0 引言
在"高成本、破坏性"的成败型产品成功率$P$的抽样检验中,
如何减少试验次数以降低抽样检验成本是工程人员十分关心的问题.
由于序贯检验采取"试试看、看看试"的试验方式,
在检验中充分利用了试验的过程信息,
故相对于经典的固定试验次数的抽样检验方式,
序贯检验能大幅度减少平均试验次数,降低了试验成本. 因此,
序贯检验在导弹命中率、引信可靠度等成败型产品质量的抽样检验中已得到广泛应用[1, 2, 3, 4].
关于成败型试验成功率$P$的序贯假设检验,常讨论如下统计假设:
| $$ H_0: P = P_0 {\rm vs} H_1: P = P_1 (P_0>P_1) eqno$$ |
(1)
|
对统计假设(1),国际电工委员会(International Electrotechnical
Commission)于1991年推出了一套国际标准--- IEC1123,
该标准针对$P_0,P_1$及犯两类错误的概率上界$\alpha,
\beta$的不同组合,共给出了240 个截尾序贯检验方案[4].
大量的研究表明[5, 6, 7, 8, 9, 10],
IEC1123提供的截尾序贯检验方案存在样本量截尾值$N_t$(最大试验样本量上界)过大及平均
试验次数没有达到最少等不足.为克服IEC1123所提供方案的不足,
濮晓龙等,[5, 6, 7] 提出了序贯网图检验法(SMT);
张志华等[8, 9]对序贯网图检验进行推广,提出了广义序贯抽样方案;
马海南等,[10]提出了序贯样本空间局部的全搜索方法;
胡思贵[11, 12]在对成功率$P$
的最优截尾序贯检验进行精确定义的基础上,
通过在截尾序贯样本空间建立序关系,
采用逐点优化方式给出了最优截尾序贯检验方案. 研究结果表明,
胡思贵提出的样本空间排序法所获截尾序贯检验方案,相对于IEC1123
中的绝大多数方案能明显减少平均的试验次数,同时,相对于SMT
亦拥有更少样本量截尾值$N_t$,是一个全方位得以改进的序贯检验方案.
本文是在文[11, 12]已取得的研究成果的基础上,
对最优截尾序贯检验中样本量截尾值$N_t$ 与平均试验次数$E(M|P_0,
T^A(N_t))$,$E(M|P_1,T^A(N_t))$ 之间的关系进行研究,
发现平均试验次数具有随样本量截尾值增大而减小的趋势.
在成功率$P$的截尾序贯检验中,样本量截尾值$N_t$对检验成本的预算,
试验的准备费用起关键作用[5],
检验平均试验次数则对试验时间及试验件消耗等试验成本起决定作用.
因此,
关于试验样本量截尾值最小的序贯检验方案及关于平均试验次数最优的序贯检验方案都不一定是经济的检验方案.
本文从工程实际的应用角度出发,通过对试验成本构成进行分析,
提出了最佳的样本量截尾值的序贯检验方案,
从而能更好地节省"高成本、破坏性"产品抽样检验中的试验成本.
1 截尾序贯检验的基本概念
对成败型试验成功率$P$的截尾序贯检验,文[12]给出的定义如下:
定义1 设$L_1,L_2,\cdots,L_{N_t}$和$U_1,U_2,\cdots,
U_{N_t}$为两列整数,且满足:
| $$
\left\{
\begin{array}{ll}
0\leq L_{i+1}-L_i \leq 1,\ 0\leq U_{i+1}-U_i \leq 1 ,i=1,2,\cdots,N_t-1& \\
L_i+2\leq U_i,i=1,2,\cdots,N_t-1&\\
L_{N_t}+1=U_{N_t}&
\end{array}\right.
$$ |
(2)
|
记$S_n$为$n$次试样中的成功次数,$M=\inf\{n| S_n\geq U_n \mbox{或}
S_n\leq L_n,n=1,2,\cdots,N_t \}$,则当 $S_M\leq L_M$时,
拒绝$H_0$,当 $S_M\geq U_M$时,接受$H_0$,
而当$L_n
| $$T(N_t,U_{N_t})=( U_1,U_2,\cdots,
U_{N_t}; L_1,L_2,\cdots,L_{N_t}) $$ |
(3)
|
称$T(N_t,
U_{N_t})$为样本量截尾值$N_t$(最大试验样本量),
成功判别值为$U_{N_t}$(进行$N_t$次试验时,
接受$H_0$所需的最小的成功试验次数)的截尾序贯检验(TST).
记 $D_n=\{S_n\leq L_n,L_i
| $$
\left\{
\begin{array}{ll}
\alpha'(T)= \sum_{n=1}^{N_t} Pr\{D_n|P_0,T \}& \\
\beta'(T)= \sum_{n=1}^{N_t} Pr\{\tilde{D}_n|P_1,T \}&\\
\end{array}\right.
$$ |
(4)
|
检验$T$的平均试验次数$E(M|P,T)$为:
| $$
\left\{
\begin{array}{ll}
E(M|P_0,T)= \sum_{n=1}^{N_t} n(Pr\{D_n|P_0,T \}+ Pr\{\tilde{D}_n|P_0,T\}) & \\
E(M|P_1,T)= \sum_{n=1}^{N_t} n(Pr\{D_n|P_1,T \}+ Pr\{\tilde{D}_n|P_1,T\}) &\\
\end{array}\right.
$$ |
(5)
|
定义2 对给定的$\alpha,\beta(0<\alpha,\beta<1)$
及截尾序贯检验$T(N_t,U_{N_t})$,
若统计假设(1)的检验犯两类错误的真实概率满足$\alpha'(T) \leq
\alpha,\beta'(T)\leq \beta$,称$T(N_t,
U_{N_t})$为统计假设(1)的检验水平为($\alpha,\beta$)的截尾序贯检验.
在假设检验中,对给定的检验水平,我们总希望检验所需平均试验次数尽可能地小,因此,
给出最优截尾序贯检验定义如下.
定义3 设$T^A(N_t)$为样本量截尾值为$N_t$,
检验水平为($\alpha,\beta$)的截尾序贯检验,若对检验水平为($\alpha,
\beta$),样本量截尾值为$N_t$的任意截尾序贯检验$T(N_t)$,均有
| $$
\left \{
\begin{array}{ll}
E(M|P_0,T^{A}(N_t))\leq E(M|P_0,T(N_t))& \\
E(M|P_1,T^{A}(N_t))\leq E(M|P_1,T(N_t))&\\
\end{array}\right .
$$ |
(6)
|
则称$T^{A}(N_t)$为统计假设(1)的截尾值为$N_t$,
检验水平为 ($\alpha,\beta$) 的关于平均试验次数最优的截尾序贯检验
(OANTST).
2 样本量截尾值$N_t$与平均试验次数的关系
对统计假设(1),Wald[1]提出了序贯概率比检验法(SPRT),
并证明了在检验水平为$(\alpha,\beta)$ 的所有检验中,
SPRT具有在$P_0,P_1$ 处所需的平均试验次数达到最小的最优特性.
由OANTST 的定义及SPRT 的最优特性,我们推测OANTST
$T^A(N_t)$的平均试验次数$E(M|P_0,T^A(N_t))$,$E(M|P_1,T^A(N_t))$
将具有随样本量截尾值$N_t$ 增大而减少的趋势.
本节将采用统计计算的方式对上述这一推测进行验证.
例1 给定检验水平$(0.2,0.2)$,
对成败型试验成功率$P$考虑如下统计假设:
| $$ H_0: P_0=0.9,H_1: P_1=0.8 $$ |
(7)
|
采用文[12]中给出的样本空间排序法对 OANTST $T^A(N_t)$ 进行计算,
获得序贯检验的最小样本量截尾值$N_t=37$,当样本量截尾值$N_t$
逐渐增大时,平均试验次数$E(M|P_0,T^A(N_t))$,$E(M|P_1,T^A(N_t))$
的变化情况如下表 1 及图 1所示.
表 1 $E(M|P_0,T^A(N_t))$,$E(M|P_1,T^A(N_t))$ 随 $N_t$ 的变化趋势表
从表 1及图 1可以看到,平均试验次数$E(M|P_0,T^A(N_t))$,$E(M|P_1,
T^A(N_t))$整体来看具有随样本量截尾值$N_t$增大而减少的趋势,
且当$N_t$变得越大,$E(M|P_0,T^A(N_t))$,$E(M|P_1,T^A(N_t))$
下降也越趋于平缓. 同时还发现,$N_t$ 增大过程中,
平均试验次数$E(M|P_0,T^A(N_t))$,$E(M|P_1,T^A(N_t))$
的变化存在"台阶"现象,
即 $E(M|P_0,T^A(N_t))$,$E(M|P_1,$ $ T^A(N_t))$ 有随 $N_t$ 增大而增加的现象存在. 例如,当$N_t=41$时,$E(M|P_0,T^A(N_t))=24.5009$,而当$N_t=42$ 时,$E(M|P_0,T^A(N_t))=25.4903$.
我们对IEC1123的240个截尾序贯方案中样本量截尾值较小时的部分方案进行了计算,
图 2给出了其中四个统计假设的样本量截尾值$N_t$与平均试验次数$E(M|P_0,
T^A(N_t))$,$E(M|P_1,T^A(N_t))$的计算结果. 从图 2 的结果可以看到,
当样本量截尾值$N_t$增大,平均试验次数 $E(M|P_0,T^A(N_t))$,
$E(M|P_1,T^A(N_t))$ 都具有随$N_t$ 增大而减少的趋势,
但也存在着"台阶"现象.
从上述分析可得到这么一个结论: 对统计假设(1) 的截尾序贯检验,
平均试验次数$E(M|P_0,T^A(N_t))$,$E(M|P_1,T^A(N_t))$
具有随样本量截尾值$N_t$增大而减少的整体趋势.
3 试验成本构成及最佳样本量截尾值
由于平均试验次数$E(M|P_0,T^A(N_t))$,$E(M|P_1,T^A(N_t))$具有随样本量截尾值$N_t$增大而减少的趋势,因此,如何在样本量截尾值$N_t$ 及平均试验次数$E(M|P_0,T^A(N_t))$,$E(M|P_1,T^A(N_t))$ 之间作一个平衡,以减少整个抽样检验的成本费用将是本节讨论的内容.
3.1 试验成本构成分析
从工程实际应用角度看,在产品的抽样检验中,
可将试验成本划分为两个部分: 1)试验准备费用,2)试验测试费用.
试验准备费用是指对每个可能参与试验的试验件进行试验准备而产生的费用,如对试验件的运输、实验场地准备等所产生的费用;
试验测试费用是指对试验件进行测试而产生的费用,如破坏性试验中试验件自身损坏及在测试过程中对人力与物力的消耗等所产生费用. 由此,样本量截尾值$N_t$的序贯方案 OANTST $T^A(N_t)$ 的试验成本函数$ C(N_t)$可定义为:
| $$ C(N_t)=B_0\times N_t + B_1\times M $$ |
(8)
|
其中,$B_0,B_1 \geqq 0$为常数,
$B_0$为对一个试验件进行试验准备而产生的费用,
$B_1$为对一个试验件进行试验所产生的测试费用,
$M$为试验结束时所进行的试验次数. 对截尾序贯检验$T^A(N_t)$,
试验结束时所进行的试验次数$M$ 是随机的,因此,试验成本$
C(N_t)$是一个随机变量. 对于成功率为$P$的试验件而言,由于$T^A(N_t)$
的平均试验次数为$E(M|P,T^A(N_t))$,因此,平均试验成本为:
| $$ E(C(N_t))=B_0\times N_t + B_1\times E(M|P,T^A(N_t)) $$ |
(9)
|
在实际的抽样检验中,成功率$P$仍是未知的,因而,$E(M|P,T^A(N_t))$是未知的,为此,我们取其在$P_0,P_1$ 处的平均试验次数的平均值作为估计值,即:
| $$\widehat{E(M|P,T^A(N_t))}= \frac{E(M|P_0,T^A(N_t))+E(M|P_1,T^A(N_t))}{2} $$ |
(10)
|
简记为$\widehat{E(M|T^A(N_t))}$,从而得到平均试验成本的估计值为:
| $$ \widehat{{E(C(N_t))}}=B_0\times N_t + B_1\times {\widehat{E(M|T^A(N_t))}} $$ |
(11)
|
3.2 最佳样本量截尾值及其序贯检验方案
由(11)可知,当样本量截尾值$N_t$增大时,试验准备费用$B_0\times
N_t$也会随之增加,
但由于平均试验次数估计值$\widehat{E(M|T^A(N_t))}$将随$N_t$
增大而减小,因此,试验的测试费用$B_1\times
{\widehat{E(M|T^A(N_t))}}$ 也将会减少.
由第2节关于平均试验次数$E(M|P_0,T^A(N_t))$,$E(M|P_1,
T^A(N_t))$与试验样本量截尾值$N_t$的变化关系知,
必存在最佳的样本量截尾值$N_t^*$,
使得其对应的截尾序贯检验方案为试验费用整体上最低的试验方案.
定义4 由(11)式,设$N_t^*$ 满足:
| $$ \widehat{{E(C(N_t^*))}}= \mathop{\rm inf}\limits_{N_t}\{\widehat{{E(C(N_t))}} \} $$ |
(12)
|
则称$N_t^*$为最佳样本量截尾值.
下面讨论最佳样本量截尾值$N_t^*$的求解问题. 由于试验成本$ \widehat{{E(C(N_t))}}$为关于样本量截尾值$N_t$的函数,当样本量截尾值由$N_t$ 增加为$N_t+m$ 时,平均试验成本改变量为$ \Delta E(C_m)= \widehat{{E(C(N_t+m))}}- \widehat{{E(C(N_t))}}$,由(11)可知:
| $$\Delta E(C_m)=mB_0 + B_1(\widehat{E(M|T^A(N_t+m))}-\widehat{E(M|T^A(N_t))}) $$ |
(13)
|
显然,要使得整个抽样检验的成本为最低,须满足$\Delta E(C_m)=0$,即样本量结尾值$N_t$满足:
| $$ \frac{\widehat{E(M|T^A(N_t))}-\widehat{E(M|T^A(N_t+m))}}{m}= \frac{\mbox{试验准备费}(B_0)}{\mbox{试验测试费}(B_1)} $$ |
(14)
|
在"高成本、破坏性"的产品的抽样检验中,
由于试验件往往比较昂贵(如导弹),因此,一般有$\frac{B_0}{B_1}<1$.
若记 $\frac{B_0}{B_1}= r_0$,则当样本量截尾值由$N_t$ 增加到$N_t+m$
时,只要$\widehat{E(M|T^A(N_t))}-\widehat{E(M|T ^A(N_t+m))}>r_0m$,
则样本量截尾值由$N_t$ 增加到$N_t+m$ 就能减少试验成本. 特别地,
当$m=1$时,若$\widehat{E(M|T^A(N_t))}-\widehat{E(M|T
^A(N_t+1))}>r_0$,则样本量截尾值$N_t$增加1次时可减少试验成本.
当样本量截尾值$N_t$增加而试验成本不能再减少时,
则此时对应的样本量截尾值$N_t$即为最佳样本量截尾值$N_t^*$,
对应的截尾序贯检验方案$T^A(N_t^*)$则为比较经济的抽样检验方案.
4 算例
例2 (续例1) 若$r_0=0.1$,
即试验准备费用为试验测试费用的$\frac{1}{10}$,
由表 1数据及公式(10)式得样本量截尾值$N_t$与$\widehat{E(M|T^A(N_t))}$之间变化趋势如表 2
及图 3 所示.
表 2 $E(M|T^A(N_t))$ 随 $N_t$ 的变化趋势表
从表 2及图 3可以看到,当样本量截尾值由37增加到40时,$\widehat{E(M|T^A(N_t))}$ 从 25.1737次下降到22.9914次,减少的平均试验次数为2.1823次,由于$2.1823>>r_0 \times 3=0.3$,因此,将样本量截尾值由37增加到40,可大幅度减少试验成本. 若再将样本量截尾值由40次增加到45次,则$\widehat{E(M|T^A(N_t))}$从22.9914次下降到21.9378 次,减少的平均试验次数为1.0536次,由于$1.0536>r_0 \times 5=0.5$,所以将样本量截尾值$N_t$增加到45次亦能降低试验成本. 结合图 3 可看到,当样本量截尾值$N_t>45$以后,$\widehat{E(M|T^A(N_t))}$的减少量已变得非常缓慢,当再增大$N_t$时,已不能再减少试验成本,因此,对统计假设(7),当$r_0=0.1$ 时,最佳序贯样本量截尾值$N_t^*=45$,对应的截尾序贯检验方案$T^{OA}(45)$即为比较经济的抽样检验方案.
若上述序贯试验方案是针对某种导弹所进行的抽样检验方案,
假设导弹价格为50万美元/枚,$r_0 =0.1$,
即试验准备费用为试验测试费用的十分之一. 因此,
不妨假设导弹试验的测试费用50万美元/次,准备费用 为5万美元/次.
现将最佳序贯样本量截尾值的检验方案$T^{OA}(45)$
与最小样本量截尾值的检验方案$T^{OA}(37)$ 及IEC1123
所提供的检验方案$T^{IEC}(49)$ 所需的试验成本进行比较,结果如表 3.
最佳样本量截尾值的截尾序贯检验方案$T^{A}(45^*)$
相对于最小样本量截尾值的检验方案$T^{A}(37)$ 能节省试验费用121.75
万美元,相对于IEC1123 的序贯抽样检验方案$T^{IEC}(49)$
能节省试验费用45.7625万美元.
针对IEC1123的样本量截尾值较小的前12个方案,
我们对$r_0$的不同比值给出了其对应的最佳样本量截尾值$N_t^*$ 如表 4.
表 4 不同$r_0$值时的序贯检验方案的最佳样本量截尾值$N_t^*$的比较
从表 4可以看到,
对于试验准备费用$B_0$与试验测试费用$B_1$的不同比值$r_0$,
其对应的最佳样本量截尾值$N_t^*$ 往往是不一样的,IEC1123
提供的截尾序贯检验方案$T^{IEC}$的样本量截尾值$N_t$往往也不是最佳的.
因此,对于$r_0$的不同比值,若均采用IEC1123 的截尾序贯检验方案,
势必极大地增加整个抽样检验的成本开销. 从上面的例2 可以看到,
针对$r_0$ 特定取值,选择最佳样本量截尾值$N_t^*$
的截尾序贯检验方案$T^{A}(N_t^*)$,相对IEC1123
的序贯方案及最小样本量截尾值序贯检验方案均能大幅度减少抽样检验成本.
5 小结
对"高成本、破坏性"的成败型产品成功率$P$ 的抽样验收试验,
为降低试验成本开支,本文通过对抽样检验的试验成本构成进行分析,
结合序贯检验方案的平均试验次数$E(M|P_0,T^A(N_t))$,$E(M|P_1,
T^A(N_t))$ 具有随样本量截尾值$N_t$ 增大而减少概率特性,
提出了最佳样本量截尾值$N_t^*$ 的截尾序贯检验方案.
计算实例演示表明,对"高成本、破坏性"产品的抽样检验,
最佳样本量截尾值的序贯检验方案$T^{A}(N_t^*)$相对于IEC1123及最小样本量截尾值的抽样检验方案,
均能大量节省抽样检验的成本,是一种经济的抽样检验方案.
