引言

随着石油天然气勘探开发工作的不断深入，环 空带压问题越来越突出。据有关统计资料，美国外 大陆架区域大部分油气井存在环空带压现象，统计 的8 122 口井中存在11 498 个环空带压套管段，且 50% 发生在生产套管和油管之间的环形空间。水泥 环的密封完整性是影响环空带压的关键因素之一， 水泥环密封失效将导致层间气窜、环空带压和套管 损坏等问题，对于高含硫气井还可能诱发严重的人 员伤亡、环境污染和经济损失。因此，保持水泥环 完整性对降低井口环空带压、提高井筒安全性、延 长开采寿命具有重要意义。

高温高压井主要是指储层温度大于150 ℃、地 层压力梯度大于18 kPa/m 或井口压力大于70 MPa 的井，且通常为深井、超深井^[1]。由于特殊的高温 高压井筒环境，使得高温高压井井筒完整性管理 越来越受到国内外油田专家和学者的重视^[2-6]。在 试压、压裂酸化（井口加背压，提高油管柱力学可靠 性）以及正常生产过程中，受作业载荷、油管或封隔 器泄漏等因素影响，水泥环失效将加剧环空带压， 带来潜在安全隐患。为此，在现有井筒水泥环力学 模型基础上^[7-17]，建立考虑温度效应的套管水泥 环地层耦合力学模型，研究水泥环的失效准则，讨 论考虑井筒温度效应时环空带压对水泥环密封性能 的影响，以期确定更合理的最大允许井口环空带压 值，并提升高温高压气井环空带压管理水平。

1 水泥环力学模型

水泥浆凝固后，套管、水泥环和地层可视为一 个复合圆柱体。由于套管、水泥环和地层的物性参 数差异较大，套管内压、地层压力（外压）作用和复 合圆柱体温度的变化时，在套管与水泥环之间的胶 结面及水泥环和地层之间的胶结面会产生接触压 力或拉应力。考虑两界面完全胶结，则可根据界面 处的位移连续条件计算水泥环界面接触压力，最终 计算出水泥环径向和切向的应力场。水泥环力学模 型基本假设：套管无几何缺陷、水泥环结构完整，水 泥环第一、第二胶结面胶结良好，3 者均视为厚壁圆 柱体；套管、水泥环、地层岩石都为均质各向同性材 料，且水泥环无残余内应力；将复合圆柱体受力简 化为平面应变问题，其受力示意图见图 1。

考虑温度效应时，圆柱体切向应变为

${{\varepsilon }_{\theta }}\text{=}\frac{1}{E}\left[ {{\sigma }_{\theta }}-v\left( {{\sigma }_{z}}+{{\sigma }_{r}} \right) \right]+\alpha \Delta T$

(1)

式中：ε_θ -切向应变，无因次；

E-弹性模量，MPa；

σ_r，σ_θ，σ_z 径向应力、切向应力和轴向应力， MPa；

ν-材料泊松比，无因次；

α-材料线膨胀系数，℃⁻¹；

ΔT 温度变化值，℃。

圆柱体轴向应变为

${{\varepsilon }_{z}}\text{=}\frac{1}{E}\left[ {{\sigma }_{z}}-v\left( {{\sigma }_{\theta }}+{{\sigma }_{r}} \right) \right]+\alpha \Delta T$

(2)

式中：ε_z 轴向应变，无因次。

根据复合圆柱体平面应变假设，满足ε_z ≈ 0，由 式（2），可得

${{\sigma }_{z}}=v\left( {{\sigma }_{\theta }}+{{\sigma }_{r}} \right)+\alpha E\Delta T$

(3)

将式（3）代入式（1）中可得

${{\varepsilon }_{\theta }}=\frac{1}{E}\left[ \left( 1-{{v}^{2}} \right){{\sigma }_{\theta }}-\left( v-{{v}^{2}} \right){{\sigma }_{r}}+\left( 1-v \right)\alpha E\Delta T \right]$

(4)

从而得到圆柱体的径向变形量为

${{\delta }_{r}}=\frac{r}{E}\left[ \left( 1-{{v}^{2}} \right){{\sigma }_{\theta }}-\left( v+{{v}^{2}} \right){{\sigma }_{r}}+\left( 1-v \right)\alpha E\Delta T \right]$

(5)

式中：δ_r-圆柱体的径向变形量，mm；

r-圆柱体的半径，mm。

对于套管，受内压力（p_i）、外挤压力（p_c1）作用， 由拉梅公式可得套管径向应力分布

${{\sigma }_{\text{rs}}}=\frac{{{p}_{\text{i}}}{{a}^{2}}-{{p}_{\text{c}1}}{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}-\frac{\left( {{p}_{\text{i}}}-{{p}_{\text{c}1}} \right){{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\frac{1}{{{r}^{2}}}$

(6)

式中：σ_rs-套管径向应力，MPa；

p_i-套管内压力，MPa；

p_c1-套管外挤压力（水泥环第一胶结面接触压 力），MPa；

a-套管内半径，mm；

b-套管外半径（水泥环内半径），mm。

套管切向应力分布

${{\sigma }_{\theta \text{s}}}=\frac{{{p}_{\text{i}}}{{a}^{2}}-{{p}_{\text{c}1}}{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}+\frac{\left( {{p}_{\text{i}}}-{{p}_{\text{c}1}} \right){{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\frac{1}{{{r}^{2}}}$

(7)

式中：σ_θs-套管径向应力，MPa。

根据假设，套管中∂(ΔT)/∂r = 0，则由式（5）~ 式（7）可得套管外壁（r = b）处径向变形量为

$\begin{align} & {{\delta }_{\text{rso}}}=\frac{b}{{{E}_{\text{s}}}}\left( 1-v_{\text{s}}^{2} \right)\left[ \frac{2{{a}^{2}}{{p}_{\text{i}}}-{{p}_{\text{c}1}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}} \right]+ \\ & \frac{b}{{{E}_{\text{s}}}}\left( {{v}_{\text{s}}}+v_{\text{s}}^{2} \right){{p}_{\text{c}1}}+b\left( 1-{{v}_{\text{s}}} \right){{\alpha }_{\text{s}}}\Delta T \\ \end{align}$

(8)

式中：δ_rso-套管外壁径向变形量，mm；

E_s-套管弹性模量，MPa；

ν_s—套管泊松比，无因次；

α_s-套管线膨胀系数，℃⁻¹。

对于水泥环，其内外壁分别受接触压力p_c1、p_c2 作用，水泥环中径向应力为

${{\sigma }_{\text{rc}}}=\frac{{{p}_{\text{c}1}}{{b}^{2}}-{{p}_{\text{c}2}}{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}-\frac{\left( {{p}_{\text{c}1}}-{{p}_{\text{c}2}} \right){{b}^{2}}{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}\frac{1}{{{r}^{2}}}$

(9)

式中：σ_rc-水泥环径向应力，MPa；

p_c2-水泥环第二胶结面接触压力，MPa；

c-水泥环外半径，mm。

水泥环切向应力为

${{\sigma }_{\theta \text{c}}}=\frac{{{p}_{\text{c}1}}{{b}^{2}}-{{p}_{\text{c}2}}{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}+\frac{\left( {{p}_{\text{c}1}}-{{p}_{\text{c}2}} \right){{b}^{2}}{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}\frac{1}{{{r}^{2}}}$

(10)

式中：σ_θc -水泥环切向应力，MPa。

根据假设，水泥环中∂(ΔT)/∂r = 0，则由式（5）、 式（9）、式（10）可得水泥环内壁（r = b）处径向变形量为

$\begin{align} & {{\delta }_{\text{rci}}}=\frac{b}{{{E}_{\text{c}}}}\left( 1-v_{\text{c}}^{2} \right)\left[ \frac{{{p}_{\text{c}1}}\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-2{{c}^{2}}{{p}_{\text{c}2}}}{{{c}^{2}}-{{b}^{2}}} \right]+ \\ & \frac{b}{{{E}_{\text{c}}}}\left( {{v}_{\text{c}}}+v_{\text{c}}^{2} \right){{p}_{\text{c}1}}+b\left( 1-{{v}_{\text{c}}} \right){{\alpha }_{\text{c}}}\Delta T \\ \end{align}$

(11)

式中：δ_rci-水泥环内壁径向变形量，mm；

E_c-水泥环弹性模量，MPa；

ν_c-水泥环泊松比，无因次；

α_c-水泥环线膨胀系数，℃⁻1。

由套管外壁和水泥环内壁连续条件可知， 式（8）和式（11）中两个径向变形量应该相等，有

$\begin{align} & A{{p}_{\text{i}}}+B{{p}_{\text{c}1}}+C{{p}_{\text{c}2}}={{E}_{\text{c}}}{{E}_{\text{s}}}\Delta T \\ & \left[ \left( 1-{{v}_{\text{c}}} \right){{\alpha }_{\text{c}}}-\left( 1-{{v}_{\text{s}}} \right){{\alpha }_{\text{s}}} \right] \\ \end{align}$

(12)

其中：

$\begin{align} & A=\frac{2{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{{E}_{\text{c}}}\left( 1-v_{\text{s}}^{2} \right);C=\frac{2{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{{E}_{\text{s}}}\left( 1-v_{\text{c}}^{2} \right); \\ & B=\frac{2{{b}^{2}}v_{\text{s}}^{2}+\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right){{v}_{\text{s}}}-\left( {{b}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{{E}_{\text{c}}}- \\ & \frac{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-2{{b}^{2}}v_{\text{c}}^{2}+\left( {{c}^{2}}-{{b}^{2}} \right){{v}_{\text{s}}}}{{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{{E}_{\text{s}}} \\ \end{align}$。

由（5）、式（9）、式（10）也可得到水泥环第二胶结面 r=c处的径向变形量为

$\begin{align} & {{\delta }_{\text{rco}}}=\frac{c}{{{E}_{\text{c}}}}\left( 1-v_{\text{c}}^{2} \right)\left[ \frac{2{{b}^{2}}{{p}_{\text{c}1}}-{{p}_{\text{c}2}}\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{{{c}^{2}}-{{b}^{2}}} \right]+ \\ & \frac{c}{{{E}_{\text{c}}}}\left( {{v}_{\text{c}}}+v_{\text{c}}^{2} \right){{p}_{\text{c}2}}+c\left( 1-{{v}_{\text{c}}} \right){{\alpha }_{\text{c}}}{{E}_{\text{c}}}\Delta T \\ \end{align}$

(13)

式中：δ_rco-水泥环外壁径向变形量，mm。

对于地层岩石，其内外壁分别受接触压力p_c2 和地层压力p_f 作用，地层岩石中径向和切向应力分 别为

${{\sigma }_{\text{rf}}}=\frac{{{p}_{\text{c}2}}{{c}^{2}}-{{p}_{\text{f}}}{{d}^{2}}}{{{d}^{2}}-{{c}^{2}}}-\frac{\left( {{p}_{\text{c}2}}-{{p}_{\text{f}}} \right){{b}^{2}}{{c}^{2}}}{{{d}^{2}}-{{c}^{2}}}\frac{1}{{{r}^{2}}}$

(14)

${{\sigma }_{\theta \text{f}}}=\frac{{{p}_{\text{c}2}}{{c}^{2}}-{{p}_{\text{f}}}{{d}^{2}}}{{{d}^{2}}-{{c}^{2}}}+\frac{\left( {{p}_{\text{c}2}}-{{p}_{\text{f}}} \right){{c}^{2}}{{d}^{2}}}{{{d}^{2}}-{{c}^{2}}}\frac{1}{{{r}^{2}}}$

(15)

式中：σ_rf-地层径向应力，MPa；

p_f-地层压力，MPa；

d-地层外半径，mm；

σ_θf-地层切向应力，MPa

根据假设，地层中∂(ΔT)/∂r = 0，则由式（5）、 式（14）、式（15）水泥环第二胶结面（r = c）处径向变 形量为

$\begin{align} & {{\sigma }_{\text{rfi}}}=\frac{c}{{{E}_{\text{f}}}}\left( 1-v_{\text{f}}^{2} \right)\left[ \frac{{{p}_{\text{c}2}}\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)-2{{d}^{2}}{{p}_{\text{f}}}}{{{d}^{2}}-{{c}^{2}}} \right]+ \\ & \frac{c}{{{E}_{\text{f}}}}\left( {{v}_{\text{f}}}+v_{\text{f}}^{2} \right){{p}_{\text{c}2}}+c\left( 1-{{v}_{\text{f}}} \right){{\alpha }_{\text{f}}}\Delta T \\ \end{align}$

(16)

式中：δ_rfi--水泥环第二胶结面径向变形量，mm；

E_f--地层岩石弹性模量，MPa；

α_f--地层岩石线膨胀系数，℃⁻¹；

ν_f--地层岩石泊松比，无因次。

由水泥环外壁和地层岩石内壁连续条件可得 式（13）和式（16）中两个变形量也应该相等，从而有

$\begin{align} & U{{p}_{\text{c}1}}+V{{p}_{\text{c}2}}+W{{p}_{\text{f}}}={{E}_{\text{c}}}{{E}_{\text{f}}}\Delta T \\ & \left[ \left( 1-{{v}_{\text{f}}} \right){{\alpha }_{\text{f}}}-\left( 1-{{v}_{\text{c}}} \right){{\alpha }_{\text{c}}} \right] \\ \end{align}$

(17)

其中：$\begin{align} & U=\frac{2{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{{E}_{\text{f}}}\left( 1-v_{\text{c}}^{2} \right);W=\frac{2{{b}^{2}}}{{{d}^{2}}-{{c}^{2}}}{{E}_{\text{c}}}\left( 1-v_{\text{f}}^{2} \right); \\ & V=\frac{2{{c}^{2}}v_{\text{c}}^{2}+\left( {{c}^{2}}-{{b}^{2}} \right){{v}_{\text{c}}}-\left( {{c}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}{{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{{E}_{\text{f}}}- \\ & \frac{\left( {{d}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-2{{c}^{2}}v_{\text{f}}^{2}+\left( {{d}^{2}}-{{c}^{2}} \right){{v}_{\text{f}}}}{{{d}^{2}}-{{c}^{2}}}E \\ \end{align}$。

联立式（13）、式（17）可得水泥环内外壁接触压 力p_c1 和p_c2。从而，由式（9）、式（10）可求得水泥环 在任意半径r 处的径向应力和切向应力。

2 水泥环失效准则

水泥环失效主要有胶结面受拉失效和水泥环本 体受压失效，水泥环在拉应力和压应力共同作用下 也会发生剪切失效。水泥环受纯拉伸载荷时，可采 用最大主应力准则来判断失效，但水泥环的失效有 时主要受压缩载荷而非拉伸载荷控制，这时可采用 莫尔库仑准则来预测不同应力状态下水泥环的失 效，脆性材料摩尔-库仑失效准则见表 1。

3 实例分析 3.1 基本参数

对于高温高压井，由于作业试压、压裂酸 化（需环空加压）等井下工况会使环空带压升高， 同时，受温度、压力变化使环空流体膨胀以及 由于油气从地层经水泥隔离层和环空液柱向 上窜流也会引起环空压力的升高。为了讨论环 空带压、温度变化对水泥环应力和失效的影响， 假设：（1）ϕ215.90 mm井眼下入ϕ177.80 mm（壁厚 10.36 mm）P110 套管；（2）水泥环厚度为21.34 mm； （3）P110 套管弹性模量为200 GPa、泊松比为0.23、 线膨胀系数为1.50×10⁻⁵ ℃⁻¹；（4）水泥环弹性 模量为5.6 GPa、泊松比为0.18、线膨胀系数为 1.05×10⁻⁵ ℃⁻¹、抗拉强度为4.2 MPa、抗压强度为 41.0 MPa；（5）地层岩石弹性模量为17 GPa、泊松比 为0.20、线膨胀系数为1.05×10⁻⁵ ℃⁻¹。

3.2 结果分析 3.2.1 环空带压对水泥环应力的影响

为了讨论环空压力、井筒温度对水泥环密封失 效的影响，计算了环空带压0~50.00 MPa、开采过程 井筒温度升高0~50 ℃等工况下水泥环径向应力和 切向应力的变化情况。不考虑井筒温度变化时，不 同环空带压下水泥环中径向应力和切向应力分布 情况如图 2、图 3 所示。可以看出：水泥环沿径向 受压，沿切向受拉，且最大压应力和拉应力均出现 在第一胶结面，表明水泥环将最先在此处失效。当 环空带压为50.00 MPa，水泥环与套管界面处最大 径向压应力为12.74 MPa，表明水泥环不会发生压 缩失效；但当环空带压为45.00 MPa 时，水泥环与 套管界面处切向拉应力已达4.28 MPa，该值已超过 水泥环的抗拉强度4.20 MPa，此时水泥环将出现微 裂纹。

不同环空带压及温度变化下水泥环第一、第 二胶结面径向应力分布情况如图 4、5 所示。可以 看出：水泥环沿径向受压，且最大压应力出现在水 泥环与套管界面，表明水泥环将最先在此处失效； 环空带压越大、温度变化越大，水泥环胶结面径向 压应力越大。当环空带压为50.00 MPa、温度变化50 ℃时，水泥环与套管界面处最大径向压应力为 14.08 MPa，表明水泥环不会发生压缩失效。

不同环空带压及不同温度变化下水泥环第一、 第二胶结面切向应力分布情况如图 6、7 所示。

可以看出：水泥环沿切向受拉，且最大拉应力 均出现在水泥环与套管界面，表明水泥环将最先在 此处失效；环空带压越大、温度变化越大，水泥环胶 结面切向拉应力越大。当环空带压为40.00 MPa、 温度变化35 ℃时，水泥环与套管界面处切向拉应 力已达4.21 MPa，该值已超过水泥环的抗拉强度 4.20 MPa，此时水泥环将开始被拉坏。

3.2.2 环空带压对水泥环失效的影响

在环空带压作用下，水泥环将最先在套管与水 泥环界面处发生失效，为分析高温高压井环空带 压对水泥环失效的影响，根据表 1 中水泥环失效准 则，计算了井筒温度变化值为0~50 ℃、环空带压 为0~50.00 MPa 时自由套管段底部水泥环安全系 数（图 8，图中粉色平面的安全系数等于1.0）。

可以看出：环空带压越大，自由套管段底部水 泥环安全系数越低，且温度效应对安全系数的影响 较小。环空带压小于35.00 MPa 时，井筒温度变化 对水泥环安全系数影响较明显，随井筒温度升高， 水泥环安全系数减小；当环空带压大于35.00 MPa 时，井筒温度变化对水泥环安全系数影响很小，但 总体上井筒温度升高时水泥环更易失效。对具体一口井，可根据井身结构（地层水泥环套管）参数建 立水泥环安全系数图版，然后根据井筒温度场、环 空带压值判断水泥环是否会失效，并以此确定合理 的最大允许环空带压值，这对提高高温高压气井环 空压力管理水平，保证井筒安全、延长气井开采寿 命具有重要指导意义。

4 结语

（1）环空带压使水泥环中产生的切向拉应力是 水泥环失效的主要因素。井筒温度升高会产生切向 拉应力和径向压应力，此切向拉应力会加剧水泥环 密封失效风险。

（2）高温高压井环空带压工况下，自由套管段 底部水泥环一般最先失效，应将此处失效作为水泥 环失效的薄弱点。

（3）环空带压越大，自由套管段底部水泥环安 全系数越低，且温度效应对安全系数的影响较小。

（4）根据井身结构（地层水泥环套管）参数， 建立水泥环安全系数图版，然后根据井筒温度场、 环空带压值判断水泥环是否会失效，可为确定合理 的最大允许环空带压值提供依据。