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具有温储备失效和延迟修理的M/>G/1可修排队系统的可靠性指标
刘金银1, 唐应辉1,2, 朱亚丽1, 余玅妙3    
1. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 成都 610066;
2. 四川师范大学 基础教学学院, 成都 610066;
3. 四川理工学院 理学院, 自贡 643000
摘要:本文考虑了具有温储备失效特征的M/>G/1可修排队系统. 在该系统中, 服务台故障分为两类: 第一类是服务台在服务员的"广义忙期"中以故障率为<i>α(0≤<i>α<∞) 的泊松过程发生故障, 第二类是服务台在系统闲期中以分布函数为<i>Y(<i>t)的更新过程发生故障, 而且发生第二类故障时不能得到立即修理. 利用全概率分解技术和拉普拉斯变换工具, 分别讨论了在两类故障模式下服务台的瞬态不可用度和稳态不可用度, (0,<i>t]时间内的平均故障次数和稳态故障频度等可靠性指标, 进一步还讨论了服务台由温储备失效引起等待修理的概率. 最后, 通过数值计算例子讨论了系统有关参数对服务台的第二类稳态不可用度和第二类稳态故障频度的影响.
关键词可修排队系统     温储备失效     不可用度     故障次数     全概率分解    
Reliability indices of M/>G/1 repairable queueing system with warm standby failure and delayed repair
LIU Jin-yin1, TANG Ying-hui1,2 , ZHU Ya-li1, YU Miao-miao3     
1. School of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Chengdu 610066, China;
2. School of Fundamental Education, Sichuan Normal University, Chengdu 610066, China;
3. School of Science, Sichuan Universityof Science and Engineering, Zigong 643000, China
Abstract:This paper considers the M/>G/1 repairable queuing system with warm standby failure. While the service station is in the course of "generalized busy period" it is subject to breakdowns (we call this the 1 type failure) according to a Poisson process with rate <i>α(0≤<i>α<∞), while the service station is in the system idle period it is subject to breakdowns (we call this the 2 type failure) according to a renewal process with distribution <i>Y(<i>t) and the broken service station don't be repaired at once. By using the total probability decomposition technique and the Laplace transform, some reliability indices of the service station, such as the transient-state and steady-state unavailability, the expected failure number during (0,<i>t] and so on, are studied under two failed states. Further, a new index which is the waiting repair probability of the service station is achieved. At last, we present several numerical examples under some special cases to discuss the sensitivity of the steady-state unavailability and the failure frequency in the 2 type failure of the service station.
Key words: repairable queueing system     warm standby failure     unavailability     failure number     total probability decomposition    
0 引言

到目前为此,对可修排队系统的研究已取得重要进展. 文献[1]最早对$M/G/1$可修排队中服务台的可靠性指标进行了研究. 之后, 许多文献运用不同的方法研究了一些可修排队系统, 并且将系统模型进行了丰富和拓展, 提出了一些更符合实际背景的可修排队系统模型[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23], 这些文献不仅从排队论方面研究了系统有关的排队指标, 而且还从可靠性的角度讨论了服务台有关的可靠性指标, 并出现了一些值得注意的边缘特性. 但是,在这些可修排队系统研究中, 大多数作者都是假定"服务台在系统闲期内不会发生故障'', 即"服务台在系统闲期内处于冷储备状态'',而实际情况并非完全如此. 事实上,有些系统在没有对顾客服务时, 相关设备仍然处于运转状态(只是负荷轻些),例如: 在雷达系统中, 雷达发射机会不停地发射电磁能量经过收发转换开关传送给天线, 产生电磁波,利用电磁波的二次辐射、转发或辐射的固有性质来探测目标, 获取目标空间坐标、速度、特征等信息, 整个系统在没有目标信息反射时仍然处于运转状态. 类似, 在信息的自动接收和处理系统中,信息的到达是随机的,有信息到达时, 系统会自动接收和处理,而没有信息到达时也不会关闭系统. 同样, 银行的ATM机在没有顾客取款时仍然处于正常运转状态. 因此, 考虑服务台在系统闲期内也可能发生故障是有实际背景的, 系统的模型推广也是有理论意义的. 文献[24]首次把"服务台在闲期中也可能发生故障''引进到可修排队中, 考虑了服务台具有两类故障模式的$M/G/1$可修排队: 第一类故障是服务台在服务员的"广义忙期''中发生的故障,第二类故障是服务台在系统闲期中发生的故障, 而且两类故障具有不同的故障率和修复率, 文献[24]不仅讨论了系统的排队指标, 而且分别讨论了服务台因第一类故障和第二类故障而产生的可靠性指标. 由于考虑服务台具有"温储备失效''特征,系统的结构更为复杂, 因此在该文之后的十余年期间, 很少有文献从"温储备失效''这个角度来构建和研究可修排队. 最近, 文[25, 26, 27]在文[24]的基础上, 分别把模型推广到"顾客是成批到达''和"顾客在第二类故障期间到达以某一个概率$p$进入系统''. 但是,文[24, 25, 26, 27]都假定服务台因"温储备失效'', 即发生第二类故障时能立即得到修理. 实际上, 服务台在闲期内发生故障(即温储备失效)不一定马上被发现, 也就不可能得到立即修理, 因为在服务台闲期内服务员很有可能不在岗(休假或去做辅助性工作), 只有当需要为顾客服务时才可能发现服务台已故障, 然后对故障服务台进行修理. 基于这样的实际情况, 文[28]把"服务台在系统闲期中可能发生温储备失效'' 引入到$M/G/1$可修排队系统中且服务台在温储备失效时得不到立即修理, 并从任意初始状态出发讨论了系统的队长分布(瞬态分布和稳态分布)和顾客的稳态等待时间与逗留时间. 本文在文献[28]的基础上继续讨论服务台因第一类故障和第二类故障而产生的有关可靠性问题. 1 系统的模型描述与预备知识

系统的模型简述如下(更详细的描述见文[28]):

顾客到达的时间间隔$\{\tau_{n},n\geqslant1\}$相互独立同负指数分布$F(t)=P\{\tau_n\leqslant t\}=1-{\rm e}^{-\lambda t},t\geqslant0$. 顾客实际所需的服务时间序列$\{\chi_{n},n\geqslant1\}$是相互独立同一般分布$G(t)=P\{\chi_n\leqslant t\},t\geqslant0$, 平均服务时间为$0<\frac{1}{\mu}=\int_0^{\infty}t\mathrm{d}G(t)<\infty$. 服务台在服务员的"广义忙期''中发生的失效, 我们称为服务台的"第一类故障'', 服务台在服务员的"广义忙期''中的寿命为$X$, 服从负指数分布$X(t)=P\{X\leqslant t\}=1-{\rm e}^{-\alpha t}, t\geqslant0$, 而且服务台在服务员的"广义忙期''中失效后立即进行修理, 其修理时间$Z$ 的分布函数是任意分布$Z(t)=P\{Z\leqslant t\}, t\geqslant0$,且设平均修理时间为${\beta_1}(0\leqslant \beta_1<\infty)$. 在系统闲期中, 服务台可能发生温储备失效(称为服务台的"第二类故障''), 温储备寿命为一般分布$Y(t)=P\{Y\leqslant t\},t\geqslant0$. 服务台发生温储备失效时得不到立即修理, 只有当有顾客到达系统需要服务时才发现服务台是否正常. 若服务台发生温储备失效, 则修理时间$V$的分布函数有任意分布$V(t)=P\{V\leqslant t\}, t\geqslant0$,且设平均修理时间为${\beta_2}(0\leqslant \beta_2<\infty)$,到达的顾客只有等服务台修好后再接受服务. 若服务台没有发生温储备失效,则立即服务到达的顾客. 当服务台发生"第一类故障''时,正在接受服务的顾客需要等待其修复, 再继续接受服务,已服务过的时间仍然有效. 服务台修复后完全恢复它们的功能,且在$t=0$时,服务台是新的. 进一步假定随机变量$\tau$、$\chi$、$X$、$Z$、$Y$、$V$是彼此独立的.

令$\widetilde{\chi}$表示每个顾客的"广义服务时间'',则[29]

\begin{eqnarray} \tilde G(t) = P\{ \tilde \chi \leqslant t\} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\int_0^t {Z^{(k)} } (t - x){\rm e}^{ - \alpha x} \frac{{(\alpha x)^k }}{{k!}}\mathrm{d}G(x)} \end{eqnarray} (1)

其拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换(简称LS变换)

\begin{eqnarray} \tilde g(s) = \int_0^\infty {{\rm e}^{ - st} }\mathrm{d}\tilde G(t) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {[z(s)]^k } \int_0^\infty {{\rm e}^{ - (s + \alpha )t} \frac{{(\alpha t)^k }}{{k!}}}\mathrm{d}G(t) = g(s + \alpha - \alpha z(s)) \end{eqnarray} (2)

于是顾客的"广义服务时间''的期望值为$E[\tilde \chi] = - \frac{\mathrm{d}}{{\mathrm{d}s}}[\tilde g(s)]|_{s = 0} = \frac{1}{\mu }(1 + \alpha \beta _1 )$.

{\textbf{注1}}\ \ 本文$Z^{(k)}(t)$表示相应分布函数$Z(t)$的$k$重卷积,$k\geqslant1$, 且$Z^{(0)}(t)=1,t\geqslant0$; $z(s)=\int_0^\infty{{\rm e}^{ - st} }\mathrm{d}Z(t)$表示相应$Z(t)$的LS变换; $z^ *(s)=\int_0^\infty {{\rm e}^{ - st} Z(t)}\mathrm{d}t$表示相应$Z(t)$的拉普拉斯变换(简称L变换); $\Re(s)$为复变量$s$的实部. 以下类似记号表示相应类似的含义.

用$\hat{\tau}_j$表示第$j$个"系统闲期''长度(系统闲期是指从系统刚变空的时刻起, 直到其后第一个顾客到达的时刻为止的这一段时间), 则由到达过程为参数$\lambda(\lambda>0)$ 的Poisson过程易知其分布为$F(t)=P\left\{ {\hat \tau _j \leqslant t} \right\} = 1 - {\rm e}^{ - \lambda t} ,t \geqslant 0,j \geqslant 1$.

令$\tilde{b}$表示该系统从一个顾客开始的服务员的"广义忙期''(定义见[28, 29])长度,并令

$\tilde B(t) = P\{ \tilde b \leqslant t\},\tilde b(s) = \int_0^\infty {{\rm e}^{ - st}\mathrm{d}}\tilde B(t).$
{引理1[29]} 对$\Re(s)>0$,$\tilde{b}(s)$是方程$z = \tilde g(s + \lambda - \lambda z)$在$\left| z \right| < 1$的唯一解,并且
\begin{eqnarray} \tilde B(t) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\int_0^t {{\rm e}^{ - \lambda x} } } \frac{{(\lambda x)^{k - 1} }}{{k!}}\mathrm{d}\tilde G^{(k)} (x) \end{eqnarray} (3)
\begin{equation} \lim_{t\to\infty}\tilde B(t)=\lim_{s\to0^+}\tilde b(s)= \begin{cases} 1,& \tilde \rho\leqslant 1\\ \omega<1,& \tilde \rho>1 \end{cases} \end{equation} (4)
\begin{equation} E[\tilde{b}]= \begin{cases} \frac{\tilde{\rho}}{\lambda(1-\tilde{\rho})},&\tilde \rho<1\\ \infty,& \tilde{\rho}\geqslant1 \end{cases} \end{equation} (5)
其中$\tilde \rho = \frac{\lambda }{\mu }(1 + \alpha \beta _1 )$, $\omega$是$\omega = \tilde g(\lambda - \lambda \omega )$在$(0,1)$内的唯一解.

令$\tilde b^{ < i > }$表示从$i$个顾客开始的服务员的"广义忙期''长度, 则由到达为泊松过程易知

$P\{ \tilde b^{ < i > } \leqslant t\} = \tilde B^{(i)} (t),\;\;t \geqslant 0,\;\;i \geqslant 1.$
2 时刻$t$处于服务员"广义忙期''的概率

对$t\geqslant0$,令 $$A_i(t)=P\{\textrm{时刻$t$处于广义忙期}|_{N(0)=i}\}$$ 表示系统从初始状态$N(0)=i$出发, 时刻$t$处在服务员"广义忙期''的概率, 其L变换为$a^*_i(s)=\int_0^{\infty}{\rm e}^{-st}A_i(t)\mathrm{d}t$, $i\geqslant0$. 其中$N(0)$表示 在$t=0$时系统的顾客数.

定理 1 对$\Re(s)\geqslant0$和$i\geqslant0$,有

\begin{equation} a_i^*(s)=\frac{1}{s}\cdot\left\{1-\frac{\tilde b^i(s)[1-f(s)+f(s)y(s+\lambda)-f(s)y(s+\lambda)v(s)]}{1-h(s)}\right\} \end{equation} (6)
且稳态概率为
\begin{equation} \lim_{t\to\infty}A_i(t)=\lim_{s\to0^+}sa_i^*(s)= \begin{cases} \frac{\lambda(1+\alpha\beta_1)}{\mu},& \tilde{\rho}<1\\ 1,& \tilde{\rho}\geqslant1 \end{cases} \end{equation} (7)
其中$h(s)=f(s)\tilde{b}(s)[1-y(s+\lambda)+y(s+\lambda)v(s+\lambda-\lambda\tilde{b}(s))],v(s)=\int_0^{\infty}{\rm e}^{-st}\mathrm{d}V(t)$.

证明 令$l_j=\tau_1+\cdots+\tau_j$,$j\geqslant1$, $l_0=0$,利用全概率分解技术,得 \arraycolsep 2pt

\begin{eqnarray} A_0(t)&=&P\{\textrm{时刻$t$处在广义忙期}|_{N(0)=0}\}\nonumber\\ &=&P\{\tau_1\leqslant t,\tau_1<Y, \textrm{时刻$t$处在广义忙期}\}+P\{\tau_1+V\leqslant t, \tau_1\geqslant Y,\textrm{时刻$t$处在广义忙期}\} \end{eqnarray} (8)
式(8)中第一项为(服务台在温储备期间没有发生故障的情况)
\begin{eqnarray} \int_0^tA_1(t-x)[1-Y(x)]\mathrm{d}F(x) \end{eqnarray} (9)
式(8)中第二项为(服务台在温储备期间发生故障的情况)

又对$i\geqslant1$, 有

\begin{eqnarray} A_i(t)=1-\tilde{B}^{(i)}(t)+\int_0^tA_0(t-x)\mathrm{d}\tilde{B}^{(i)}(x) \end{eqnarray} (11)
对(8)$\sim$(11)式子取L变换,有
\begin{eqnarray} &&a_0^*(s)=a_1^*(s)f(s)[1-y(s+\lambda)]+f(s)y(s+\lambda)\sum\limits^{\infty}_{j=1}{a_j^*(s) \int_0^{\infty}{\rm e}^{-(s+\lambda)t}{\frac{(\lambda t)^{j-1}}{(j-1)!}}\mathrm{d}V(t)}\\ \end{eqnarray} (12)
\begin{eqnarray} &&a_i^*(s)=\frac{1-\tilde{b}^i{(s)}}{s}+a_0^*(s)\tilde{b}^i{(s)} \end{eqnarray} (13)
将式(13)代入式(12),可解得$a_0^*(s)$,从而可得$a_i^*(s)$, $i\geqslant1$. 再利用罗比达法则,结合引理1即得式(7). 3 服务台的不可用度

由于服务台有两类故障: 第一类故障是服务台在服务员的"广义忙期"中发生的故障, 第二类故障是服 务台在系统闲期中发生的故障, 而且这两类故障有不同的故障率和修复率,因此下面分别讨论服务台 因这两类故障而产生的不可用度. 当$t\geqslant0$,令

$$\Phi_i^{[1]}(t)=P\{\textrm{时刻$t$服务台处于第一类故障状态}|_{N(0)=i}\},i=0, 1, 2, \cdots,$$
$\Phi_i$[2](t)=$P\{\textrm{时刻$t$服务台处于第二类故障状态}|_{N(0)=i}\},i=0,1,2,\cdots,$
分别表示服务台因第一类、第二类故障的不可用度.

定理 2 令$\varphi_i^{*[1]}(s)=\int_0^{\infty}{\rm e}^{-st}\Phi_i^{[1]}(t)\mathrm{d}t,\varphi_i^{*[2]}(s)=\int_0^{\infty}{\rm e}^{-st}\Phi_i^{[2]}(t)\mathrm{d}t, i\geqslant0$, 则对$\Re(s)\geqslant0$有

1)

\begin{equation} \varphi_i^{*[1]}(s)=\frac{\alpha[1-z(s)]}{s[s+\alpha-\alpha z(s)]}\cdot\{sa_i^*(s)\} \end{equation} (14)
\begin{equation} \Phi^{[1]}=\lim_{t\to\infty}\Phi_i^{[1]}(t)=\lim_{s\to0^+}s\varphi_i^{*[1]}(s)= \begin{cases} \frac{\lambda\alpha\beta_1}{\mu}, &\tilde{\rho}<1\\ \frac{\alpha\beta_1}{1+\alpha\beta_1}, &\tilde{\rho}\geqslant1 \end{cases} \end{equation} (15)

2)

\begin{eqnarray} \varphi_i^{*[2]}(s)=\frac{\tilde{b}^i(s)y(s+\lambda)[s+(s+\lambda)f(s)(1-v(s))]}{s(s+\lambda)[1-h(s)]} \end{eqnarray} (16)
\begin{equation} \Phi^{[2]}=\lim_{t\to\infty}\Phi_i^{[2]}(t)=\lim_{s\to0^+}s\varphi_i^{*[2]}(s)= \begin{cases} \frac{(1-\tilde{\rho})(1+\lambda\beta_2)y(\lambda)}{1+\lambda\beta_2y(\lambda)}, &\tilde{\rho}<1\\ 0, &\tilde{\rho}\geqslant1 \end{cases} \end{equation} (17)

证明 先证明1). 显然, 服务台处于第一类故障状态当且仅当服务台处于"广义忙期"中且服务台处 于第一类失效状态,故有

\begin{eqnarray} &&\Phi_0^{[1]}(t)=P\{\textrm{时刻$t$处于第一类故障状态}|_{N(0)=0}\}\nonumber\\ &&\quad\quad\quad=P\{\tau_1\leqslant t, \textrm{时刻$t$处于广义忙期, 且时刻$t$处于服务台第一类故障状态}\}\nonumber\\ &&\quad\quad\quad=P\{\tau_1\leqslant t, \tau_1\leqslant Y, \textrm{时刻$t$处于广义忙期, 且时刻$t$处于服务台第一类故障状态}\}\nonumber\\ &&\quad\quad\quad\quad+P\{\tau_1\leqslant t, \tau_1> Y, \textrm{时刻$t$处于广义忙期, 且时刻$t$处于服务台第一类故障状态}\}\nonumber\\ &&\quad\quad\quad=\int_0^t\Phi_1^{[1]}(t-x)[1-Y(x)]\mathrm{d}F(x)\nonumber\\ &&\quad\quad\quad\quad+\sum\limits_{m=1}^{\infty}{\int_0^t{\int_0^{t-x}Y(x)\frac{(\lambda y)^{m-1}} {(m-1)!}{\rm e}^{-\lambda y}\Phi_m^{[1]}(t-x-y)\mathrm{d}V(y)\mathrm{d}F(x)}} \end{eqnarray} (18)

对$i\geqslant1$,有

\begin{eqnarray} &&\Phi_i^{[1]}(t)=P\{\textrm{时刻$t$处于广义忙期, 且时刻$t$处于第一类故障状态}|_{N(0)=i}\}\nonumber\\ &&\quad\quad\quad=P\{\tilde{b}^{<i>}>t, \textrm{时刻$t$处于第一类故障状态}\}\nonumber\\ &&\quad\quad\quad\quad+P\{\tilde{b}^{<i>}\leqslant t, \textrm{时刻$t$处于广义忙期, 且时刻$t$处于第一类故障状态}\}\nonumber\\ &&\quad\quad\quad=P\{\tilde{b}^{<i>}>t, \textrm{时刻$t$处于第一类故障状态}\}+\int_0^t\Phi_0^{[1]} (t-x)\mathrm{d}{\tilde{B}^{(i)}(x)} \end{eqnarray} (19)
下面求$P\{\tilde{b}^{<i>}>t, \textrm{时刻$t$处于第一类故障状态}\}$的表达式,$i\geqslant1$. 考虑由寿命$X$和修理时间$Z$形成的交替更新过程$\{(X_i,Z_i), i\geqslant1\}$,如图 1所示.
图 1 服务台寿命$X$与修理时间$Z$的交替更新过程

对$t\geqslant0$时,令

\begin{equation} \Phi(t)=P\{\text{时刻$t$服务台处于第一类故障状态}\}, \varphi^*(s)=\int_0^\infty {\rm e}^{-st}\Phi(t)\mathrm{d}t.\nonumber \end{equation}
由于这是由寿命$X$和修理时间$Z$形成的经典可修系统模型[30], 所以易得
\begin{equation} \Phi(t)=\int_0^t[1-Z(t-x)]{\rm d}X(x)+\int_0^t\Phi(t-x)\mathrm{d}P\{X+Z\leqslant x\} \end{equation} (20)
对式(20)取L变换,整理可得
\begin{eqnarray} \varphi^*(s)=\frac{\alpha[1-z(s)]}{s[s+\alpha-\alpha z(s)]} \end{eqnarray} (21)

因为服务台在"广义忙期" $\tilde{b}^{<i>}$中具有寿命$X$与修理时间$Z$形成交替更新过程的特征, 而且在"广义忙期'' $\tilde{b}^{<i>}$的开始和结束时刻服务台都是正常的,且服务台的工作寿 命$X$为负指数分布,具有"无记忆''性质. 因此用$\tilde{b}^{<i>}$ 对$\Phi(t)$作全概率分解得(如图 2所示)

图 2 服务台在"广义忙期''中的发展进程

\begin{align*} \Phi(t)&=P\{\tilde{b}^{<i>}\leqslant t,\textrm{时刻$t$处于第一类故障状态}\}+P\{\tilde{b}^{<i>}>t,\textrm{时刻$t$处于第一类故障状态}\}\\ &=P\{\tilde{b}^{<i>}>t, \textrm{时刻$t$处于第一类故障状态}\}+\int_0^t\Phi(t-x)\mathrm{d}{\tilde{B}^{(i)}(x)}. \end{align*}
于是
\begin{equation} P\{\tilde{b}^{<i>}>t,\textrm{时刻$t$处于第一类故障状态}\}=\Phi(t)-\int_0^t\Phi(t-x)\mathrm{d}{\tilde{B}^{(i)}(x)} \end{equation} (22)
将式(22)代入式(19)得到
\begin{eqnarray} &&\varphi_0^{*[1]}(s)=f(s)[1-y(s+\lambda)]\varphi_1^{*[1]}(s)+f(s)y(s+\lambda)\sum\limits_{m=1}^\infty\\ &&\quad\quad\quad{\varphi_m^{*[1]}(s)\int_0^\infty {\rm e}^{-(s+\lambda)t}\frac{(\lambda t)^{m-1}}{(m-1)!}\mathrm{d}V(t)}\\ &&\varphi_i^{*[1]}(s)=\varphi^*(s)[1-\tilde{b}^i(s)]+\varphi_0^{*[1]}(s)\tilde{b}^i(s), i\geqslant1 \end{eqnarray} (23)
分别对式(18)和式(23)取L变换,可得
\begin{eqnarray} &&\varphi_0^{*[1]}(s)=f(s)[1-y(s+\lambda)]\varphi_1^{*[1]}\\ &&\quad\quad\quad(s)+f(s)y(s+\lambda)\sum\limits_{m=1}^\infty {\varphi_m^{*[1]}(s)\int_0^\infty {\rm e}^{-(s+\lambda)t}\frac{(\lambda t)^{m-1}}{(m-1)!}\mathrm{d}V(t)}\\ &&\varphi_i^{*[1]}(s)=\varphi^*(s)[1-\tilde{b}^i(s)]+\varphi_0^{*[1]}(s)\tilde{b}^i(s), i\geqslant1 \end{eqnarray} (24)

(25)
将式(25)代入式(24), 可解得$\varphi_0^{*[1]}(s)$, 将$\varphi_0^{*[1]}(s)$代入式(25)整理可得$\varphi_i^{*[1]}(s)=\varphi^*(s)\cdot[s\cdot a_i^*(s)]$. 再 结合定理1和式(21), 利用罗比达法则可得式(15).

下面证明2). 服务台的第二类故障是服务台在系统闲期中发生的故障(温储备失效),所以

\begin{eqnarray} &&\Phi_0^{[2]}(t)=P\{\textrm{时刻$t$处于第二类故障状态}|_{N(0)=0}\}\nonumber\\ &&\quad\quad\quad=P\{\tau_1>t,\tau_1\geqslant Y, \textrm{时刻$t$服务台处于第二类故障状态}\}\nonumber\\ &&\quad\quad\quad\quad+P\{\tau_1\leqslant t,\tau_1< Y, \textrm{时刻$t$服务台处于第二类故障状态}\}\nonumber\\ &&\quad\quad\quad\quad+P\{\tau_1\leqslant t,\tau_1\geqslant Y, \textrm{时刻$t$服务台处于第二类故障状态}\}\nonumber\\ &&\quad\quad\quad=[1-F(t)]Y(t)+\int_0^t\Phi_1^{[2]}(t-x)[1-Y(x)]\mathrm{d}F(x)+\int_0^t[1-V(t-x)]Y(x)\mathrm{d}F(x)\nonumber\nonumber\\ &&\quad\quad\quad\quad+\sum\limits_{m=1}^\infty{\int_0^t{\int_0^{t-x}Y(x)\frac{(\lambda y)^{m-1}}{(m-1)!} {\rm e}^{-\lambda y}\Phi_m^{[2]}(t-x-y)\mathrm{d}V(y)\mathrm{d}F(x)}} \end{eqnarray} (26)
\begin{equation} \Phi_i^{[2]}(t)=\int_0^t\Phi_0^{[2]}(t-x)\mathrm{d}\tilde{B}^{(i)}(x), i\geqslant1 \end{equation} (27)
对式(26)和(27)取L变换,可得
\begin{eqnarray} &&\varphi _0^{*\left[ 2 \right]} (s)=\varphi _1^{*\left[ 2 \right]} (s)f(s)[1 - y(s + \lambda )] + \frac{{y(s + \lambda )}}{{s + \lambda }} + \frac{{f(s)y(s + \lambda )\left[ {1 - v(s)} \right]}}{s}\nonumber\\ &&\quad\quad\quad\quad\quad+f(s)y(s + \lambda )\sum\limits_{m = 1}^\infty {\varphi _m^{*\left[ 2 \right]} } (s)\int_0^\infty {{\rm e}^{ - (s + \lambda )t} } \frac{{(\lambda t)^{m - 1} }}{{(m - 1)!}}\mathrm{d}V(t)\\ &&\varphi _i^{*\left[ 2 \right]} (s)=\varphi _0^{ * \left[ 2 \right]} (s)\tilde b^i (s), i \ge 1 \end{eqnarray} (28)

(29)
因此,将式(29)代入式(28)即可得到$\varphi_0^{*[2]}(s)$, 从而得式(18). 再利用罗比达法则,结合引理1即得(17)式. 4 服务台的故障频度

当$t\geqslant0$,令

$$M_i^{[1]}(t)=E\{{\textrm{时间$(0,t]$内发生第一类故障的次数}}|_{N(0)=i}\},i=0, 1, 2, \cdots,$$
$$M_i^{[2]}(t)=E\{{\textrm{时间$(0,t]$内发生第二类故障的次数}}|_{N(0)=i}\},i=0, 1, 2, \cdots.$$
分别表示服务台在$(0,t]$时间内发生第一类、第二类故障的平均次数.

定理 3 令$m_i^{\left[1 \right]}(s) = \int_0^\infty {{\rm e}^{ - st}\mathrm{d}M_i^{\left[1 \right]}(t)},m_i^{\left[2 \right]} (s) = \int_0^\infty {{\rm e}^{ - st}\mathrm{d}M_i^{\left[2 \right]} (t)},i\geqslant0$, 则对$\Re(s)\geqslant0$有

1)

\begin{equation} m_i^{\left[1 \right]} (s) = \frac{\alpha }{{s + \alpha - \alpha z(s)}} \cdot \left\{ {sa_i^ * (s)} \right\} \end{equation} (30)
\begin{equation} M^{[1]}=\lim_{t\to\infty}\frac{M_i^{[1]}(t)}{t}=\lim_{s\to0^+}sm_i^{[1]}(s)= \begin{cases} \frac{\lambda\alpha}{\mu}, &\tilde{\rho}<1\\ \frac{\alpha}{1+\alpha\beta_1}, &\tilde{\rho}\geqslant1 \end{cases} \end{equation} (31)

2)

\begin{eqnarray} m_i^{\left[2 \right]} (s) = \frac{{\tilde b^i (s)y(s + \lambda )}}{{1 - h(s)}} \end{eqnarray} (32)
\begin{equation} M^{[2]}=\lim_{t\to\infty}\frac{M_i^{[2]}(t)}{t}=\lim_{s\to0^+}sm_i^{[2]}(s)= \begin{cases} \frac{\lambda(1-\tilde{\rho})y(\lambda)}{1+\lambda\beta_2y(\lambda)}, &\tilde{\rho}<1\\ 0,&\tilde{\rho}\geqslant1 \end{cases} \end{equation} (33)
证明 先证明1). 类似式(18),利用全概率技术得
又对$i\geqslant1$,有
\begin{eqnarray} M_i^{[1]}(t)&=&E\{\textrm{时间$(0,t]$内发生第一类故障的次数}|_{N(0)=i}\}\nonumber\\ &=&E\{\tilde{b}^{<i>}>t, \text{时间$(0,t]$内发生第一类故障的次数}\}\nonumber\\ &&+E\{\tilde{b}^{<i>}\leqslant t, \text{时间$(0,t]$内发生第一类故障的次数}\}\nonumber\\ &=&E\{\tilde{b}^{<i>}>t, \text{时间$(0,t]$内发生第一类故障的次数}\}\nonumber\\ &&+E\{\tilde{b}^{<i>}\leqslant t, \text{时间$(0,\tilde{b}^{<i>}]$内发生第一类故障的次数}\}\nonumber\\ &&+E\{\tilde{b}^{<i>}\leqslant t, \text{时间$(\tilde{b}^{<i>},t]$内发生第一类故障的次数}\}\nonumber\\ &=&E\{\tilde{b}^{<i>}>t, \text{时间$(0,t]$内发生第一类故障的次数}\}\nonumber\\ &&+E\{\tilde{b}^{<i>}\leqslant t, \text{时间$(0,\tilde{b}^{<i>}]$内 发生第一类故障的次数}\}+\int_0^tM_0^{[1]}(t-x)\mathrm{d}\tilde{B}^{(i)}(x) \end{eqnarray} (35)

下面求 $$E\{\tilde{b}^{<i>}>t,\text{时间$(0,t]$内发生第一类故障的次数}\}+E\{\tilde{b}^{<i>}\leqslant t, \text{时间$(0,\tilde{b}^{<i>}]$内发生第一类故障的次数}\}$$ 的表达式. 事实上, 对由寿命$X$和修理时间$Z$形成的交替更新过程$\{(X_i,Z_i), i\geqslant1\}$(图 1所示),令

\begin{equation*} M(t)=E\{\text{时间$(0,t]$内发生第一类故障的次数}\},m(s)=\int_0^\infty {\rm e}^{-st}\mathrm{d}M(t). \end{equation*}
则易得[30]
\begin{equation} M(t)= \int_0^t {\left[{1 - Z\left( {t - x} \right)} \right]\mathrm{d}X\left( x \right)} + \int_0^t {\left[{M\left( {t - x} \right) + 1} \right]}\mathrm{d}P\{ X + Z \leqslant x\} \end{equation} (36)
对式(36)取LS变换可得
\begin{eqnarray} m\left( s \right) = \frac{\alpha }{{s + \alpha - z\left( s \right)}} \end{eqnarray} (37)
类似式(22),用$\tilde{b}^{<i>}$对$M(t)$作全概率分解(见图 2),得
\begin{eqnarray} M(t)&=&E\{\tilde{b}^{<i>}>t,\textrm{时间$(0,t]$内发生第一类故障的次数}\}\nonumber\\ &&+E\{\tilde{b}^{<i>}\leqslant t,\textrm{时间$(0,\tilde{b}^{<i>}]$内发生第一类故障的次数}\}\nonumber\\ &&+E\{\tilde{b}^{<i>}\leqslant t,\textrm{时间$(\tilde{b}^{<i>},t]$内发生第一类故障的次数}\}\nonumber\\ &=&E\{\tilde{b}^{<i>}>t,\textrm{时间$(0,t]$内发生第一类故障的次数}\}\nonumber\\ &&+E\{\tilde{b}^{<i>}\leqslant t,\textrm{时间$(0,\tilde{b}^{<i>}]$内发生第一类故障的次数}\}+\int_0^tM(t-x)\mathrm{d}\tilde{B}^{(i)}(x)\nonumber. \end{eqnarray}
于是
\begin{eqnarray} &&E\{\tilde{b}^{<i>}>t,\textrm{时间$(0,t]$内发生第一类故障的次数}\} +E\{\tilde{b}^{<i>}\leqslant t,\textrm{时间$(0,\tilde{b}^{<i>}]$内发生第一类故障的次数}\}\nonumber\\ &&=M(t)-\int_0^tM(t-x)\mathrm{d}\tilde{B}^{(i)}(x) \end{eqnarray} (38)
将式(38)代入上面式(35),并与式(34)作LS变换得
\begin{eqnarray} &&m_0^{\left[ 1 \right]} \left( s \right) = f\left( s \right)\left[ {1 - y\left( {s + \lambda } \right)} \right]m_1^{\left[ 1 \right]} \left( s \right) + f\left( s \right)y\left( {s + \lambda } \right)\sum\limits_{m = 1}^\infty\\ &&\quad\quad\quad{m_m^{\left[ 1 \right]} \left( s \right)\int_0^\infty {{\rm e}^{ - \left( {s + \lambda } \right)t} \frac{{\left( {\lambda t} \right)^{m - 1} }}{{\left( {m - 1} \right)!}}\mathrm{d}V\left( t \right)} }\\ &&m_i^{[1]}(s)=m(s)-m(s)\tilde{b}^{i}+m_0^{[1]}(s)\tilde{b}^{i}(s), i\geqslant1 \end{eqnarray} (39)

(40)
将式(40)代入式(39)可解得$ m_0^{[1]}(s)$,从而可得$m_i^{[1]}(s)$的表达式,再结合定理1可得式(30). 利用罗比达法则,经计算可得式(31).
下面证明2)
\begin{eqnarray} M_0^{[2]}(t)&=&E\{\textrm{时间$(0,t]$内发生第二类故障的次数}|_{N(0)=0}\}\nonumber\\ &=&\left[ {1 - F(t)} \right]Y(t)+\int_0^t {M_1^{\left[ 2 \right]}(t - x)[1 - Y(x)]\mathrm{d}F(x)}+\int_0^t {\left[{1 - V\left({t - x} \right)}\right]Y\left( x \right)\mathrm{d}F\left( x \right)}\nonumber\\ &&+\sum\limits_{m = 1}^\infty{\int_0^t{\int_0^{t - x}{Y\left( x \right)\frac{{\left({\lambda y} \right)^{m - 1}}}{{\left( {m - 1} \right)!}}{\rm e}^{-\lambda y}\left[{M_m^{\left[ 2 \right]}\left( {t-x-y}\right)+1}\right]\mathrm{d}V\left(y\right)\mathrm{d}F\left(x\right)}}} \end{eqnarray} (41)
当$i\geqslant1$,有
\begin{equation} M_i^{[2]}(t)=\int_0^tM_1^{[2]}(t-x)\mathrm{d}\tilde{B}^{(i)}(x) \end{equation} (42)
对式(41)和式(42)取LS变换得
\begin{eqnarray} &&\hspace{-7mm}m_0^{\left[ 2 \right]} (s)=y\left( {s + \lambda } \right) + m_1^{\left[ 2 \right]}(s) f\left( s \right)\left[ {1 - y\left( {s + \lambda } \right)} \right] +f(s)y(s + \lambda )\\ &&\quad\quad\quad\sum\limits_{m = 1}^\infty {m_m^{\left[ 2 \right]} } (s)\int_0^\infty {{\rm e}^{ - (s + \lambda )t} } \frac{{(\lambda t)^{m - 1} }}{{(m - 1)!}}\mathrm{d}V(t)\\ &&\hspace{-7mm}m_i^{[2]}(s)=m_0^{[2]}(s)\cdot\tilde{b}^i(s), i\geqslant1 \end{eqnarray} (43)

(44)
将式(44)代入式(43)可得$m_0^{[2]}(s)$的表达式, 从而可得$m_i^{[2]}(s)$的表达式. 再使用罗比达法则, 经计算可得式(33). 5 服务台因温储备失效而等待修理的概率

由于服务台发生第一类失效可以立刻得到修理,无需等待, 故只考虑服务台发生第二类失效情况下的等待修理的概率. 令

$D_i(t)=P\{\textrm{时刻$t$服务台处于等待修理状态}|_{N(0)=i}\},i=0,1,2,\cdots,$
表示系统从初始状态$N(0)=i$出发,在时刻$t$服务台处于等待修理的概率, 且其L变换为$d_i^*(s)=\int_0^\infty D_i(t){\rm d}t$,$i=0,1,2, \cdots.$

定理 4 对$\Re(s)\geqslant0$和$i\geqslant0$,有

\begin{eqnarray} d_i^*(s)=\frac{y(s+\lambda)\cdot\tilde{b}^i(s)}{s+\lambda-\lambda\tilde{b}(s)[1-y(s+\lambda)+ y(s+\lambda)v(s+\lambda-\lambda\tilde{b}(s))]} \end{eqnarray} (45)
且稳态概率为
\begin{equation} \lim_{t\to\infty}D_i(t)=\lim_{s\to0^+}s\cdot d_i^*(s)= \begin{cases} \frac{(1-\tilde{\rho})y(\lambda)}{1+\lambda\beta_2y(\lambda)},&\tilde{\rho}<1\\ 0,&\tilde{\rho}\leqslant1 \end{cases} \end{equation} (46)

证明 利用全概率分解技术,得

又对$i\geqslant1$,有
\begin{equation} D_i(t)=\int_0^tD_0{(t - x)}\mathrm{d}\tilde{B}^{(i)}(x) \end{equation} (48)
作L变换,得
\begin{eqnarray} d_i^*(s)=d_0^*(s)\cdot\tilde{b}^i(s), i\geqslant0 \end{eqnarray} (50)
将式(50)代入式(49)即可解得$d_0^*(s)$, 将$d_0^*(s)$代入式(50)即可得到式(45), 再利用罗比达法则并结合引理1即得式(46). 6 数值计算与讨论

假定服务台在闲期的寿命分布$Y(t)$为负指数分布$Y(t)=P\{Y\leqslant t\}=1-{\rm e}^{-\theta t},0\leqslant\theta<\infty,t\geqslant0$. 下面以定理2和定理3的结论, 通过数值计算来讨论服务台的第二类稳态不可用度$\Phi$[2]与第二类稳态故障频度$M^{[2]对系统相应参数的敏感性.

取参数$\beta_1=2.0,\beta_2=4.0,\theta=0.2,\alpha=0.5$, 且在满足$\tilde{\rho}<1$情况下, 图 3图 4是以顾客的到达率$\lambda$与服务台的服务率$\mu$为自变量的服务台的第二类稳态不可用度 $\Phi^{[2]与第二类故障频度$M^{[2]的变化图形, 图 3表明$\Phi^{[2]随$\lambda$的增大而变小,随$\mu$的增大而变大; 图 4表明$M^{[2]随$\lambda$的增大而减小,随$\mu$的增大而变大.

图 3 $\Phi$[2]随$\lambda$与$\mu$的变化情况
图 4 $M${[2]随$\lambda$与$\mu$的变化情况

又取参数$\lambda=0.6,\mu=2.0,\theta=0.2,\beta_2=4.0$, 且满足$\tilde{\rho}<1$情况下, 图 5图 6是以服务员的"广义忙期"中的服务台的故障率$\alpha$与平均修复时间$\beta_1$为自变量的服务台的 第二类不可用度$\Phi^{[2]与第二类故障频度$M^{[2]的变化图形, 图 5图 6表面$\Phi^{[2]与$M^{[2]随$\alpha$、$\beta_1$的增大而减小.

图 5 $\Phi$[2]随$\alpha$与$\beta_1$的变化情况
图 6 $M$[2]随$\alpha$与$\beta_1$的变化情况

再取参数$\lambda=0.6,\alpha=0.5,\mu=2.0,\beta_1=2.0$, 且满足$\tilde{\rho}<1$情况下, 图 7图 8是以假期中服务台的故障率$\theta$与平均修理时间$\beta_2$为自变量的服务台的第二类不可 用度$\Phi^{[2]与第二类故障频度$M^{[2]的变化图形, 图 7表明$\Phi$[2]随$\theta$、$\beta_2$增大而增大. 图 8表明$M$[2]随$\theta$的增大而增大,而随$\beta_2$的增大而减小.

图 7 $\Phi$[2]随$\theta$与$\beta_2$的变化情况
图 8 $M$[2]随$\theta$与$\beta_2$的变化情况
7 结束语

本文考虑了具有温储备失效且在温储备失效后得不到及时修理的$M/G/1$可修排队系统的可靠性指标, 得到了一些刻画系统性能的可靠性指标的表达式, 并且讨论了服务台在温储备失效后等待修理的概率. 通过数值计算分析了系统有关参数对相关指标的影响使得本文的理论结果有更清晰的应用意义.

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文章信息

刘金银, 唐应辉, 朱亚丽, 余玅妙
LIU Jin-yin, TANG Ying-hui, ZHU Ya-li, YU Miao-miao
具有温储备失效和延迟修理的M/>G/1可修排队系统的可靠性指标
Reliability indices of M/>G/1 repairable queueing system with warm standby failure and delayed repair
系统工程理论与实践, 2015, 35(2): 413-423
Systems Engineering - Theory & practice, 2015, 35(2): 413-423.

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收稿日期:2013-07-05

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