船舶碰撞是船体结构在短时间内巨大冲击载荷作用下的复杂非线性瞬态响应过程。由于碰撞时的巨大动能，位于碰撞区域的结构一般都很快超越了弹性阶段而迅速进入了塑性流动状态，并可能产生各种形式的失效与破坏。

在船舶碰撞的研究中一般分内部机理和外部机理来分别考虑，有关内部机理的研究从发展方向上来看可分为两类：一类是高能碰撞，又称严重碰撞，主要是指船体结构发生断裂、穿透等较为严重损失的碰撞；另一类是微能碰撞，又称非严重碰撞，主要指侵入程度较小或者仅发生塑性变形但未发生穿透破坏的碰撞^[1]。

经过前人对各类船舶碰撞问题五十多年的研究，可以总结出研究船舶碰撞问题有效的方法，包括经验公式法、简化解析计算法、有限元数值仿真法和模型试验法。

文中将分别采用有限元分析和简化解析计算的方法，对浮动核电站的传统双层舷侧结构与刚性球鼻艏所发生的微能碰撞过程进行研究。最终将验证所提出的舷侧结构组合模型简化解析法的合理性，以及其在浮动核电站结构的设计阶段对舷侧结构耐撞性能估算上的实际应用价值。

1 双层舷侧结构碰撞有限元分析

本部分将介绍使用LS-DYNA对双层舷侧结构与球鼻艏碰撞进行有限元建模与分析的过程，通过这个过程所得到的结果，为简化解析法计算所得结果的比较提供了参考。

1.1 双层舷侧结构参数及建模

文中所使用的有限元模型中的被撞船，参考了俄罗斯的“罗蒙诺索夫号”浮动核电站的结构形式。考虑到浮动核电站工作的特殊性，应着重考虑其安全性，因此舷侧设置为传统双层舷侧结构。在ANSYS/LS-DYNA中建立了其有限元模型，包括舷侧内外板及内部的纵向竖向桁材，板上尺寸更小的加强筋不再单独设置，舷侧外板与内板和桁材的厚度分别设置为20 mm与18 mm。

被撞船其他部分的结构对碰撞过程的影响不大，在文中所使用的有限元模型中建立了其简化的结构，并通过布置质量点使总排水量达到约20 000 t，且其质心与最先发生碰撞处在垂直于初始撞击速度平面内的投影大致在同一位置。舷侧碰撞相关结构的尺寸如图 1所示。

根据相关文献[2]的建模方案，综合考虑计算时间与计算精度，有限元模型大部分区域采用的网格大小为0.5 m，在舷侧发生碰撞处为了减少计算过程中沙漏能的影响，获得更加精确的结果，对局部网格进行了细化，此处最先接触球鼻艏的区域的网格尺寸最小为62.5 mm，向周围逐渐增大直至0.5 m。舷侧碰撞相关结构的有限元模型如图 2所示。

该有限元模型中船体结构所采用的材料模型为双线性随动强化模型，相关的材料参数参考船用低碳钢的有关属性，具体数值如表 1所示^[2]。

选用的材料考虑到应变率敏感性^[3]，采用与实验数据拟合较好的、适用于理论分析和数值计算并得到了广泛使用的Cowper-Symonds本构方程：

$ \frac{{{{\sigma '}_0}}}{{{\sigma _0}}} = 1 + {\left( {\frac{{\dot X}}{D}} \right)^{\frac{1}{q}}} $

对于普通的低碳钢，式中D=40.4，q=5^[3]。

在利用ANNSYS/LS-DYNA建立有限元模型的过程中，船体结构的板单元大部分采用的是默认的Belytschko单元公式，对于碰撞区域的板则采用了更适合于大变形的Hughes-Liu单元公式^[4]，由于材料的选择为双线性随动强化模型，塑性应力分布模式在单元厚度方向上是不光滑的，因此板单元的积分规则选择了结果更加准确的梯形积分^[4]，大部分区域的积分点设置为5个，碰撞处设置为24个，目的是降低沙漏能的影响，得到对碰撞过程更精确的模拟^[2]。

文中有限元模型所使用的材料的失效准则选用了材料的失效应变。Paik^[5]从大量的有限元模型与实验的对比中发现，有限元模型的材料失效应变是单元尺寸的函数，而不仅只由材料本身的性质所决定。虽然还未形成共识，但是一般认为单元尺寸越大，失效应变的值就应越小。

Kitamura^[6]做过一系列准静态穿透和动态跌落试验，并用有限元模拟这些试验过程，得出了失效应变和单元平均尺寸之间的关系曲线，如图 3所示。

根据碰撞区域有限元模型所采用的网格尺寸约为60 mm的情况，结合上述有关资料的介绍。在该有限元模型中，材料的失效应变设置为0.26^[2]。

沙漏控制对于结构部件来说，选择基于刚性的沙漏控制比黏性沙漏控制更加有效，在选择刚性沙漏控制时，为了获得更好的效果，通常会将沙漏系数由默认值0.1，调整至0.03~0.05，这种做法不仅可以有效地抑制沙漏的影响，还能够最小化非物理的硬化响应，因此，该模型中所采用的沙漏控制为LS-DYNA中的类型4基于刚性的沙漏控制，沙漏系数取为0.03^[2]。

1.2 船舶碰撞参数及建模

在船舶碰撞分析时，一般认为对心直角碰撞是最危险的状态^[8]，因此文中所采用的有限元模型即为考虑球鼻艏端面垂直碰撞双层舷侧外板板格中心的对心碰撞的情况^[2]。

由于球鼻艏的空间形状相当复杂，难以用一个解析函数表达式精确地描述，文中球鼻艏空间曲面模型采用了抛物线z=kr²绕z轴旋转生成的抛物面来近似表示，其中参数k可以作为控制球鼻钝锐程度的形状系数，对于一般球鼻艏，形状系数k的值在0.1~0.5^[9]，在所用的模型中取为0.2^[2]。

因传统球鼻艏的刚度一般远大于舷侧结构，因此在船舶碰撞研究中，通常将球鼻艏设置为刚体^[10]，本计算模型即采用了这种方式，将球鼻艏简化为了刚性撞头，球鼻艏与驳船舷侧接触面上的网格同样采用较细的网格以保证接触分析的精确度，此外，考虑到撞击船的质量，在球鼻艏背面边缘均匀布置了4个2 200 t的质量点^[2]。球鼻艏与舷侧结构的碰撞模型如图 4所示。

在定义接触时采用了面面接触中自动接触的模式，将舷侧碰撞部位设置为接触面，将球鼻艏端面设置为目标面，这2个面的设定因面面接触具有完全的对称性，所以是任意的。

文中所采用的有限元分析模型，初始撞击速度设置为2 m/s，碰撞过程的总能量达到了约17.6 MJ。

在船舶碰撞的研究中，附连水质量往往会产生很大的影响，因此在建立船舶碰撞模型的过程中需要被着重考虑^[2]，Minorsky^[11]提出了船体横荡运动附连水质量的计算公式：m_yy=0.4m，式中m_yy为船舶横荡运动的附连水质量，m为船舶的排水量。Motora^[12]在就横荡运动的附连水质量进行了一系列模型试验和理论分析后，发现附连水质量在碰撞过程中是不断变化的，其变化范围为0.4~1.3倍的船舶排水量，且碰撞持续时间越长附连水质量越大。如果碰撞时间很短，则Minorsky所假定的公式是正确的。

文中的有限元模型采用的附连水质量设置为8 400 t，约为0.4倍的实际排水量，并将其以质量点的形式均布在被撞船水线面以下没有发生碰撞的另一舷侧，用以模拟在碰撞过程中另一舷侧流体的惯性在舷侧外板上的作用^[2]。

1.3 船舶碰撞有限元分析的结果

通过对有限元分析结果的后处理可以看出，在初始撞击速度为2 m/s时，舷侧外板与双层舷侧内部的桁材均出现了不同程度的塑性变形，但舷侧外板并未发生穿透。此时在双层舷侧结构中，没有发生明显的单元失效现象。

通过对有限元分析结果的后处理，可以得到撞击深度与舷侧结构内能随时间变化的曲线。如图 5所示，从舷侧结构内能随时间变化的曲线中可以看出，在碰撞结束球鼻艏与舷侧结构分离后，舷侧内能略有下降，这部分能量即为属于弹性变形能的部分。从图中坐标所标明的参数可以大致估算出，在发生碰撞时，舷侧内能中的弹性变形能仅占很小一部分，大部分为结构的塑性变形能，占比约95%。在碰撞没有结束时有限元分析的结果无法区分开2种内能，故可以在整个过程中用有限元分析所得到的舷侧结构内能来代表其塑性变形能，并且这种替代所产生的误差会在很小的范围内。

2 舷侧结构变形能简化解析法计算

通过参考舷侧结构简化模型的有关计算公式，提出了一种微能碰撞中的舷侧结构组合模型，用于简化解析法的计算。接下来将对所使用到的相关理论公式，以及所提出的简化解析计算方法与其推导过程进行介绍。

2.1 舷侧结构碰撞简化计算模型

对传统双层舷侧结构与球鼻艏发生的微能碰撞采用简化解析法进行计算时，考虑到了舷侧外板最先发生碰撞的板格及其周围一圈板格所组成的区域，此外还包括了双层舷侧内与该区域相关的纵向和竖向的桁材。舷侧碰撞部位结构的简化模型以及简化解析法中所采用的坐标系如图 6所示。

为了能将有限元分析所得结果与简化解析法计算所得结果进行比较，图 6所示的舷侧结构简化模型尺寸参考了有限元模型中相关结构的尺寸。舷侧外板厚度设置为20 mm，纵向竖向桁材厚度设置为18 mm，材料的有关属性与表 1数据也保持一致。

补给船球鼻艏的模型简化为旋转抛物面，具体采用的是抛物线z=kr²绕z轴旋转生成的抛物面，其中形状系数k取为0.2。发生撞击的位置在中间板格的中心处，与有限元分析模型的设定相同。

在文中所采用的简化解析法计算中，球鼻艏与舷侧结构的碰撞过程被划分为了4个连续阶段来分别考虑：

1) 球鼻艏仅与中间板格发生接触，中间板格发生变形，其四边的桁材作为支撑，未与球鼻艏发生接触未发生变形；

2) 球鼻艏与中间板格及其上下两边的纵向桁材接触，中间板格与其上下的2个板格均发生变形，上下两边的桁材也发生了侧向的挤压变形；

3) 球鼻艏与中间板格和其四边的纵向竖向桁材均发生了接触，中间板格与其上下左右4个板格均发生了变形，上下左右四边的桁材均发生了侧向的挤压变形；

4) 球鼻艏与纵向竖向桁材交叉形成的十字结构发生接触，简化模型中的9个板格均发生了不同程度的变形，纵向与竖向的桁材也均发生了侧向挤压变形。

根据文献[13]的介绍，平板在球鼻艏的撞击下发生塑性变形时，与球鼻艏接触的部位会紧贴球鼻艏形成相应旋转抛物面的形状，其余位置则由于薄膜应力拉伸作用，会在半径与z轴所组成的平面内形成与旋转抛物面相切的直线，即经过z轴的任一平面与板变形曲面的交线为抛物线和与其相切的两条直线。板变形后的曲面就是由无数条这样的交线所组成的，板变形曲面在过z轴平面内的示意图与板俯视图如图 7所示。

根据上述数学模型，考虑板的长为2a、宽为2b、撞击深度为h时的情况，首先分析与板左右两边相交平面内的方程。根据对称性取其一半来分析，即图 7中的四分之一板。设抛物线顶点到N点之间的抛物线方程与切线的方程如式(1) 所示：

$ \left\{ \begin{array}{l} z = k{r^2}-h, \;\;\;0 \le r \le {r_N}\\ z = mr + n, \;\;\;\;{r_N} \le r \le \frac{a}{{\cos \;\alpha }} \end{array} \right. $

(1)

利用抛物线与直线在相切点处连续和导数相等的条件，通过计算推导可得到相切点的径向坐标r_N及切线方程中的系数m和n如式(2)~(4) 所示：

$ {r_N} = \frac{a}{{\cos \;\alpha }}-\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{{\cos }^2}\;\alpha }}-\frac{h}{k}} $

(2)

$ m = 2k\left( {\frac{a}{{\cos \;\alpha }}-\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{{\cos }^2}\;\alpha }}-\frac{h}{k}} } \right) $

(3)

$ n =-2k\frac{a}{{\cos \;\alpha }}\left( {\frac{a}{{\cos \;\alpha }}-\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{{\cos }^2}\;\alpha }}-\frac{h}{k}} } \right) $

(4)

将式(2)~(4) 带入式(1) 中，即可得到在撞击深度为h时，经过z轴并与r轴成α角的平面上，抛物线和与其相切的直线的方程如式(5) 所示：

$ z = \left\{ \begin{array}{l} k{r^2}-h, 0 \le r \le \frac{a}{{\cos \;\alpha }}-\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{{\cos }^2}\;\alpha }}-\frac{h}{k}} \\ 2k\left( {\frac{a}{{\cos \;\alpha }} - \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{{\cos }^2}\;\alpha }} - \frac{h}{k}} } \right)\left( {r - \frac{a}{{\cos \;\alpha }}} \right), \\ \frac{a}{{\cos \;\alpha }} - \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{{\cos }^2}\;\alpha }} - \frac{h}{k}} \le r \le \frac{a}{{\cos \;\alpha }} \end{array} \right. $

(5)

对于与上下两边相交的平面内的方程，与上述过程同理，可以得到其中的抛物线与切线方程，即将式(5) 中的a/cos α用b/sin α替换，如式(6) 所示：

$ z = \left\{ \begin{array}{l} k{r^2}-h, 0 \le r \le \frac{b}{{\sin \;\alpha }}-\sqrt {\frac{{{b^2}}}{{{{\sin }^2}\;\alpha }}-\frac{h}{k}} \\ 2k\left( {\frac{b}{{\sin \;\alpha }} - \sqrt {\frac{{{b^2}}}{{{{\sin }^2}\;\alpha }} - \frac{h}{k}} } \right)\left( {r - \frac{b}{{\sin \;\alpha }}} \right), \\ \frac{b}{{\sin \;\alpha }} - \sqrt {\frac{{{b^2}}}{{{{\sin }^2}\;\alpha }} - \frac{h}{k}} \le r \le \frac{b}{{\sin \;\alpha }} \end{array} \right. $

(6)

利用式(5)、(6) 的结论即可对单块板在球鼻艏撞击过程中的变形情况进行描述，进而可以对舷侧外板在上述各阶段的变形能进行推导。

对于桁材侧向挤压变形所产生的反力的计算，Ge Wang和Hideomi Ohtsubo^[14]提出其名义压力即在挤压凹陷过程中平均撞击力计算如式(7)：

$ F = \left( {2.32/\lambda } \right){\sigma _0}{\left( {2b} \right)^{0.33}}{t^{1.67}} $

(7)

式中：σ₀为屈服应力，t为桁材的厚度，2b为发生凹陷的宽度，λ为有效挤压长度系数。

对于更普遍的圆形压头或平板端面挤压的情况，式中的形状系数应小于等于1。在该计算模型中，由于球鼻艏具有较宽的端面，λ可以取为0.667^[14]。

对于纵向与竖向桁材交叉所形成的十字结构，根据文献[15]的介绍，其在碰撞过程中所承受的平均撞击力的计算公式为

$ P = {M_0}\left( {34.2{{\left( {\frac{H}{t}} \right)}^{\frac{1}{2}}} + 8.61} \right) $

(8)

式中：H为平均突出长度即桁材高度，t为桁材厚度，M₀为单位长度塑性弯矩，其计算公式为M₀=σ₀·t/4。

上述桁材侧向挤压变形模型以及十字结构所对应的模型如图 8所示。

2.2 舷侧结构组合模型简化解析法计算

结合上述相关文献中有关舷侧结构简化模型各部分的计算公式，提出了一种舷侧外板与纵向竖向桁材的组合模型，用于传统双层舷侧结构外板板格中心与刚性球鼻艏发生对心直角微能碰撞过程的简化解析法计算，能够得到舷侧结构的塑性变形能随撞击深度变化的关系，用于舷侧结构在撞击过程中损伤情况的估算。

这一舷侧结构组合模型就是将如图 6所示的舷侧碰撞部位结构简化模型，在刚性球鼻艏撞击时的变形划分为舷侧外板的薄膜拉伸、纵向竖向桁材的侧向挤压以及十字结构承载3部分。同时在碰撞过程中，将球鼻艏与舷侧结构的接触情况划分为文中上述的4个连续阶段来分别考虑。

第一阶段，即0≤h≤k(D/2)²时，舷侧结构变形情况的简化模型如图 9所示。图中所标注的尺寸a与b为文中所提出的组合模型法计算时所采用的符号，a与b的大小以及板厚均与有限元分析所采用的数据保持一致。根据对称性取中间板格右上角的四分之一板来分析，这部分板又可划分为如图所示的Ⅰ与Ⅱ两个区域来分别计算。

由中间板格的中心向两边作射线，将区域Ⅰ与区域Ⅱ均划分为m个小三角形，计算出每个小三角形在撞击深度为h时的塑性变形能，通过累加求和即可得到该部分板总的塑性变形能，在m取到较大值时计算精度已可得到保证。

由式(5) 与(6) 的结论，通过积分可以得到区域Ⅰ中与r轴成α角处，在撞击深度为h时的小三角形被拉伸的长度，如式(9) 所示：

$ \begin{array}{l} \Delta {l_{{\rm{Ⅰ}}h}} = {l_p} + {l_s}-\frac{a}{{\cos \;\alpha }} = \int_0^{{r_N}} {\sqrt {1 + {{f'}^2}} {\rm{d}}r + } \\ \sqrt {{{\left( {h-kr_N^2} \right)}^2} + \left( {\frac{{{a^2}}}{{{{\cos }^2}\;\alpha }}-\frac{h}{k}} \right)} - \frac{a}{{\cos \;\alpha }} \end{array} $

(9)

式中f′为抛物线函数的导数，即f′=2kr。

舷侧外板的厚度记为t，则由式(9) 再根据几何关系，上述小三角形体积变化量如式(10) 所示：

$ \Delta {V_{{\rm{Ⅰ}}h}} = \frac{1}{2}\Delta {l_{{\rm{Ⅰ}}h}}\frac{b}{m}\cos \;\alpha \cdot t $

(10)

在简化解析法的计算中使用与有限元分析中相同的材料模型但不考虑失效与应变率敏感性的影响。考虑到切线模量E_t，则塑性变形过程中的平均应力如式(11) 所示：

$ {\sigma _{{\rm{Ⅰ}}h}} = {\sigma _0} + \left( {\frac{{\Delta l\cos \;\alpha }}{a}-\frac{{{\sigma _0}}}{E}} \right) \cdot \frac{{{E_t}}}{2} $

(11)

式中：σ₀为材料静态屈服极限，E为材料弹性模量。

因此区域Ⅰ舷侧外板总变形能如式(12) 所示：

$ \begin{array}{l} {U_{{\rm{Ⅰ}}h}} = \sum\limits_{i = 1}^m {\Delta {V_{{\rm{Ⅰ}}h}}} \cdot {\sigma _{{\rm{Ⅰ}}h}} = \sum\limits_{i = 1}^m {\frac{1}{2}} \cdot \\ \left( {\int_0^{{r_N}} {\sqrt {1 + {{\left( {2kr} \right)}^2}} {\rm{d}}r + \sqrt {{{\left( {h-kr_N^2} \right)}^2} + \left( {\frac{{{a^2}}}{{{{\cos }^2}\;\alpha }}-\frac{h}{k}} \right)} } } \right) \cdot \\ \frac{b}{m}t\cos \;\alpha \left( {{\sigma _0} + \left( {\frac{{\Delta l\cos \;\alpha }}{a}-\frac{{{\sigma _0}}}{E}} \right) \cdot \frac{{{E_t}}}{2}} \right) \end{array} $

(12)

如图 8所示区域Ⅰ的划分，式中α=i(arctan(b/a))/m。

同理区域Ⅱ舷侧外板总变形能如式(13) 所示：

$ {U_{{\rm{Ⅱ}}h}} = \sum\limits_{i = 1}^m \Delta {V_{{\rm{Ⅱ}}h}} \cdot {\sigma _{{\rm{Ⅱ}}h}} $

(13)

根据推导的结果，式中ΔV_Ⅱh与σ_Ⅱh是将ΔV_Ⅰh与σ_Ⅰh中的a/cos α替换为b/sin α，并把其他的字母b替换为a所得到的。如图 9对区域Ⅱ的划分，

$ \beta = \arctan \frac{b}{a} + \frac{{i\left( {\frac{\pi }{2}-\arctan \frac{b}{a}} \right)}}{m} $

因此，在碰撞的第一阶段，舷侧结构总的塑性变形能如式(14) 所示：

$ {U_1} = 4\left( {{U_{{\rm{Ⅰ}}h}} + {U_{{\rm{Ⅱ}}h}}} \right) $

(14)

式中：a与b的取值根据模型的参数为a=A/2=1 500，b=D/2=1 250。

第二阶段，即k(D/2)²≤h≤k(A/2)²时，舷侧结构变形情况的简化模型如图 10所示。在球鼻艏与上下纵桁相接触后，中间板格以及其上下两块板均发生变形。变形的舷侧外板左右对称，上下部分仅在个别参数的取值上有所不同，下部分板塑性变形能的符号以上标多一撇来表示，在随后的阶段中段亦是如此。取变形区域右上角部分进行分析。

在球鼻艏与上下纵桁相接处后，上板的整个区域包括区域Ⅳ均会发生一定的变形。在文中所采用的计算方法中，第二阶段内以区域Ⅲ塑性变形能的2倍，来代表区域Ⅲ与右半部分上板其他区域总的塑性变形能，用以计算舷侧外板的塑性变形能。舷侧外板区域Ⅰ、Ⅲ塑性变形能的计算方法与第一阶段计算区域Ⅰ、Ⅱ的方法相同，其中参数a与b在该阶段区域Ⅰ中的取值仍为a=A/2=1 500，b=D/2=1 250。区域Ⅲ中取值随撞击深度不断变化，$ a = \sqrt {h/k-{{\left( {D/2} \right)}^2}} \cdot \left( {C + D/2} \right) \cdot 2/D, b = C + D/2 = 3750$；区域Ⅲ下部中$a = \sqrt {h/k-{{\left( {D/2} \right)}^2}} \cdot \left( {E + D/2} \right) \cdot 2/D, b = E + D/2 = 2750 $。第二阶段与第一阶段区域Ⅱ的的计算方法相似，参数a与b的取值也相同。不同之处在于其中对应于图 9中的角度β的取值，此时应如式(15) 所示：

$ \beta = \arctan \frac{b}{a} + \frac{{\left( {\theta-\arctan \frac{b}{a}} \right)i}}{m} $

(15)

式中$\theta = \arctan \left( {D/2 \cdot \sqrt {k/h} } \right) $，该角度随着撞击深度而变化，下半部分与上半部分的相同。此外，区域Ⅱ小三角形底边的长度也由a/m变为了(a-b_z)/m，其中的b_z如下文所述。由此可得舷侧外板几部分的塑性变形能U_Ⅰh、U_Ⅱh、U_Ⅲh、U′_Ⅲh。

根据几何关系，上下纵桁因侧向挤压产生的变形量应为d_z=h－k(D/2)²，挤压的宽度为${b_z} = \sqrt {h/k-{{\left( {D/2} \right)}^2}} $。再结合式(7) 给出的结论，则上下纵桁各自所产生的塑性变形能如式(16) 所示：

$ {U_{dz}} = {F_z}{d_z} = \left( {2.32/0.667} \right){\sigma _0}{\left( {2{b_z}} \right)^{0.33}}{t^{1.67}} \cdot {d_z} $

(16)

因此，在碰撞的第二阶段，舷侧结构总的塑性变形能如式(17) 所示：

$ {U_2} = 4\left( {{U_{{\rm{Ⅰ}}h}} + {U_{{\rm{Ⅱ}}h}}} \right) + 4\left( {{U_{{\rm{Ⅲ}}h}} + {U_{{\rm{Ⅲ}}h}}} \right) + 2{U_{dz}} $

(17)

第三阶段，即k(A/2)²≤h≤k((A/2)²+(D/2)²)时，舷侧结构变形情况的简化模型如图 11所示。

在这个阶段，中间板格上下左右的4块板均有一定的变形发生，纵向与竖向的桁材均发生了侧向挤压变形。左右板变形的划分与第二阶段上下板变形的划分同理，舷侧外板变形的划分如图 11所示。舷侧外板各部分以及纵向竖向桁材塑性变形能的计算方法，均与第二阶段的计算方法基本相同，仅在部分参数的选取上有所差别。

第三阶段区域Ⅱ与区域Ⅲ的计算与第二阶段对应区域的完全相同，第三阶段区域Ⅰ的计算与区域Ⅱ的类似，但底边宽度与角度需作调整，其中α的取值与式(15) 形式较为类似，$\alpha = \varphi + \frac{{i\left( {\arctan \frac{b}{a}-\varphi } \right)}}{m}, \varphi = \arctan \left( {A/2\sqrt {k + h} } \right) $。第三阶段区域Ⅳ的计算方法与第一阶段中的区域Ⅰ的相同，其中的参数b与a应分别为$b = \sqrt {\left( {h/k-{{\left( {A/2} \right)}^2}} \right)} \cdot \left( {A/2 + B} \right)/2A, a = A/2 + B = 4500 $。由此可以计算出舷侧外板几部分的塑性变形能分别为U_Ⅰh、U_Ⅱh、U_Ⅲh、U′_Ⅲh、U_Ⅳh。

纵向桁材的塑性变形能的计算与第二阶段完全相同，竖向桁材变形的参数${d_s} = h-k{\left( {A/2} \right)^2}, {b_s} = \sqrt {h/k-{{\left( {A/2} \right)}^2}} $。由此可得竖向桁材塑性变形能的计算如式(18) 所示：

$ {U_{ds}} = {F_s} \cdot {d_s} = \left( {2.32/0.667} \right){\sigma _0}{\left( {2{b_s}} \right)^{0.33}}{t^{1.67}} \cdot {d_s} $

(18)

因此，在碰撞的第三阶段，舷侧结构总的塑性变形能如式(19) 所示：

$ \begin{array}{l} {U_3} = 4\left( {{U_{{\rm{Ⅰ}}h}} + {U_{{\rm{Ⅱ}}h}} + 2 \cdot {U_{{\rm{Ⅳ}}h}}} \right) + \\ 4\left( {{U_{{\rm{Ⅲ}}h}} + {U_{{\rm{Ⅲ}}h}}} \right) + 2\left( {{U_{dz}} + {U_{ds}}} \right) \end{array} $

(19)

第四阶段，即k((A/2)²+(D/2)²)≤h≤h₀时，舷侧结构变形情况简化模型如图 12所示。h₀为模型中球鼻艏长度。

该阶段的计算将舷侧外板的9块板格当做一个整体发生变形，其塑性变形能的计算方法与第一阶段的完全相同。

其中a与b的取值根据上述模型中的参数应取为a=A/2+B=4 500，b=D/2+C=3 750。对于下部分的板有a=A/2+B=4 500，b=D/2+E=2 750。

在第四阶段中，纵向与竖向桁材塑性变形能的计算公式与上个阶段的基本相同，仅是撞击深度h的取值有所差别。

在此阶段中，球鼻艏与纵向竖向桁材的交叉部位发生了接触，因此开始计及十字结构所发挥的作用即其在变形过程中所具有的塑性变形能。十字结构处的撞击深度，根据几何关系可得s=h－k·((A/2)²+(D/2)²)，再由式(8) 即可得到十字结构在撞击过程中产生的塑性变形能如式(20) 所示：

$ {U_s} = Ps = \frac{{{\sigma _0}t}}{4}\left( {34.2{{\left( {\frac{H}{t}} \right)}^{\frac{1}{2}}} + 8.61} \right)s $

(20)

因此，在碰撞的第四阶段，舷侧结构总的塑性变形能如式(21) 所示：

$ \begin{array}{l} {U_4} = 2\left( {{U_{{\rm{Ⅰ}}h}} + {U_{{\rm{Ⅱ}}h}}} \right) + \\ 2\left( {{U_{{\rm{Ⅰ}}h}} + {U_{{\rm{Ⅱ}}h}}} \right) + 2\left( {{U_{{d_1}}} + {U_{{d_2}}}} \right) + 4{U_s} \end{array} $

(21)

利用上述的舷侧结构组合模型，通过简化解析法进行计算，可以得到不同撞击深度所对应的舷侧结构塑性变形能的大小，并可由此与有限元分析所得结果进行比较。

3 有限元分析与简化解析计算比较

根据上述的舷侧结构组合模型简化解析法，利用相关计算公式，在MATLAB中编写了计算舷侧结构塑性变形能随撞击深度变化情况的程序，并与有限元分析所得结果进行了比较，所得能量随撞击深度的变化关系如图 13所示。

在上述简化解析法的计算模型中，没有考虑材料的应变率敏感性与失效，因此在进行比较的过程中，所采用的有限元分析的结果，也是不考虑材料上述2种特性的模型。

从图中可以看出，在撞击深度较小时即在撞击过程的前两个阶段，利用文中的简化解析法所计算出的舷侧结构的塑性变形能，与有限元分析所得结果有着很好的拟合，比相关文献[16]所采用的简化解析法有着更好的表现。

在撞击深度较大的第三个阶段中则产生了一定偏差但偏差不大，因此该方法仍有一定的参考价值。

但在最后一个阶段中，采用文中的简化解析法所得到的计算值与有限元分析的结果有较大的偏差。造成该现象的主要原因是：当撞击深度较大时，所划分出的各部分结构实际上产生了较为明显的耦合效应，但在上述舷侧结构组合模型中没有考虑到它们之间的相互影响。

通过将简化解析法计算得到的舷侧结构塑性变形能与撞击深度的关系曲线，与考虑和不考虑应变率敏感性两种情况下的有限元分析结果同时进行比较，如图 14所示。

从图中可以看出，简化解析法计算得到的结果，在撞击深度较小时与不考虑材料应变率敏感性的有限元分析所得结果有着很好的拟合，在撞击深度较大时介于考虑与不考虑材料应变率敏感性有限元分析结果之间。

从整个撞击过程来看，利用文中上述的舷侧结构组合模型，通过简化解析法计算所得结果与实际情况即考虑材料应变率敏感性的有限元分析结果有偏差但偏差不大，且其对船舶碰撞的评估偏于安全。

在相关的船舶碰撞过程中，为使计算的结果偏于安全，考虑舷侧结构可能具有的最大的塑性变形能，即发生完全非弹性碰撞时动能的损失量。利用文中所提出的舷侧结构组合模型通过简化解析法计算，即可便捷地估算出舷侧结构的变形程度。再结合相关结构产生破坏时所应达到的变形程度的有关情况，即可对舷侧结构的耐撞性能进行初步的评估，为舷侧结构的设计提供参考，具有一定的可行性与实际应用价值。

4 结论

本文参考船舶双层舷侧各部分结构的撞击力和变形情况的有关计算公式，结合船舶微能碰撞发生的过程，提出了一种舷侧结构组合模型，用于刚性球鼻艏与传统双层舷侧结构板格中心发生对心直角微能碰撞过程的简化解析法计算。通过上述有关方法的介绍与结果的分析可以得出以下结论。

1) 本文所提出的方法在各部分结构耦合效应不是十分显著时具有很好的效果，相比于有限元分析可以更加快速地估算出船舶发生碰撞时可能达到的最大变形及损伤情况，有着一定的实际应用价值。

2) 由有限元分析的结果可以看出，在船舶微能碰撞进行的过程中，舷侧结构的内能主要是由塑性应变引起的塑性变形能，弹性变形能的比例很小，仅占总内能的5%左右。

3) 与前人已开展的工作相比，本研究综合考虑了各结构的作用及碰撞发生的过程，提出了利用舷侧结构组合模型计算这样一种新的简化解析计算方法，并通过与有限元分析所得结果进行比较，验证了其合理性。

今后的研究，可以围绕碰撞过程的划分、组合模型各部分结构的划分以及相互之间耦合作用的分析，开展许多更加深入的工作。从而使得简化解析法的计算结果能更好地反映实际过程，为船舶舷侧结构的耐撞性能提供更加可行与可靠的快速估算方法，为浮动核电站或其他船舶舷侧结构的耐撞性设计提供参考。