由于非圆信号伪协方差矩阵不为零，可以扩展阵列接收数据矩阵，相当于虚拟地扩展了阵元数目、提高了测向精度，估计的信源个数也加倍^[1]，这些特性获得了高度的关注，且被广泛地应用于雷达与通信领域中。根据这一特性，许多学者提出了基于非圆信号的子空间类算法^{[2, 3]}，在一定程度上提高了测向精度；有学者提出在保证精度的同时，降低了扩展矩阵带来的运算量^{[4, 5, 6]}。目前的NC-MUSIC(non-circular multiple signal classification)算法对常见的非圆信号都适用，而NC-ESPRIT(non-circular estimating signal parameters via rotational invariance techniques)算法为了构造旋转不变关系，只适用最大非圆率信号。大部分的文献中^{[7, 8, 9]}，对基于非圆信号算法的研究，列举出的非圆信号一般都是二相相移键控(binary phase shift keying，BPSK)信号，幅度调制类的信号,正交相移键控(quadrature phase shift keying，QPSK)信号及非平衡四相相移键控(unbalanced quadra-ture phase shift keying，UQPSK)信号，鲜少有人提及的雷达信号中典型的线性调频(linear frequency modulation，LFM)信号^[10]。线性调频信号是一个广泛用于雷达图像与目标分辨的信号^[11]，频率随时间变化，所以其非圆率不再是一个恒定的值,而是随着调制时长而发生变化。利用文献^[12]中波束形成的估计方法，进行改进应用到空间谱估计中。 1 数学模型

设有q个远场窄带信号入射到均匀圆阵上，阵元数为M，天线模型如图 1所示。

图 1 均匀八天线模型

图选项

天线阵列接收的数据矩阵为

X(t)=A(α,β)S(t)+N(t)

对于任意的复随机信号s(t)，定义^[13]

根据式(1)，则可以定义非圆率为

雷达信号中常见的线性调频信号，可以表示成如下形式：

则根据同相分量与正交分量，就可以得到

由于是在[0,T₀]的矩形脉冲内观测,所以用时间平均〈·〉去近似均值，根据式(3)可以得到线性调频信号的非圆率为

从式(4)可以看出，得出的线性调频信号的非圆率随着矩形脉冲的调制时长发生变化。

而一般的BPSK信号与幅度调制类的信号通过定义式即可求得一个恒定的非圆率。BPSK调制信号的数学表达式可以表示为s(t)=[a_ng(t-nT_s)]·cos(2πf₀t)，其中a_n=±1表示极性，g[·]表示矩形脉冲，可以看出只有同相分量，则非圆率就为1，其余信号类似。

实际工程中接收的数据一般是同相分量与正交分量，则将线性调频信号表示成复解析信号的形式：

在实际工程中，阵列接收数据是经过采样得到的，而且采样数也是有限的，所以只能通过一定的观测序列去接近实际的信号，假设各信号之间是不相关的，由最大似然原理可得协方差矩阵为

由于实际中无法得到理想的信号，考虑到噪声和阵元之间的相位偏移，需要进一步研究。

由于非圆信号的伪协方差矩阵不为零，利用这一维信息，则接收数据矩阵可以表示为

对有限时间观测的信号，将2个信号的内积定义为(u(t),v(t))=〈E[u(t)v^*(t)]〉，利用希尔伯特空间的正交分解，可以将信号s^*(t)在s(t)上的分解为^[14]

根据式(6)，则扩展数据接收矩阵可以表示为

为了下面的推导简单起见，令

将式(7)和式(8)代入到似然谱估计的最小值min{b^H(ρ)R_Y^-1b(ρ)}中，可得

文献^[12]推导出的非圆率估计方法只是针对一个信号非圆率的求解，而且是用在宽线性波束形成器上。式(10)在此基础上改进，可以对多个信号同时入射求解，先利用信源数估计方法得到信源的个数，再用空间谱估计方法，得到入射信号的方位角与仰角，构造导向矢量，最后根据信源数个数分别对式(10)计算，可以得到每个信号的非圆率，得出不同的非圆率对信号的识别能起到了很大的作用。当然对于这一种方法具体的描述，只是适用恒定非圆率信号。

对于线性调频信号而言，导向矢量是一个关于阵元个数、信源个数、观测时长(快拍数)的一个三维的矩阵，将式(10)改为

从式(12)可以看出，不同的快拍数L，会得到不同的非圆率，也就是和调制的时长有关。

假设2个调频斜率不一样的线性调频信号同时入射，由于在较低快拍数及较高采样频率下，两者变化频率Δf相差不大。线性调频信号的非圆率与调频时长有关，即与偏移的频率有关，所以2个信号很难分辨开，只有在快拍数达到足够大，采样频率足够低，两者变化的频率Δf足够大，才能实现分辨。然而这明显不符合实际工程情况，有待进一步研究。 3 非圆率信号性能分析

通过仿真对文中的方法性能进行分析，验证该方法能对多个恒定非圆率的信号进行分辨，得出各个信号的非圆率，同时验证了线性调频信号的非圆率随调制时长变化而变化。对所有的仿真，均使用8阵元，直径为300 mm，均匀摆放。

定义均方根误差为

假设同时入射4个中心频率3 GHz的信号，2个BPSK信号，1个QPSK信号，1个UQPSK信号，方位角为25°、45°、65°、85°，对应仰角为35°、55°、65°、85°，非圆相位为10°、20°、30°、40°，UQPSK信号的非圆率为0.6。首先假设快拍数为200，信噪比为-5~25 dB，在每个信噪比下进行100次蒙特卡罗实验，统计不同信噪比下均方根误差，如图 2。

图 2 均方根误差与信噪比的关系

图选项

然后设置信噪比为14 dB，快拍数的范围为16~1 166，在每个快拍数下进行100次蒙特卡罗实验，统计不同快拍数下的均方根误差如图 3所示。

图 3 均方根误差与快拍数的关系

图选项

图 2是联合估计4个信号的非圆率均方根误差随信噪比变化的曲线，可以看出随着信噪比的增加，该算法估计精度提高，而且在低信噪比时，能达到较高的估计精度；当信噪比为5 dB时，理想与噪声情况下就基本达到一致。图 3是固定信噪比为14 dB时，联合估计4个信号的非圆率均方根误差随快拍数变化的曲线。当快拍数增加时，对非圆信号的非圆率估计精度也提高；当快拍数为66时，理想与噪声情况下的估计就基本重合。高斯白噪声条件下，在快拍数为16时，可以看出均方根误差较大，由于非圆率本身就在0≤|ρ|≤1之间，所以在这种仿真条件下，不能得到正确的估计，所以快拍数至少应该大于等于66。

假设入射一个线性调频信号，调频斜率为6×10¹²，采样频率为100 MHz，初始频率为30 MHz，信噪比为14 dB，快拍数为16~1 166，入射信号的方位角、仰角为(45°,85°)，统计每个快拍数下的非圆率，如图 4所示。

图 4 非圆率与快拍数的关系

图选项

从图 4可以看出，线性调频信号的非圆率随着快拍数的增加而发生变化。理想情况下得出的非圆率和有噪声情况下得出的非圆率基本与理论值重合，可见此种方法具有较高的精度和良好的抗噪声能力。随着矩形脉冲的时长增大，偏移的频率就越大，则线性调频信号的非圆率就逐渐趋近于零，可见线性调频信号的非圆率与调制的时长有关系。

假设入射一个线性调频信号，调频斜率为6×10¹²，采样频率为100 MHz，初始频率为30 MHz，快拍数固定在200，非圆率则为0.048，入射信号的方位角、仰角分别为45°、85°，信噪比的范围为-5~25 dB，在每个信噪比下进行100次蒙特卡罗实验，统计每个信噪比下的均方根误差，如图 5所示。

图 5 均方根误差与信噪比的关系

图选项

从图 5可以看出，在固定快拍数的条件下，非圆率的精度随着信噪比的增加而提高。理想情况下，均方根误差无限接近于零。在白噪声情况下，此时的均方根误差也接近零；可见在低信噪比情况下，测得非圆率的精度就能达到保证，所以在低信噪比情况下适用。 4 结束语

文中推导了调制信号在理想情况和高斯白噪声情况下的非圆率计算方法。第1种情况利用的是最大似然估计原理；第2种情况是利用希尔伯特空间的正交分解，重构导向矢量，借助最大似然谱估计来给出调制信号的非圆率。该方法能够对多个同时入射的恒定非圆率信号的非圆率进行估计，以及能对单个LFM信号的非圆率进行实时测量。计算机实验结果表明，此方法在低快拍数和低信噪比条件下，对非圆率的估计就能达到较高的精度，也对以后工程研究，即识别出非圆率不同的雷达与诱饵具有很大的帮助。