Research on extension representation of logical relationships between events in SFEP
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摘要:
为进一步实现系统故障演化过程(system fault evolution process, SFEP)的可拓表示，实现SFEP的对立统一分析，论文建立了事件间逻辑关系的可拓表示方法。给出了SFEP的可拓学原理，经历事件、影响因素和演化条件的可拓表示方法；实现了事件间逻辑关系和柔性逻辑的可拓表示及系统故障概率计算；讨论了研究意义。研究表明SFEP具有矛盾统一性；逻辑关系与演化条件具有本质差异；将原因与结果事件的“与或”逻辑关系分为4种类型，得到了它们的可拓表示方法及系统故障概率计算方法；20种柔性逻辑均能通过“与/或”逻辑叠加得到，并实现了可拓表示和系统故障概率计算。研究实现了多原因−结果事件的多样性逻辑关系描述；意义在于通过形式化、定量化方法揭示事件间作用机制，为系统故障分析提供方法和技术。
Abstract:In order to further realize the extension representation of the system fault evolution process (SFEP) and realize the analysis of the unity of opposites of SFEP, this paper establishes an extension representation method for the logical relationships between events. Firstly, the extension principle of SFEP is provided, and the extension representation of experience events, influencing factors, and evolution conditions is defined. Secondly, the extension representation of the logical relationships between events, the flexible logic, and the calculation of the system fault probability are realized. Finally, the significance of the research is discussed. The research shows that SFEP possesses a contradictory unity; there are essential differences between logical relationships and evolutionary conditions. The "and-or" logical relationships between cause and result events are divided into four types, and their extension representation and system fault probability calculation methods are obtained. All 20 kinds of flexible logic can be obtained by the superposition of "and/or" logic, and their extension representation and system fault probability calculation are realized. The paper realizes the description of multiple logical relationships of multi-cause-result events. The significance lies in revealing the mechanism of interaction between events through formal and quantitative methods, and providing methods and techniques for system fault analysis.
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存在的事物即为系统，任何系统存在的意义都是需要完成预定目标。完成预定目标的能力随着内外部因素的变化而变化。笔者将该过程称为系统故障演化过程(system fault evolution process, SFEP)[1]。其包含经历事件、影响因素、逻辑关系和演化条件，本身具有较为复杂的层次和结构[2]。即便在SFEP确定后，经历事件、影响因素和演化条件仍有较大变化，而逻辑关系则相对固定。但逻辑关系表征的事件间的相互作用可能是隐含的，非线性的多重关系叠加，表象上体现为复杂的逻辑关系集合。研究事件间逻辑关系面临诸多问题。传统逻辑分析依赖经验，难以应对多原因−多结果的动态耦合及其不确定性；事件间相互作用复杂，是多重关系叠加，现有方法难以准确描述。同时，SFEP的系统功能在可靠和失效间变化，传统逻辑难以体现这种对立统一状态。
目前关于系统故障、风险、事故等过程中蕴含的逻辑关系研究不多。在复杂系统研究中，故障、风险与事故的演化本质是事件通过逻辑关系的动态耦合。其建模和分析是揭示系统失效机理的关键。故障诊断与逻辑关系方面，Santos等[3]引入因果矩阵对船舶控制系统进行模型检验，验证故障传播路径；Bhattacharya等[4]将模糊逻辑与因子比较法结合，处理安全评估中的不确定性；崔铁军等[5]提出基于量子态叠加的柔性逻辑统一表达式，突破二值逻辑限制；Koutsaki等[6]利用分类逻辑进行交通事故预测；Balasubramanian等[7]整合ECC与机器学习实现UART故障诊断；Ghafouri等[8]开发无量纲特征模糊模型诊断滚动轴承故障；Hogea等[9]提出规则引导Transformer，将逻辑规则嵌入深度学习。风险评估与逻辑关系方面，Li等[10]构建多源数据融合模型分析信息安全事件；杨震等[11]提出基于混合因果逻辑(HCL)的化工园区雷击风险评估方法；郭梨等[12]将HCL用于尾矿坝事故知识图谱构建，实现因果逻辑结构化表示；Hu等[13]扩展HCL方法，提出多灾害Natech风险评估框架；Borzooei等[14]融合形态学信息与深度学习评估工业废水处理风险；Roccetti[15]关注逻辑悖论在疫苗风险评估中的影响；Yang和Li[16]耦合贝叶斯网络与马尔可夫链，实现换道风险动态评估。事故分析与逻辑关系方面，韩广华等[17]探讨应急管理敏捷能力生成逻辑；胡锋[18]分析新污染物管控立法逻辑与进路；张建等[19]剖析“弱预防性”生成机制；单永航等[20]用集成学习预测事故严重程度；刘朱紫等[21]用逻辑回归分析老年行人致伤因素；Balasubramanian等[7]、Ghafouri等[8]、Habib等[22]和Rahim等[23]分别针对通信、轴承、光伏和变压器提出模糊逻辑或机器学习诊断模型，为推演设备故障致灾提供逻辑框架。这些文献通过不同手段对各类系统故障过程中的各类逻辑关系展开研究。主要方法包括故障数据统计、系统工程方法、数值模拟分析、通用逻辑分析等。这些成果取得了显著成效，但也面临一些问题。正如前述总结，SFEP本身具有复杂性，特别是其中的事件间逻辑关系，需要考虑SFEP的动态变化，以及系统功能状态的矛盾统一情况。因此，需要建立适合的方法对事件间逻辑关系予以定性表示和定量计算。
为解决上述问题，笔者基于前期对经历事件、影响因素和逻辑关系的可拓表示基础上，研究了逻辑关系的可拓表示。并基于此对柔性逻辑形成的事件发生逻辑关系进行了可拓表示。建立了可拓表示方法和系统故障概率计算方法。研究对系统故障演化和柔性逻辑与可拓学的结合有一定贡献。
1. 系统故障演化过程的可拓学原理
2018年笔者提出了SFEP及其空间故障网络数学模型，作为空间故障树理论的第3部分。概念上SFEP包括4部分，经历事件、影响因素、逻辑关系和演化条件。SFEP是系统功能状态的动态过程集合，而系统功能状态是SFEP的时间切片。其观察维度不同，SFEP侧重整体演化趋势，系统功能状态聚焦瞬时状态。相关概念具体请参见笔者文献[1-2]。2020年笔者在研究SFEP时，基于可拓学描述了SFEP，建立了SFEP的可拓学基础[24]。其核心是通过可拓学的基元理论、拓展分析原理等，构建SFEP的形式化表示与分析方法。从核心概念、可拓表示、分析原理3方面进行总结如下。
1)核心概念是SFEP的系统功能状态与可拓学结合。系统功能状态的本质在于系统的存在意义，即实现预定功能，其功能状态分为可靠(完成功能)和失效(未完成或功能降低)2种。两者是矛盾统一的关系，通过物质、能量和信息的传递相互转化。可拓学的三大理论基础(基元理论、可拓集理论和可拓逻辑)提供了形式化SFEP的模型与分析工具。基元理论用于描述事件、动作及传递关系；可拓集理论通过关联函数量化状态；可拓逻辑处理矛盾问题的推理规则。
2)SFEP的可拓表示使用基本单元与传递元。SFEP的基本单元可分解为原因事件−演化条件−结果事件的三元组，每个单元包含由动作和对象构成的事件。演化条件是原因事件导致结果事件发生的因果关系，其数值为传递概率，表示为复合关系元，称为传递元，表征了演化条件的作用。上述基本单元、传递元及复合关系元的可拓描述见文献[24]。
3)研究了传递元的拓展分析原理。包括发散分析原理、相关分析原理、蕴含分析原理和可扩分析原理，证明了SFEP在可拓表示后仍具有上述性质。SFEP的可拓学原理研究意义在于为SFEP提供普适性的解决矛盾问题的方法论。
2. 演化条件的可拓表示
文献[24]的核心研究成果是通过关系元建立了传递元，而传递元是实现演化条件的可拓表示基础。演化条件的可拓表示由原因事件的复合事元、结果事件的复合事元和复合关系元构成，公式表示为
$$ R=\left[\begin{matrix} O_{r}^{}, & c_{r1}^{}, & (O_{a}^{c},C_{a}^{c},(O_{m}^{c},C_{m}^{c},V_{m}^{c}))\\ & c_{r2}^{}, & (O_{a}^{r},C_{a}^{r},(O_{m}^{r},C_{m}^{r},V_{m}^{r})) \end{matrix} \right] $$ (1) 式中：R为复合关系元(演化条件)，Or为关系，Cr为特征，$ {C}_{r} = \{c_{r1}^{},c_{r2}^{}\} $，Vr为量值，$ {V}_{r} = \{(O_{a}^{c},C_{a}^{c},(O_{m}^{c},C_{m}^{c}, V_{m}^{c})), (O_{a}^{r},C_{a}^{r},(O_{m}^{r},C_{m}^{r},V_{m}^{r}))\} $。$ c_{r1}^{} $为前项(原因)，$ c_{r2}^{} $为后项(结果)，$ O_{a}^{c} $为原因动作，$ C_{a}^{c} $为原因特征(集合)。$ O_{m}^{c},C_{m}^{c},V_{m}^{c} $为原因事件物元，$ O_{m}^{c} $为物，$ C_{m}^{c} $为特征(集合)，$ V_{m}^{c} $为量值(集合)；上角标c代表原因事件，上角标r代表结果事件。文献[24]给出了实例化的复合关系元表示的演化条件，公式表示为
$$ R=\left[\begin{matrix} 演化关系, & 前项, & \left[\begin{matrix} 原因动作, & 施动对象, & \cdots \\ & 接受对象, & \cdots \\ & 支配对象, & \left[\begin{matrix} 原因对象, & c_{1}^{c}, & v_{1}^{c}\\ & \vdots & \vdots \\ & c_{i}^{c}, & v_{i}^{c} \end{matrix} \right]\\ & \begin{array}{c} 发生概率,\\ \vdots \end{array} & \begin{array}{c} 量值\\ \end{array} \end{matrix} \right]\\ & 后项, & \left[\begin{matrix} 结果动作, & 施动对象, & \cdots \\ & 接受对象, & \cdots \\ & 支配对象, & \left[\begin{matrix} 结果对象, & c_{1}^{r}, & v_{1}^{r}\\ & \vdots & \vdots \\ & c_{i}^{r}, & v_{i}^{r} \end{matrix} \right]\\ & \begin{array}{c} 发生概率,\\ \vdots \end{array} & 量值 \end{matrix} \right]\\ & {p}_{t}, & 量值\\ & \vdots & \cdots \end{matrix} \right] $$ (2) 式中pt表示传递概率。
式(2)为表示SFEP演化条件的复合关系元；是SFEP中的最小单元，即原因事件−演化条件−结果事件的三元组。因此文献[24]实现了SFEP中经历事件、影响因素和演化条件的可拓表示。
3. 逻辑关系的可拓表示
根据前文可知，SFEP由4部分组成。文献[24]中实现了经历事件、影响因素和演化条件的可拓表示，这里对逻辑关系的可拓表示进行研究。
首先需要说明，逻辑关系和演化条件代表的事件间关系有本质区别。前者代表了原因事件之间以及结果事件之间的作用关系。因此，逻辑关系是同级事件之间的关系。演化条件代表了原因事件导致结果事件的因果关系，是具有先后顺序的。根据文献[25]可总结两者之间的区别，如表1所示。
表 1 逻辑关系和演化条件的区别Table 1 Differences in logical relationships and evolution conditions比较维度 逻辑关系 演化条件 数理性质 抽象规则(与/或/非等逻辑运算符) 具体参数(传递概率值) 数学表示 逻辑矩阵(标记事件间作用方式) 结构矩阵(有向线段及其权重) 功能作用 决定演化过程的分支结构和事件叠加方式 决定事件触发的阈值条件和实际发生可能性 作用影响 逻辑叠加对系统功能状态不确定性的影响 条件概率对演化过程定量分析的传递影响 尽管存在上述区别，但仍可通过演化条件的复合关系元来建立逻辑关系的可拓表示形式。利用可拓方式描述多原因事件之间的作用关系叠加，以及叠加后造成的多结果事件的发生情况。逻辑关系的可拓表示方法构建过程如图1所示。
图 1 可拓表示方法构建过程Fig. 1 Extension representation construction process
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这里采用“与或”逻辑关系进行说明。如图1所示，$ O_{m,1}^{c} $~$ O_{m,J}^{c} $为原因事件，对应的发生概率分别为$ q(V_{m,1}^{c}) $~$ q(V_{m,J}^{c}) $；$ O_{m,1}^{r} $~$ O_{m,K}^{r} $为结果事件，对应的发生概率分别为$ q(V_{m,1}^{r}) $~$ q(V_{m,K}^{r}) $；结果事件构成的系统T的故障发生概率为$ {q}_{T} $。图1中，原因事件之间的关系有“与或”2种，结果事件之间的关系也是“与或”2种。它们再次组合得到4种逻辑关系类型，包括原因事件与/结果事件与的$ {L}_{\text{and}/\text{and}} $、原因事件与/结果事件或的$ {L}_{\text{and}/\text{or}} $、原因事件或/结果事件或的$ {L}_{\text{or}/\text{or}} $、原因事件或/结果事件与的$ {L}_{\text{or/and}} $。例如$ {L}_{\text{and}/\text{or}} $表示所有原因事件都必须发生才能导致结果事件之一发生。实现事件间逻辑关系的可拓表示，要解决2个问题，一是$ {L}_{\text{and}/\text{and}} $、$ {L}_{\text{and}/\text{or}} $、$ {L}_{\text{or}/\text{or}} $和$ {L}_{\text{or/and}} $的可拓表示，二是这4种情况下的系统故障概率$ {q}_{T} $的算法。如下针对这4种类型进行讨论，但在这之前需要对式(2)进行化简得到适当的可拓表示结构，公式表示为
$$ \begin{array}{c} L=\left[\frac{\begin{array}{c} \begin{matrix} {l}^{c} & C_{a,1}^{c}\\ & \vdots \\ & C_{a,J}^{c} \end{matrix} \left[\begin{matrix} O_{m,1}^{c} & C_{m,1}^{c} & V_{m,1}^{c}\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ O_{m,J}^{c} & C_{m,J}^{c} & V_{m,J}^{c} \end{matrix} \right]\\ \begin{array}{lll} & \text{logic} & \text{value} \end{array} \end{array}}{\begin{array}{c} \begin{matrix} {l}^{r} & C_{a,1}^{r}\\ & \vdots \\ & C_{a,K}^{r} \end{matrix} \left[\begin{matrix} O_{m,1}^{r} & C_{m,1}^{r} & V_{m,1}^{r}\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ O_{m,K}^{r} & C_{m,K}^{r} & V_{m,K}^{r} \end{matrix} \right]\\ \begin{array}{lll} & \text{logic} & \text{value} \end{array} \end{array}}\right]= \left[\frac{\begin{array}{c} \begin{matrix} {l}^{c} & C_{a,1}^{c}\\ & \vdots \\ & C_{a,J}^{c} \end{matrix} \left[\begin{matrix} O_{m,1}^{c} & C_{m,1}^{c} & q(V_{m,1}^{c})=q(v_{m,1,1}^{c},\cdots v_{m,1,I_{m,1}^{c}}^{c})\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ O_{m,J}^{c} & C_{m,J}^{c} & q(V_{m,J}^{c})=q(v_{m,J,1}^{c},\cdots v_{m,J,I_{m,1}^{c}}^{c}) \end{matrix} \right]\\ \begin{array}{lll} & \text{logic} & \text{value} \end{array} \end{array}}{\begin{array}{c} \begin{matrix} {l}^{r} & C_{a,1}^{r}\\ & \vdots \\ & C_{\mathrm{a},K}^{r} \end{matrix} \left[\begin{matrix} O_{m,1}^{r} & C_{m,1}^{r} & q(V_{m,1}^{r})=q(v_{m,1,1}^{r},\cdots v_{m,1,I_{m,1}^{r}}^{r})\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ O_{m,K}^{r} & C_{m,K}^{r} & q(V_{m,K}^{r})=q(v_{m,K,1}^{r},\cdots v_{m,K,I_{m,1}^{r}}^{r}) \end{matrix} \right]\\ \begin{array}{lll} & \text{logic} & \text{value} \end{array} \end{array}}\right]=\\ \underset{\begin{array}{c} q\left(v_{m,j,1}^{c},\cdots ,v_{m,j,I_{m,1}^{c}}^{c}\right)\Rightarrow \\ q\left(\mathrm{v}_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)\Rightarrow \\ {q}_{T} \end{array}}{\underbrace{\left[\frac{\text{logic value}\text{，}C_{a,1}^{c},\cdots ,C_{a,J}^{c}}{\text{logic value}\text{，}C_{a,1}^{r},\cdots ,C_{a,K}^{r}}\right]} } \end{array} $$ (3) 式(3)由式(1)和(2)简化得到。$ L $为逻辑关系的可拓表示，$ {l}^{c} $表示原因事件逻辑，$ {l}^{r} $表示结果事件逻辑。式(2)中的前项与后项分别与原因动作和结果动作一一对应，可去掉$ {C}_{r}=\{c_{r1}^{},c_{r2}^{}\} $。施动对象、接受对象不常出现，因此，原因动作与支配对象一一对应[24]。且支配对象与原因对象一一对应。原因事件由原因对象和原因动作共同表示，可使用$ O_{m,j}^{c} $表示原因事件。$ \text{logic} $表示逻辑，$ \text{value} $表示逻辑值。那么就得到了式(3)的左侧部分。其中原因事件有J个，结果事件有K个。对于原因事件$ O_{m,j}^{c} $可能具有多个特征，其集合为$ C_{m,j}^{c} $；对应的多个量值，其集合为$ V_{m,j}^{c} $。由于SFEP的事件发生概率是所有因素(特征)的综合作用。因此，量值$ v_{m,j,1}^{c},\cdots v_{m,j,I_{m,1}^{c}}^{c} $共同决定了原因事件$ O_{m,j}^{c} $的发生概率$ q(V_{m,j}^{c}) $；$ I_{m,1}^{c} $表示原因事件的特征数量，与量值的数量相同；进而得到式(3)中间的部分。进一步简化，考虑到$ C_{a,j}^{c} $、$ O_{m,j}^{c} $、$ C_{m,j}^{c} $和$ q(V_{m,j}^{c}) $的一一对应关系；及$ C_{a,j}^{r} $、$ O_{m,j}^{r} $、$ C_{m,j}^{r} $和$ q(V_{m,j}^{r}) $的一一对应关系，为表达一致，使用$ C_{a,j}^{c} $表示原因事件，$ C_{a,k}^{r} $表示结果事件。可得式(3)右侧的逻辑关系可拓表示形式以及系统故障概率$ {q}_{T} $。
基于式(3)对$ {L}_{\text{and}/\text{and}} $、$ {L}_{\text{and}/\text{or}} $、$ {L}_{\text{or}/\text{or}} $和$ {L}_{\text{or/and}} $建立可拓表示方法及系统故障概率计算方法。
1)原因事件与/结果事件与
物理意义为所有原因事件同时发生导致多个结果事件同时发生。根据式(3)，logic value分别为与“and”和与“and”。那么$ {L}_{\text{and}/\text{and}} $逻辑关系的可拓表示为
$$ \begin{array}{c} {L}_{\text{and}/\text{and}}=\left[\dfrac{\text{and}\text{，}C_{a,1}^{c},\cdots ,C_{a,J}^{c}}{\text{and}\text{，}C_{a,1}^{r},\cdots ,C_{a,K}^{r}}\right]=\\ \underset{\begin{array}{c} q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)=\displaystyle \prod \nolimits_{j=1}^{J}q(V_{m,j}^{c})=\\ \displaystyle \prod \nolimits_{j=1}^{J}q\left(v_{m,j,1}^{c},\cdots ,v_{m,j,I_{m,1}^{c}}^{c}\right)\\ {q}_{T}=1-\displaystyle \prod \nolimits_{k=1}^{K}\left(1-q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)\right) \end{array}}{\underbrace{\begin{array}{c} \left[\dfrac{\text{and}\text{，}C_{a,1}^{c},\cdots ,C_{a,J}^{c}}{C_{a,1}^{r}}\right]+\left[\dfrac{\text{and}\text{，}C_{a,1}^{c},\cdots ,C_{\mathrm{a},J}^{c}}{C_{\mathrm{a},2}^{r}}\right]\\ +\cdots +\left[\dfrac{\text{and}\text{，}C_{a,1}^{c},\cdots ,C_{\mathrm{a},J}^{c}}{C_{a,K}^{r}}\right] \end{array}} } \end{array} $$ (4) 式(4)说明，$ C_{a,1}^{c},\cdots , C_{a,J}^{c} $同时发生，造成$ C_{a,1}^{r},\cdots , C_{a,K}^{r} $同时发生。这时$ C_{a,1}^{c},\cdots ,C_{a,J}^{c} $均同时发生并分别导致$ C_{a,1}^{r} $，$ C_{a,2}^{r} $，…，$ C_{a,K}^{r} $分别发生。$ \prod \nolimits_{j=1}^{J}q\left(v_{m,j,1}^{c},\cdots , v_{m,j,I_{m,1}^{c}}^{c}\right) $表示所有原因事件同时发生的概率，与结果事件$ q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right) $的发生概率相同；同时就系统故障而言，$ q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right) $($ k=1,2,\cdots ,K $)的K个结果事件之一发生可导致系统故障发生，得到$ {q}_{T}=1-\prod \nolimits_{k=1}^{K}\left(1-q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)\right) $。因此，逻辑关系$ {L}_{\text{and}/\text{and}} $的可拓表示如式(4)所示，系统故障概率为$ {q}_{T}=1-\prod \nolimits_{k=1}^{K}\left(1-q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)\right) $。
2)原因事件与/结果事件或
物理意义为所有原因事件同时发生导致结果事件之一发生。根据式(3)，logic value分别为与“and”和或“or”。那么$ {L}_{\text{and}/\text{or}} $逻辑关系的可拓表示为
$$ \begin{array}{c} {L}_{\text{and}/\text{or}}=\left[\dfrac{\text{and},C_{a,1}^{c},\cdots ,C_{a,J}^{c}}{\text{or},C_{a,1}^{r},\cdots ,C_{a,K}^{r}}\right]=\\ \underset{\begin{array}{c} q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)=\displaystyle \prod \nolimits_{j=1}^{J}q(V_{m,j}^{c})=\\ \displaystyle \prod \nolimits_{j=1}^{J}q\left(v_{m,j,1}^{c},\cdots ,v_{m,j,I_{m,1}^{c}}^{c}\right)\\ {q}_{T}=q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right),\;k\in [1,2,\cdots ,K] \end{array}}{\underbrace{\begin{array}{c} \left[\dfrac{\text{and},C_{a,1}^{c},\cdots ,C_{a,J}^{c}}{C_{a,1}^{r}}\right]/\left[\dfrac{\text{and},C_{a,1}^{c},\cdots ,C_{\mathrm{a},J}^{c}}{C_{\mathrm{a},2}^{\mathrm{r}}}\right]\\ /\cdots /\left[\dfrac{\text{and},C_{a,1}^{c},\cdots ,C_{a,J}^{c}}{C_{a,K}^{r}}\right] \end{array}} } \end{array} $$ (5) 式(5)说明，$ C_{a,1}^{c},\cdots ,C_{a,J}^{c} $同时发生，造成$ C_{a,1}^{r},\cdots , C_{a,K}^{r} $之一发生。$ \prod \limits_{j=1}^{J}q\left(v_{m,j,1}^{c},\cdots ,v_{m,j,I_{m,1}^{c}}^{c}\right) $表示所有原因事件同时发生的概率，与有且只有一个结果事件的发生概率$ q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right) $相同；同时就系统故障而言，$ q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right) $($ k=1,2,\cdots ,K $)的K个结果事件只能发生一个，导致系统故障发生，得到$ {q}_{T}=q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right) $。因此，逻辑关系$ {L}_{\text{and}/\text{or}} $的可拓表示如式(5)所示，系统故障概率为$ {q}_{T}= q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right) $。
3)原因事件或/结果事件或
物理意义为所有原因事件之一发生导致结果事件之一发生。根据式(3)，logic value分别为或“or”和或“or”。那么$ {L}_{\text{or}/\text{or}} $逻辑关系的可拓表示为
$$ \begin{array}{c} {L}_{\text{or}/\text{or}}=\left[\dfrac{\text{or},C_{a,1}^{c},\cdots ,C_{a,J}^{c}}{\text{or},C_{a,1}^{r},\cdots ,C_{a,K}^{r}}\right]=\\ \underset{\begin{array}{c} {q}_{T}=q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)=q\left(v_{m,j,1}^{c},\cdots ,v_{m,j,I_{m,1}^{c}}^{c}\right), \\ k\in [1,2,\cdots ,K],\;j=[1,2,\cdots ,J]\end{array}}{\underbrace{{\begin{split}& \left[\frac{C_{a,1}^{c}}{C_{a,1}^{r}}\right]/\left[\frac{C_{a,2}^{c}}{C_{a,1}^{r}}\right]/\cdots /\left[\frac{C_{a,J}^{c}}{C_{a,1}^{r}}\right]\\ & \begin{array}{llllllll} & \vdots & & \quad \; \vdots & & & & \quad \vdots \end{array}\\ & \left[\frac{C_{a,1}^{c}}{C_{a,K}^{r}}\right]/\left[\frac{C_{a,2}^{c}}{C_{a,K}^{r}}\right]/\cdots /\left[\frac{C_{a,J}^{c}}{C_{a,K}^{r}}\right] \end{split}}} } \end{array} $$ (6) 式(6)说明，$ C_{a,1}^{c},\cdots ,C_{a,J}^{c} $之一发生，造成$ C_{a,1}^{r},\cdots ,C_{a,K}^{r} $之一发生。$ q\left(v_{m,j,1}^{c},\cdots ,v_{m,j,I_{m,1}^{c}}^{c}\right) $表示所有原因事件之一发生的概率，与有且只有一个结果事件的发生概率$ q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right) $相同；同时就系统故障而言，$ q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right) $($ k=1,2,\cdots ,K $)的K个结果事件只能发生一个，导致系统故障发生，得到$ {q}_{T}=q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right) $。因此，逻辑关系$ {L}_{\text{or}/\text{or}} $的可拓表示如式(6)所示，系统故障概率为$ {q}_{T}=q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right) $。
4)原因事件或/结果事件与
物理意义为原因事件之一发生导致所有结果事件同时发生。根据式(3)，logic value分别为或“or”和与“and”。那么$ {L}_{\text{or/and}} $逻辑关系的可拓表示为
$$ \begin{array}{c} {L}_{\text{or/and}}=\left[\dfrac{\text{or},C_{a,1}^{c},\cdots ,C_{a,J}^{c}}{\text{and},C_{a,1}^{r},\cdots ,C_{a,K}^{r}}\right]=\\ \underset{\begin{array}{c} q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)=q\left(v_{m,j,1}^{c},\cdots ,v_{m,j,I_{m,1}^{c}}^{c}\right),\\j=\{1,2,\cdots ,J|\forall j,\;k\in [1,2,\cdots ,K]\}\\ {q}_{T}=1-\displaystyle \prod \nolimits_{k=1}^{K}\left(1-q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)\right),\\ j\in [1,2,\cdots ,J] \end{array}}{\underbrace{\begin{split}& \left[\dfrac{C_{a,1}^{c}}{C_{a,1}^{r}}\right]+\left[\dfrac{C_{a,1}^{c}}{C_{a,2}^{r}}\right]+\cdots +\left[\dfrac{C_{\mathrm{a},1}^{c}}{C_{a,K}^{r}}\right]\\ & \begin{array}{llllllll} & \vdots & &\quad \;\;\; \vdots & & & &\quad\;\; \vdots \end{array}\\ & \left[\dfrac{C_{a,J}^{c}}{C_{a,1}^{r}}\right]+\left[\dfrac{C_{a,J}^{c}}{C_{a,2}^{r}}\right]+\cdots +\left[\dfrac{C_{a,J}^{c}}{C_{a,K}^{r}}\right] \end{split}} } \end{array} $$ (7) 式(7)说明，$ C_{a,1}^{c},\cdots ,C_{a,J}^{c} $之一发生，造成$ C_{a,1}^{r},\cdots ,C_{a,K}^{r} $同时发生。$ q\left(v_{m,j,1}^{c},\cdots ,v_{m,j,I_{m,1}^{c}}^{c}\right) $表示原因事件之一发生的概率，与所有结果事件的发生概率$ q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right) $相同；同时就系统故障而言，$ q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right) $($ k=1,2,\cdots ,K $)的K个结果事件同时发生导致系统故障发生，得到$ {q}_{T}=1- \displaystyle \prod \nolimits_{k=1}^{K}\left(1-q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)\right) $。因此，逻辑关系$ {L}_{\text{or/and}} $的可拓表示如式(7)所示，系统故障概率为$ {q}_{T}=1-\displaystyle \prod \nolimits_{k=1}^{K}\left(1-q\left(v_{m,k,1}^{r},\cdots ,v_{m,k,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)\right) $。
上述过程实现了4种逻辑关系类型的可拓表示和系统故障概率计算。对上述逻辑关系的可拓表示方法构造过程，需要说明如下几点。1)由于式(2)中没有事件的对应表示，而对象和动作可构成事件；同时$ C_{a,j}^{c} $、$ O_{m,j}^{c} $、$ C_{m,j}^{c} $和$ q(V_{m,j}^{c}) $是一一对应的；$ C_{a,j}^{r} $、$ O_{m,j}^{r} $、$ C_{m,j}^{r} $和$ q(V_{m,j}^{r}) $也是一一对应的，因此在分析过程中统一使用了$ C_{a,j}^{c} $和$ C_{a,j}^{r} $表示原因事件和结果事件。2)可拓表示和系统故障概率计算中未考虑传递概率$ {p}_{t} $，即设$ {p}_{t} $=1。如果需要可设$ q={p}_{t}\times q $代入进行修正，但$ {p}_{t} $是否存在并不改变逻辑关系的可拓表示。3)上述可拓表示和系统故障概率计算只考虑了“与或”逻辑关系。因为任何复杂的逻辑关系都可使用“与或”逻辑进行叠加得到。目前SFEP中最复杂的事件间逻辑关系可使用柔性逻辑表示，而文献[5,26]证明了20种柔性逻辑关系可使用“与或”逻辑变形得到。
上述事件间逻辑关系的可拓表示分析流程见图2所示。
图 2 逻辑关系的可拓表示分析流程Fig. 2 Extension representation analysis flow of logical relationships下载:
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4. 柔性逻辑的可拓表示
文献[5,26]指出，SFEP中的事件间关系可能是复杂的，这种复杂性体现在各原因事件对结果事件发生的作用不同上。该情况可使用泛逻辑学中的柔性逻辑表示。根据文献[5,26-27]，可总结柔性逻辑在描述事件间逻辑关系时的优点，包括如下几方面。
1)能处理不确定性。柔性逻辑通过引入误差系数、广义相关系数和相对权重系数参数，能表征不确定性。包括因素不确定性：不同因素可能隐含多种特征，柔性逻辑通过参数调节反映因素的变异影响；数据不确定性：信息不完整或冲突时，允许结果事件的发生概率呈现非刚性逻辑；演化不确定性：SFEP中事件关系和传递概率的动态变化可通过三维逻辑谱描述。
2)能保留完整原始信息。与数理形式逻辑需要抽象问题不同，柔性逻辑无需牺牲信息来构建刚性逻辑，这对智能分析尤为重要。
3)支持多逻辑关系的动态叠加。柔性逻辑可同时处理20种逻辑关系，并通过量子态叠加描述事件间的复杂作用交互。在SFEP中，原因事件可能通过多种逻辑关系导致结果事件发生，柔性逻辑统一表达式能综合各独立逻辑并实现作用叠加。
4)能适应复杂演化过程。SFEP中事件的多层网络结构和动态演化特征可通过柔性逻辑的“运算完整簇”建模。
可见柔性逻辑在保留信息、处理动态不确定性和支持复杂逻辑关系等方面显著优于传统数理逻辑，为系统故障智能分析与预测提供了有效工具。
目前柔性逻辑有20种，笔者在文献[28]中将这20种柔性逻辑进行转化，得到了对应的20种事件发生逻辑关系。他们给出了事件发生逻辑关系描述，都是两原因事件与一结果事件之间的逻辑关系。文献[26]指出，任何多原因事件导致结果事件的发生过程都可转化为两两原因事件造成结果事件过程的叠加。因此，当有多个原因事件出现时，可根据不同原因事件两两关系运用事件发生逻辑关系进行分别描述，再进一步叠加得到所需结果。虽然式(4)~(7)是多原因事件与多结果事件的逻辑关系描述，但也可表示为两两事件的逻辑关系叠加。另外，由表2的事件发生逻辑关系描述可知，尽管柔性逻辑表示的事件间逻辑关系有20种，但这些都可通过简单的“与或”逻辑变化而成。那么，多原因事件与多结果事件的“与或”逻辑关系可用可拓表示；而多对多的逻辑关系又可拆分为简单的两两“与或”关系；同时考虑到20种柔性逻辑同样可表示为简单的两两“与或”关系。因此，表2中的20种柔性逻辑同样可使用可拓表示。
表 2 20种事件发生逻辑关系Table 2 Logical relationship of 20 kinds of events编号 逻辑描述 事件发生逻辑关系描述 编号 逻辑描述 事件发生逻辑关系描述 1 Z≡□0恒假 P(qx,qy)≡0 11 Z=x∧y与 P(qx,qy)=qxqy 2 Z=¬(x∨y)非或 P(qx,qy)=1−qx−qy+qxqy 12 Z=x©ey组合 P(qx,qy)=
$ \begin{cases} P\leq {q}_{x}{q}_{y},{q}_{x},{q}_{y} \gt e\\P\geq {q}_{x}+{q}_{y}-{q}_{x}{q}_{y},{q}_{x},{q}_{y} \lt e\\{q}_{x}{q}_{y}\leq P\leq {q}_{x}+{q}_{y}-{q}_{x}{q}_{y},{q}_{x}={q}_{y}=e\end{cases} $3 Z=¬(x®y)非平均 P(qx,qy)=1−(qx/2+qy/2) 13 Z=x↔y等价 P(qx,qy)=qx or qy 4 Z=¬(y→x)非蕴含2 P(qx,qy)=qx−qxqy 14 Z=y指y P(qx,qy)=qy 5 Z=¬x非x P(qx,qy)=1−qx 15 Z=x→y蕴含1 P(qx,qy)=1−qx+qxqy 6 Z=¬(x→y)非蕴含1 P(qx,qy)=qx−qxqy 16 Z=x指x P(qx,qy)=qx 7 Z=¬y非y P(qx,qy)=1−qy 17 Z=y→x蕴含2 P(qx,qy)=1−qy+qxqy 8 Z=¬(x↔y)非等价 P(qx,qy)=1−qx or qy 18 Z=x®y平均 P(qx,qy)=qx/2+qy/2 9 Z=¬(x©ey)非组合 P(qx,qy)=
$ \begin{cases} P\leq 1-{q}_{x}{q}_{y},{q}_{x},{q}_{y} >e\\P\geq 1-{q}_{x}-{q}_{y}+{q}_{x}{q}_{y},{q}_{x},{q}_{y} \lt e\\1-{q}_{x}{q}_{y}\leq P\leq 1-{q}_{x}-{q}_{y}+{q}_{x}{q}_{y},{q}_{x}={q}_{y}=e\end{cases} $19 Z=x∨y或 P(qx,qy)=qx+qy−qxqy 10 Z=¬(x∧y)非与 P(qx,qy)=1−qxqy 20 Z≡1恒真 P(qx,qy)≡1 如表2中逻辑描述Z=x∨y或，对应的事件发生逻辑关系描述为P(qx,qy)=qx+qy−qxqy，其可拓表示可使用式(7)实现，过程为
$$ \begin{array}{c} {L}_{\text{or/and}}=\left[\dfrac{\text{or}\text{，}C_{a,x}^{c},C_{a,y}^{c}}{\text{and}\text{，}C_{a,1}^{r}}\right]=\\ \underset{\begin{array}{c} {q}_{x}\left(v_{m,1,1}^{r},\cdots ,v_{m,1,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)=q\left(v_{m,x,1}^{c},\cdots ,v_{m,x,I_{m,1}^{c}}^{c}\right),\\ {q}_{y}\left(v_{m,1,1}^{r},\cdots ,v_{m,1,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)=q\left(v_{m,y,1}^{c},\cdots ,v_{m,y,I_{m,1}^{c}}^{c}\right),\\j=\{x,y|\forall j,\;k=1\}\\ {q}_{T}=1-\left(1-{q}_{x}\left(v_{m,1,1}^{r},\cdots ,v_{m,1,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)\right)\times\\ \left(1-{q}_{y}\left(v_{m,1,1}^{r},\cdots ,v_{m,1,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)\right)=\\ {q}_{x}\left(v_{m,1,1}^{r},\cdots ,v_{m,1,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)+{q}_{y}\left(v_{m,1,1}^{r},\cdots ,v_{m,1,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)-\\ {q}_{x}\left(v_{m,1,1}^{r},\cdots ,v_{m,1,I_{m,1}^{r}}^{r}\right)\times {q}_{y}\left(v_{m,1,1}^{r},\cdots ,v_{m,1,I_{m,1}^{r}}^{r}\right) \end{array}}{\underbrace{\left[\dfrac{C_{a,x}^{c}}{C_{a,1}^{r}}\right]/\left[\dfrac{C_{a,y}^{c}}{C_{a,1}^{r}}\right]} } \end{array} $$ (8) 则逻辑描述Z=x∨y或的可拓表示为式(8)中的$ {L}_{\text{or/and}}=\left[\dfrac{\text{or}，C_{a,x}^{c},C_{a,y}^{c}}{\text{and}，C_{a,1}^{r}}\right] $，系统故障概率为式(8)中的$ {q}_{T} $。同理，可对表2中的20种柔性逻辑进行可拓表示。通过上述过程可实现SFEP中，多原因事件导致多结果事件发生的逻辑关系可拓表示；同时也实现了事件发生逻辑关系的柔性逻辑可拓表示。前者解决了事件多样性问题，后者解决了逻辑多样性问题，都实现了可拓表达。
上述柔性逻辑的可拓表示分析流程见图3所示。
图 3 柔性逻辑的可拓表示分析流程Fig. 3 Extension representation analysis flow of flexible logic下载:
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5. 讨论
SFEP中事件间逻辑关系的可拓表示是基于可拓学理论解决复杂系统故障分析难题的关键技术，其核心意义在于通过形式化、定量化方法揭示事件间作用机制，为系统故障分析提供普适性框架。
1)有助于消除传统逻辑分析局限，构建统一描述体系，解决了复杂逻辑关系的形式化表达问题。SFEP中事件间逻辑关系是演化的核心驱动。传统方法依赖的经验性逻辑符号或简化模型难以描述多原因−多结果的动态耦合作用及不确定性。可拓通过复合关系元与传递元，将逻辑关系转化为可计算的数学结构(如式(4)~(7))，实现了对多逻辑的统一建模。融合矛盾统一规律，建立了系统故障研究范式。SFEP是可靠与失效的矛盾统一体，逻辑关系的可拓表示通过基元理论，将事件视为“物元+事元”的复合单元，逻辑关系视为“关系元”的衍生形式，使可靠性与失效性在同一模型中相互关联(如式(3))，为研究“可靠−失效”博弈提供了方法。
2)有助于量化逻辑的不确定性，实现智能分析与推理。建立了处理多类型逻辑关系的普适性框架，实现了基础逻辑的标准化建模。通过“与/或”逻辑的可拓表示，将复杂演化过程拆解为基本单元的组合，实现对SFEP的分层分析。实现了柔性逻辑的定量化表达。针对SFEP中事件作用的不确定性，可拓表示结合泛逻辑学的柔性逻辑，通过引入误差系数、广义相关系数等参数，将柔性逻辑转化为可计算的概率表达式。保留了原始信息，避免了传统数理逻辑抽象过程中的信息损失。逻辑关系的可拓表示与传递元的拓展分析原理相结合，实现了故障路径搜索、概率传播计算和不确定性分析等能力，能支撑SFEP的动态推演与预测。
3)有助于复杂系统可靠性设计与安全防控，实现故障诊断智能化。SFEP常呈现多源并发、链式传播的特点，传统方法难以实时解析复杂逻辑。可拓表示提供了快速建模工具和故障诊断算法。通过标准化的逻辑关系模板快速构建SFEP，结合传递元的相关分析原理，识别关键事件与薄弱环节，提升故障定位效率，也能挖掘隐性逻辑关系，支持动态风险评估。
除上述优点外，所提方法也存在不足之处。模型复杂度较高：复合关系元与传递元的数学模型涉及多参数耦合，需依赖精确的传递概率和逻辑参数，实际数据获取与参数校准难度较大。柔性逻辑局限：尽管20种柔性逻辑可通过“与或”逻辑叠加实现，但部分复杂逻辑的参数调节需依赖领域经验，可能影响模型泛化能力。动态演化实时响应：对SFEP中影响因素动态变化的实时响应能力尚未完全明确，需进一步提升适应性。
解释20种柔性逻辑基于逻辑关系的可拓表示过程。逻辑关系的可拓表示基于演化条件的可拓表示(复合关系元)；演化条件的可拓表示由原因事件的复合事元、结果事件的复合事元和复合关系元构成；复合事元、结果事件的复合事元是由基本物元和事元表示的。进一步地由已有研究可知，20种柔性逻辑关系可由简单的与或逻辑关系表示，而与或逻辑关系可由逻辑关系的4种可拓形式表示。因此可得“表2中的20种柔性逻辑同样可使用可拓表示”的结论，式(8)也给出了逻辑描述Z=x∨y或的可拓表示。对于基元与复合事元、结果事件的复合事元的关系，在文献[24]中进行了说明，这里不给出具体表示。
综上，SFEP中事件间逻辑关系的可拓表示具有重要意义。它基于可拓学，以形式化、定量化方法揭示事件间作用机制，构建普适框架。SFEP能建立统一描述体系，量化逻辑不确定性，实现智能分析推理，有助于复杂系统设计与故障防控。
6. 结束语
该论文基于可拓学原理，建立了SFEP中事件间逻辑关系及20种柔性逻辑的可拓表示方法，给出了系统故障概率计算方式，为复杂系统故障分析提供了形式化、定量化工具。具体结论如下：
1)总结了可拓学在SFEP方面的研究成果。系统功能状态的可靠与失效是矛盾统一的整体，可拓学的基元、可拓集、可拓逻辑为其形式化建模提供工具。基本单元为原因事件−演化条件−结果事件三元组，事件是复合事元，演化条件是复合关系元，传递元具有发散、相关、蕴含及可扩性。演化条件通过关系元建立传递元表示，实现了经历事件、影响因素和演化条件的可拓表示。为复杂系统故障分析奠定基础。
2)研究了SFEP中逻辑关系的可拓表示。论述了逻辑关系与演化条件的本质差异，并构建了逻辑关系的可拓表示方法和系统故障概率计算方法。研究认为以“与/或”逻辑为基础，可将原因与结果事件的逻辑关系组合为4种类型。针对这些类型的逻辑关系，建立了可拓表示方法；同时，通过可拓基元将各可拓表示转化为包含事件和逻辑关系的系统故障概率计算方法。
3)研究了SFEP中事件间柔性逻辑的可拓表示。针对事件间复杂逻辑关系，引入泛逻辑学的柔性逻辑进行表示。其优势在于处理因素、数据、演化的不确定性，并能保留原始信息。实现了20种柔性逻辑及复杂演化过程建模，并转化为事件发生逻辑关系。它们均能通过“与/或”逻辑叠加进行表示；实现了柔性逻辑的可拓表示和系统故障概率计算。本研究能解决多原因−结果事件的多样性逻辑描述问题，并讨论了研究意义。
根据可拓学特点，研究在解决系统故障演化过程中的矛盾问题时具有广泛应用，可将系统故障演化过程使用可拓学方法表示。进而对接可拓学已有研究成果、分析工具和方法，实现故障演化过程中的矛盾分析。同时该研究也在一定程度上统一了系统故障演化、可拓学和泛逻辑的数学模型。未来可以进一步细化的研究方向包括：1)可拓学与SFEP矛盾适配研究。结合可拓基元理论，细化故障事件可拓表示，构建故障矛盾形式化模型，探索不同故障矛盾的可拓推理规则。2)可拓工具与SFEP应用。将可拓分析工具用于故障路径挖掘与概率计算，构建可拓方法在SFEP矛盾分析中的应用流程。3)三者数学模型统一。优化SFEP、可拓学、泛逻辑兼容性，细化柔性逻辑与可拓元转换，构建一体化定量分析框架。
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图 1 可拓表示方法构建过程
Fig. 1 Extension representation construction process
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图 2 逻辑关系的可拓表示分析流程
Fig. 2 Extension representation analysis flow of logical relationships
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图 3 柔性逻辑的可拓表示分析流程
Fig. 3 Extension representation analysis flow of flexible logic
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表 1 逻辑关系和演化条件的区别
Table 1 Differences in logical relationships and evolution conditions
比较维度 逻辑关系 演化条件 数理性质 抽象规则(与/或/非等逻辑运算符) 具体参数(传递概率值) 数学表示 逻辑矩阵(标记事件间作用方式) 结构矩阵(有向线段及其权重) 功能作用 决定演化过程的分支结构和事件叠加方式 决定事件触发的阈值条件和实际发生可能性 作用影响 逻辑叠加对系统功能状态不确定性的影响 条件概率对演化过程定量分析的传递影响 表 2 20种事件发生逻辑关系
Table 2 Logical relationship of 20 kinds of events
编号 逻辑描述 事件发生逻辑关系描述 编号 逻辑描述 事件发生逻辑关系描述 1 Z≡□0恒假 P(qx,qy)≡0 11 Z=x∧y与 P(qx,qy)=qxqy 2 Z=¬(x∨y)非或 P(qx,qy)=1−qx−qy+qxqy 12 Z=x©ey组合 P(qx,qy)=
$ \begin{cases} P\leq {q}_{x}{q}_{y},{q}_{x},{q}_{y} \gt e\\P\geq {q}_{x}+{q}_{y}-{q}_{x}{q}_{y},{q}_{x},{q}_{y} \lt e\\{q}_{x}{q}_{y}\leq P\leq {q}_{x}+{q}_{y}-{q}_{x}{q}_{y},{q}_{x}={q}_{y}=e\end{cases} $3 Z=¬(x®y)非平均 P(qx,qy)=1−(qx/2+qy/2) 13 Z=x↔y等价 P(qx,qy)=qx or qy 4 Z=¬(y→x)非蕴含2 P(qx,qy)=qx−qxqy 14 Z=y指y P(qx,qy)=qy 5 Z=¬x非x P(qx,qy)=1−qx 15 Z=x→y蕴含1 P(qx,qy)=1−qx+qxqy 6 Z=¬(x→y)非蕴含1 P(qx,qy)=qx−qxqy 16 Z=x指x P(qx,qy)=qx 7 Z=¬y非y P(qx,qy)=1−qy 17 Z=y→x蕴含2 P(qx,qy)=1−qy+qxqy 8 Z=¬(x↔y)非等价 P(qx,qy)=1−qx or qy 18 Z=x®y平均 P(qx,qy)=qx/2+qy/2 9 Z=¬(x©ey)非组合 P(qx,qy)=
$ \begin{cases} P\leq 1-{q}_{x}{q}_{y},{q}_{x},{q}_{y} >e\\P\geq 1-{q}_{x}-{q}_{y}+{q}_{x}{q}_{y},{q}_{x},{q}_{y} \lt e\\1-{q}_{x}{q}_{y}\leq P\leq 1-{q}_{x}-{q}_{y}+{q}_{x}{q}_{y},{q}_{x}={q}_{y}=e\end{cases} $19 Z=x∨y或 P(qx,qy)=qx+qy−qxqy 10 Z=¬(x∧y)非与 P(qx,qy)=1−qxqy 20 Z≡1恒真 P(qx,qy)≡1 -
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