表面等离子体共振（SPR）是在金属和电介质界面处，入射光场在一定入射角（即最佳激发角）下引发金属表面的自由电子相干振荡的一种物理现象。当发生表面等离子体共振现象时，由于入射光产生的消逝波与等离子波产生共振，反射光的强度会大大减弱。因此在图像采集系统获得的后焦面图像上将产生对称的圆弧或完整的圆环（后文统称为吸收谱），当被检测金属材料的特性（例如厚度）发生变化时，激发表面等离子体共振所需的最佳激发角的大小会发生变化，后焦面图像上的吸收谱的半径也会对应发生变化。根据这一关系，通过检测吸收谱半径，可以对材料表面的细微变化进行高精度的实时检测。这种特性使得表面等离子体共振被广泛地应用于纳米材料、生物医学、环境检测等领域^[1−2]。传统的表面等离子体共振激发系统是Kretschmann^[3]提出的全反射棱镜耦合系统，该系统的空间分辨率有限。针对这一问题，Kano^[4]提出了表面等离子体显微镜系统（surface plasmon microscopy，SPM），SPM系统应用高分辨率显微镜解决了全反射棱镜耦合系统空间分辨率较低的问题^[5]。但由于缺乏高效且精确的自动化识别方法，SPM系统难以做成高效的自动化仪器^[6]。现有研究主要集中于表面等离子体共振的激发方法，而识别方法的研究非常有限。所有表面等离子体系统中的最佳激发角识别问题均可转化为后焦面吸收谱识别问题。目前吸收谱识别方法主要是手动勾画或者基于通光孔径中心的一维径向灰度识别（下文称为一维识别）。手动勾画吸收谱需要人工介入，难以实现对大批量后焦面图像的高效识别；一维识别方法要求吸收谱与通光孔径严格共心，并基于该中心统计穿过吸收谱方向的灰度分布，灰度分布曲线上的极小值点对应吸收谱。在噪声背景下，分布曲线上可能出现噪声引起的极小值，会影响识别的准确性。因此在后焦面上存在大量噪声的情况下，难以对吸收谱进行精确地识别。为了提高识别准确性与识别效率，本文提出了基于霍夫变换、形态学以及最小二乘法的SPR后焦面吸收谱识别方法，可以在强噪声背景下精确地识别SPR吸收谱。

1 后焦面吸收谱识别方法研究

表面等离子体共振后焦面图像如图1所示，亮色圆形光斑是后焦面上的通光孔径，表面等离子体共振吸收谱以通光孔径内部的两段暗色圆弧的方式呈现。特别地，后焦面图像呈现不均匀现象，图1中右侧亮度整体高于左侧，黑色背景和通光孔径内部包含大量斑点噪声。本文提出的基于形态学的SPR后焦面吸收谱识别方法，它的识别流程图如图2所示。

识别方法的基本流程是：1）读取表面等离子体后焦面图像；2）通过二值化提高通光孔径与背景对比度，接着应用霍夫变换粗略定位通光孔径，基于定位结果裁剪图像；3）采用更小分块的二值化，获得更精细的通光孔径轮廓，应用霍夫变换对通光孔径进行精确识别；4）基于通光孔径精确圆心，粗略估计吸收谱半径；5）应用形态学方法提取吸收谱圆弧；6）应用最小二乘法拟合吸收谱。

1.1 基于霍夫变换的图像裁剪

表面等离子体后焦面图像通常为矩形，通光孔径不在图像中心，图像中存在着大量背景噪声，给图像识别带来了不利影响。可先裁剪后焦面图像，使得通光孔径位于图像中心，缩小图像尺寸，使得有效内容更加突出，也可减少后续识别过程中的运算量，加快了识别速度。为了粗略定位出通光孔径在原始图像中的位置，给裁剪提供参考，采用分块二值化和霍夫变换相结合的方法。

1.1.1 基于全局与局部阈值相结合的二值化

后焦面图像数据亮度不均匀，左侧较暗、右侧较亮。为了使通光孔径的左右两侧均能较完整地区分于黑色背景，采用全局阈值与局部阈值相结合的二值化方法，将图像分成若干相同大小的子块，对每个子块计算子块的局部阈值 ${T_l}$ ，对于整幅图像计算全局阈值 ${T_g}$ ，通过式（1）计算二者相结合的阈值T。局部阈值与全局阈值均通过最小误差阈值法计算^[7]，权重系数a与b可以根据待识别图像中通光孔径与背景对比度进行调整。经过多次尝试发现，对于本文使用的测试图像，线性常数 $a{\rm{ = }}0.3{\text 、}b = 0.7$ 时二值化效果最好。

$T{\rm{ = }}a{T_g} + b{T_l}$

(1)

分块二值化过程中，需要先确定图像分块的大小。不同的分块尺寸会使二值化的结果存在较大的差异，如果分块尺寸较大则图像细节较少；相反地，如果分块尺寸较小则保留更多的图像细节。应用分块二值化时根据实际需求合理选取图像分块大小。粗定通光孔径位置时，只需获得通光孔径的大致轮廓，可选择较大的分块尺寸。本文中，设置图像分块尺寸为150 pix×150 pix。选择图1中的样例图像，利用式（1）计算的阈值得到的二值化结果如图3所示。分块二值化方法解决了图像中通光孔径明暗不均匀的问题，为后续使用霍夫变换粗定位通光孔径打下基础。

对图3所示的二值图像应用霍夫变换粗定位通光孔径前，采用半径为3 pix的圆盘形结构开运算，可以在不改变通光孔径轮廓大小的情况下，有效去除通光孔径外部的斑点噪声，减小噪声对霍夫变换的影响。提高霍夫变换识别准确性。

1.1.2 基于霍夫变换的通光孔径粗定位

霍夫变换是图像处理中常用的几何形状检测方法^[8−9]，该方法的主要思想是将图像 $x - y$ 参数空间内物体边界上的点，映射到另一个参数空间内，并且在新的参数空间内进行统计分析，以获取物体几何形状信息。本文应用霍夫变换识别二值图像中的圆形通光孔径。霍夫变换检测圆形原理如图4所示。首先获取经过形态学降噪后的二值图像中的边界点 $({x_1}, {y_1}), ({x_2}, {y_2}), \cdots $ ，随后对这些点利用霍夫变换映射到 $a - b - r$ 参数空间，对于每一个 $x - y$ 参数空间内的边界点，在 $a - b - r$ 参数空间内表现为图4所示的三维圆锥锥面。在同一个圆形边界上的点在映射后会相交于一点 $({a_0}, {b_0}, {r_0})$ ，通过检测这一点即可获得原始图像上通光孔径的圆心及半径^[10]。

通过霍夫变换识别到图3中，通光孔径圆心 $({x_0}, {y_0})$ 位置坐标为 $(749.36, 370.37)$ ，通光孔径半径 ${R_0}$ 为 $267.01$ pix。为了检验基于霍夫变换的粗定位效果，可根据粗定位通光孔径圆心及半径，在后焦面图像上用白色曲线绘制粗定位通光孔径边界，结果如图5所示。基于霍夫变换的粗定位结果与实际通光孔径位置存在着细微差异，但足够作为图像裁剪的参照。

1.1.3 粗定位结果的后焦面图像裁剪

依据1.1.2节中基于霍夫变换的粗定位结果，以粗定位圆心位置为中心裁剪图像。由于通光孔径粗定位结果与通光孔径真实位置存在细微差异，为了防止过度裁剪导致通光孔径信息丢失，在裁剪图像时需要保留一定裕量。在本文中所有SPR测试图像均保留80 pix的裕量。由于后焦面通光孔径为圆形，因此可以设定裁剪后图像的边长为 $W = 2{R_0} + 80$ ，即将图1所示的原始图像裁剪为 $W \times W$ 大小的正方形图像，裁剪结果如图6所示，大量无关黑色背景均被裁剪，有效地缩减了图像尺寸，对提高计算效率是非常有效的。后续即可基于此正方形图像进行通光孔径精确检测。

1.2 通光孔径精确识别

为了获得通光孔径精确定位结果，需要二值图像中的通光孔经轮廓清晰且完整。因此在分块二值化过程中选择稍小的分块，获得更多的通光孔径边界细节信息。可以基于图像尺寸设置分块大小。假设图像的宽度为 $W$ ，可以设置分块大小为W/6 pix×W/6 pix（约102 pix×102 pix），图6的二值化结果如图7（a）所示。为了消除通光孔径外部斑点噪声，对图7（a）的二值化结果应用大小为2 pix的圆盘形结构进行开运算。接着应用1.1.2节所述的霍夫变换，即可得到通光孔径的精确检测结果。如图7（b）所示，识别到图6中的通光孔径圆心 $(x, y)$ 位于 $(307.50, 303.40)$ ，通光孔径半径 $R$ 为 $270.6$ pix，与图5相比，半径与中心定位结果更加精确。

1.3 基于径向灰度分布的吸收谱半径估计

在图7（a）所示的二值图像中，可以观察到位于图像竖直方向的两段吸收谱。从二值图像中分离出吸收谱，利用最小二乘法拟合曲线，可得到吸收谱的参数。

1.3.1 吸收谱半径粗略估计

为了从如图7（a）所示的二值图像中分离出吸收谱，需要自动地判断圆弧在图像中的位置。基于吸收谱与通光孔径共心的理论前提，可假设两者同心。但考虑到实际测量中微弱偏心的可能，此假设仅用于粗略估计吸收谱半径，可以为消除吸收谱内外噪声做参考。基于利用霍夫变换精确识别的通光孔径中心 $(x, y)$ 统计内部沿半径方向的灰度值分布，得到如图8中初始灰度曲线所示的结果。从后焦面图像中可以看出，反映吸收谱的两段圆弧处的亮度明显较暗，对应灰度曲线约为215处平均灰度值的极小值。因此可说明吸收谱的大致半径为215。为了避免噪声引起的灰度值局部跳变对搜索结果造成影响，先对该曲线进行分段最小二乘拟合^[11]，分段长度为6，段间重合长度为2，得到较平滑的灰度值分布，如图8所示。搜索该光滑灰度曲线的局部极小值，得到局部灰度最小值的结果。排除最后一个边界点，得到光滑灰度曲线最小的局部极小值后即可定位出原始曲线上下降尖端对应的半径值，如图8中粗略估计半径所示，吸收谱半径粗估计值为 ${r_0} = 217$ 。

1.3.2 后焦面图像吸收谱提取

为了利用最小二乘法精确地拟合吸收谱，需要提取后焦面图像吸收谱，即将所有无关信息去除，仅保留吸收谱信息。吸收谱的提取涉及形态学腐蚀和像素连通性判断，主要包含以下步骤：1）观察图7（a）可以发现，吸收谱在二值图像中表现为背景（黑色）。为了提取吸收谱，需将吸收谱转换为前景（白色），即将图7（a）的二值化结果反色，并把通光孔径外部像素置零，如图9（a）所示；2）设置形态结构元素，对步骤1）的结果应用半径为2的圆盘形的形态学腐蚀，得到的结果如图9（b）所示；3）移除步骤2）的结果中连通性小于P的像素点，选择P的取值时，应保证与吸收谱无关的区域被尽可能多地移除。此次试验均设置P=50，得到的结果如图9（c）所示；4）假设吸收谱与通光孔径同心，基于1.3.1节的吸收谱半径粗估计结果 ${r_0}$ ，保留步骤3）的结果中半径在 ${r_0} \pm 5$ 范围内的像素值，其余像素置零，得到的吸收谱圆弧提取结果如图9（d）所示。基于吸收谱提取结果可通过最小二乘法拟合吸收谱。

1.4 基于最小二乘法的吸收谱半径与中心识别

基于利用形态学方法获得的图9（d）的吸收谱圆弧提取结果，可以近似地得到后焦面图像中吸收谱上点的坐标。建立圆形模型，基于吸收谱提取结果，利用最小二乘法拟合圆，即可以得到吸收谱的参数。

设圆心为 $({c_1}, {c_2})$ ，半径为 $r$ ，则圆形可表示为 ${(x - {c_1})^2} + {(y - {c_2})^2} = {r^2}$ 。改写上述方程得到 $2x{c_1} + 2y{c_2} +$ $ {c_3} = {x^2} + {y^2}$ 。其中 ${c_3} = {r^2} - c_1^2 - c_2^2$ 。

将图9所示的吸收谱图像中的 $n$ 个点 $({x_1},{y_1}), $ $ ({x_2}, {y_2}), \cdots , ({x_n}, {y_n})$ 带入改写后的方程，可得超定方程组

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{x_1}}&{2{y_1}}&1 \\ {2{x_2}}&{2{y_2}}&1 \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ {2{x_n}}&{2{y_n}}&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}} \\ {{c_2}} \\ {{c_3}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x_1^2 + y_1^2} \\ {x_2^2 + y_2^2} \\ \vdots \\ {x_n^2 + y_n^2} \end{array}} \right]$

(2)

式（2）可以表示为 ${{Ax}} {\rm{ = }} {{b}}$ 的形式，利用最小二乘法可以获得，该方程的解为

$ {{X}} = ({{{A}}^{\rm{T}}}{{A}}){{{X}}^{\rm{T}}}{{b}} $

进而可以计算出吸收谱的圆心 $({c_1}, {c_2})$ 和半径 $r$ ，其中 $r = \sqrt {{c_3} + c_1^2 + c_2^2} $ 。

通过上述最小二乘方法拟合出的吸收谱如图10所示，得到吸收谱圆心 $({c_1}, {c_2})$ 为 $(308.06, 305.59)$ ，吸收谱半径 $r = 216.82$ pix，比1.3.1节的粗估计结果更加精确，与原始图像中的吸收谱圆弧吻合程度很高。

2 多幅测试图像的识别效果

为了验证本文提出方法的通用性，将所提方法应用于其他的测试图像，包含线性偏振激发的后焦面图像（测试图像1）和径向偏振激发的后焦面图像（测试图2~4）。得到的圆心和半径的识别结果如表1所示。图11给出了经过算法裁剪的不同测试图像及对应的吸收谱与通光孔径检测结果。

通过图11给出的测试图像的识别结果，可以发现，本文提出的识别方法对于径向偏振以及线性偏振激发的表面等离子体后焦面吸收谱有较好的识别效果，且吸收谱的圆心与通光孔径圆心相差很小，最大偏差限定在在2 pix以内。吸收谱与通光孔径存在偏心现象是由于搭建的表面等离子体激发系统的准直性不足，本文提出的识别方法能够检测吸收谱与通光孔径的偏心状况，作为激发系统校正的参考。

为了验证本文提出的识别方法在强噪声背景下的鲁棒性，在基于无噪声的表面等离子体共振后焦面仿真图像中，添加不同方差的高斯噪声，模拟不同噪声强度下的后焦面图像，并使用本文提出的方法识别噪声背景下的吸收谱。比较不同强度噪声下的吸收谱识别结果与仿真图像中真实的吸收谱半径，可以得到如图12所示的结果。通过图12可以发现，提出的吸收谱识别方法在高斯噪声的方差介于0~1.3时，表现出很强的鲁棒性，识别的吸收谱半径与真实吸收谱半径相差在1像素以内。而方差为1.3的高斯噪声强度大于现有SPM系统的噪声强度，因此本文提出的吸收谱识别方法的在强噪声背景下的鲁棒性足以满足现有SPM系统的需求。

3 结论

本文针对表面等离子体后焦面中吸收谱识别困难的问题，提出了基于霍夫变换、形态学降噪与最小二乘法相结合的后焦面吸收谱识别方法，它用于解决不同激发方式下的表面等离子体共振后焦面吸收谱识别问题。相比于传统的识别技术，本文提出的识别方法对于噪声有较好的鲁棒性，它为表面等离子体识别仪器的开发提供了高效、精确的识别技术。本文的后续研究工作主要包括：1）研究优化识别的优化问题，它将使识别过程不依赖于通光孔径与吸收谱共心的基本假设；2）提高识别方法的自动化程度，它将最大限度地减少识别过程中的人工干预过程。