近地面大气电场是大气电学研究的重要组成^[1-3]，研究建筑物尖端对大气电场的畸变作用具有实际意义。首先，电晕放电是由建筑物尖端电场畸变产生，其产生的电晕离子可形成厚度达百米的空间电荷层^[4-5]，从而屏蔽了空间电荷对地面的作用，使地面电场测量结果无法真实反映雷暴电荷本身在地面所产生的电场，这对雷电预警以及人工引雷触发时机的选择及触发的成功率均将产生很大影响^[6-7]。其次，从自然界闪电的观测试验中^[8-12]发现，下行闪电的连接先导和上行闪电均多发生于高大建筑物的尖端拐角部分，且发现建筑物高度大于100 m时有上行闪电 (即起始于高大建筑物尖端的地闪) 发生，当高度大于500 m时，所观测到的闪电皆为上行闪电^[13]。这能否说明建筑物尖端随高度的增加对大气电场的畸变作用越强，还有待进一步考证。此外，对于雷电防护机理的研究，也必须考虑建筑物尖端对大气电场的畸变作用。由于以上原因，对于建筑物及其尖端对周围大气电场的畸变影响受到了国内外较多学者的关注^[14-16]，目前研究主要是实地观测与理论计算两种方式。

通过在高层建筑物上放置大气电场仪进行实地观测^[17-20]发现，不同大气背景下，大气电场畸变程度均随高度的增加而增加。由于观测模型数量不足，其观测结果仅能表明畸变随高度的变化趋势，对于具体量化关系以及建筑物宽度等要素的影响尚不明确，又由于目前观测手段对建筑物尖端顶部以及建筑物侧面电场无法进行有效测量，所以需要进行一定的理论计算。通过对建筑物周围大气电场分布情况的模拟研究^[21-25]发现，建筑物对周围大气电场的畸变与建筑物的形状尺寸等关系密切。但这些研究工作主要是针对低矮建筑，且不考虑尖端或突出物对电场畸变的影响。观测发现上行闪电的起始点以及下行闪电的落雷点多为高大建筑物顶的尖端等突出部分，需考虑尖端对周围大气电场的影响。

D’Alessandro^[15]利用有限元法在三维模式下，分析立方体、球体和椎体模型建筑物以及其尖端周围大气电场的畸变情况，通过多次回归以及非线性回归拟合方法分析了畸变系数Ki (观测点畸变后与畸变前的电场强度比) 和建筑物几何特性之间的关系，但未明确给出具体的关系方程，且尚未考虑尖端宽度变化对电场畸变的影响。

本文以高大建筑物及其尖端为研究对象，利用二维五点有限差分法，研究建筑物及其尖端的几何特性对大气电场畸变的影响，给出具有广泛意义的尖端高度和尖端位置与最大电场畸变系数λ_i (畸变后建筑物尖端处最大电场强度E与背景电场E₀的比值) 之间关系的拟合公式。此外，本文将重点研究尖端宽度变化对尖端畸变作用的影响，并给出表明尖端宽度和最大电场畸变系数的拟合方程，以及3个拟合方程中各变量系数与建筑物及其尖端几何特性的关系。

对于解决大气静电学问题通常使用求解满足边界条件的泊松方程的方法^[26]，当无自由电荷存在时，泊松方程可转化为拉普拉斯方程^[27]，本文求解拉普拉斯方程采用二维五点有限差分法。有限差分法是将偏微分方程中的偏导函数用差商形式来表示，将所求电磁场区域中，计算无数多个点的函数值，变为计算有限多个点的函数 (这一过程称为离散化)，求出数值解的方法^[28]。求解五点有限差分方程，本文采用超松弛迭代法^[29]，为了保证迭代过程的收敛，必须满足0＜ω＜2，超松弛法取1＜ω＜2^[30]。但是在1和2之间仍然有很多的取值，如何取值没有统一规定。本文采用折半查找法^[31]，找到不超过指定发散的最大迭代次数的ω值，算法简单，但ω可能不是最优值。

求得每个格点上的电位值, 每个格点上的电场强度E等于电势φ的负梯度^[27]。

对于建立研究建筑物尖端对大气电场的畸变作用的模型，常将其等效为对导体尖端在静电场下对其附近电场畸变作用的研究^[32]。在静电场中，导体表面电场强度的大小与该导体表面电荷面密度成正比，导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关。在导体的带电量及其周围环境相同情况下，导体尖端越尖，曲率越小，面电荷密度越高，其附近场强越强，畸变作用越大^[33]。这些性质同样适用于建筑物尖端对大气电场的畸变研究。

本文设定的区域为1 km×1 km的小区域，分辨率为1 m×1 m。由于本文主要针对的是尖端电场畸变问题，背景电场不是讨论重点，因此将背景电场做简单的均匀假定，大小为130 V/m，方向垂直向下，并认为此区域无自由电荷存在，即自由电荷密度ρ=0。此外，认定建筑物和地面充分接触形成统一的电势为零等势面。关于边界条件^[34], 本文所设定地面、建筑物以及尖端组成的等势面为第一类边界条件 (即狄里赫利边界条件)，其使用条件是物理量在此边界上的值为常数，认定此边界为良导体，此界面上的电势为0。对于建筑物周围的大气边界所采取的是第二类边界条件 (即诺伊曼边界条件)，其使用条件是物理量的法向导数在边界上值为常数。

本文采用的建筑物模型为一个高为H，宽为W的建筑物，并在建筑物的顶端有一个高为h，宽为w的突出部分，距离建筑左边界的水平距离为s(如图 1所示)，其中建筑物的左边界位于计算域的中部，即图 2、图 4和图 7中500 m的位置处。

图 1

图 1. 建筑物模型 Fig 1. Building model

图 2

图 2. 不同尖端高度周围大气电场的电位等值线分布 (单位：kV) (a) 尖端高度为530 m, (b) 尖端高度为230 m Fig 2. Plot of equipotentials around building and tip in different heights under the atmospheric electric field (unit:kV)(a) the height of tip is 530 m, (b) the height of tip is 230 m

图 3

图 3. 不同建筑物宽度条件下最大电场畸变系数 (E/E0) 随尖端高度 (HT) 变化的关系曲线 Fig 3. Variation of E/E0 with HT when the structure width are fixed at 100 m, 50 m and 30 m, respectively

图 4

图 4. 不同尖端宽度周围大气电场的电位等值线分布 (单位：kV) (a) 尖端宽度为1 m, (b) 尖端宽度为30 m Fig 4. Plot of equipotentials around building and tip in different widths under the atmospheric electric field (unit:kV)(a) the width of tip is 1 m, (b) the width of tip is 30 m

图 5

图 5. 地面上 (HT=30 m) 最大电场畸变系数E/E0随尖端宽度w变化的关系曲线 Fig 5. Variation of E/E0 with w when tip on the ground (HT=30 m)

图 6

图 6. 不同高度建筑物条件下最大电场畸变系数E/E0随尖端宽度w变化的关系曲线 Fig 6. Variation of E/E0 with w by buildings with different heights

图 7

图 7. 不同尖端位置周围大气电场的电位等值线分布 (单位：kV) (a) 尖端设置于顶面的左边界上，(b) 尖端设置与顶面的中间部分 Fig 7. Plot of equipotentials around building and tip in different tip locations under the atmospheric electric field (unit:kV) (a) the tip locates at the left edge of the roof, (b) the tip locates at the center of the roof

本文通过不改变建筑物的宽度W(分别取W=100 m，50 m，30 m) 和建筑物尖端的尺寸 (即保持h=30 m，w=10 m不变)，仅仅改变建筑物的高度H (取值范围为20~600 m，每个宽度取19个不同的高度) 来改变尖端的总高度H_T(H_T=H+h)，从而分析畸变系数λ_i和尖端高度H_T的关系。尖端位于建筑物的最左边 (s=0)。由图 2可知，高度为530 m的建筑物尖端周围的电位等值线较230 m高度的等值线密集。等势线越密集说明电位梯度越大，由于电场强度E为电势的负梯度，即电势梯度越大的地方电场强度越大。所以，530 m的尖端处畸变后的大气电场值较230 m畸变电场值大得多。为了进一步研究建筑物尖端高度及其所能畸变的最大大气电场值 (通过本文计算结果可知，最大电场值出现在尖端顶部靠近建筑物边缘的拐角处，其电场强度垂直分量方向向下，水平分量指向尖端拐角外侧，且垂直分量要大于水平分量1个量级) 的相互关系，并希望寻找一个解析方程，本文取不同建筑物高度H进行分析。

通过对数据进行处理分析和线性拟合，图 3为两者关系的拟合曲线。由图 3可知，建筑物尖端的高度H_T和最大电场畸变系数λ_i具有很好的线性增加关系。

拟合方程为

(1)

式 (1) 中，λ_i=E/E₀，常量a＞0，b＞0(如表 1所示)。在0.05显著性水平情况下, 3组拟合的R²(R²为决定系数，R是相关系数，其值在0~1变化。若R²接近1时表明拟合效果好) 皆为1，畸变系数与尖端高度满足线性相关。但对于不同宽度的建筑物，此线性变化的斜率和截距则不一样，宽度越宽拟合方程的斜率越小，截距越大，即畸变系数随高度增长的越慢。

表 1

表 1 不同宽度建筑物λi与HT的拟合方程中常量的取值 Table 1 The constant values of fitting equation of λi and HT by buildings with different widths W/m a b 30 2.3574 0.097 50 2.4849 0.092 100 2.5462 0.090

表 1 不同宽度建筑物λi与HT的拟合方程中常量的取值 Table 1 The constant values of fitting equation of λi and HT by buildings with different widths

图 4a, 4b是高度为530 m，宽度分别为1 m和30 m的尖端或突出物对大气电场畸变的影响。从图形上无法精确判断两者的差别，但是通过对畸变后的最大电场强度值比较可以发现，两者差距较大，前者电场强度值约为1.0×10⁴ V/m，后者约为6.0×10³ V/m。

为进一步研究建筑物尖端宽度对畸变作用的影响，本文对放置在地面以及在高度分别为100 m，300 m，500 m的建筑物上的尖端各进行19组模拟，尖端或突出物宽度1~100 m不等。研究发现，当放置在地面上的尖端或突出物宽度大于25 m时，其宽度的变化对畸变作用的影响非常微弱，这与D’Alessandro^[15]三维模式的研究结果一致。但是当突出物的宽度小于25 m时，其对大气电场的畸变作用开始加强，当宽度小于10 m时，畸变作用明显加强。当宽度小于5 m时，尖端所带来的影响强烈，当宽度从2 m变化为1 m的时候，畸变的电场强度值从9.2×10³ V/m直接增加至1.0×10⁴ V/m以上，此变化D’Alessandro^[15]则未提及。由此可见, 当突出物变化成尖端时，其宽度的变化对畸变作用的影响尤为显著。

通过对尖端放置在地面上的模拟结果统计分析 (如图 5所示)，黑色小方块为模拟结果，经过指数拟合得出畸变后的最大电场强度随建筑物尖端或突出物的宽度的变化关系。

当尖端置于建筑物顶时，其畸变系数的变化情况如图 6所示。其变化曲线与放置在地面的尖端畸变系数变化类似，但是当尖端拐角距离建筑物右边界很近时，则出现轻微增加的趋势，在此则假设其受到建筑物拐角对大气电场畸变的影响，此畸变系数的增加为尖端畸变和建筑物拐角畸变的叠加作用。

通过对上述4种情况计算得到的λ_i进行拟合，对于放置在建筑物顶的尖端取w≤50 m的部分进行拟合，得出如下指数形式的拟合方程

(2)

式 (2) 中，λ_i=E/E₀，常量a＞0，t＞0，b＞0(如表 2所示)。由表 2可见，a，b随高度的增加而增加，t则随高度的增加而减小，即建筑物越高其畸变系数随宽度变化越快。4个拟合方程的R²皆大于0.98，说明相关程度高 (达到0.05显著性水平)。

表 2

表 2 不同高度建筑物λi与w的拟合方程中常量的取值 Table 2 The constant values of fitting equation of λi and w by buildings with different heights H/m a t b R2 0 3.10802 4.62834 4.75243 0.988 100 10.63255 4.54626 12.74505 0.989 300 25.55048 4.46437 28.78252 0.990 500 40.37338 3.89759 46.42381 0.995

表 2 不同高度建筑物λi与w的拟合方程中常量的取值 Table 2 The constant values of fitting equation of λi and w by buildings with different heights

上述模拟研究以及数据分析表明，尖端宽度对畸变作用的影响在宽度较小的情况下表现突出。尖端越细，其对大气电场的畸变作用越强；尤其是建筑物越高，畸变系数受到尖端宽度的影响越大。所以务必考虑建筑物尖端宽度对畸变作用的影响，以更为精细的分辨率来讨论实际的尖端效应。

下面分析建筑物高宽比分别为5:1和3:1(其中宽度为100 m) 时，在建筑物的顶部设置一个高为30 m，宽度为1 m的尖端，其最大电场畸变系数随尖端位置的变化情况。

通过模拟计算，得出不同尖端位置周围的大气电场等势线的分布情况 (图 7)。通过对计算结果的统计分析发现，建筑物尖端位置和最大电场畸变系数呈一个开口向上的抛物线形势 (图 8)。由此可见，建筑物尖端在建筑物边缘处畸变作用最强，在中心点畸变作用最小。

图 8

图 8. 不同高度建筑物条件下最大电场畸变系数E/E0随尖端位置s变化的关系曲线 Fig 8. Variation of E/E0 with tip location by buildings with different heights of the structure

通过多项式拟合分析，得出二次函数形式的拟合方程

(3)

式 (3) 中，λ_i=E/E₀，常量a，b，c的取值如表 3所示。由表 3可见，a＞0，c＞0，且随高度的增加而增加；b＜0，且随高度的增加而减小。两个拟合方程的R²皆大于0.98，达到0.05的显著性水平。由二次函数性质可知，a越大图形开口越小，说明高度越高，畸变系数从边缘到中间减小的越快。

表 3

表 3 不同高度建筑物下λi与s拟合方程中常量取值 Table 3 The constant values of fitting equation of λi and s by buildings with different heights H/m a b c R2 500 0.00228 -0.22207 78.69342 0.983 300 0.00137 -0.13339 50.20669 0.982

表 3 不同高度建筑物下λi与s拟合方程中常量取值 Table 3 The constant values of fitting equation of λi and s by buildings with different heights

综上所述，尖端的畸变作用，在建筑物的边缘或拐角表现得更加明显，在建筑物顶的中心位置畸变作用最小。对于具体的畸变程度，需要对不同的建筑物进行不同分析。建筑物越高，最大电场畸变系数值越大，此畸变系数随尖端位置从建筑物顶边缘到中间减小的速度越快。

综上所述，建筑物的形状、高度、尖端的位置对于大气电场的畸变作用都有一定的影响，对其进行定性和定量分析得得尖端几何特性与电场畸变系数之间关系的拟合方程。对于最大电场畸变系数来说, 得到以下结论:

1) 尖端顶部的最大电场畸变系数与尖端高度呈线性增加关系。但不同宽度的建筑物，此线性变化的斜率和截距则不一样，且宽度越宽，变化斜率越小，截距越大，表明畸变系数增长越慢。

2) 尖端顶部的最大电场畸变系数和尖端位置呈二次多项式的变化关系。建筑物或者建筑尖端的畸变作用，从中间至两边对称增加。建筑物越高其畸变系数越大，且畸变系数随位置的不同变化也越明显，从建筑物顶边缘到中间其减小速度越快。

3) 尖端顶部的最大电场畸变系数和尖端宽度呈指数递减关系，在建筑物尖端或突出物宽度大于25 m的时候，其宽度的变化对畸变作用的影响较弱，当小于5 m时，尖端所带来的影响强烈。所以尖端宽度越小畸变作用越明显，且建筑物越高，其畸变系数受宽度变化的影响越大。

通过3个拟合方程可以发现，建筑物高度越高、宽度越小对电场的畸变作用越强。导致此变化特征的物理原因可以概括为在均匀电场里，由于建筑物的介入，使原本平整的零位势面随着建筑物表面发生形变 (地面以及与地面接触的建筑体为等势体，其表面位势始终为零)，而零等势面的形变导致其他值的等势面随之变化：尖端越高越细，等势面的形变越尖锐，尖端附近等势面也越密集，所对应的电位梯度越大，从而导致其尖端处的电场畸变越显著。在建筑物顶端没有明显尖端的情况下，其畸变作用主要是受建筑物高度的影响比较显著; 对于安装了避雷针或者建筑屋顶具有较为明显的突出尖端时，则需要综合考虑建筑物的高度，尖端的宽度以及位置所能带来的畸变对大气电场的影响。从对尖端宽度研究不难发现，尖端越细，其对大气电场的畸变作用越强，考虑建筑物尖端宽度对畸变作用的影响，以更为精细的分辨率来讨论实际的尖端效应，也是下一步研究的重点。