随着现代化武器的高速发展,目标机动方式越来越复杂多样,蛇形机动[1, 2, 3]方式的出现使得对目标的拦截难度大大提升。当前阶段,在导弹拦截的末制导段,主要通过导引头获取弹目之间的相对速率、视线角及视线角速率信息对导弹进行制导,实现对目标的精确打击。视线角速率通常都很小,但是通过导引头所测得的视线角速率信息通常都含有一定的噪声,在目标匀速运动的情况下,噪声对拦截精度通常影响不大,但是当目标做蛇形机动时,噪声的影响会大大降低拦截的精度,这就需要对视线角及视线角速率信息进行滤波,降低噪声的干扰,提高拦截的精度。
在对蛇形机动目标进行拦截时视线角速率的变化率很小,在工程上通常近似认为视线角速率的变化率为零,并将目标机动引起的视线角速率的变化看成一种干扰。现有的滤波算法种类很多,如α-β滤波[4, 5, 6]、α-β-γ滤波、卡尔曼滤波[7, 8, 9]、扩展卡尔曼滤波、无迹卡尔曼滤波、两步滤波、粒子滤波等。针对视线角速率近似不变的情况,可以采用α-β滤波和卡尔曼滤波算法对视线角信息进行滤波。
1 视线角数学模型在导弹拦截的末制导阶段,视线角速度的变化通常都不大,近似为零。以采用比例导引律[10]拦截蛇形机动目标的情况为例,取 ,取Z=[qε qβ]T为观测量,系统的离散状态方程为
其中观测方程为 其中,
2 α-β滤波
α-β滤波器是基于方差和最小准则进行滤波和预测的。目标运动的离散状态方程如式所示,假设观测值为目标的位置x(k),则α-β滤波算法可以表述如下:
预测方程为
增益矩阵为
量测新息为
式中:xo(k+1)为目标位置观测值。
状态估计
式中:T为采样周期,令 式中:σw为过程噪声标准差;σv为测量噪声标准差;λ被称为目标机动指数。参数α和β是由目标机动参数λ决定的,其关系如下
在实际系统中,过程噪声标准差通常是未知的,故不能通过式(3)、(4)计算出滤波器的增益参数α和β,Kalata在文献[4]中证明α和β存在如下最优关系式
如果确定了参数α,那么也就确定了参数β的最优值。 3 卡尔曼滤波
设离散时间系统在tk时刻的状态方程为式(1),观测方程为式(2),其中,X(k)为n维被估计状态向量,Z(k)为m维观测向量,W(k)为r维过程噪声,V(k)为m维观测噪声,Φ为n×n维状态转移矩阵,Γn×r维过程噪声输入矩阵,H为m×n维观测矩阵。
过程噪声W(k)和观测噪声V(k)的统计特性满足如下条件:
式中:Q(k)为离散系统过程噪声序列的方差阵,假设为非负定阵;R(k)为离散系统测量噪声序列的方差阵,假设为正定阵。δkj是Kroneckerδ函数。通常情况下,测量噪声协方差阵R(k)可以通过离线获取系统测量值进行统计得到,但是系统噪声协方差阵Q(k)作为机动目标的模型误差是很难准确获取的。
给定初始条件:
则X(k)的估计 可按下述方程求解:
状态一步预测
状态误差协方差一步预测
滤波增益
状态更新
状态误差协方差更新
式(5)~(9)即为卡尔曼滤波基本方程。 4 仿真结果及分析在末制导初始时刻,设定目标相对拦截弹的位置为post=[54 000 15 000 50],运动速率为Vt=1 450 m/s,目标加速度按余弦规律变化,即为at2=[0 0 Acos(ωt)],其中A=2 g,ω=0.2 π,拦截弹的运动速率为Vm=2 040 m/s,采用比例导引律进行制导,拦截弹的最大过载为10 g,采样周期T=0.015 s,视线角测量噪声标准差为σq=0.001 rad,视线角速率测量噪声标准差为 =0.01 rad/s。通过对α-β滤波算法的分析知道,α1仅影响qε和 滤波结果,α2仅影响qβ和 滤波结果,为选择合适的参数α1和α2,在0~0.1选取1 000组选取不同α1和α2对视线角信息进行滤波,选取估计误差较稳定时段(第1~16 s)对每组α1和α2值对应均方根误差(root mean spuare error,RMSE)进行计算,仿真结果如图 1~2。
选取一组估计误差较小的参数为α1=0.05,α2=0.06。以视线角信息实际值作为比例导引律输入,分别采用α-β滤波算法与KF算法进行滤波,仿真结果如图 3~7。图 4~7为滤波结果在第6~8 s的放大图,可以看出,视线角信息的直接测量结果误差比较大,采用滤波算法后能大大减小测量误差,且α-β滤波算法的估计误差比KF算法的估计误差更小。采用无滤波、α-β滤波和卡尔曼滤波方式对视线角信息进行处理,进行500次蒙特卡洛仿真,对脱靶量及拦截时间进行统计如表 1。
由表 1可知,在无滤波情况下脱靶量较大;在采用α-β滤波和卡尔曼滤波进行处理后,脱靶量明显减小,且两者脱靶量相差不大,这主要是因为在弹目相对距离比较小时,卡尔曼滤波效果比α-β滤波好。
滤波方式 | 无滤波 | α-β滤波 | 卡尔曼滤波 |
脱靶量均值/m | 6.661 4 | 1.127 0 | 1.046 8 |
脱靶量标准差/m | 8.295 4 | 0.437 1 | 0.473 7 |
拦截时间均值/s | 16.507 0 | 16.490 0 | 16.493 0 |
以比例导引律下拦截蛇形机动目标为例,对α-β滤波算法参数进行选择,然后对比了α-β滤波和卡尔曼滤波估计效果,结果表明在选择了合适参数后,α-β滤波效果比卡尔曼滤波效果好,但采用两者算法对视线角滤波后,均能减小脱靶量并缩短拦截时间,两者脱靶量和拦截时间相差不大。α-β滤波参数是通过多次仿真对数据分析后得到的,如何提高参数的自适应设计、根据α-β滤波器的参数对卡尔曼滤波噪声参数进行设计,有待进一步研究。
[1] | OHLMEYER E J. Root-mean-square miss distance of proportional navigation missile against sinusoidal target[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1996, 19(3): 563-568. |
[2] | 张亮亮, 周峰, 徐彤. 新的"S-蛇形"机动目标模型及跟踪方法研究[J]. 电光与控制, 2012, 19(9): 13-16, 22. |
[3] | 王晓天, 贾宇, 陈方斌. 一种用于"蛇形"机动目标的跟踪方法研究[J]. 应用光学, 2009, 30(1): 65-68. |
[4] | KALATA P R. The tracking index: a generalized parameter for α-β and α-β-γ target trackers[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1984, 20(2): 174-182. |
[5] | 朱薇, 夏传浩. 一种改进的α-β目标跟踪滤波算法[J]. 计算机应用, 2007, 27(8): 2053-2055, 2080. |
[6] | 王豪, 吴向东, 魏明英. 基于α-β滤波算法的目标运动信息滤波与估计[J]. 现代防御技术, 2009, 37(3): 49-51, 63. |
[7] | KALMAN R E. A new approach to linear filtering and prediction problems[J]. Journal of Basic Engineering, 1960, 82(1): 35-45. |
[8] | 严浙平, 黄宇峰. 基于卡尔曼滤波的动目标预测[J]. 应用科技, 2008, 35(10): 28-32. |
[9] | 刘胜, 张红梅. 最优估计理论[M]. 北京: 科学出版社, 2011. |
[10] | 李新国, 方群. 有翼导弹飞行动力学[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2005: 25-28. |