引言

股市之间的相关性研究一直是学者们关注的热点。Copula函数作为一种用于刻画相关结构的有效建模工具，不仅能对随机变量间线性、非线性、对称或非对称的相关结构进行描述，还能快速捕捉其尾部相关性。目前，基于Copula理论的研究有很多。例如，Ning^[1]基于Copula探讨期货市场和外汇市场间的相关性，并通过比较具有不同相关结构的Copula函数，发现两市场存在显著的上尾和下尾相关性；Basher等^[2]也通过Copula模型研究7个GCC股市二元收益率序列的相关结构，认为所有期货市场收益率间的条件相关性并不存在严格对称关系。此外，Wang等^[3]、Reboredo等^[4]应用时变Copula函数分别对中国股市、国际股市间的相关结构进行探讨，取得了良好的效果。国内方面，韦艳华^[5]首次将Copula理论引入金融分析领域之后便得到广泛地应用。随后李悦等^[6]根据Copula的尾部相关性特征得出，Gumbel-Hougard Copula对刻画两股指尾部相关性的拟合度最高，且量化后的相关性能较好地预测股市的变化。魏平等^[7]通过研究沪深股市间的相关结构，发现t-Copula能有效刻画两股市间的相关性，且存在较强的正相关性和对称的尾部相关性。韦伟^[8]利用时变非参数阿基米德Copula模型检验了金融危机传染的存在性及其变化趋势，结果表明次贷危机对不同国家或地区的传染效应存在差别。

综上所述，大多数研究基本上都是对股市间整体相关性的分析，对其相关结构的微观特征进行分析的研究比较缺乏。二元经验模态分解(bivariate empirical mode decomposition，BEMD)模型^[9]作为一种有效的多尺度数据时频处理方法，通过将时间序列分解为有限对具有不同时间尺度且相互独立的分量，以实现降低建模难度的目的。与传统多尺度分析方法相比，BEMD方法不仅在处理非线性非平稳数据时具有更高的拟合精度，还能准确反映出原始数据的物理特性^[10]。目前，BEMD已被广泛应用于金融市场研究。李成等^[11]提出一种基于多元EMD的股票市场收益与宏观经济活动关系的分析方法，对不同尺度下的多元时间序列进行相关性分析和格兰因果检验。Xiong等^[12]利用BEMD算法实现对电力需求序列的分解，并捕捉到两序列间的相关性。Yu等^[13]以EUA期货和Brent期货作为样本，研究了碳市场和原油市场间的因果关系。Zou等^[14]利用BEMD模型对价格波动的不同因素按不同的行为模式和波动幅度进行分解，证实了所建模型的准确度。

因此，在Copula理论的基础上，本文引入BEMD算法以深入探讨股市间整体相关结构和微观相关结构的特征。以上证综指和恒生指数的日收盘价为研究对象，利用BEMD算法将其分解为若干组相互独立的IMF分量对，然后分别对每组IMF和原收盘价数据进行Copula建模，并将结果进行对比与分析，以验证新方法的有效性。

1 Copula函数和BEMD算法 1.1 Copula函数

Copula函数最初由Sklar^[15]提出，是一种将任意一个n维联合分布函数与其各自n个边缘分布连接在一起的函数，又称连接函数。基于Copula进行建模可以刻画出变量之间所有线性和非线性、对称和非对称，以及尾部的相关关系。

假设G(·, ·)为具有边缘分布F(x₁)和F(x₂)的联合分布，则存在唯一的Copula函数C，满足^[16]：

$G({x_1},{x_2}) = C(F({x_1}),F({x_2}),\theta )$

(1)

其中θ为Copula函数的参数。u=F(x₁)和v=F(x₂)连续，则C可唯一确定；若u和v为一元分布函数，且C是相应的任意一种Copula函数，则由式(1) 确定的G(x₁, x₂)为具有边缘分布u和v的联合分布函数。

Copula函数可以分为常相关Copula函数和时变相关Copula函数。常见的常相关Copula函数有Normal Copula、Student-t Copula、Clayton Copula、Gumbel Copula和SJC Copula函数等，其分布函数见表 1。其中，Normal Copula和Student-t Copula函数具有对称性，不仅能捕捉金融市场之间对称的相关关系，而且还能捕捉市场间尾部的信息；Clayton Copula和SJC Copula函数则用来描述变量间非对称的相关关系，前者密度函数具有上尾低、下尾高的特征，对下尾相关性的变化较为敏感，而后者只能捕捉上尾相关性的变化；Gumbel Copula函数的密度函数具有非对称性，其上尾高、下尾低，能快速捕捉到上尾相关性的变化。常见的时变相关Copula函数有时变Normal Copula、时变Student-t Copula和时变SJC Copula函数等。在本研究中，将会使用这8种Copula函数对两大股市之间的整体相关结构和微观相关结构进行探讨。

常用的相关性测度有Pearson's ρ、Spearman秩相关系数、Kendall秩相系数和尾部相关系数等。Pearson's ρ用于度量变量间线性相关性。后三者是基于Copula函数的相关性测度，其中Spearman系数和Kendall系数是基于一致性的相关测度的系数；尾部相关系数是用于刻画当极端事件发生时金融市场之间的相关性，包括上尾相关和下尾相关：上尾相关是指当金融市场处于上涨趋势时市场间的相关性，下尾相关是当市场处于下跌趋势时市场间的相关性。

表 2为几种常见Copula函数的下尾、上尾相关系数、Kendall秩相关系数和Spearman秩相关系数。其中θ、κ和γ为Copula函数的相关性参数。

1.2 二元EMD算法

EMD算法最初由Nunes等^[17]提出，是一种依据数据的自身时间尺度特征对信号进行分解的方法，不需预先设定基函数，适用于分析非线性、非平稳的数据序列。由于EMD方法在分析二元及多元数据时存在一定的缺陷，Rilling等^[18]对EMD进行扩展，提出了二元EMD(BEMD)算法。该算法可以将原始二元数据分解成有限对具有不同时间尺度的本征模函数IMF和一组趋势项。

假设x(t)为二元数据序列，二元EMD算法的具体分解步骤如下。

(1) 确定x(t)不同方向上的曲面个数N，并计算

${\varphi _n} = \frac{{2n{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{Nn}},1 \le n \le N$

(2)

(2) 计算x(t)在N个方向φ_n上的投影

${P_{{\varphi _n}}}\left( t \right) = {\rm{Re}}[{e^{ - j{\varphi _n}}}x\left( t \right)]$

(3)

(3) 求P_φn(t)的所有局部极大值点{t_iⁿ}，并利用插值法，拟合点集合{(t_iⁿ, P_φn(t_iⁿ))}，得到在φ_n方向上的局部包络曲面e_φn(t)。

(4) 计算所有包络曲面的均值

$m\left( t \right) = \frac{1}{N}\sum\limits_{N = 1}^N {{e_{{\varphi _n}}}} \left( t \right)$

(4)

(5) 将原始x(t)减去包络均值m(t)，得到新的数据序列h(t)

$h\left( t \right) = x\left( t \right) - m\left( t \right)$

(5)

(6) 判断h(t)是否满足IMF条件。若满足，则用h(t)取代x(t)，并重复步骤(2)~(6)，直到经过k次后h(t)满足条件为止；反之，返回步骤(2)。

最后，原始二元数据x(t)可用式(6) 表示：

$x\left( t \right) = \sum\limits_{k = 1}^K {{h_k}} \left( t \right) + {r_k}\left( t \right)$

(6)

其中，K表示IMF的个数，h_k(t)和r(t)分别表示所提取出来的第k个IMF和剩余序列。

2 实证分析 2.1 样本选取

本文选取2001年1月2日至2015年4月7日上证综指(SCI)和恒生指数(HSI)的日收盘价作为样本, 研究沪港股市间的整体和微观相关性。数据来源于雅虎财经网站，排除非共同交易日后，共得到3485组数据，按照r_it=ln (P_it/P_{i, t－1})将日收盘价转换成对数收益率，其中P_it和r_it分别代表第i支股票在t时期的日收盘价和日收益率。日收益率的描述性统计数据见表 3。

从表 3可看出，两种收益率序列的峰度值均远大于3，说明两股市的收益在未来发生剧烈波动的概率相对较高。恒生指数日收益率(r_HSI)序列存在左偏现象，上证综指日收益率r_SCI序列为右偏，且两者均存在严重的厚尾分布；此外两种收益率序列的Jarque-Bera正态性检验都拒绝了服从正态分布的假设，表示其变化属于非线性的动态变化。

2.2 结果与讨论

利用BEMD算法对二元收益率序列进行分解。具体地，将恒生指数和上证综指日收益率序列分别看作复数的实数和虚数部分，从而构造二元时间序列x_t=r_HSI+r_SCIi，然后利用二元EMD算法将其分解成6组具有不同尺度的IMF函数和一组残余序列。其中，通过穷举法选取参数K的取值，由于当K=1, 2, 3…时的结果相同，故为便于研究与分析，以K=6时为例。

分解之后，采用常相关Copula函数和时变Copula函数分别刻画两收益率序列之间和6组IMF函数之间的相关结构，并根据最大似然值(LL)、赤池信息准则(AIC)和贝叶斯信息准则(BIC)选取最优Copula函数。值越小，说明拟合度越高。整体相关性分析结果见表 4和表 5。

从表 4和表 5的结果可以看出，时变SJC Copula函数的LL值最小，表示其对数据的拟合度最好。这进一步说明，此函数能较好地刻画沪港股市间的整体相关结构，即在本研究范围之内两股市间存在非对称非线性的时变相关关系。微观相关性分析结果见表 6~11。

从表 6至表 11的结果可以看出，常相关Clayton Copula函数对每一组IMF分量的拟合度最差，相反时变SJC Copula函数的拟合度最好。这表示时变SJC Copula函数能较好地刻画沪港股市间的微观相关结构，即经EMD分解后，沪港股市在每一层都存在非对称非线性的时变相关关系。

3 结论

(1) 在沪港两股市的整体相关结构和微观相关结构中，所有时变Copula函数基本上均优于常相关Copula函数，说明两市间存在时变的相关关系。

(2) Clayton Copula函数对数据的拟合度最差, 在本文研究范围内上证综指和恒生指数的极小值没有同时发生，说明两者之间不具有下尾相关性，这与Clayton Copula函数只刻画金融市场之间下尾相关性的理论相符。

(3) 时变SJC Copula函数的拟合度最高，说明两股指间存在非对称、非线性的时变相关关系。