(1)一型模糊模型

模糊方法中每个像素可以属于所有类别，并用模糊隶属度表示像素隶属于不同类别的程度。对于给定图像X={x_j，j=1，…，n}，j为像素索引，n为总像素数，x_j为第j个像素光谱测度，建立如下模糊隶属度矩阵:

$ F = {\left[ {{F_{ji}}} \right]_{n \times m}} $ (2)

式中，m为类别，i=1，…，m为类别索引，F_ji表示第j个像素属于第i类的隶属程度，满足约束条件0≤F_ji≤1并且$\sum\limits_{j = 1}^n {{F_{ji}} = 1} $。 建立以下高斯函数模型作为一型模糊模型。

$ {F_{ji}} = {\beta _i} \times \frac{1}{{\sqrt {2\pi } {\sigma _i}}}\exp \left\{ { - \frac{{{{\left({{x_j} - {\mu _i}} \right)}^2}}}{{2\sigma _i^2}}} \right\} $ (3)

式中，系数0＜β_i≤1使F_ji满足上述约束，μ_i、σ_i为第i类的均值和标准差。文中采用监督分割法按类别提取训练样本，最小二乘法对每一类训练样本进行直方图拟合建立上述一型模糊图像模型。

(2)具有不确定均值和标准差的区间二型模糊模型。

为了提高分割决策的准确性和增强像素类属的不确定性表达，扩展式(3)中的均值与标准差为一个区间，建立区间二型模糊图像模型。该模型中每个像素的隶属度为一个区间，并且区间内所有元素出现的概率相同。

具有不确定均值的区间二型模糊模型表达如下：

$ F{'_{ji}} = {\beta _i} \times \frac{1}{{\sqrt {2\pi } {\sigma _i}}}\exp \left\{ { - \frac{{{{\left({{x_j} - {\mu _{i1}}} \right)}^2}}}{{2\sigma _i^2}}} \right\} $ (4)

式中，F′_ji∈[ F_ji^-，F_ji⁺]，μ_i1∈[μ_i^-，μ_i⁺]，μ_i^-，μ_i⁺，F_ji^-，F_ji⁺分别表示均值的上、下界和隶属度的上、下界。当μ_i1=μ_i^-时F′_ji=F′_ji^-，当μ_i1=μ_i⁺时F′_ji=F′_ji⁺ 。依据下式确定均值区间的上、下界：

$ \begin{array}{*{20}{c}}{\mu _i^ - = {\mu _i} - {\alpha _i} \times {\sigma _i}}\\{\mu _i^ + = {\mu _i} + {\alpha _i} \times {\sigma _i}\;\;\;{\alpha _i} \in \left[ {0，3} \right]}\end{array} $ (5)

式中，α_i为调节因子，i=1，…，m，因为高斯分布中落在[μ-3σ，μ+3σ]之间的概率为99.7%，所以限制α_i∈[0，3]，来控制FOU的变化范围。

具有不确定均值的区间二型模糊模型的隶属度上界和下界计算如下：

$ F_{ji}^ + = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {F_{ji}^{, - }}&{{x_j}AAA\mu _i^ - }\\ 1&{\mu _i^ - \le {x_j} \le \mu _i^ + }\\ {F_{ji}^{, + }}&{{x_j} > \mu _i^ + } \end{array}} \right. $ (6)

$ F_{ji}^ - = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {F_{ji}^{, - }}&{{x_j} \le \frac{{\mu _i^ - + \mu _i^ + }}{2}}\\ {F_{ji}^{, + }}&{{x_j}AAA\frac{{\mu _i^ - + \mu _i^ + }}{2}} \end{array}} \right. $ (7)

具有不确定标准差的区间二型模糊模型为：

$ F{'_{ji}} = {\beta _i} \times \frac{1}{{\sqrt {2\pi } {\sigma _{i1}}}}\exp \left\{ { - \frac{{{{\left({{x_j} - {\mu _i}} \right)}^2}}}{{2\sigma _{i1}^2}}} \right\} $ (8)

式中，σ_i1∈[σ_i^- _，σ_i⁺]，σ_i^-和σ_i⁺表示标准差的上、下界，依据下式确定：

$ \sigma _i^ - = \frac{{{\sigma _i}}}{{{c_i}}}\;\;\;\sigma _i^ + = {\sigma _i} \times {c_i}\;\;\;{c_i} \in \left[ {0.3，1} \right] $ (9)

式中，c_i为调节因子，隶属度的上、下界依据下式计算：

$ F_{ji}^ + = {\beta _i} \times \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma _{ji}^ - }}\exp \left\{ { - \frac{{{{\left({{x_j} - {\mu _i}} \right)}^2}}}{{2\sigma _i^{ - 2}}}} \right\} $ (10)

$ F_{ji}^ - = {\beta _i} \times \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma _{ji}^ + }}\exp \left\{ { - \frac{{{{\left({{x_j} - {\mu _i}} \right)}^2}}}{{2\sigma _i^{ + 2}}}} \right\} $ (11)

灰度空间上，任意一点的一型模糊隶属度和区间二型模糊隶属函数的上、下隶属度对分割决策的影响程度与该点直方图频率值的相似性成正比，其相似性越大发挥的作用也越大；并且第j个像素属于i的类属程度不仅与上述3种隶属度有关，还与其邻域像素属于第i类的隶属程度有关，其邻域像素属于第i类的隶属度越大，第j个像素属于第i类的隶属程度就越高。根据以上原则建立融入空间关系的模糊决策模型：

$ F'{'_{ji}} = \frac{1}{{{N_j}}}\sum\limits_{k \in {N_j}} {\left({W_{ki}^ + F_{ki}^ + + {W_{ki}}{F_{ki}} + W_{ki}^ - F_{ki}^ - } \right)} $ (12)

式中，N_j=9为以第j个像素为中心的3×3窗口，k=1，…，9为窗口中像素索引。F_ki 、F_ki⁺和F_ki^-表示窗口中第k个像素属于第 i 类的主隶属度及上、下隶属度。0≤W_ki≤1，0≤W_ki⁺≤1，0≤W_ki^-≤1表示窗口内3种隶属度在模糊决策模型中的权重，并且满足约束条件W_ki^-+W_ki+W_ki⁺=1。文中用Euclidean距离定义各类别训练数据的3种隶属度与其对应直方图频率值的相似性程度，公式如下：

$ \begin{array}{*{20}{c}}{{A_{ki}} = \frac{1}{{{{\left({{y_{ki}} - {F_{ki}}} \right)}^2}}};}\\{A_{ki}^ + = \frac{1}{{{{\left({{y_{ki}} - F_{ki}^ + } \right)}^2}}};A_{ki}^ - = \frac{1}{{{{\left({{y_{ki}} - F_{ki}^ - } \right)}^2}}}}\end{array} $ (13)

式中，y_ki表示窗口内第k个像素在第i类直方图中的频率值。规则化式(13)得权重公式如下：

$ {W_{ki}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{A_{ki}}}}{{A_{ki}^ - + {A_{ki}} + A_{ki}^ + }}}&{{y_{ji}} \ne {F_{ji}}}\\1&{{y_{ji}} = {F_{ji}}}\end{array}} \right. $ (14)

$ W_{ji}^ - = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{A_{ki}^ - }}{{A_{ki}^ - + {A_{ki}} + A_{ki}^ + }}}&{{y_{ji}} \ne F_{ji}^ - }\\1&{{y_{ji}} = F_{ji}^ - }\end{array}} \right. $ (15)

$ W_{ji}^ + = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{A_{ki}^ + }}{{A_{ki}^ - + {A_{ki}} + A_{ki}^ + }}}&{{y_{ji}} \ne F_{ji}^ + }\\1&{{y_{ji}} = F_{ji}^ + }\end{array}} \right. $ (16)

由此可知，在不考虑邻域关系的情况下，当像素的某一隶属度值与对应的频率值相等时，该像素的类属仅由此隶属信息决定，其他隶属度不参与决策。依据式(14)—(16)对图像进行计算得到以下模糊隶属度矩阵：

$ {F^*} = {\left[ {F'{'_{ji}}} \right]_{n \times m}} $ (17)

为了得到明晰的分割结果，需要对模糊隶属度矩阵F^*反模糊化，本文采用最大隶属度准则对图像进行区域划分：

$ {Z_j} = {\arg _i}\left\{ {\max \left\{ {F'{'_{ji}}} \right\}} \right\}，\;\;\;i = 1，\cdots，m;j = 1，\cdots，n $ (18)

式中，Z_j表示第j个像素的所属类别，并用Z={Z₁，Z₂，…，Z_n}表示明晰分割结果。

图 2(a)为1 m分辨率的IKONOS全色影像，灰度由浅到深包含土地、草坪和林区3种地物；图 2(e)和图 2(i)为0.5 m分辨率的World View-II全色影像，灰度由浅到深分别为房屋，地面和树林(图 2(e))以及道路、植被和水域(图 2(i))。图像尺寸均为256×256像素。

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图2 影像分割

Figure 2 Segmentation of image

从图 2(a)的分割结果可以看出，相对于图 2(b)的最大似然分割方法，图 2(c)中由于区间二型模糊模型增强了对像素类属的不确定性表达，草坪的分割结果得到显著改善。林区灰度变化差异性较大，两种方法对林区的分割都存在较多的误分像素，而本文的分割方法(图 2(d))由于在二型模糊模型的基础上融入了像素的空间信息，分割结果中各类别区域内部几乎没有噪声，只在边界处存在极少的误分像素，保证了分割结果的可靠性与准确性。图 2(e)中由于3种地物同质区域内灰度变化较大，图 2(f)(g)两种方法都是基于像素本身的灰度特征进行分割，故3种地物中都存在不同程度的误分像素。图 2(h)中本文方法待分割的像素类属不但与自身特征相关，还受其周围像素类属影响，这种分割方法尤其适用于同质区域内灰度变化差异性较大的情况，故图 2(h)除了房屋中间的空隙的阴影遮挡被误分为树林，其他部分基本达到了正确分割。图 2(i)中，由于存在被树木遮挡的阴影，并且该阴影的灰度特征与水域更相近，故图 2(j)(k)中植被存在大量被分割成水域的误分像素。图 2(l)中使用本文方法植被中的误分像素与右上角水域中的误分像素大量减少，分割方法明显优于前两种方法。

图 3为从盘锦地区World View-II全色影像中截取四类地物合成的256×256像素影像，包括Ⅰ农田、Ⅱ水域、Ⅲ居民地和Ⅳ林区。

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图3 合成影像

Figure 3 Synthetic images

图 4是监督分割法按类别随机提取30%的训练样本并使用最小二乘法直方图拟合建立的高斯函数模型(一型模糊模型)。

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图4 一型模糊模型

Figure 4 Type-1 fuzzy model

图 5表示调节因子c₁=c₂=c₃=c₄=0.4时的具有不确定标准差的区间二型模糊模型；图 6表示调节因子α₁=α₂=α₃=α₄=3时具有不确定均值的区间二型模糊模型。

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图5 具有不确定标准差的区间二型模糊模型

Figure 5 Type-2 fuzzy model with uncertain standard deviation

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图6 具有不确定均值的区间二型模糊模型

Figure 6 Type-2 fuzzy model with uncertain mean

图 7表示调节因子c₁=c₂=c₃=c₄=0.4时，没有融入空间关系的具有不确定标准差的最优模糊分割决策模型；图 8表示调节因子α₁=α₂=α₃=α₄=3时，没有融入空间关系的具有不确定均值的最优模糊分割决策模型。

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图7 基于不确定标准差的最优模糊分割模型

Figure 7 Best fuzzy segmentation model with uncertain standard deviation

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图8 基于不确定均值的最优模糊分割模型

Figure 8 Best fuzzy segmentation model with uncertain mean

图 9(a)为原始影像，图 9(b)为最大似然分割结果，图 9(c)为通过调节不确定因子得到的基于不确定均值的最佳分割结果，此时α₁=α₂=α₃=α₄=3，图 9(d)为当α₁=α₂=α₃=α₄=3时，融入空间关系的区间二型模糊分割结果，图 9(e)为通过调节不确定因子得到的基于不确定标准差的最佳分割结果，此时c₁=c₂=c₃=c₄=0.4，图 9(f)为当c₁=c₂=c₃=c₄=0.4时，融入空间关系的区间二型模糊分割结果。

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图9 合成影像分割结果

Figure 9 Segmentation of synthetic images

为了对本文方法进行定量评价，以合成影像的实际类别作为标准分别对上述分割结果求其混淆矩阵，计算用户精度、产品精度、总精度以及Kappa值(表 1)，其中各项指标越大代表分割精度越高。

表 1 算法精度及Kappa值比较
Table 1 Comparison of precision and Kappa value 下载CSV 

方法	精度指标	同质区域				调节因子
		Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ
最大似然	用户精度	0.857	0.986	0.721	0.603
	产品精度	0.947	0.990	0.256	0.927
	总精度=0.780；Kappa=0.707
区间二型 (标准差)	用户精度	0.924	0.992	0.776	0.719	c1=c2=c3=c4=0.4
	产品精度	0.925	0.993	0.586	0.893
	总精度=0.849；Kappa=0.800
邻域区间二型 (标准差)	用户精度	0.980	0.992	0.988	0.971	c1=c2=c3=c4=0.4
	产品精度	0.995	0.999	0.953	0.985
	总精度=0.983；Kappa=0.977
区间二型 (均值)	用户精度	0.924	0.992	0.763	0.728	α1=α2=α3=α4=3
	产品精度	0.925	0.993	0.606	0.876
	总精度=0.850；Kappa = 0.800
邻域区间二型 (均值)	用户精度	0.980	0.992	0.987	0.971	α1=α2=α3=α4=3
	产品精度	0.995	0.998	0.953	0.984
	总精度=0.983；Kappa=0.977

(1)图 3中，居民地和林区两种地物同质区域内灰度差异较大，几乎覆盖整个灰度区间，并且通过观察可以看出两类地物的灰度特征接近。图 4中第三类(居民地)和第四类(林区)两种地物的拟合模型存在相当大的重叠区域，这部分重叠区域存在的像素类属的不确定性显著，分割困难。

(2)图 5和图 6中大部分训练数据直方图被包围在区间二型模糊模型FOU内，相对于一型模糊模型区间二型模糊模型提供的信息更加丰富。图 7和图 8为没有融入空间关系最优模糊分割模型，该模型使用区间二型模糊模型的上、下隶属函数对拟合模型(一型模糊图像模型)进行全局约束，并以不规则形状拟合训练样本直方图。观察图 9(b)(c)和(e)可以看出，基于区间二型模糊模型的分割方法(c)和(e)对Ⅲ类居民地的分割结果得到很大程度上的改善。表 1中的最大似然分割方法居民地的用户精度为0.721，而产品精度仅为0.256，对于此类地物基于区间二型模糊模型的分割其用户精度为0.763和0.776，产品精度为0.606和0.586，总体精度提高7%。而对Ⅰ类中，农田的不同块交接处误分情况(被误分为居民地)无法处理，并且两种方法都不能对Ⅳ类林区实现很好的划分。

(3)图 9(d)和(f)为使用本文方法得到的分割结果，相对于以上两种方法，类别Ⅰ中，由于在二型模糊模型的基础上考虑了邻域像素的作用，Ⅰ类农田中只存在零星误分像素，Ⅱ类水域中的噪声被消除，Ⅲ类居民地和Ⅳ类林区的改善十分显著，对于居民地中存在的极少的其他像素，是因为居民区内会存在少量植被以及小块种植区，故有少量林区及农田像素存在，而房屋间的遮挡阴影灰度特征与水域显示，因此会出现被误分的零星水域像素。

(4)表 1中，使用最大似然分割其最低分割精度为0.256，总精度为0.780。使用基于区间二型模糊模型的分割，其最低分割精度为0.606和0.586，总精度为0.850，相对于最大似然精度有所提高。而本文方法由于融入邻域关系，最低分割精度为0.953，总精度达到0.983，分割精度提高显著，分割结果可靠。