广义系统是比正常系统更一般的动力系统，有着广泛的应用背景。广义系统大量出现在电力系统、能源系统、经济系统、宇航系统和化学过程等描述中^[1-4]，这是因为实际应用中，广义系统较一般系统可以用来描述系统更多的性能特征。随着科学研究的深入，广义系统被学术界广泛关注，广义离散时间系统理论已有了丰富的研究成果^[5-7]．

对于正常系统，反馈控制的研究已经趋于完善。但对于广义系统来说，脉冲的存在可能引起系统不能正常运行甚至导致系统的损坏，这就需要所设计的控制器不仅要保证闭环系统是稳定的，而且是要正则化和因果的(连续系统无脉冲)，即容许性。而P-D反馈控制在这方面发挥了很大的作用，它是消除脉冲的一个很有效途径，相关研究已取得了一些成果^[8-14]。但由于P-D反馈控制器在实际处理时的负面影响，很难使闭环系统达到稳定。然而随着先进的生产设备和计算机的迅速发展，大大降低了这种负面影响，使得P-D反馈具有很高的理论意义和工程实际应用价值。

本文针对广义离散系统设计出一种简单的P-D反馈控制器，突破了文献[13]中输出反馈控制器的局限性，使闭环系统更容易达到稳定，并消除了脉冲。

1 预备知识及问题描述

考虑如下的广义离散时间系统：

$ {\boldsymbol{Ex}}\left( {k + 1} \right) = {\boldsymbol{Ax}}\left( k \right) + {\boldsymbol{Bu}}(k) $

(1)

式中： $ {\boldsymbol{x}}(k) \in {{\boldsymbol{R}}^n} $ 为状态向量； $ {\boldsymbol{u}}(k) \in {{\boldsymbol{R}}^r} $ 为输入向量； $ {\boldsymbol{E}} $ 、 $ {\boldsymbol{A}} $ 、 ${\boldsymbol{B}}$ 为具有适当维数的常数矩阵； $ {\boldsymbol{E }}$ 为奇异矩阵，满足 $ {\text{rank(}}{\boldsymbol{E}}{\text{)}} < n $ 。

定义1^[15] 　若存在复数 $ {s_0} $ ，使得 $ \det ({s_0}{\boldsymbol{E}} - {\boldsymbol{A}}) \ne 0 $ ，那么称式(1) 广义离散时间系统是正则的。

本文假定广义离散时间系统是正则且能稳定的。

定义2^[15] 　若对任意复数 $ z $ 满足 $ \deg \det (z{\boldsymbol{E}} - {\boldsymbol{A}}) = $ $ {\text{rank}}({\boldsymbol{E}}) $ ，则称广义离散系统是因果的。

定义3^[15] 　如果式(1)正则广义离散时间系统是因果且稳定的，则称系统是容许的。

定义4^[15] 　如果存在P-D反馈，使闭环系统成为正常系统，则称广义离散系统是能正常化的。

下面给出本文需要用到的相关引理。

引理1^[15] 　式(1)广义离散系统是容许的充要条件为：存在对称矩阵 $ {\boldsymbol{X}} \in {{\boldsymbol{R}}^{n \times n}} $ 满足如下广义Lyapunov不等式：

$ \left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{E}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{XE}} \geqslant 0 \hfill \\ {{\boldsymbol{A}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{XA}} - {{\boldsymbol{E}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{XE}} < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $

引理2^[16] 　对于正常系统 $ {\boldsymbol{x}}(k + 1) = {\boldsymbol{Ax}}(k) + {\boldsymbol{Bu}}(k) $ ，设性能指标函数为

$ {\boldsymbol{J}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left[ {{{\boldsymbol{x}}^{\text{T}}}(k){\boldsymbol{Qx}}(k) + {{\boldsymbol{u}}^{\text{T}}}(k){\boldsymbol{Ru}}(k)} \right]} $

式中： $ {\boldsymbol{Q}} $ 为对称半正定矩阵， $ {\boldsymbol{R}} $ 为对称正定矩阵。系统满足 $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol A}&{\boldsymbol B} \end{array}} \right] $ 能稳定， $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol A}&{{{\boldsymbol Q}^{1/2}}} \end{array}} \right] $ 能检测，则最优状态反馈控制器为

$ {\boldsymbol{u}}(k) = - {\left( {{\boldsymbol{R}} + {{\boldsymbol{B}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{PB}}} \right)^{ - 1}}{{\boldsymbol{B}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{PAx}}(k) $

其中 ${\boldsymbol{ P}} $ 为黎卡提方程

$ {\boldsymbol{P}} = {\boldsymbol{Q}} + {{\boldsymbol{A}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{PA}} - {{\boldsymbol{A}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{PB}}{\left( {{\boldsymbol{R}} + {{\boldsymbol{B}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{PB}}} \right)^{ - 1}}{{\boldsymbol{B}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{PA}} $

的对称半正定解.

引理3^[15] 　式(1)广义离散系统是因果的充要条件为

$ {\text{rank}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{E}}&0 \\ {\boldsymbol{A}}&{\boldsymbol{E}} \end{array}} \right] = n + {\text{rank}}({\boldsymbol{E}}) $

引理4^[15] 　式(1)广义离散系统是稳定的充要条件为：它的有限极点集合 $ \sigma \left( {{\boldsymbol{E,A}}} \right) $ 是在复平面的单位圆内（用 $ \Omega \left( {0,1} \right) $ 表示）。

引理5^[15] 　式(1)广义离散系统能稳定的充要条件为

$ {\text{rank}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {s{\boldsymbol{E}} - {\boldsymbol{A}}}&{\boldsymbol{B}} \end{array}} \right] = n,\quad \forall s \in C,\left| s \right| \geqslant 1 $

引理6^[15] 　P-D反馈保持了广义系统的能稳定性。

为了研究的需要，我们要对系统进行正常化的分解。所谓正常化分解，就是通过线性变换将原系统分解为2个子系统，其中1个子系统是能正常化的，即转化为正常系统，具体过程如下。

考虑式（1）广义离散系统：

1）若系统是正则的，则一定存在非奇异矩阵 $ {{\boldsymbol{Q}}_1} $ 、 $ {{\boldsymbol{P}}_1} $ ，使得

$ \left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{Q}}_1}{\boldsymbol{E}}{{\boldsymbol{P}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{I}}_q}}&{} \\ {}&{\boldsymbol{N}} \end{array}} \right] \hfill \\ {{\boldsymbol{Q}}_1}{\boldsymbol{A}}{{\boldsymbol{P}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde {\boldsymbol{A}}}_1}}&{} \\ {}&{{{\boldsymbol{I}}_{n - q}}} \end{array}} \right] \hfill \\ {{\boldsymbol{Q}}_1}{\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde {\boldsymbol{B}}}_1}} \\ {{{\tilde {\boldsymbol{B}}}_2}} \end{array}} \right] \hfill \\ {\boldsymbol{x}}\left( k \right) = {{\boldsymbol{P}}_1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde {\boldsymbol{x}}}_1}(k)} \\ {{{\tilde {\boldsymbol{x}}}_2}(k)} \end{array}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right. $

式中： $ {\boldsymbol{N}} $ 为幂零矩阵， $ {\tilde {\boldsymbol{x}}_1}(k) \in {{\boldsymbol{R}}^q},{\tilde {\boldsymbol{x}}_2}(k) \in {{\boldsymbol{R}}^{n - q}} $ 。那么，式(1)广义离散系统将改写为

$ \left\{ \begin{gathered} {{\tilde {\boldsymbol{x}}}_1}(k + 1) = {{\tilde {\boldsymbol{A}}}_1}{{\tilde {\boldsymbol{x}}}_1}(k) + {{\tilde {\boldsymbol{B}}}_1}{\boldsymbol{u}}(k) \hfill \\ N{{\tilde {\boldsymbol{x}}}_2}(k + 1) = {{\tilde {\boldsymbol{x}}}_2}(k) + {{\tilde {\boldsymbol{B}}}_2}{\boldsymbol{u}}(k) \hfill \\ \end{gathered} \right. $

(2)

2）对式(2)中的 $ {\boldsymbol{N}}{\tilde {\boldsymbol{x}}_2}(k + 1) = {\tilde {\boldsymbol{x}}_2}(k) + {\tilde {\boldsymbol{B}}_2}{\boldsymbol{u}}(k) $ 进行能控性分解，即存在非奇异矩阵T，使得

$ \left\{ \begin{gathered} {\boldsymbol{TN}}{{\boldsymbol{T}}^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{N}}_{11}}}&{{{\boldsymbol{N}}_{12}}} \\ 0&{{{\boldsymbol{N}}_{22}}} \end{array}} \right] \hfill \\ {\boldsymbol{T}}{{\tilde {\boldsymbol{B}}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{B}}_{21}}} \\ 0 \end{array}} \right] \hfill \\ {{\tilde {\boldsymbol{x}}}_2}\left( k \right) = {{\boldsymbol{T}}^{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde {\boldsymbol{x}}}_{21}}\left( k \right)} \\ {{{\tilde {\boldsymbol{x}}}_{22}}\left( k \right)} \end{array}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right. $

式中： $ {{\boldsymbol{N}}_{11}} $ 、 $ {{\boldsymbol{B}}_{21}} $ 是能控的； $ {{\boldsymbol{N}}_{11}} $ 、 $ {{\boldsymbol{N}}_{22}} $ 均是幂零矩阵，且 $ {\tilde {\boldsymbol{x}}_{21}}\left( k \right) \in {{\boldsymbol{R}}^{{r_1}}},{\tilde {\boldsymbol{x}}_{22}}\left( k \right) \in {{\boldsymbol{R}}^{{r_2}}},{r_1} + {r_2} = n - q $ ； ${\tilde {\boldsymbol{x}}_1}(k) \in {{\boldsymbol{R}}^q}, $ $ {\tilde {\boldsymbol{x}}_2}(k) \in {{\boldsymbol{R}}^{n - q}} $ 。

则式（2）改写为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{N}}_{11}}}&{{{\boldsymbol{N}}_{12}}} \\ 0&{{{\boldsymbol{N}}_{22}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde {\boldsymbol{x}}}_{21}}\left( {k + 1} \right)} \\ {{{\tilde {\boldsymbol{x}}}_{22}}\left( {k + 1} \right)} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde {\boldsymbol{x}}}_{21}}\left( k \right)} \\ {{{\tilde {\boldsymbol{x}}}_{22}}\left( k \right)} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{B}}_{21}}} \\ 0 \end{array}} \right]{\boldsymbol{u}}\left( k \right) $

(3)

令 ${{\boldsymbol x}_1}\left( k \right) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde {\boldsymbol x}}_1}^{\text{T}}\left( k \right)}&{{{\tilde {\boldsymbol x}}_{21}}^{\text{T}}\left( k \right)} \end{array}} \right]^{\text{T}}}$ ， $ {{\boldsymbol x}_2}\left( k \right) = {\tilde {\boldsymbol x}_{22}}\left( k \right) $ ， $ {\boldsymbol Q} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol I}_q}}&{} \\ {}&{\boldsymbol T} \end{array}} \right],{\boldsymbol P} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol I}_q}}&{} \\ {}&{{{\boldsymbol T}^{ - 1}}} \end{array}} \right] $ ，则

$ \left\{ \begin{gathered} {\boldsymbol{QEP}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{E}}_{11}}}&{{{\boldsymbol{E}}_{12}}} \\ 0&{{{\boldsymbol{E}}_{22}}} \end{array}} \right] \hfill \\ {\boldsymbol{QAP}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{A}}_1}}&{} \\ {}&{\boldsymbol{I}} \end{array}} \right] \hfill \\ {\boldsymbol{QB}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{B}}_1}} \\ 0 \end{array}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right. $

式(2)可改写为

$ \begin{split} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{E}}_{11}}}&{{{\boldsymbol{E}}_{12}}} \\ 0&{{{\boldsymbol{E}}_{22}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{x}}_1}(k + 1)} \\ {{{\boldsymbol{x}}_2}(k + 1)} \end{array}} \right] =\quad\;\\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{A}}_1}}&{} \\ {}&{\boldsymbol{I}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{x}}_1}(k)} \\ {{{\boldsymbol{x}}_2}(k)} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{B}}_1}} \\ 0 \end{array}} \right]{\boldsymbol{u}}(k) \end{split} $

即

$ \left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{E}}_{11}}{{\boldsymbol{x}}_1}(k + 1) + {{\boldsymbol{E}}_{12}}{{\boldsymbol{x}}_2}(k + 1) = {{\boldsymbol{A}}_1}{{\boldsymbol{x}}_1}(k) + {{\boldsymbol{B}}_1}{\boldsymbol{u}}(k) \hfill \\ {{\boldsymbol{E}}_{22}}{{\boldsymbol{x}}_2}(k + 1) = {{\boldsymbol{x}}_2}(k) \hfill \\ \end{gathered} \right. $

(4)

式中： ${{\boldsymbol{E}}_{11}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{I}}_q}}&{} \\ {}&{{{\boldsymbol{N}}_{11}}} \end{array}} \right]$ ， ${{\boldsymbol{E}}_{12}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {{{\boldsymbol{N}}_{12}}} \end{array}} \right]$ ， ${{\boldsymbol{E}}_{22}} = {{\boldsymbol{N}}_{22}}$ ， ${{\boldsymbol{A}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde {\boldsymbol{A}}}_1}}&{} \\ {}&{{{\boldsymbol{I}}_{{r_1}}}} \end{array}} \right]$ ， ${{\boldsymbol{B}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde {\boldsymbol{B}}}_1}} \\ {{{\boldsymbol{B}}_{21}}} \end{array}} \right]$ 。

正文中已经得到 $ {x_2}\left( k \right) = 0 $ ，则式(4)可改写为

$ {{\boldsymbol{E}}_{11}}{{\boldsymbol{x}}_1}\left( {k + 1} \right) = {{\boldsymbol{A}}_1}{{\boldsymbol{x}}_1}\left( k \right) + {{\boldsymbol{B}}_1}{\boldsymbol{u}}\left( k \right) $

(5)

下面证明若原式(1)广义离散系统是能稳定的，则式(5)是能稳定的。由引理5，我们只需证明 $\forall s \in C，\left| s \right| \geqslant 1$ ， $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {s{{\boldsymbol E}_{11}} - {{\boldsymbol A}_1}}&{{{\boldsymbol B}_1}} \end{array}} \right] $ 行满秩，其中

$ \begin{gathered} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {s{{\boldsymbol{E}}_{11}} - {{\boldsymbol{A}}_1}}&{{{\boldsymbol{B}}_1}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {s{{\boldsymbol{I}}_q} - {{\tilde {\boldsymbol{A}}}_1}}&0&{{{\tilde {\boldsymbol{B}}}_1}} \\ 0&{s{{\boldsymbol{N}}_{11}} - {{\boldsymbol{I}}_{{r_1}}}}&{{{\boldsymbol{B}}_{21}}} \end{array}} \right] = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{s{{\boldsymbol{I}}_q} - {{\tilde {\boldsymbol{A}}}_1}}&{{{\tilde {\boldsymbol{B}}}_1}} \\ {s{{\boldsymbol{N}}_{11}} - {{\boldsymbol{I}}_{{r_1}}}}&0&{{{\boldsymbol{B}}_{21}}} \end{array}} \right] = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {s{{\boldsymbol{N}}_{11}} - {{\boldsymbol{I}}_{{r_1}}}}&0&{{{\boldsymbol{B}}_{21}}} \\ 0&{s{{\boldsymbol{I}}_q} - {{\tilde {\boldsymbol{A}}}_1}}&{{{\tilde {\boldsymbol{B}}}_1}} \end{array}} \right] \\ \end{gathered} $

首先 $ {{\boldsymbol{N}}_{11}} $ 是幂零矩阵，则 $ s{{\boldsymbol{N}}_{11}} - {{\boldsymbol{I}}_{{r_1}}} $ 是行满秩的；原系统是能稳定的，则

$ \begin{gathered} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {s{\boldsymbol{E}} - {\boldsymbol{A}}}&{\boldsymbol{B}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {s{{\boldsymbol{Q}}_1}{\boldsymbol{E}}{{\boldsymbol{P}}_1} - {{\boldsymbol{Q}}_1}{\boldsymbol{A}}{{\boldsymbol{P}}_1}}&{{{\boldsymbol{Q}}_1}{\boldsymbol{B}}} \end{array}} \right] = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {s{{\boldsymbol{I}}_q} - {{\tilde {\boldsymbol{A}}}_1}}&0&{{{\tilde {\boldsymbol{B}}}_1}} \\ 0&{s{\boldsymbol{N}} - {{\boldsymbol{I}}_{n - q}}}&{{{\tilde {\boldsymbol{B}}}_2}} \end{array}} \right] \\ \end{gathered} $

行满秩且有 $ {\boldsymbol{N}} $ 为幂零矩阵，则 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {s{\boldsymbol{N}} - {{\boldsymbol{I}}_{n - q}}}&{{{\tilde {\boldsymbol{B}}}_2}} \end{array}} \right]$ 行满秩，所以得到 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {s{{\boldsymbol{I}}_q} - {{\tilde {\boldsymbol{A}}}_1}}&{{{\tilde {\boldsymbol{B}}}_1}} \end{array}} \right]$ 是行满秩的。

综上， $ \forall s \in C,\left| s \right| \geqslant 1 $ ， $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {s{{\boldsymbol{E}}_{11}} - {{\boldsymbol{A}}_1}}&{{{\boldsymbol{B}}_1}} \end{array}} \right]$ 行满秩，式(5)是能稳定的，得证。

将式(1)广义离散系统进行正常化分解得

$ \left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{E}}_{11}}{{\boldsymbol{x}}_1}\left( {k + 1} \right) + {{\boldsymbol{E}}_{12}}{{\boldsymbol{x}}_2}\left( {k + 1} \right) = {{\boldsymbol{A}}_1}{{\boldsymbol{x}}_1}\left( k \right) + {{\boldsymbol{B}}_1}{\boldsymbol{u}}\left( k \right) \hfill \\ {{\boldsymbol{E}}_{22}}{{\boldsymbol{x}}_2}\left( {k + 1} \right) = {{\boldsymbol{x}}_2}\left( k \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. $

(6)

式中： ${\boldsymbol{QEP}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{E}}_{11}}}&{{{\boldsymbol{E}}_{12}}} \\ 0&{{{\boldsymbol{E}}_{22}}} \end{array}} \right]$ ； ${\boldsymbol{QAP}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{A}}_1}}&0 \\ 0&{\boldsymbol{I}} \end{array}} \right]$ ； ${\boldsymbol{QB}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{B}}_1}} \\ 0 \end{array}} \right]$ ； ${{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}{\boldsymbol{x}}\left( k \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{x}}_1}\left( k \right)} \\ {{{\boldsymbol{x}}_2}\left( k \right)} \end{array}} \right]$ ； $\left( {{{\boldsymbol{E}}_{11}},{{\boldsymbol{A}}_1},{{\boldsymbol{B}}_1}} \right)$ 是能稳定且能正常化的； $ {{\boldsymbol{E}}_{22}} $ 是幂零矩阵，满足 $ {{\boldsymbol{E}}_{22}}^{h - 1} \ne 0 $ ， $ {{\boldsymbol{E}}_{22}}^h = 0 $ ，即幂零指数为h；而且 $ {{\boldsymbol{x}}_1}\left( k \right) \in {{\boldsymbol{R}}^{{n_1}}} $ ， $ {{\boldsymbol{x}}_2}\left( k \right) \in {{\boldsymbol{R}}^{{n_2}}} $ ， $ {n_1} + {n_2} = n $ 。

由式(6)中 $ {{\boldsymbol{E}}_{22}}{{\boldsymbol{x}}_2}\left( {k + 1} \right) = {{\boldsymbol{x}}_2}\left( k \right) $ 得：

$ \left\{ \begin{aligned} & {{\boldsymbol{x}}_2}\left( k \right) = {{\boldsymbol{E}}_{22}}{{\boldsymbol{x}}_2}\left( {k + 1} \right) \\ & {{\boldsymbol{E}}_{22}}{{\boldsymbol{x}}_2}\left( {k + 1} \right) = {{\boldsymbol{E}}_{22}}^2{{\boldsymbol{x}}_2}\left( {k + 2} \right) \\ & {{\boldsymbol{E}}_{22}}^2{{\boldsymbol{x}}_2}\left( {k + 2} \right) = {{\boldsymbol{E}}_{22}}^3{{\boldsymbol{x}}_2}\left( {k + 3} \right) \\ & \qquad\quad \vdots \\ & {{\boldsymbol{E}}_{22}}^{h - 1}{{\boldsymbol{x}}_2}\left( {k + h - 1} \right) = {{\boldsymbol{E}}_{22}}^h{{\boldsymbol{x}}_2}\left( {k + h} \right) \end{aligned} \right. $

(7)

将式（7）左右分别相加并相消得：

$ {{\boldsymbol{x}}_2}\left( k \right) = {{\boldsymbol{E}}_{22}}^h{{\boldsymbol{x}}_2}\left( {k + h} \right) = 0 $

所以式(6)可改写为

$ {{\boldsymbol{E}}_{11}}{{\boldsymbol{x}}_1}(k + 1) = {{\boldsymbol{A}}_1}{{\boldsymbol{x}}_1}(k) + {{\boldsymbol{B}}_1}{\boldsymbol{u}}(k) $

(8)

由于式(8)是能正常化的，则一定存在P-D反馈：

$ {\boldsymbol{u}}(k) = {{\boldsymbol{K}}_1}{{\boldsymbol{x}}_1}(k) - {{\boldsymbol{K}}_2}{{\boldsymbol{x}}_1}(k + 1) + {\boldsymbol{v}}(k) $

(9)

使得闭环系统

$ \left( {{{\boldsymbol{E}}_{11}} + {{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2}} \right){{\boldsymbol{x}}_1}(k + 1) = \left( {{{\boldsymbol{A}}_1} + {{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_1}} \right){{\boldsymbol{x}}_1}(k) + {{\boldsymbol{B}}_1}{\boldsymbol{v}}(k) $

(10)

成为正常系统。

我们选择一个合适的 $ {K_2} $ 使得

$ \det \left( {{{\boldsymbol{E}}_{11}} + {{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2}} \right) \ne 0 $

2 P-D反馈控制器的设计

本文的主要研究工作是设计一个P-D反馈控制器，使得闭环系统是容许的。首先对原系统进行正常化分解，得到的子系统是能正常化的。在此基础上，设计了一个P-D反馈控制器。为了获得控制器存在的充分条件，有如下定理。

定理 1 　对于式(8)，若存在P-D反馈控制器式(9)，使得闭环系统式(10)是容许的，条件是存在一个对称正定矩阵Y，合适维数的矩阵Z满足线性矩阵不等式（11）：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{M}}&{{{\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}}} \\ {\boldsymbol{Z}}&{ - {\boldsymbol{Y}}} \end{array}} \right] < 0 $

(11)

式中：

$ \begin{array}{*{20}{c}} & {\boldsymbol{M}} = {{\boldsymbol{A}}_1}^T{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{A}}_1} + {{\boldsymbol{A}}_1}^T{\boldsymbol{Z}} + {{\boldsymbol{Z}}^T}{{\boldsymbol{A}}_1} - {{\boldsymbol{E}}_{11}}^T{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{E}}_{11}} - \hfill \\ & {{\boldsymbol{E}}_{11}}^T{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2} - {{\boldsymbol{K}}_2}^T{{\boldsymbol{B}}_1}^T{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{E}}_{11}} - {{\boldsymbol{K}}_2}^T{{\boldsymbol{B}}_1}^T{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2} \hfill \\ & {\boldsymbol{Z}} = {\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_1} \end{array} $

证明: 由于 $ \det \left( {{{\boldsymbol{E}}_{11}} + {{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2}} \right) \ne 0 $ ，则 $ {{\boldsymbol{E}}_{11}} + {{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2} $ 可逆，显然满足引理1中的 $ {{\boldsymbol{E}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{XE}} \geqslant 0 $ ，即 $ {\left( {{{\boldsymbol{E}}_{11}} + {{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2}} \right)^{\text{T}}} $ $ {\boldsymbol{Y}}\left( {{{\boldsymbol{E}}_{11}} + {{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2}} \right) \geqslant 0 $ ，又有

$ \begin{array}{c} {\left( {{{\boldsymbol{A}}_1} + {{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_1}} \right)^{\text{T}}}{\boldsymbol{Y}}\left( {{{\boldsymbol{A}}_1} + {{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_1}} \right) - \\ {\left( {{{\boldsymbol{E}}_{11}} + {{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2}} \right)^{\text{T}}}{\boldsymbol{Y}}\left( {{{\boldsymbol{E}}_{11}} + {{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2}} \right) = \\ {{\boldsymbol{A}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{A}}_1} + {{\boldsymbol{A}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_1} + {{\boldsymbol{K}}_1}^{\text{T}}{{\boldsymbol{B}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{A}}_1} + \\ {{\boldsymbol{K}}_1}^{\text{T}}{{\boldsymbol{B}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_1} - {{\boldsymbol{E}}_{11}}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{E}}_{11}} - {{\boldsymbol{E}}_{11}}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2} - \\ {{\boldsymbol{K}}_2}^{\text{T}}{{\boldsymbol{B}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{E}}_{11}} - {{\boldsymbol{K}}_2}^{\text{T}}{{\boldsymbol{B}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2} < 0 \end{array} $

(12)

令

$ {\boldsymbol{Z}} = {\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_1} $

(13)

式(12)将改写为

$ \begin{array}{c} {{\boldsymbol{A}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{A}}_1} + {{\boldsymbol{A}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{Z}} + {{\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{A}}_1} + {{\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{Y}}^{ - 1}}{\boldsymbol{Z}} - {{\boldsymbol{E}}_{11}}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{E}}_{11}} - \hfill \\ {{\boldsymbol{E}}_{11}}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2} - {{\boldsymbol{K}}_2}^{\text{T}}{{\boldsymbol{B}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{E}}_{11}} - {{\boldsymbol{K}}_2}^{\text{T}}{{\boldsymbol{B}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2} < 0 \hfill \\ \end{array} $

(14)

利用schur补引理^[16]，我们可以将式(14)转化为线性矩阵不等式（11），其中：

$ \begin{array}{c} {\boldsymbol{M}} = {{\boldsymbol{A}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{A}}_1} + {{\boldsymbol{A}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{Z}} + {{\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{A}}_1} - {{\boldsymbol{E}}_{11}}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{E}}_{11}} - \hfill \\ {{\boldsymbol{E}}_{11}}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2} - {{\boldsymbol{K}}_2}^{\text{T}}{{\boldsymbol{B}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{E}}_{11}} - {{\boldsymbol{K}}_2}^{\text{T}}{{\boldsymbol{B}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2} \end{array} $

证毕。

通过Matlab求解式(11)，可以求得Y、Z的值^[17]。

接下来利用式(13)和Y、Z的值来求得 $ {{\boldsymbol{K}}_1} $ 的值，这就需要利用广义逆的理论^[18]。

由式(13)可得

$ {{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_1} = {{\boldsymbol{Y}}^{ - 1}}{\boldsymbol{Z}} $

(15)

下面我们利用广义逆的知识来求得 $ {{\boldsymbol{K}}_1} $ 的值，先将 $ {{\boldsymbol{B}}_1} $ 进行满秩分解，记为 $ {{\boldsymbol{B}}_1} = {\boldsymbol{MN}} $ ，其中 $ {\boldsymbol{M}} $ 列满秩， $ {\boldsymbol{N}} $ 行满秩。若式(15)有解，则 ${{\boldsymbol{K}}_1} = {{\boldsymbol{N}}^{\text{T}}}{\left( {{\boldsymbol{N}}{{\boldsymbol{N}}^{\text{T}}}} \right)^{ - 1}} $ $ {\left( {{{\boldsymbol{M}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{M}}} \right)^{ - 1}}{{\boldsymbol{M}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{Y}}^{ - 1}}{\boldsymbol{Z}}$ 是式(14)的极小范数解；若式(15)无解，则 ${{\boldsymbol{K}}_1} = {{\boldsymbol{N}}^{\text{T}}}{\left( {{\boldsymbol{N}}{{\boldsymbol{N}}^{\text{T}}}} \right)^{ - 1}}{\left( {{{\boldsymbol{M}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{M}}} \right)^{ - 1}}{{\boldsymbol{M}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{Y}}^{ - 1}}{\boldsymbol{Z}}$ 是式(11)的极小范数最小二乘解，也称最佳逼近解，需要进一步验证式(11)。

对于式(10)，我们可以将其变形为正常系统：

$ {{\boldsymbol{x}}_1}\left( {k + 1} \right) = {\bar {\boldsymbol{A}}_1}{{\boldsymbol{x}}_1}\left( k \right) + {\bar {\boldsymbol{B}}_1}{\boldsymbol{v}}\left( k \right) $

(16)

式中： $ {\bar {\boldsymbol{A}}_1} = {\left( {{{\boldsymbol{E}}_{11}} + {{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2}} \right)^{ - 1}}\left( {{{\boldsymbol{A}}_1} + {{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_1}} \right) $ ， $ {\bar {\boldsymbol{B}}_1} = ( {{\boldsymbol{E}}_{11}} + $ $ {{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2} )^{ - 1}{{\boldsymbol{B}}_1} $ 。

对于式(16)，定义性能指标函数为

$ {\boldsymbol{J}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left[ {{{\boldsymbol{x}}_1}^{\text{T}}\left( k \right){\boldsymbol{F}}{{\boldsymbol{x}}_1}\left( k \right) + {{\boldsymbol{v}}^{\text{T}}}\left( k \right){\boldsymbol{Gv}}\left( k \right)} \right]} $

(17)

式中： $ {\boldsymbol{F}} $ 为对称半正定矩阵； $ {\boldsymbol{G}} $ 为对称正定矩阵，且满足 $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bar {\boldsymbol A}}_1}}&{{{\boldsymbol F}^{1/2}}} \end{array}} \right] $ 能检测。

再由正常化分解的方法以及引理5和引理6，可以得到式(16)是稳定的。运用引理2，就可以得到式(16)的状态反馈控制器为

$ {\boldsymbol{v}}\left( k \right) = - {\left( {{\boldsymbol{G}} + {{\bar {\boldsymbol{B}}}_1}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_1}{{\bar {\boldsymbol{B}}}_1}} \right)^{ - 1}}{\bar {\boldsymbol{B}}_1}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_1}{\bar {\boldsymbol{A}}_1}{{\boldsymbol{x}}_1}\left( k \right) $

(18)

并使得闭环系统是稳定的。其中 ${{\boldsymbol{P}}_1}$ 是代数黎卡提方程的对称半正定解：

$ {{\boldsymbol{P}}_1} = {\boldsymbol{F}} + {\bar {\boldsymbol{A}}_1}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_1}{\bar {\boldsymbol{A}}_1} - {\bar {\boldsymbol{A}}_1}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_1}{\bar {\boldsymbol{B}}_1}{\left( {{\boldsymbol{G}} + {{\bar {\boldsymbol{B}}}_1}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_1}{{\bar {\boldsymbol{B}}}_1}} \right)^{ - 1}}{\bar {\boldsymbol{B}}_1}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_1}{\bar {\boldsymbol{A}}_1} $

由此，将式(18)代入P-D反馈控制器式(9)，得到原系统式(1)的P-D反馈控制器为

$ \begin{array}{c} {\boldsymbol{u}}\left( k \right) = {{\boldsymbol{K}}_1}{{\boldsymbol{x}}_1}\left( k \right) - {{\boldsymbol{K}}_2}{{\boldsymbol{x}}_1}\left( {k + 1} \right) - \\ {\left( {{\boldsymbol{G}} + {{\bar {\boldsymbol{B}}}_1}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_1}{{\bar {\boldsymbol{B}}}_1}} \right)^{ - 1}}{{\bar {\boldsymbol{B}}}_1}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_1}{{\bar {\boldsymbol{A}}}_1}{{\boldsymbol{x}}_1}\left( k \right) = \\ \left[ {{{\boldsymbol{K}}_1} - {{\left( {{\boldsymbol{G}} + {{\bar {\boldsymbol{B}}}_1}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_1}{{\bar {\boldsymbol{B}}}_1}} \right)}^{ - 1}}{{\bar {\boldsymbol{B}}}_1}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_1}{{\bar {\boldsymbol{A}}}_1}} \right]{{\boldsymbol{x}}_1}\left( k \right) - {{\boldsymbol{K}}_2}{{\boldsymbol{x}}_1}\left( {k + 1} \right) \end{array} $

(19)

若令 $ {\bar {\boldsymbol{K}}_1} = {{\boldsymbol{K}}_1} - {\left( {{\boldsymbol{G}} + {{\bar {\boldsymbol{B}}}_1}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_1}{{\bar {\boldsymbol{B}}}_1}} \right)^{ - 1}}{\bar {\boldsymbol{B}}_1}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_1}{\bar {\boldsymbol{A}}_1} $ ，则可以将 $ {\boldsymbol{u}}\left( k \right) $ 简写为

$ \begin{array}{c} {\boldsymbol{u}}\left( k \right) = {{\bar {\boldsymbol{K}}}_1}{{\boldsymbol{x}}_1}\left( k \right) - {{\boldsymbol{K}}_2}{{\boldsymbol{x}}_1}\left( {k + 1} \right) = \\ {{\bar {\boldsymbol{K}}}_1}\left[{{{\boldsymbol{I}}_{{n_1}}}}\quad0 \right]{{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}x\left( k \right) - {{\boldsymbol{K}}_2}\left[ {{{\boldsymbol{I}}_{{n_1}}}}\quad0 \right]{{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}{\boldsymbol{x}}\left( {k + 1} \right) = \\ {{\hat {\boldsymbol{K}}}_1}{\boldsymbol{x}}\left( k \right) - {{\hat {\boldsymbol{K}}}_2}{\boldsymbol{x}}\left( {k + 1} \right)\\ \end{array}$

(20)

式中： ${\hat {\boldsymbol{K}}_1} = {\bar {\boldsymbol{K}}_1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{I}}_{{n_1}}}}&0 \end{array}} \right]{{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}$ ， ${\hat {\boldsymbol{K}}_2} = {{\boldsymbol{K}}_2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{I}}_{{n_1}}}}& 0 \end{array}} \right]{{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}$ 。

将式(20)代入式(1)可得闭环系统为

$ \left( {{\boldsymbol{E}} + {\boldsymbol{B}}{{\hat {\boldsymbol{K}}}_2}} \right){\boldsymbol{x}}\left( {k + 1} \right) = \left( {{\boldsymbol{A}} + {\boldsymbol{B}}{{\hat {\boldsymbol{K}}}_1}} \right){\boldsymbol{x}}\left( k \right) $

(21)

如果令 $ \hat {\boldsymbol{E}} = {\boldsymbol{E}} + {\boldsymbol{B}}{\hat {\boldsymbol{K}}_2} $ , $ \hat {\boldsymbol{A}} = {\boldsymbol{A}} + {\boldsymbol{B}}{\hat {\boldsymbol{K}}_1} $ ，则式(21)可进一步写为

$ \hat {\boldsymbol{Ex}}\left( {k + 1} \right) = \hat {\boldsymbol{Ax}}\left( k \right) $

(22)

本定理得到的是P-D反馈控制器存在的充分条件，而引理1给的是广义离散系统容许的充要条件，这是因为本定理中为了利用Matlab中的LMI工具箱，规定 $ {\boldsymbol{Y}} $ 是对称正定矩阵，而引理1中的X是对称矩阵，这是在以后的研究中需要改进的地方。在定理1的基础上，给出式（1）广义离散系统的P-D反馈控制器设计的定理。

定理2 　对于式(1)，存在一个对称正定矩阵 $ {\boldsymbol{X}} $ 和合适维数的矩阵 $ {\boldsymbol{Z}} $ 满足下面线性矩阵不等式：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{M}}&{{{\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}}} \\ {\boldsymbol{Z}}&{ - {\boldsymbol{X}}} \end{array}} \right] < 0 $

式中：

$ \begin{array}{c} {\boldsymbol{M}} = {{\boldsymbol{A}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{X}}{{\boldsymbol{A}}_1} + {{\boldsymbol{A}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{Z}} + {{\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{A}}_1} - {{\boldsymbol{E}}_{11}}^{\text{T}}{\boldsymbol{X}}{{\boldsymbol{E}}_{11}} - \\ {{\boldsymbol{E}}_{11}}^{\text{T}}{\boldsymbol{X}}{{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2} - {{\boldsymbol{K}}_2}^{\text{T}}{{\boldsymbol{B}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{X}}{{\boldsymbol{E}}_{11}} - {{\boldsymbol{K}}_2}^{\text{T}}{{\boldsymbol{B}}_1}^{\text{T}}{\boldsymbol{X}}{{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_2}\\ {\boldsymbol{Z}} = {\boldsymbol{X}}{{\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}_1} \end{array}$

则一定存在一个P-D反馈控制器如式(20)，使得闭环系统(22)是容许的。

利用定理2时，我们需要先将原系统式(1)进行正常化分解，可以借助计算机。下面利用一个数值算例来说明本文设计方法的正确性和有效性。

3 数值算例

考虑形如式(1)的广义离散系统： $ {\boldsymbol E} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&0 \\ 1&0&0&1 \end{array}} \right] $ ， $ {\boldsymbol A} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{ - 1}&0 \\ 1&0&2&0 \\ 0&0&0&1 \\ 0&1&0&0 \end{array}} \right] $ ，B = $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - 2} \\ 0 \\ { - 1} \end{array}} \right] $ ， $ {\boldsymbol C} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1&0 \end{array}} \right] $ 。

首先有 $ \det (2{\boldsymbol{E}} - {\boldsymbol{A}}) \ne 0 $ ，说明系统是正则的；又有 $ {\text{rank}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {s{\boldsymbol E} - {\boldsymbol A}}&{\boldsymbol B} \end{array}} \right] = 4 $ ， $ \left| s \right| \geqslant 1 $ 。满足引理5中的条件，所以系统满足能稳定性。

下面通过Matlab将系统进行正常化分解，得到的子系统的各系数矩阵为： $ {{\boldsymbol E}_{11}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&0 \end{array}} \right] $ ， $ {{\boldsymbol E}_{12}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ { - 1} \end{array}} \right] $ ， $ {{\boldsymbol E}_{22}} = 0 $ ， $ {{\boldsymbol A}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right] $ ， $ {{\boldsymbol B}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4} \\ { - 1} \\ 1 \end{array}} \right] $ ， $ {{\boldsymbol C}_1} = [\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&0 \end{array}] $ ， $ {{\boldsymbol C}_2} = 0 $ 。

通过计算得式(20)中的增益矩阵为

$ \left\{ \begin{gathered} {{\hat {\boldsymbol{K}}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.022\;8}&{ - 0.380\;6}&{1.374\;0}&{ - 0.761\;3} \end{array}} \right] \hfill \\ {{\hat {\boldsymbol{K}}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.000\;0}&{ - 0.500\;0}&{1.500\;0}&{ - 1.000\;0} \end{array}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right. $

闭环系统式(17)的系数矩阵为

$ \left\{ \begin{gathered} \hat {\boldsymbol{E}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2.000\;0}&{{{ - }}0.500\;0}&{1.500\;0}&{{{ - }}1.000\;0} \\ {{{ - }}2.000\;0}&{1.000\;0}&{{{ - }}2.000\;0}&{2.000\;0} \\ {0}&{0}&{0}&{0} \\ {0}&{0.500\;0}&{ - 1.500\;0}&{2.000\;0} \end{array}} \right] \hfill \\ \hat {\boldsymbol{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.022\;8}&{ - 0.380\;6}&{0.374\;0}&{ - 0.761\;3} \\ { - 1.044\;5}&{0.761\;3}&{ - 0.748\;1}&{1.522\;5} \\ 0&0&0&{1.000\;0} \\ { - 1.022\;8}&{1.380\;6}&{ - 1.374\;0}&{0.761\;3} \end{array}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right. $

下面通过验证说明在设计的控制器下，所得的闭环广义系统是容许的。

1）存在 $\det (2\hat {\boldsymbol{E}} - \hat {\boldsymbol{A}}) = - 5.020\;2 \ne 0$ ，所以闭环系统是正则的。

2） $ {\text{rank}}(\hat {\boldsymbol{E}}) = 3 $ ， $ {\text{rank}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat {\boldsymbol E}}&0 \\ {\hat {\boldsymbol A}}&{\hat {\boldsymbol E}} \end{array}} \right] = 7 $ ，满足引理3，则闭环系统是因果的。

3） $ \det (s\hat {\boldsymbol{E}} - \hat {\boldsymbol{A}}) = 0 $ 的所有有限极点为0.7242、0.0185+0.0936i、0.0185−0.0936i，都在复平面的单位圆内，满足引理4，所以闭环系统是稳定的。

综上，我们验证了所得的闭环广义系统是容许的。这一结果说明了本文通过对原系统进行正常化分解所得到的P-D反馈控制器是有效的。

图1是输出响应曲线，从图中可以看出利用现代控制理论和变量替换法使得闭环系统是容许的、稳定的。

4 结论

广义系统存在脉冲行为，会导致系统不能正常运行甚至崩溃。而P-D反馈控制器是消除脉冲的一个很好方法，于是本文通过引入了P-D反馈控制器来消除脉冲，从而使得系统是稳定的、容许的，并给出了闭环系统容许的条件。

1)通过对式(1)系统正常化分解推导出子系统能正常化。

2)给出了P-D反馈控制器存在的条件，使得式(10)系统是容许的，并且得到了相应的LMI条件。为了求解方便，利用Matlab中的LMI工具箱，但是要求里面矩阵是对称矩阵，这是在以后的研究中需要解决的问题。

3)给出了式(1)系统控制器存在的条件。