MIMO(multiple-input multiple-output)雷达是近年来提出的一种新型体制雷达^[1]，与以往雷达相比具有许多优势，按天线的配置其可分为统计MIMO雷达和双(单)基地MIMO雷达。双基地MIMO雷达由于发射相互正交的信号^[2]，通过匹配滤波可以形成大的虚拟阵列孔径，增加了自由度，提高了雷达的角度分辨力，因而引起了许多相关学者的关注。

近10年，关于双基地MIMO雷达测向研究取得了丰硕的成果。文献[3]利用最大似然方法估计目标的DOD和DOA，并利用轮换投影算法以降低最大似然方法多维搜索的运算量。文献[4]提出了一种RD-MUSIC算法，与2D-MUSIC算法相比，在降低运算量的同时，估计精度也相应降低。文献[5]对文献[4]进行了推广，算法的性能得到了提高。文献[6]利用压缩感知的方法，通过冗余字典矩阵中原子的位置估计目标的DOD，然后利用恢复信号估计目标的DOA，而且DOD和DOA不需要额外配对，但是算法的估计精度取决于压缩感知算法的恢复精度。文献[7]基于张量分解并使用特殊矩阵互质阵进行MIMO雷达目标的DOD、DOA和多普勒频率估计。针对相干目标，文献[8]推导了几种空间平滑算法以解决MIMO雷达相干目标的测向问题。文献[9]将匹配滤波后的数据转换成三阶测量张量，再配合传统测向算法以提高目标角度估计的精确性。文献[10]通过数据的互相关矩阵消除空间色噪声，但是算法仅对发射端阵元为2个或3个时有效。文献[11]使用了2次ESPRIT算法估计目标的DOD和DOA，且算法能够自动配对，虽然方法简单，但是角度估计性能差。文献[12]利用联合对角化方向矩阵估计目标的DOD和DOA，该方法不需要额外配对，且能够增加阵元的自由度。

本文将匹配滤波之后的数据构造测量张量，利用张量的高阶奇异值分解来构造信号子空间来有效地抑制噪声，然后通过传统的ESPRIT算法来估计目标的DOD。将信号子空间进行矩阵变换并与估计的DOD一起估计接收端的导向矢量，最后估计目标的DOA。注意，在文中⊗、⊕、*、()^T、()^H和()^#分别表示为Kronecker积、Khatri-Rao积、共轭、转置、共轭转置和伪逆，D_k()表示将括号中矩阵的第k行作为对角元素组成的对角阵。diag()表示以括号中的元素为对角元素组成的对角阵。angle()为求取导向矢量的相位。

1 双基地MIMO雷达信号模型

假设双基地MIMO雷达系统的发射端和接收端阵元数分别为M和N，且均为相邻阵元间距半波长的均匀线阵。发射端发射M路同频率同带宽的窄带正交信号，经P个目标反射到接收端，在接收端通过匹配滤波后接收数据为

式中A=A_t⊕A_r为双基地MIMO雷达系统的导向矢量，L为快拍次数。定义

式中a_tφ_p=[1 e^{jπsin φ_p}…e^{jπ(M－1)sin φ_p}]^T为发射端的阵列导向矢量，p=1,2,…,P；a_r(Φ_p)=[1e^{jπsin φ_p}…e^{jπN－1sin φ_p}]^T为接收端的阵列导向矢量，φ_p和Φ_p分别为目标p的DOD和DOA；s(l)=[β₁e^j2πf₁t_l,β₂e^j2πf₂t_l,…,β_Pe^j2πf_Pt_l]^T，β_p和f_p分别为目标p的雷达截面的反射系数和多普勒频率，t_l为第l次快拍的时间；n(t)为MN×1维的高斯噪声矢量。

经过L次快拍获得的数据矩阵为

式中：

2 基于张量ESPRIT-SVD的DOD和DOA的联合估计 2.1 双基地MIMO雷达的张量ESPRIT-SVD测向算法

根据文献[9]，将L次快拍数据利用匹配滤波的多维结构特性构造三阶测量张量X_∈C^M×N×L，并求取四阶采样协方差张量R∈C^M×N×M×N：

式中：m₁、m₂=1,2,…,M；n₁、n₂=1,2,…,N。

对4阶协方差张量进行高阶奇异值分解(HOSVD)：

式中：U为核张量，U_i为R_(i)奇异值分解的左奇异值矢量，{R_(i)=U_iΣ_iV_i^H}_i=1⁴，R_(i)为R按i模展开。

构造新的协方差矩阵，具体推导过程请参考文献[9]：

式中：R=1/L·XX^H，U-_is为R_(i)奇异值分解P个最大奇异值所对应的左奇异值矢量。

对构造的新协方差矩阵R_simp进行特征分解得

式中：E_s和Σ_s分别为协方差矩阵R_simp的MN×P维的信号子空间和P个大特征值组成的对角矩阵；同理，E_n和Σ_n分别为MN×(MN－P)维的噪声子空间和MN－P个小特征值组成的对角矩阵。易知，存在唯一P×P维的非奇异矩阵T，使

首先，定义接收数据的前N(M－1)维为

则接收数据的后N(M－1)维为

式中A_f2=A_f1Θ_t，且

假设E_f1和E_f2分别为数据X_f1(l)和X_f2(l)的协方差矩阵经过特征分解以后的信号子空间，那么E_f2=E_f1T^－1Θ_tT=E_f1Ψ，其中Ψ=T^－1Θ_tT。因此，可以通过ESPRIT算法即可估计目标的DOD。

易知，可以通过一个置换矩阵H，使HA=B，其中B=A_r⊕A_t。使用置换矩阵H乘以式(7)，则

将式(10)中的块矩阵按行排列组成一个新的矩阵如下：

根据估计的DOD构建接收端的导向矢量Â_t，然后利用导向矢量Â_t的伪逆Â_t^#乘以式(11)得

在理想情况下，式(12)为

取E_r的第p行E_r(p,:)，从第1个元素开始，每P个元素作为一个块矩阵，排列成一个新的列矩阵：

若存在噪声条件下，E_r应修改为

式中Z为误差矩阵，然后取Ê_r的第p行Ê_r(p,:)。同样地，从第一个元素开始，每P个元素作为一个块矩阵，排列成一个新的列矩阵：

式中z^p为相对应的噪声部分。

对式(15)进行截尾奇异值分解得

式中：

假设特征值最大值为σ₁^p，则其所对应的特征矢量为u₁^p=γ₁^pA_r(:,p)=γ₁^pa_r(Φ_p)，其中γ₁^p为复数。我们可以采用文献[10]中的方法估计目标的DOA。求取特征矢量u₁^p的相位

取

则

式中n=1,2,…,N。

若令

则

理论上，目标p所对应的接收端导向矢量的相位应为

式中Π=[0, π, …, (N－1)π]^T，则

假设构建的发射端的导向矢量Â_t的第p列对应目标的DOD为_p，则_p和_p分别为目标p的DOD和DOA。通过上述方法就能估计出任意目标的DOD和DOA，且DOD和DOA不需要额外配对。

2.2 ESPRIT-SVD联合测向算法步骤

根据上文的分析，可以总结出基于张量ESPRIT-SVD算法的双基地MIMO雷达测向方法的具体步骤如下：

1)将通过匹配滤波之后的数据构造测量张量，进而求取协方差张量。

2)对协方差张量进行特征分解求取信号子空间如式(6)，利用阵元间的旋转不变性使估计目标的DOD。

3)通过式(10)和(11)对信号子空间E_s进行矩阵变换得E_ex。利用估计的DOD构建发射端的导向矢量Â_t，通过式(14)和(15)获得Ê_new^p。

4)对Ê_new^p进行截尾奇异值分解如式(16)，获得接收端的导向矢量。利用式(17)~(21)估计目标的DOA。

3 实验仿真

在仿真实验中，使用ESPRIT-SVD算法与ESPRIT^[11]算法和JDDM^[12]算法进行比较。假设收发端阵元间距均为半波长，发送端发送的是Hadamard编码的相位编码信号。假设有3个观测目标，目标角度分别(φ₁,Φ₁)=(15°,20°)、(φ₂,Φ₂)=(35°,30°)和(φ₃,Φ₃)=(45°,50°)。

定义均方根误差公式为

图 1为成功概率随信噪比的变化曲线。仿真实验中，收发阵元分别为10个，蒙特卡罗仿真次数为200次，快拍数为25次。对每一个目标的DOD和DOA，若估计角度与真实角度差的绝对值小于等于1°，就认为算法估计成功一次。由图 1可知，随着信噪比变化的过程中，ESPRIT算法优于JDDM算法，ESPRIT-SVD算法的成功概率最好。

图 2为均方根误差随信噪比的变化曲线。仿真中收发阵元分别为10个，蒙特卡罗仿真次数为200次，快拍数为25次。由图 2看出，随信噪比变化的过程中ESPRIT-SVD算法的均方根误差最小。

图 3为均方根误差随快拍数的变化曲线。仿真中收发阵元分别为10个，信噪比为0 dB，蒙特卡罗仿真次数为200次。由图 3可以看出，该算法的均方根误差最好，且均方根误差明显优于JDDM算法和ESPRIT算法。

图 4为均方根误差随收发阵元数的变化曲线。仿真实验中，快拍数为50次，信噪比为0 dB，蒙特卡罗仿真次数为200次，取收发阵元数目相等。由图 4看出，ESPRIT-SVD算法在收发阵元数变化的过程中，均方根误差明显小于JDDM算法和ESPRIT算法，并且随收发阵元数目的增大，优势更明显。

4 结论

文中提出了ESPRIT-SVD算法。

1)利用张量结构构造信号子空间，并将其应用到ESPRIT-SVD算法。

2)该方法不需要MUSIC算法中的二维谱峰搜索以及极大似然方法的多维搜索，运算量比较小。

仿真结果表明，该算法具有较好的测向精度，不需要额外配对。