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基于复合辛普森公式的GM(1, 1)模型背景值的优化
沈艳 , 张丽玲
哈尔滨工程大学 理学院, 黑龙江 哈尔滨 150001     
摘要: 背景值是导致GM(1,1)模型产生系统误差的主要原因之一,为提高模型的模拟效果和预测精度,根据灰色系统理论建模机理以及数据累加生成具有非齐次灰指数规律,构建灰色系统模型。基于GM(1,1)模型背景值的几何意义,结合复合辛普森求积公式和动态序列模型,提出一种新的GM(1,1)模型背景值优化方法。实例表明,基于复合辛普森公式的背景值优化算法所建立的GM(1,1)模型,可以有效地提高模型的预测精度和适用性。
关键词: 背景值     GM(1, 1)模型     复合辛普森求积公式     动态序列模型     预测精度    
Optimization of background value in GM (1, 1) model based on compound Simpson quadrature formula
SHEN Yan , ZHANG Liling
College of Science, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China
Abstract: The formula of background value is one of the main factors causing systematic error of GM(1, 1) model. In order to improve the simulation results and prediction accuracy of the model, the grey system model was constructed according to the grey system theory modeling mechanism and the data accumulated generating operation with non-homogeneous grey exponent. A new GM(1, 1) model background value optimization method was proposed based on geometric meaning of GM(1, 1) background value, and combining the compound Simpson quadrature formula and dynamic series model. In case study, the results show that GM(1, 1) model based on the background value optimization algorithm of the compound Simpson formula can effectively improve the accuracy and applicability.
Key words: background value     GM(1, 1) model     compound Simpson quadrature formula     dynamic series model     prediction accuracy    

灰色系统理论研究内容纷繁复杂、涉及面广,其中灰色预测模型是灰色系统理论的主要内容之一,而灰色GM(1, 1)模型是灰色预测模型中应用最广泛的一类模型,已经在许多领域得到了广泛应用[1-2]。研究发现,GM(1, 1)模型精度与背景值构造有着密切关系,许多学者通过对背景值构造的深入研究提出优化方法。蒋诗泉[3]等基于积分几何意义的视角,利用函数逼近的思想,结合复化梯形公式,提出一种新的GM(1, 1)模型背景值优化方法,得到了较好的预测效果;徐宁[4]等利用积分中值定理拟合真实背景值,构建新的灰色微分方程,使背景值同时具备无偏性和最小误差性,对实际问题的建模精度较高;熊萍萍、党耀国[5]对模型进行了背景值优化,并认为GM(1, 1)模型背景值优化公式与单变量GM(1, 1)模型中的优化公式并不完全一致,该方法在序列满足准指数条件时,能够得到较好的预测结果,并能够同时缩小由数据所带来的背景值偏差;王正新[6]等基于离散函数的累加性质,推导出优化背景值的一种方法,实例表明该方法不但提高了精度,同时突破了发展系数[-2,2]的局限;王育红[7]等基于背景值和初始条件同时优化的方法改进了GM(1, 1)模型,提高了模型的精度;文献[8-10]分别从不同角度改进了模型的背景值,都取得了较好的效果。

在以往学者的研究基础上,文中利用1次累加具有非齐次灰指数规律,在每个小区间内构建1次累加动态序列模型[3]。该模型的变量可以取任意数,基于GM(1, 1)模型背景值的几何意义,结合复合辛普森求积公式,提出1种新的GM(1, 1)模型背景值的优化方法。算例结果说明,改进的背景值公式能够提高GM(1, 1)预测的精度,具有一定的理论意义和现实意义。

1 GM(1, 1)动态预测模型建模机理

定义1[1]     灰色GM(1, 1)预测模型中,设非负原始原始序列X(0)X(1)为其一阶累加生成的(1-AGO)序列,其中

Z(1)X(1)的紧邻均值生成序列,

式中

定义2[1]    称

为白化微分方程。

为灰色微分方程,也是GM(1, 1)模型的基本形式,其中z(1)(k)为GM(1, 1)模型的背景值。

定理1[1]     若为参数列且

则GM(1, 1)模型x(0)(k)+az(1)(k)=b的最小二乘估计参数列满足

定理2[1] 1) 白化方程的解也称时间响应函数为

2) GM(1, 1)模型的时间响应序列为

3) 还原值为

2 GM(1, 1)模型背景值误差产生原因

由式(4)可知,GM(1, 1)模型的预测精度取决于参数a, b的值,而a, b的值又由z(1)(k)的值决定,所以背景值是影响模型精度的重要因素。

对式(2)在[k-1, k]上进行积分,得

结合式(3),得到

可以看出,背景值的几何意义是曲线x(1)(t)在区间[k-1, k]上与t轴所围成的曲边梯形的面积,如图 1所示,而传统的背景值计算公式(式(1))是梯形的面积,图中阴影部分就是误差的来源。

图 1 真实背景值与传统背景值的比较
3 GM(1, 1)模型背景值改进的方法 3.1 背景值改进的原理

定理3[6]    对于原始序列X(0), X(1)为其一阶累加生成序列。若x(0)(k)满足齐次指数增长规律,即x(0)(k)=ceα(k-1),则其一阶累加序列X(1)为非齐次指数序列形式,即x(1)(k)=Aeα(k-1)+B

定义3[11]    记[k-1, k]=[a, b],将区间[a, b]分成n等分,节点为xk=a+kh, k=0, 1, …, n, h=(a-b)/n,则在每个小区间上采用辛普森公式,即

若记xk+1/2=xk+h,则得:

称为复合辛普森求积公式。

定理4[3]    设非负原始数据序列为X(0)={x(0)(1), x(0)(2), …, x(0)(n)}, x(0)(i)>0,并设其一阶累加序列为x(1)(k)=Aeα(k-1)+B,则有

x(1)(t)=Aeα(t-1)+B, t≥1为1-AGO动态序列预测模型。

3.2 改进背景值优化模型的建立

下面给出应用复合辛普森求积公式结合动态序列模型优化GM(1, 1)模型背景值的具体算法步骤:

1) 输入原始序列x(0)(k), x(0)(k)>0,计算其一阶累加生成序列{x(1)(k)}。

2) 利用定理4计算出区间[a, b]上α, A, B的值,从而得到动态序列模型x(1)(t)=Aeα(t-1)+B, t≥1。

3) 将区间[a, b]进行n等分,分别求出各个节点处的函数值,即n-1和的值。

4) 利用复合辛普森求积公式求出背景值:

5) 利用定理1求出参数a、b,并利用定理3中还原值的公式求出拟合值进行预测。

6) 计算序列中各原始数据与其相对应的各个模拟值的相对误差。

4 算例分析

以2002~2011年的可消耗能源总量数据作为基础数据,具体见表 1

表 1 可消耗能源总量数据
108t
年份 2002 2003 2004 2005 2006
能源总量 14.43 17.21 20.33 23.22 25.60
年份 2007 2008 2009 2010 2011
能源总量 27.48 28.70 31.13 33.97 36.28

在能源总量消耗预测比较中,以原始GM(1, 1)模型以及文献[12]中用辛普森公式改进背景值和文中基于复合辛普森公式优化背景值的GM(1, 1)模型为例,比较三者的预测精度;其中2002~2010年的可供消耗能源总量数据为原始数据,对2011年的能源消耗需求进行预测,用2011年的实际数据作为检验数据。

具体过程为:在区间[k-1, k]内,将该区间平均分为4份,然后计算f(xk+1/4), f(xk+2/4), f(xk+3/4)及4个小区间的中点值。

先令k=2,则区间定位为1, 2,将此区间平均分为4份,如图 2所示。

图 2 区间4等分

利用表 1中的原始数据,代入到动态序列模型中,得到

计算每个小区间的端点值,利用动态序列模型x(1)(t)=Aeα(t-1)+B, t≥1,即

从而得到优化背景值。

同理可得其他区间内的优化背景值,将所得结果代入到GM(1, 1)模型,得到模拟预测值。将传统模型和文献[12]的模型所得结果列于表 2,将文中优化的模型所得结果列于表 3

表 2 传统模型和文献[12]模型模拟预测值
年份 原始值/×108 传统方法 文献[12]方法
预测值/×108 相对误差/% 预测值/×108 相对误差/%
2002 14.43 14.43 0 14.43 0
2003 17.21 18.89 9.76 19.28 12.03
2004 20.33 20.58 1.23 20.94 3.00
2005 23.22 22.42 3.45 22.75 2.02
2006 25.60 24.42 4.61 24.72 3.44
2007 27.48 26.60 3.20 26.86 2.26
2008 28.70 28.97 0.94 29.18 1.67
2009 31.13 31.56 1.38 31.70 1.83
2010 33.97 34.37 1.18 34.44 1.38
2011 36.28 37.44 3.20 37.42 3.14
平均相对误差/% 2.90 3.08

表 23可以看出,基于复和辛普森求积公式结合动态序列模型优化GM(1, 1)模型背景值的方法在精度上比传统模型提高了0.30%,较文献[12]中提出的基于辛普森公式的背景值优化方法提高0.48%,且预测精度也有一定的提高。算例研究表明,文中优化后的模型具有较好的模拟效果和预测精度。

表 3 文中提出的模型模拟预测值
年份 原始值/×108 优化后的方法/×108 相对误差/%
2002 14.43 14.43 0
2003 17.21 18.77 9.06
2004 20.33 20.43 0.49
2005 23.22 22.25 4.18
2006 25.60 24.22 5.39
2007 27.48 26.38 4.00
2008 28.70 28.72 0.07
2009 31.13 31.27 0.45
2010 33.97 34.05 0.24
2011 36.28 37.07 2.18
平均相对误差/% 2.60

5 结束语

根据灰色系统建模理论,分析了传统GM(1, 1)模型的建模原理及传统模型预测误差产生的根源,认为影响灰色系统建模精度的一个重要原因是背景值构造。基于背景中构造的几何意义,文中提出了基于复合辛普森公式优化GM(1, 1)模型背景值的方法,利用2002~2011年可消耗能源总量数据进行模拟预测,证明该模型能够提高模拟和预测精度。该背景值的构造方法具有一定的理论意义和现实意义,能够使GM(1, 1)模型在实际应用中发挥更大的作用。

参考文献
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文章信息

沈艳, 张丽玲
SHEN Yan, ZHANG Liling
基于复合辛普森公式的GM(1, 1)模型背景值的优化
Optimization of background value in GM (1, 1) model based on compound Simpson quadrature formula
应用科技, 2016, 43(4): 81-84
Applied Science and Technology, 2016, 43(4): 81-84
DOI: 10.11991/yykj.201511001

文章历史

收稿日期: 2015-11-01
网络出版日期: 2016-07-22

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