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污染约束下可耗竭资源最优消费模型研究
闫晓霞1,2, 张金锁1,2, 邹绍辉1,2    
1. 西安科技大学 管理学院, 西安 710054;
2. 西安科技大学 能源与经济管理研究中心, 西安 710054
摘要:假设完全竞争市场条件下, 运用最优控制理论, 以社会福利最大化为目标, 将污染因素充分体现在效用函数及约束条件中,构建了污染约束下可耗竭资源最优消费模型并给出具体解析解. 结果表明: 消费函数是初始资源储量与初始污染存量比值及初始污染存量与初始资本投入比值的减函数; 在一定条件下, 消费量最大值与其初始值比值是贴现值的减函数, 该比值也是初始资源储量与初始资本投入比值及初始污染存量与初始资本投入比值的增函数. 由此得出结论: 污染的初始值较高会使得消费减少, 遏制经济的增长, 这说明从居民消费角度看, 经济增长与治理污染并不相悖, 而是相辅相成的. 该结论对促进我国增加治理污染的投入有积极的作用.
关键词可耗竭资源     最优控制     最优消费模型     污染约束    
Study on the optimal depletion model of exhaustible resources under pollution constraint
YAN Xiao-xia1,2, ZHANG Jin-suo1,2, ZOU Shao-hui1,2     
1. School of Management, Xi'an University of Science and Technology, Xi'an 710054, China;
2. Research Center for Energy Economy and Management, Xi'an University of Science and Technology, Xi'an 710054, China
Abstract:With assumption of the completely competitive markets, adopting optimal control theory, aiming at maximal social welfare, and indicating the pollution factors fully in utility function and constraint conditions, the optimal depletion model of exhaustible resources under pollution constraint was established, and the specific analytical solution was presented. The results show that: the consumption function is a decreasing function of the initial stock of resources and the initial stock of pollution ratio, and the initial stock of pollution and the initial stock of capital ratio. Under certain conditions, the consumption peak to the initial consumption is a decreasing function of the discounted value, it is also an increasing function of the initial stock of resources and the initial stock of pollution ratio, and the initial stock of pollution and the initial stock of capital ratio. Consequently, the conclusion is achieved that: high initial value of pollution can lead to reduced consumption and rein in economic growth, which also means that from the household's consuming point of view, the relationship between economic growth and pollution is not absolutely contradictive but complementary each other. The conclusion has the positive effect on promoting China's government to increase the investment in pollution control.
Key words: exhaustible resources     the optimal control     the optimal depletion model     pollution constraints    

0 引言

近日来我国严重的雾霾天气引发了公众对环境污染的重视. 根据《2012年中国环境公报》,2012 年SO$_2$ 排放总量为2117. 6万吨,其中工业排放占90. 3%; 氮氧化物排放总量为2337. 8万吨,其中工业排放占70. 9%,表明工业部门消耗大量的可耗竭资源是造成雾霾的主要原因. 可耗竭资源的消耗会引发环境问题,而恶劣的环境质量会间接地影响企业生产过程中的要素投入,例如:清洁的环境会使人舒适感增强,提高劳动力效率; 清洁的空气会降低机器设备的耗损程度,增强设备的使用寿命; 高标准的环境质量要求企业有高的碳排放标准,进而要求高的技术投入. 故此,环境与自然资源之间存在着一个重要的动态互动关系,资源开采的经济效益以牺牲未来的环境为代价,而未来的环境也会影响下一代的资源开采效率. 资源和环境的可持续发展关系着子孙后代的福祉,无论是现在还是将来,资源与环境都是社会发展的重要问题. 在考虑环境污染约束情况下,如何将有限的资源有效地分配给消费者,既使消费者的消费效用达到最佳,又使社会环境污染达到最低,是资源经济与管理领域值得研究的重要课题.

可耗竭资源的研究最早始于Hotelling[1],他确定了可耗竭资源经济学的理论基础,建立了著名的"Hotelling 规则". 之后,Dasgupta等[2],Solow[3],Stiglitz[4] 等拓展了Hotelling 的研究成果,但这些学者的研究侧重点有所不同,Dasgupta等构建了矿产资源最优开发模型; Solow探讨了矿产资源的代际分配问题; Stiglitz将资源约束纳入了经济增长模型[5]. Benchekroun等[6]在其分析中简称四位学者的模型为 Dasgupta-Heal-Solow-Stiglitz (DHSS)模型. 尽管之后有很多学者都研究了可耗竭资源问题,但通过最优控制理论来研究该问题的大多数学者都以此四位学者的研究为基础. 本文也以 DHSS 模型为基础构建我们的模型.

20世纪70年代后,污染和环境质量逐渐成为经济增长模型研究的焦点,例如Forster[7],Plourde[8],López[9],Stokey[10],Copeland等[11],Arrow等[12],Acemoglu[13] 等,模型中污染既可以作为环境质量的存量变量,亦可以作为排放率的流量变量; 既可以是消费和生产的副产品,亦可以是生产函数、效用函数或两者共同的变量. Kamien等[14]提出了一个经济体随着时间分配其自然及环境资源以使效用现值最大化的一般模型. KrautKraemer[15] 把受保护的自然环境引入了资本-资源增长模型,他认为环境破环存在不可逆性,环境质量与可耗竭资源储量正相关. Lyon等[16] 研究了污染作为状态变量的可耗竭资源模型,给出了模型的解析解,分析了最优路径的特点及污染物的两类社会成本,得出了高污染成本情况下,资源开采最优时间延长的特殊结论. Silva等[17] 研究环境和可耗竭资源的相互作用,模型中考虑了资源的可耗竭性和污染,得出了政府介入的重要性.

国内对可耗竭资源的研究起步于20世纪90 年代,比较有代表性的研究成果主要有张金锁[18]、 魏晓平\,[19]、杨海生[20]、 葛世龙[21]、 王喜莲[22] 等学者的研究. 这些研究资源与环境经济的学者多将资源和环境作为约束,来考察经济增长的最优情况. 王海建[23]运用内生经济增长理论研究了资源耗竭、环境污染与经济增长之间的关系,彭水军等[24] 将环境质量同时引入生产函数与效用函数,构建了四部门内生增长模型并给出均衡解,于渤等[25]假设污染物对产出只可能具有负的贡献率,运用最优控制方法讨论了模型的平衡增长问题. 许士春等[26]将耗竭性资源和环境污染问题纳入内生经济增长模型,运用最优控制方法研究了稳态最优增长路径,研究发现:消费跨期替代弹性、时间贴现率、人力资本积累效率、物质产品部门和研发部门的产出弹性、污染的产出和控制弹性对稳态下的经济增长率、污染排放增长率和资源消耗速度产生一定影响.

纵观国内外学者的相关研究可以看出,国外学者倾向于建立简单的模型,设置较多的假设,对模型的求解过程和结果进行深入剖析,对参数的变化所引起的变量的变动进行详细分析,但是国外学者很少综合考虑三个以上约束条件的情况. 国内学者则倾向于综合考虑很多因素及约束条件,但对假设条件设置不严格,对过程和结果的分析比较欠缺,尤其是对考虑资源、经济和环境等因素及约束条件下所构建的数理模型,因假设不严格,从中得到的结论范围还很有限.

本文假设完全竞争市场环境下,引入污染要素约束,运用最优控制理论,以社会福利最大化为目标,研究构建污染约束下可耗竭资源最优消耗1模型,并对模型进行求解得出可耗竭资源最优消费路径解析解,通过与Benchekroun 等[6] 的研究结果2进行对比,将得出不一样的结论.

1. 消费和消耗: 若将厂商或消费者认为是资源使用方,即需求方,则利用资源称为消费; 站在资源开采方的角度,即供给方,资源称为消耗; 假定市场出清的情况下,因供给=需求,则消耗=消费.
2. Benchekroun等[6] 研究了DHSS (Dasgupta-Heal-Solow-Stiglitz)模型[2, 3, 4] 并给出了具体的解析解. 模型站在社会计划者的角度,以社会福利最大化为目标函数,以储量的变动和Cobb-Douglas生产函数为约束条件来建立可耗竭资源最优消费模型. 模型考虑能源和经济所构成的封闭情景,给出了每个变量的动态变动解,得出了若初始消费是随时间递增,则初始的资本投入为正; 同时表明在功利主义标准和能源资源足够丰富的情景下,消费函数采用最大-最小(max-min)函数形式,即遵循代际公平原则,充分考虑了资源消费的可持续性.

由于污染对可耗竭资源最优消耗的影响体现在两方面: 一是目标函数,即污染对效用函数有影响,二是约束条件,即污染存量的变动会影响可耗竭资源的最优消耗,为此我们在建模时充分考虑这些影响. 1 模型构建

考虑污染对效用函数的影响为负,目标函数中的效用函数表达为消费减去污染的效用. 消费函数采用最大-最小 (max-min) 消费速度的表达形式[3],也即存在一个可持续的正消费率; 具体的表达式采用 Lucas-Uzawa模型中[27] 的指数函数表达形式,Boucekkine等[28, 29]研究表明该指数函数的表达式亦可表示为超几何分布的函数[30]; 特定情况下,消费函数可表达为对数函数形式[3]. 污染效用函数采用Stokey[10] 的假定: 污染伴随产出一直存在,污染效用是产出的增函数. 消费效用函数和污染效用函数都假定是严格凸函数 (上凸),故效用函数亦为严格凸函数 (上凸)[14],满足建立最优控制模型的条件. 约束条件中考虑资本存量变动、储量变动和污染存量变动的情况. 生产函数采用Cobb-Douglas 的生产函数形式[4],生产要素为资本和资源; 假定污染为存量变量且可累积,污染的流量受可耗竭资源开采、治理污染政策或活动[31]及污染存量自身3的影响,污染的流量与资源开采量成正比,与治理污染政策或活动成反比[31]; 另外,治理污染政策或活动也会制约资源的开采.

3. 假定污染存量是指数递减的形式. (参考d'Arge[31],Smith[32],Forster[7, 33, 34]).

令$K(t)$表示资本存量,$S(t)$表示可耗竭资源储量,$C(t)$表示消费,$R(t)$表示可耗竭资源开采量,$A(t)$表示因没有采取治理污染政策或活动而减少的资源开采量或因采取治理污染政策或活动而增加的资源开采量4,$P(t)$ 表示污染存量. $\sigma $ 表示资本投入对生产的弹性,其中$0< \sigma <1 $; $\rho$ 表示贴现率,$\rho >0$. 令$\eta^{-1}$表示跨期的替代弹性[29],$\alpha$表示由可耗竭资源开采而引发的污染系数,$\alpha>0$; $\beta$表示治理污染政策或活动会成比例的减少污染存量,$\beta>0$; $\delta$表示污染衰减速率,也即$\frac{\dot{P}}{P}= - \delta$,$\delta>0$. 假定跨期污染效用弹性为 $\gamma$,假定 $0<\gamma<1$; $\hat{A}$ 表示因采取治理污染政策或活动而引起的资源开采的最大增加量5. 为了便于表达,假定对任意变量$x(t)$ 和 $\dot{x}(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$,在建模时省去了时间变量$t$.

4. 假定资源开采越多污染越多,那么若不采取治理污染政策或活动,就必须通过减少一定数量的资源开采量来减少污染排放以满足环境承载能力; 相反,如果采取了治理污染政策或活动,那么增加一定数量的资源开采量将不会增加污染排放. 所以$A(t)$也被认为是因污染排放而引起的资源开采减少量或因采取治理污染政策或活动而引起的资源开采增加量.
5. 由于预算问题以及其他因素很可能阻碍无限制地追求环境清洁,同时,即使采取了治理污染政策活动,也不可能无限制地增加资源开采量,因此设置上限$\hat{A}$的假设是合理的.

通过上面的分析,建立最优控制模型为:

$\max \int_{0}^\infty { e}^{-\rho t}U(C,P)\mathrm{d}t$ (1)
$U(C,P)=U_C(C)+U_P(P)=\begin{cases} \frac{C - 1}{1-\eta} - \frac{1}{\gamma}P^\gamma, & \eta\neq1,\eta>0,\gamma>1\\ \ln{C} - \frac{1}{\gamma}P^\gamma,& \eta = 1,\gamma > 1 \end{cases}$ (2)
$\dot{S}=-R-A$ (3)
$\dot{P}=\alpha R-\beta A - \delta P$ (4)
$\dot{K}=K^\sigma R^{1-\sigma} - C$ (5)
$K(0)=K_0>0; \quad S(0)=S_0>0; \quad P(0)=P_0>0; \quad 0\leq A \leq \hat{A}$ (6)

模型中$R,A,C$为控制变量,$S,P,K$ 为状态变量. 令$\lambda_S,\lambda_P,\lambda_K $分别为可耗竭资源储量、污染存量和资本存量的共态变量,也即各存量对应的影子价格,建立现值 Hamiltonian如下:

$H_c=U(C,P)+\lambda_S(-R-A)+\lambda_P(\alpha R-\beta A-\delta P)+\lambda_K(K^\sigma R^{1-\sigma} - C)$ (7)

最大化条件满足:

$\frac{\partial H_c}{\partial R} = 0 \Rightarrow\lambda_S-\alpha\lambda_P-(1-\sigma)K^\sigma R^{1-\sigma}\lambda_K=0$ (8)

模型中,因现值 Hamiltonian 函数关于$ A $是线性的,故$ A$存在"碰碰解". Forster[34]在其模型中证明了$ A $不可能有奇异解,本文所构建的模型与 Forster 的模型不同,本模型采用现值 Hamiltonian 函数,$\lambda_S$并非常数,$\lambda_P$和$P$ 值也非常数,故其对$U(C,P)$的影响与假设并无矛盾,由此,$ A $既有奇异解也有边界解,由于边界解属于极端情况,本文仅讨论$A$存在奇异解的一般情况. 有:

$\frac{\partial H_c}{\partial A} = 0 \Rightarrow\lambda_S+\beta\lambda_P=0$ (9)
$\frac{\partial H_c}{\partial C} = 0 \Rightarrow\lambda_K=C^{-\eta}$ (10)
$\dot{\lambda_S}= - \frac{\partial H_c}{\partial S}+\rho\lambda_S \Rightarrow\dot{\lambda_S}=\rho\lambda_S$ (11)
$\dot{\lambda_P}= - \frac{\partial H_c}{\partial P}+\rho\lambda_P \Rightarrow\dot{\lambda_P}=(\rho+\delta)\lambda_P+P^{\gamma-1}$ (12)
$\dot{\lambda_K}= - \frac{\partial H_c}{\partial K}+\rho\lambda_K \Rightarrow\dot{\lambda_K}=\rho\lambda_K-\sigma\lambda_K R^{1-\sigma}K^{\sigma-1}$ (13)

横截条件为:

$\lim_{t \to \infty}{ e}^{-\rho t}\lambda_S S=0$ (14)
$\lim_{t \to \infty}{ e}^{-\rho t}\lambda_S S=0$ (15)
$\lim_{t \to \infty}{ e}^{-\rho t}\lambda_S S=0$ (16)
2 求解 2. 1 变量求解

为简化求解过程,令 $\eta=1$,由式(7)和(8)可解得:

$\lambda_S(t)=\lambda_S(0){ e}^{\rho t}$ (17)
$\lambda_P(t)= - \frac{1}{\beta}\lambda_P(0){ e}^{\rho t}$ (18)
$\lambda_K(t)={ e}^{\rho t}{\biggl(\lambda_K(0)^{(\sigma-1)/\sigma}+(1-\sigma)\bigg(\frac{(\alpha+\beta) \lambda_S(0)}{\beta(1-\sigma)}\bigg)^{(\sigma-1)/\sigma}t \biggr)}^{\sigma/(\sigma-1)}$ (19)

为简化表达,上式中: $\varphi=(1-\sigma){\bigl(\frac{(\alpha+\beta)\lambda_S(0)}{\beta(1-\sigma)}\bigr)}^{(\sigma-1)/\sigma},\pi(t)=\lambda_K(0)^{(\sigma-1)/\sigma}+\varphi t,x_0=x(0),x(t)=x_0+\rho t,$
$E_1(x)\equiv \int_{0}^\infty {e}^{-u}u^{-1}\mathrm{d}u,x>0$[16, 17].

则有:

$C(t)= { e}^{-\rho t}\pi(t)^{\sigma/(1-\sigma)}$ (20)
$K(t)= \pi(t)^{1/(1-\sigma)}\biggl( K_0\lambda_K(0)^{1/\sigma}- \frac{1}{\varphi}{ e}^{x_0} (E_1(x_0)-E_1(x(t)))\biggr)$ (21)
$R(t)= \biggl(\frac{\beta(1-\sigma)}{(\alpha+\beta) \lambda_S(0)} \biggr)^{1/\sigma}\biggl( K_0\lambda_K(0)^{1/\sigma}- \frac{1}{\varphi}{ e}^{x_0}(E_1(x_0)-E_1(x(t)))\biggr)$ (22)
$P(t)= \biggl(\frac{\delta\lambda_S(0)}{\beta}\biggr)^{1/(\gamma-1)}{ e}^{\rho t/(\gamma-1)}$ (23)
$A(t)= \frac{\alpha}{\beta}R(t)-\frac{1}{\beta}\bigg(\delta+\frac{\rho}{\gamma-1}\bigg)P(t)$ (24)
$S(t)= S_0-\biggl( K_0\frac{\alpha+\beta}{\beta}\bigg( \frac{\beta(1-\sigma)}{(\alpha+\beta) \lambda_S(0)}\lambda_K(0)\bigg)^{1/\sigma}-\frac{\beta}{\alpha\lambda_S(0)} { e}^{x_0}E_1(x_0)\biggr)-$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\frac{\beta}{\alpha\rho\lambda_S(0)}{ e}^{x_0} (\Psi(x(t))-\Psi(x_0))+ \frac{1}{\beta}\frac{\delta(\gamma-1)+\rho}{\rho}\bigg(\frac{\delta \lambda_S(0)}{\beta}\bigg)^{1/(\gamma-1)}({ e}^{\rho t/(\gamma-1)}-1)$
(25)
其中,$\Psi(x)=x(E_1(x)-E_0(x))$. 2. 2 变量初始值求解

确定共态变量的初始值 $\lambda_S$、$\lambda_P$、$\lambda_K$可通过横截条件解得:

$\lambda_S(0)=\frac{\beta}{\delta}P_0^{\gamma-1}$ (26)
$\lambda_P(0)=-\frac{1}{\delta}P_0^{\gamma-1}$ (27)
$\lambda_K(0)=\bigg(\frac{1}{\varphi K_0}{ e}^{x_0}E_1(x_0)\bigg)^\sigma$ (28)
$S_0= - \frac{\beta}{\alpha\rho\lambda_S(0)}{ e}^{x_0} \Psi(x_0)+ \frac{1}{\beta}\frac{\delta(\gamma-1)+\rho} {\rho}\bigg( \frac{\delta\lambda_S(0)}{\beta}\bigg)^{1/(\gamma-1)}$ (29)

若假定:

$X=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\bigg(\frac{(1-\sigma)^{1/\sigma}}{\rho}\bigg)^{\sigma/(\sigma-1)}\frac{S_0}{K_0}, \quad Y=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\bigg(\frac{(1-\sigma)^{1/\sigma}}{\rho}\bigg)^{\sigma/(\sigma-1)}\frac{1}{\beta} \frac{\delta(\gamma-1)+\rho}{\rho}\frac{P_0}{K_0},$
$h_1(x)=-x^{1/(\sigma-1)}\frac{\Psi(x)}{E_1(x)}. $

引理 对于任意正值 $S_0$、$K_0$、 $P_0$,$x_0$可由表达式 $h_1(x_0)=X-Y$ 得出唯一解.

证明见附录. 2. 3 时间求解

$\eta=1$ 时,效用函数为 $ U(C,P)=\ln C-\frac{1}{\gamma}P^\gamma $. 由于效用函数为上凸函数,若使效用最大化,则有$ \frac{\mathrm{d}U(C,P)}{\mathrm{d} t}=0 $. 由表达式 (20) 和式 (23) 可得: \[ \frac{\mathrm{d} U(C,P)}{\mathrm{d} t} = -\rho + \frac{\sigma\rho}{(1-\sigma)(x_0+\rho t)} - \frac{\rho}{\gamma-1}\bigg({\frac{\delta \lambda_s(0){ e}^{\rho t}}{\beta}} \bigg) ^ {\gamma/(\gamma-1)}. \]

两边除以 $\rho$,令 \[ M=-1+ \frac{\sigma}{(1-\sigma)(x_0+\rho t)},\quad N=\frac{1}{\gamma-1}\bigg( {\frac{\delta \lambda_s(0){ e}^{\rho t}}{\beta}} \bigg)^ {\gamma/(\gamma-1)}=\frac{1}{\gamma-1}P_0^\gamma { e}^{\rho t (\gamma/(\gamma-1))}. \]

通过数值模拟,可解得效用最大化时对应的时间 $ t^* $(也即资源最优耗竭时间)为 $M$ 曲线与 $N$ 曲线的相交点. 通过Matlab进行模拟,随机在参数允许范围内取数值发现所得图形走向一致,故举例,若令 $\alpha=0. 3$,$ \beta=0. 3$,$ \delta=0. 3 $,$ \sigma=0. 6 $,$\gamma=0. 5 $,$ K_0=1000$,$S_0=5000$,$P_0=50$,$\rho=0. 03$,则有$x_0=1. 017653$,$t^* \approx 70$ 年. 对于$x_0$ 与效用的关系,可通过$\frac{\mathrm{d} U(C,P)}{\mathrm{d} x_0} =\frac{\sigma}{(1-\sigma)(x_0+\rho t)} >0$得,当$x_0$ 增加时,$U(C,P)$ 增加,二者为正相关关系. 3 消费最优路径分析 3. 1 消费初始值比较

约束条件中考虑污染,消费函数为 \[ C(t)=\frac{\delta(1-\sigma)}{(\alpha+\beta)P_0^{\gamma-1}}\biggl(\bigg(\frac{(\alpha+\beta)K_0 P_0^{\gamma-1}}{\delta { e}^{x_0}E_1(x_0)}\bigg)^{1-\sigma}+(1-\sigma)t \biggr)^{\sigma/(1-\sigma)}{ e}^{-\rho t}. \]

约束条件不考虑污染,由文献[6]中,整理 \footnote{6. 为方便比较, 其中字母所表示的参数含义均与本文中一致. }得其消费函数 $\bar C(t)$ 为 \[ \bar C(t)=\frac{(1-\bar\sigma)\bar\rho \bar S_0}{\Psi(\bar x_0)}\biggl(\bigg(\frac{\bar K_0\Psi(\bar x_0)} {\bar\rho \bar S_0 { e}^{\bar x_0}E_1(\bar x_0)}\bigg)^{1-\bar\sigma}+(1-\bar\sigma)t \biggr)^{\bar\sigma/(1-\bar\sigma)}{ e}^{-\bar\rho t}. \]

本文中 \[ C_0=(1-\sigma)^{1/\sigma}\frac{1}{P_0^{(1-\gamma)/\gamma}}\bigg(\frac{x_0}{\rho}\bigg)^ {\sigma/(1-\sigma)}. \]

文献[6]中 \[ \bar C_0=(1-\bar\sigma)^{1/\bar\sigma} \frac{\bar\rho \bar S_0}{\Psi(\bar x_0)}\bigg(\frac{\bar x_0}{\bar \rho}\bigg)^ {\bar\sigma/(1-\bar\sigma)}. \]

本文中, \[ \frac{\mathrm{d}C_0}{\mathrm{d}x_0} = \frac{\sigma}{1-\sigma}(1-\sigma)^{1/\sigma}\frac{1}{P_0^{(1-\gamma)/\gamma}} \bigg(\frac{1}{\rho}\bigg)^{\sigma/(1-\sigma)} {x_0}^{(2\sigma-1)/(1-\sigma)}. \]

由于 $0. 5<\sigma<1$,则 $\frac{\mathrm{d} C_0}{\mathrm{d} x_0}>0$,$C_0$ 是 $x_0$ 的增函数. 由于 \[ X-Y = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}(1-\sigma)^{1/(1-\sigma)}\rho^{\sigma/(\sigma-1)}\frac{P_0}{K_0} \bigg(\frac{S_0}{P_0} - \frac{\delta(\gamma-1)+\rho}{\beta \rho}\bigg), \] 则 $X-Y$ 分别是 $ \frac{P_0}{K_0} $ 和 $ \frac{S_0}{P_0} $ 的增函数. 由于$ h_1(x)=-x^{1/(\sigma-1)}\frac{\Psi(x)}{E_1(x)}$ 与文献[6]表达式一致,则有 $ x_0>0$,$ \frac{\mathrm{d}h_1(x_0)}{\mathrm{d} x_0}<0 $,$h_1(x(t))>0$ (证明过程参见文献[6]),即 $ x_0 $ 与 $ h_1(x_0) $ 是负相关关系,$X-Y>0$且$\frac{S_0}{P_0} > \frac{\delta(\gamma-1)+\rho}{\beta \rho}$. 因此,可得 $ x_0 $ 分别是 $ \frac{P_0}{K_0} $、 $ \frac{S_0}{K_0}$ 和 $ \frac{S_0}{P_0} $ 的减函数,则 $ C_0 $ 是分别是 $\frac{P_0}{K_0} $、 $ \frac{S_0}{K_0} $ 和 $ \frac{S_0}{P_0} $的减函数. 而文献[6] 中,并未涉及污染条件,故$ \bar C_0 $ 仅是$\frac{\bar S_0}{\bar K_0} $ 的减函数.

文献[6]中得出,当初始资源储量增加时,消费增加,初始消费增加; 同理,本文中得出,当初始污染存量增加时,初始消费减少,消费也减少. 于是,考虑污染因素后,消费量与初始消费量的影响由初始资源储量与初始资本投入的比值转变为初始污染存量与初始资本投入的比值、初始资源储量与初始污染存量的比值和初始资源储量与初始资本投入的比值. 3. 2 消费最大化时的时间比较

本文中,消费最大化时,有 \[ \frac{\mathrm{d}C(t)}{\mathrm{d}t}={ e}^{-\rho t}\pi(t)^{(\sigma/(1-\sigma))}\bigg( -\rho + \frac{\sigma}{1-\sigma}\frac{\rho}{x(t)}\bigg)=0, \] 可得$x(\tilde{t})=\frac{\sigma}{1-\sigma}$,因为$x(\tilde{t})=x_0+\rho\tilde{t}$,则 \[ \tilde t=\frac{1}{\rho}\bigg( \frac{\sigma}{1-\sigma}-x_0 \bigg). \] 又因为 \[ x(\tilde{t})=\frac{\rho}{1-\sigma} \bigg( \frac{\alpha + \beta}{\delta} \bigg)^{1-\sigma} \frac{K_0^{1-\sigma}}{P_0^{(\gamma-1)(1-\sigma)}} \bigl({ e}^{x_0}E_1(X_0)\bigr)^{\sigma-1}+\rho\tilde{t}, \] 则可得: \[ x_0=\frac{\rho}{1-\sigma} \bigg( \frac{\delta}{\alpha+\beta}{ e}^{x_0}E_1(x_0)\frac{P_0^{\gamma - 1}}{K_0}\bigg)^{\sigma - 1}. \] 同时,$x_0$也可由 $h_1(x_0)=X-Y$ 求出, \[ h_1(x_0)=-x_0^{1/(\sigma - 1)}\frac{\Psi(x)}{E_1(x_0)},\quad X=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\bigg( \frac{(1-\sigma)^{1/\sigma}}{\rho} \bigg)^{\sigma/(\sigma - 1)} \frac{S_0}{K_0}, \] \[ Y=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\bigg( \frac{(1-\sigma)^{1/\sigma}}{\rho} \bigg)^{\sigma/(\sigma - 1)} \frac{1}{\beta} \bigg( \frac{\delta(\gamma-1)+\rho}{\rho} \bigg) \frac{P_0}{K_0}. \]

文献[6]中, \[ \tilde{\bar t}=\frac{1}{\bar\rho} \bigg( \frac{\bar\sigma}{1-\bar\sigma} -\bar x_0 \bigg),\quad \bar x_0=\frac{\bar\rho^{\bar\sigma}}{1-\bar\sigma}\bigg( \frac{{ e}^{\bar x_0}E_1(\bar x_0)}{\Psi(\bar x_0)} \frac{\bar S_0}{\bar K_0} \bigg)^{\bar \sigma - 1}. \] $\bar x_0$ 也可由 $h_1(\bar x_0)=\bar X$ 求出, \[ h_1(\bar x_0)=-\bar x_0^{1/(\bar\sigma - 1)}\frac{\Psi(\bar x_0)}{E_1(\bar x_0)},\quad \bar X=\bigg( \frac{(1-\bar\sigma)^{1/\bar\sigma}}{\bar\rho} \bigg)^{\bar\sigma/(\bar\sigma - 1)} \frac{\bar S_0}{\bar K_0}. \]

比较发现,加入污染约束后,消费最大值所对应的时间表达式一致,但是其中$ x_0 $ 的含义不同,求解结果也不同. 文献[6]中,$x_0 $受初始资源储量与初始资本投入的比值的影响; 本文中$ x_0 $不仅受初始资源储量与初始资本投入的比值的影响,还受初始污染存量与初始资本投入的比值的影响.

由于$ \frac{\mathrm{d}\tilde{t}}{\mathrm{d}x_0}=-\frac{1}{\rho}<0$,故说明$ \tilde{t} $是关于$ x_0 $ 的减函数,即关于 $\frac{P_0}{K_0} $ 和 $ \frac{S_0}{K_0} $ 的增函数. 考虑污染因素后,对最优时间 $ \tilde{t} $的影响也由原来的初始资源储量与初始资本投入的比值转变为初始资源储量与初始资本投入的比值以及初始污染存量与初始资本投入的比值. 3. 3 消费最大值与消费初始值比值分析

本文中消费最大值为 $ C^*(\tilde{t})= { e}^{-\rho\tilde{t}}\pi(\tilde{t})^{\sigma/(1-\sigma)}$,$ C_0=\pi_0^{\sigma/(1-\sigma)}$,可解得 \[ \frac{C^*(\tilde{t})}{C'_0} =\bigg( \frac{\sigma}{e (1-\sigma)} \bigg)^{\sigma/(1-\sigma)}\frac{{ e}^{x_0}}{x_0^{\sigma/(1-\sigma)}}. \] 令 $ \xi(x_0)=\frac{{ e}^{x_0}}{x_0^{\sigma/(1-\sigma)}} $,则 \[ \frac{\mathrm{d}{\xi(x_0)}}{\mathrm{d} x_0}=\frac{{ e}^{x_0}}{x_0^{\sigma/(1-\sigma)}}\bigg( 1 - \frac{\sigma}{1-\sigma} \frac{1}{x_0}\bigg). \] 因为 \[ \tilde t=\frac{1}{\rho}\bigg( \frac{\sigma}{1-\sigma}-x_0 \bigg)>0, \] 所以 $ \frac{\mathrm{d}{\xi(x_0)}}{\mathrm{d} x_0}<0 $,则,$ \frac{C^*(\tilde{t})}{C_0} $ 是关于 $x_0$ 的减函数与 $ \frac{P_0}{K_0} $ 和 $ \frac{S_0}{K_0} $ 的增函数.

由于 \[ \frac{\mathrm{d} x_0}{\mathrm{d} \rho}=\bigg( \frac {\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \rho}- \frac {\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} \rho} \bigg)\bigg/\bigg(\frac{\mathrm{d} h_1(x_0)}{\mathrm{d} x_0}\bigg), \] \[ \frac {\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \rho}-\frac {\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} \rho} = - \frac{\alpha}{(\alpha + \beta)\rho}\bigg( \frac {1- \sigma}{\rho}\bigg)^{1/(1-\sigma)} \bigg( \frac {\sigma \rho}{1-\sigma}\frac{S_0}{K_0}-\frac{\delta(\gamma-1)+\rho}{\beta(1-\sigma)}\frac{P_0}{K_0} \bigg). \]

式中当 $ \frac{S_0}{P_0} > \frac{\delta(\gamma-1)+\rho}{\beta\sigma \rho} $时,$ \frac {\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \rho} < \frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} \rho} $,$ x_0 $ 是 $ \rho $ 的增函数; 当 $ \frac{S_0}{P_0} < \frac{\delta(\gamma-1)+\rho}{\beta \sigma\rho} $ 时,$ \frac {\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \rho} > \frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} \rho} $,$ x_0 $ 是 $ \rho $ 的减函数. 由于 $ \frac{C^*(\tilde{t})}{C_0} $ 是关于 $ x_0 $ 的减函数,进而对于 $ \frac{C^*(\tilde{t})}{C_0} $ 与贴现值 $ \rho $的关系为,当 $ \frac{S_0}{P_0} >\frac{\delta(\gamma-1)+\rho}{\beta\sigma \rho} $ 时,$ \frac{C^*(\tilde{t})}{C_0} $ 是 $ \rho $的减函数; 当 $ \frac{S_0}{P_0} <\frac{\delta(\gamma-1)+\rho}{\beta \sigma \rho} $ 时,$\frac{C^*(\tilde{t})}{C_0} $ 是 $ \rho $ 的增函数.

文献[6]中对应表达式为: \[ \frac{\bar C^*(\tilde{\bar t})}{\bar C_0} = \frac{\bar\sigma(2\bar\sigma-1)^{(1-\bar\sigma)/\bar\sigma}} {(1-\bar\sigma)^{1/\bar\sigma}}\xi(\bar x_0), \] 其中$\xi(\bar x_0)=( \frac{1}{\bar x_0 { e}^{\bar x_0} E_1(\bar x_0)}-1)^{(1-\bar\sigma)/\bar\sigma}{ e}^{\bar x_0} E_1(\bar x_0)$,$ \frac{\bar C^*(\tilde{t})}{\bar C_0} $ 分别为 $\bar\rho$ 和$ \frac{\bar S_0}{\bar K_0}$ 的严格减函数和增函数.

比较二者可知,当加入污染约束条件后,消费最大值与初始值的比值是贴现值的减函数需满足一定的条件,此外,消费最大值与初始值的比值不仅是初始资源储量与初始资本投入比值的增函数,也是初始污染存量与初始资本投入比值的增函数. 4 结论

本文假设完全竞争市场环境下,引入污染要素约束,以社会福利最大化为目标,研究构建污染约束下可耗竭资源最优消费模型,通过对模型求解得各变量解析解,进而得出了可耗竭资源消费最优路径,并对最优消费路径进行分析,得出了如下结论:

1) 考虑污染因素时,当初始污染存量增加时,初始消费减少,消费减少; 消费值与消费初始值的影响由初始资源储量与初始资本投入的比值转变为初始资源储量与初始资本投入的比值、初始资源储量与初始污染存量的比值和初始污染存量与初始资本投入的比值,且为其减函数.

2) 考虑污染因素后,消费达到最大化的时间推迟了; 对消费最大值时对应的时间的影响由原来的初始资源储量与初始资本投入的比值转变为初始资源储量与初始资本投入的比值以及初始污染存量与初始资本投入的比值,且为其增函数. 即由于污染增加,居民可能会增加防止和治理污染的成本,整体而言,居民购买最终产品的欲望缩减,消费也减少,消费最大化时的时间也延长了.

3) 消费最大值与初始值的比值是贴现值的减函数需满足一定的条件,消费最大值与初始值的比值不仅是初始资源储量与初始资本投入比值的增函数,也是初始污染存量与初始资本投入比值的增函数.

由结论可得出,环境污染与居民消费有直接的关系,环境污染的加剧会使得居民消费减少,遏制经济的增长. 但是,如果采取措施,无论是政府部门采取强行的治理污染措施还是企业或科研院所等单位加大R$\&$D投入、提高治理污染的技术进步等手段来降低污染物排放、改善环境质量(即初始污染存量降低) ,都会使得消费增加,刺激经济的增长.

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文章信息

闫晓霞, 张金锁, 邹绍辉
YAN Xiao-xia, ZHANG Jin-suo, ZOU Shao-hui
污染约束下可耗竭资源最优消费模型研究
Study on the optimal depletion model of exhaustible resources under pollution constraint
系统工程理论与实践, 2015, 35(2): 291-299
Systems Engineering - Theory & practice, 2015, 35(2): 291-299.

文章历史

收稿日期:2013-09-25

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