} - A_1^U)\gamma (n,I_t^U)}}{{C_2^U - C_1^{\rm{L}}}},}\\ {\frac{{(A_2^U - A_1^{\rm{L}})\gamma (n,I_t^{\rm{L}})}}{{C_2^{\rm{L}} - C_1^U}}} \end{array}} \right]$

(15)

算例分析 假设有两个互斥的项目方案，项目的存续期均为5年，项目的年收入、成本和贴现率均为区间数。方案1每年项目收入为B_1t=[1800, 1900]，项目净成本为C_1t=[1000, 1500]；方案2每年项目收入为B_2t=[5000, 6000]，项目净成本为C_2t=[3000, 4000]。每年的资金使用成本贴现率I_t=[9.75%, 11.00%]。

根据公式(12)，得项目区间收益-成本比率为[1.01, 2.87]，比[1, 1]大，故应选择方案2。

3 结束语

本文将区间数及区间数运算法则引入了项目财务评价指标，建立了区间数型的财务评价指标计算公式，并给出了算例应用。这些公式具有更广泛的适用性，可以视为传统财务评价指标的拓展，应用时可以根据决策者的预期区间目标值来进行评价，从而为不确定环境下的项目决策提供方法支持。当然，在不同投资项目之间，这些区间财务指标的大小比较和排序还有待进一步讨论。