灰色系统理论研究内容纷繁复杂、涉及面广,其中灰色预测模型是灰色系统理论的主要内容之一,而灰色GM(1, 1)模型是灰色预测模型中应用最广泛的一类模型,已经在许多领域得到了广泛应用[1-2]。研究发现,GM(1, 1)模型精度与背景值构造有着密切关系,许多学者通过对背景值构造的深入研究提出优化方法。蒋诗泉[3]等基于积分几何意义的视角,利用函数逼近的思想,结合复化梯形公式,提出一种新的GM(1, 1)模型背景值优化方法,得到了较好的预测效果;徐宁[4]等利用积分中值定理拟合真实背景值,构建新的灰色微分方程,使背景值同时具备无偏性和最小误差性,对实际问题的建模精度较高;熊萍萍、党耀国[5]对模型进行了背景值优化,并认为GM(1, 1)模型背景值优化公式与单变量GM(1, 1)模型中的优化公式并不完全一致,该方法在序列满足准指数条件时,能够得到较好的预测结果,并能够同时缩小由数据所带来的背景值偏差;王正新[6]等基于离散函数的累加性质,推导出优化背景值的一种方法,实例表明该方法不但提高了精度,同时突破了发展系数[-2,2]的局限;王育红[7]等基于背景值和初始条件同时优化的方法改进了GM(1, 1)模型,提高了模型的精度;文献[8-10]分别从不同角度改进了模型的背景值,都取得了较好的效果。
在以往学者的研究基础上,文中利用1次累加具有非齐次灰指数规律,在每个小区间内构建1次累加动态序列模型[3]。该模型的变量可以取任意数,基于GM(1, 1)模型背景值的几何意义,结合复合辛普森求积公式,提出1种新的GM(1, 1)模型背景值的优化方法。算例结果说明,改进的背景值公式能够提高GM(1, 1)预测的精度,具有一定的理论意义和现实意义。
1 GM(1, 1)动态预测模型建模机理定义1[1] 灰色GM(1, 1)预测模型中,设非负原始原始序列X(0),X(1)为其一阶累加生成的(1-AGO)序列,其中
Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列,
式中
(1) |
定义2[1] 称
(2) |
为白化微分方程。
称
(3) |
为灰色微分方程,也是GM(1, 1)模型的基本形式,其中z(1)(k)为GM(1, 1)模型的背景值。
定理1[1] 若
则GM(1, 1)模型x(0)(k)+az(1)(k)=b的最小二乘估计参数列满足
定理2[1] 1) 白化方程
2) GM(1, 1)模型
3) 还原值为
(4) |
由式(4)可知,GM(1, 1)模型的预测精度取决于参数a, b的值,而a, b的值又由z(1)(k)的值决定,所以背景值是影响模型精度的重要因素。
对式(2)在[k-1, k]上进行积分,得
结合式(3),得到
可以看出,背景值的几何意义是曲线x(1)(t)在区间[k-1, k]上与t轴所围成的曲边梯形的面积,如图 1所示,而传统的背景值计算公式(式(1))是梯形的面积,图中阴影部分就是误差的来源。
3 GM(1, 1)模型背景值改进的方法 3.1 背景值改进的原理定理3[6] 对于原始序列X(0), X(1)为其一阶累加生成序列。若x(0)(k)满足齐次指数增长规律,即x(0)(k)=ceα(k-1),则其一阶累加序列X(1)为非齐次指数序列形式,即x(1)(k)=Aeα(k-1)+B。
定义3[11] 记[k-1, k]=[a, b],将区间[a, b]分成n等分,节点为xk=a+kh, k=0, 1, …, n, h=(a-b)/n,则在每个小区间上采用辛普森公式,即
若记xk+1/2=xk+
记
称为复合辛普森求积公式。
定理4[3] 设非负原始数据序列为X(0)={x(0)(1), x(0)(2), …, x(0)(n)}, x(0)(i)>0,并设其一阶累加序列为x(1)(k)=Aeα(k-1)+B,则有
称x(1)(t)=Aeα(t-1)+B, t≥1为1-AGO动态序列预测模型。
3.2 改进背景值优化模型的建立下面给出应用复合辛普森求积公式结合动态序列模型优化GM(1, 1)模型背景值的具体算法步骤:
1) 输入原始序列x(0)(k), x(0)(k)>0,计算其一阶累加生成序列{x(1)(k)}。
2) 利用定理4计算出区间[a, b]上α, A, B的值,从而得到动态序列模型x(1)(t)=Aeα(t-1)+B, t≥1。
3) 将区间[a, b]进行n等分,分别求出各个节点处的函数值,即
4) 利用复合辛普森求积公式求出背景值:
5) 利用定理1求出参数a、b,并利用定理3中还原值的公式求出拟合值进行预测。
6) 计算序列中各原始数据与其相对应的各个模拟值的相对误差。
4 算例分析以2002~2011年的可消耗能源总量数据作为基础数据,具体见表 1。
108t | |||||
年份 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 |
能源总量 | 14.43 | 17.21 | 20.33 | 23.22 | 25.60 |
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 |
能源总量 | 27.48 | 28.70 | 31.13 | 33.97 | 36.28 |
在能源总量消耗预测比较中,以原始GM(1, 1)模型以及文献[12]中用辛普森公式改进背景值和文中基于复合辛普森公式优化背景值的GM(1, 1)模型为例,比较三者的预测精度;其中2002~2010年的可供消耗能源总量数据为原始数据,对2011年的能源消耗需求进行预测,用2011年的实际数据作为检验数据。
具体过程为:在区间[k-1, k]内,将该区间平均分为4份,然后计算f(xk+1/4), f(xk+2/4), f(xk+3/4)及4个小区间的中点值。
先令k=2,则区间定位为1, 2,将此区间平均分为4份,如图 2所示。
利用表 1中的原始数据,代入到动态序列模型中,得到
计算每个小区间的端点值,利用动态序列模型x(1)(t)=Aeα(t-1)+B, t≥1,即
从而得到优化背景值。
同理可得其他区间内的优化背景值,将所得结果代入到GM(1, 1)模型,得到模拟预测值。将传统模型和文献[12]的模型所得结果列于表 2,将文中优化的模型所得结果列于表 3。
年份 | 原始值/×108 | 传统方法 | 文献[12]方法 | |||
预测值/×108 | 相对误差/% | 预测值/×108 | 相对误差/% | |||
2002 | 14.43 | 14.43 | 0 | 14.43 | 0 | |
2003 | 17.21 | 18.89 | 9.76 | 19.28 | 12.03 | |
2004 | 20.33 | 20.58 | 1.23 | 20.94 | 3.00 | |
2005 | 23.22 | 22.42 | 3.45 | 22.75 | 2.02 | |
2006 | 25.60 | 24.42 | 4.61 | 24.72 | 3.44 | |
2007 | 27.48 | 26.60 | 3.20 | 26.86 | 2.26 | |
2008 | 28.70 | 28.97 | 0.94 | 29.18 | 1.67 | |
2009 | 31.13 | 31.56 | 1.38 | 31.70 | 1.83 | |
2010 | 33.97 | 34.37 | 1.18 | 34.44 | 1.38 | |
2011 | 36.28 | 37.44 | 3.20 | 37.42 | 3.14 | |
平均相对误差/% | 2.90 | 3.08 |
由表 2、3可以看出,基于复和辛普森求积公式结合动态序列模型优化GM(1, 1)模型背景值的方法在精度上比传统模型提高了0.30%,较文献[12]中提出的基于辛普森公式的背景值优化方法提高0.48%,且预测精度也有一定的提高。算例研究表明,文中优化后的模型具有较好的模拟效果和预测精度。
年份 | 原始值/×108 | 优化后的方法/×108 | 相对误差/% |
2002 | 14.43 | 14.43 | 0 |
2003 | 17.21 | 18.77 | 9.06 |
2004 | 20.33 | 20.43 | 0.49 |
2005 | 23.22 | 22.25 | 4.18 |
2006 | 25.60 | 24.22 | 5.39 |
2007 | 27.48 | 26.38 | 4.00 |
2008 | 28.70 | 28.72 | 0.07 |
2009 | 31.13 | 31.27 | 0.45 |
2010 | 33.97 | 34.05 | 0.24 |
2011 | 36.28 | 37.07 | 2.18 |
平均相对误差/% | 2.60 |
5 结束语
根据灰色系统建模理论,分析了传统GM(1, 1)模型的建模原理及传统模型预测误差产生的根源,认为影响灰色系统建模精度的一个重要原因是背景值构造。基于背景中构造的几何意义,文中提出了基于复合辛普森公式优化GM(1, 1)模型背景值的方法,利用2002~2011年可消耗能源总量数据进行模拟预测,证明该模型能够提高模拟和预测精度。该背景值的构造方法具有一定的理论意义和现实意义,能够使GM(1, 1)模型在实际应用中发挥更大的作用。
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