Visualization concepts and analysis of three-way decisions
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摘要:
三支决策是一种不确定问题求解新型理论，如何提升该理论体系的可解释性是其重要研究方向之一。可视化技术是计算机科学领域重要的可解释性手段，在三支决策相关研究中尚未开展系统的可视化理论研究，亟需可解释性较强的可视化研究工具。因此，本文基于三支决策的经典模型，提出了一套三支决策可视化建模和推理方法。本文在三支决策的基本概念可视化描述基础上，针对决策理论粗糙集的可视化问题，构造了一种概率−代价可视化空间，分别对三支代价目标函数在可视化空间中的几何语义及其单调性进行可视化解读，并在此基础上对三支决策的各个阈值进行可视化推导；在上述研究基础上针对双量化三支决策的可视化问题，进一步构建了相对条件概率−绝对条件概率可视化二维空间，并在该二维空间中对9种双量化决策类型进行了可视化分析。最后，本文通过一个蘑菇实例验证了所提出的三支可视化方法能够为复杂不确定性推理提供有效可解释性决策支撑，填补了三支决策领域在系统性可视化理论研究上的空白，显示了较好的推广和应用价值。
Abstract:Three-way decision is a novel theory for solving uncertain problems, and enhancing its interpretability is a key research direction. While visualization is a powerful means of achieving interpretability in computer science, a systematic theoretical framework for visualizing three-way decisions has not yet been established, creating an urgent need for highly interpretable visualization tools. Therefore, based on the classic models of three-way decisions, this paper proposes a set of methods for visual modeling and reasoning. Firstly, building on a visual representation of the fundamental concepts, this paper addresses the visualization of Decision-Theoretic Rough Sets (DTRS) by constructing a Probability-Cost visualization space. Within this space, the geometric semantics and monotonicity of the three cost-objective functions are visually interpreted, which in turn enables a visual derivation of the decision thresholds. Secondly, extending this work to the visualization of Double-Quantitative Three-Way Decisions (DQ-TWD), we further construct a two-dimensional Relative Conditional Probability-Absolute Conditional Probability space for the visual analysis of the nine double-quantitative decision types. Finally, a case study using a mushroom dataset verifies that the proposed visualization tools provide effective and interpretable decision support for complex uncertain reasoning applications, demonstrating strong potential for generalization and practical application.
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三支决策(three-way decisions，3WD)理论[1-2]是在粗糙集[3]研究基础上拓展出的一种新型不确定问题求解理论。该理论思想来源于人类处理不确定问题时常用的朴素思想，即具有充分信息的对象往往被快速决策，而信息不充分的对象往往被延迟决策。三支决策理论目前已成为粒计算与知识发现领域中一个重要的研究方向。
近年来众多学者在模糊集[3]和区间集[4]、商空间[5]、概念格[6]等模型的基础上，拓展了多种三支决策理论[7-10]。其中决策理论粗糙集是在经典三支决策模型的基础上引入了贝叶斯决策思想，提出了一种代价敏感三支决策方法[11]，其理论和应用研究的成果非常丰富。如文献[12]提出了一种基于分数模糊决策理论粗糙集的三支决策新方法。文献[13]将多粒度粗糙集与三支决策再结合，利用可变程度的多粒度决策理论粗糙集实现最佳性能。文献[14]构建两种基于粒度加权策略的粗糙集模型实施相关的三支决策。文献[15]基于概率的思想，对区间值模糊集的概率和条件概率进行改进，提高了概率的精确度。文献[16]从几何视角解析决策粗糙集，通过可视化成本函数与阈值关系，为理论应用提供直观分析框架。文献[17]则将经典多粒度及双量化研究与决策粗糙集进行了结合，提出了多粒度双量化决策粗糙集理论框架。文献[18]则提出一种代价敏感三支决策与深度神经网络相融合的深度学习模型。上述研究显示了三支决策及其理论拓展蓬勃的学术生命力与持续创新活力。
可视化技术的起源可追溯至公元2世纪，彼时已采用行列结构实现数据管理的基础形式。到中世纪时期，人们已开始使用包含等值线的地磁图、表示海上主要风向的天象图等。在20世纪，随着计算技术和显示技术的发展，可视化技术更是得到了飞速发展。近十多年来，随着大数据技术的发展，现有的可视化技术面临海量、高维、多源、动态数据及可视化决策等挑战，数据可视化技术也随之迎来了新的发展机遇。其中可视化决策是一门辅以交互可视界面进行可解释性分析及复杂决策的科学[19-21]，其主要通过耦合人的分析能力与机器的可视化能力智能地解决由于数据量、问题的复杂性等带来的决策难题，目前已广泛地应用于大数据分析、知识图谱、医疗健康、生物医药、工业矿业等领域的辅助决策工作上[22-25]。
上述研究显示可视化决策技术是计算机科学领域人机交互的重要手段。优秀的可视化技术不但能够直观地展示抽象数据、而且有助与人们快速理解复杂的模型并制定决策。在三支决策研究领域，研究者也通常有意或无意将可视化技术应用到其理论分析与概念阐述之中。例如，文献[26]对三支决策理论的相关概念进行了几何描述、文献[27]也采用了可视化的方法，研究和提出了分段延迟代价敏感三支决策模型。这些研究显示了可视化方法既能够将较抽象的三支决策理论研究较直观表达，也能够有助于复杂推理的可视化解释。然而，目前在三支决策研究领域可视化技术都是作为辅助手段被应用于各种三支决策理论和应用研究中，尚未有文献将可视化三支决策作为三支决策理论研究的拓展方向之一，系统地构建可视化三支决策理论体系。
因此，构建可视化三支决策理论，采用可视化方法对三支决策的基本概念、代价敏感分析及典型推理问题进行系统研究，构建统一的三支决策可视化分析工具，为复杂不确定性推理提供有效的可解释性决策支撑，是当前可视化三支决策领域待解决的关键问题，也是本文研究的核心动机。
1. 三支决策的概念及可视化
在经典二支决策理论框架下，论域被严格划分为两个互不相交的决策区域：正域$ C({\mathrm{POS}}) $与负域$ C({\mathrm{NEG}}) $，其核心假设要求每个对象$ x $必须被严格划分到接受域或拒绝域。但是在现实世界中往往还普遍存在着对象无法被划分到正决策域与负决策域的不确定情况。为应对这一决策困境，三支决策理论引入了延迟域$ C({\mathrm{BND}}) $。
如图1所示，三支决策理论是在经典二支决策域的分类基础上引入延迟区域，即将论域划分为3个互不相交的决策区域：正域$ C({\mathrm{POS}}) $、负域$ C({\mathrm{NEG}}) $和延迟域$ C({\mathrm{BND}}) $。
图 1 从二支决策概念到三支决策概念Fig. 1 Evolution from two-way decision concept to three-way decision concept
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这种将决策或者论域划分为3个部分的思想，是人类处理不确定问题思维方式的理论化成果之一。
概率粗糙集[28]是三支决策理论的基本模型之一，其主要概念如下：
假设某个论域空间$ U $中，$ C\in U $表示一个目标概念，$ {[x]}_{R} $是等价关系$ {\left[x\right]}_{R}\in U $的某个等价类，$ {[x]}_{R}\in U $，条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} $表示对象$ x\in U $相对于$ C\in U $的隶属度，公式表示为
$$ P_{{\mathrm{r}}}={P}_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R})=\frac{\left| {[x]}_{R}\cap C\right| }{\left| {[x]}_{R}\right| } $$ 对于某个等价类$ {[x]}_{R} $，决策者可以通过设定的一对阈值($ \alpha ,\beta $)($ 0\leq \beta \lt \alpha \leq 1 $)并且根据该等价类的条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} $，做出3种不同的决策：
若$ P_{{\mathrm{r}}}\geq \alpha $，则接受$ {[x]}_{R}\in C $；
若$ P_{{\mathrm{r}}}\leq \beta $，则拒绝$ {[x]}_{R}\in C $；
若$ \beta \lt P_{{\mathrm{r}}} \lt \alpha $，则不接受也不拒绝$ {[x]}_{R}\in C $。
在概率粗糙集理论中，上述3种不同的决策可表示为等价类$ {[x]}_{R} $被划分为3个论域空间，即正域、负域和延迟决策域。这3个论域空间可分别表示如下
$$ \begin{aligned}C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{POS}})&=\left\{x\in U|P_{{\mathrm{r}}}\geq \alpha \right\}\\ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{BND}})&=\left\{x\in U|\beta \lt P_{{\mathrm{r}}} \lt \alpha \right\}\\ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{NEG}})&=\left\{x\in U|P_{{\mathrm{r}}}\leq \beta \right\} \end{aligned} $$ 基于可视化视角，此处以条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} $作为坐标轴，可得到概率粗糙集理论中三支划分的可视化示意图，如图2所示，其中三支决策的正域集合可以由单个阈值$ \alpha $控制，负域集合可由单个阈值$ \beta $控制，延迟决策域集合取决于阈值对($ \alpha ,\beta $)。
图 2 概率粗糙集三支划分的可视化Fig. 2 Visualization of three-way partition in probabilistic rough sets下载:
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2. 决策理论粗糙集及三支决策可视化分析
2.1 决策理论粗糙集及三支决策基本概念
决策理论粗糙集是三支决策理论中的重要研究发现之一，其在经典三支决策模型基础上引入了贝叶斯决策思想，提出了一种代价敏感三支决策方法。
在决策粗糙集理论中，不同的决策会产生不同的代价损失。决策代价矩阵如表1所示，该表定义了3种决策动作在面对两种对象实际类别时所产生的代价。列标表示元素$ x $的实际类别，$ x\in C $表示某一元素$ x $实际为正对象，$ x\in {C}^{C} $表示某一元素$ x $实际为负对象，其中，$ {C}^{C}=U-C $。行标表示决策动作，$ {a}_{{\mathrm{P}}} $动作表示某一元素$ x $被划分至正域，$ {a}_{{\mathrm{B}}} $动作表示某一元素$ x $被划分至延迟域，$ {a}_{{\mathrm{N}}} $动作表示某一元素$ x $被划分至负域。单元格内$ {\lambda }_{{\mathrm{PP}}} $、$ {\lambda }_{{\mathrm{PN}}} $表示为正类元素$ x\in C $和负类元素$ x\in {C}^{C} $分别被划分为正域$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{POS}}) $的代价；$ {\lambda }_{{\mathrm{NP}}} $、$ {\lambda }_{{\mathrm{NN}}} $表示为正类元素$ x\in C $和负类元素$ x\in {C}^{C} $分别被划分为负域$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{NEG}}) $的代价；$ {\lambda }_{{\mathrm{BP}}} $、$ {\lambda }_{{\mathrm{BN}}} $表示为正域元素$ x\in C $和负域元素分$ x\in {C}^{C} $别被划分为延迟域$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{BND}}) $的代价。
表 1 决策代价矩阵Table 1 Cost matrix of decisions类别 $ {a}_\text{P} $ $ {a}_\text{B} $ $ {a}_\text{N} $ $ x\in C $ $ {\lambda }_\text{PP} $ $ {\lambda }_\text{BP} $ $ {\lambda }_\text{NP} $ $ x\in {C}^{C} $ $ {\lambda }_\text{PN} $ $ {\lambda }_\text{BN} $ $ {\lambda }_\text{NN} $ 当任一等价类$ {[x]}_{R} $被分别划分至3个决策域$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{POS}}) $，$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{NEG}}) $，$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{BND}}) $后， 其各自对应的决策代价可被描述为3个代价函数：正域决策的代价目标函数$ {T}_{{\mathrm{P}}} $、负域决策的代价目标函数$ {T}_{{\mathrm{N}}} $和延迟决策的代价目标函数$ {T}_{{\mathrm{B}}} $。其公式为
$$ \begin{aligned}{T}_{{\mathrm{P}}}&={\lambda }_{{\mathrm{PP}}}P_{{\mathrm{r}}} (C|[x]_{R})+{\lambda }_{{\mathrm{PN}}}P_{{\mathrm{r}}} ({C}^{C}|[x]_{R})\\ {T}_{\text{N}}&={\lambda }_{{\mathrm{NP}}}P_{{\mathrm{r}}} (C|[x]_{R})+{\lambda }_{{\mathrm{NN}}}P_{{\mathrm{r}}} ({C}^{C}|[x]_{R})\\ {T}_{{\mathrm{B}}}&={\lambda }_{{\mathrm{BP}}}P_{{\mathrm{r}}} (C|[x]_{R})+{\lambda }_{{\mathrm{BN}}}P_{{\mathrm{r}}} ({C}^{C}|[x]_{R}) \end{aligned} $$ 三支决策整体期望目标可以表示为
$$ \begin{gathered} T(\alpha ,\beta )=\sum\limits_{{[x]}_{R}\subseteq C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{POS}})}{T}_{{\mathrm{P}}}\times P_{{\mathrm{r}}} ({[x]}_{R})+\\ \sum\limits_{{[x]}_{R}\subseteq C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{NEG}})}{T}_{{\mathrm{N}}} \times P_{{\mathrm{r}}} ({[x]}_{R}) + \sum\limits_{{[x]}_{R}\subseteq C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{BND}})}{T}_{{\mathrm{B}}} \times P_{{\mathrm{r}}} ({[x]}_{R}) \end{gathered} $$ 根据贝叶斯决策理论，三支决策整体期望目标可以表示为
$$ \underset{(\alpha,\;\beta )}{\arg \min }T(\alpha ,\beta ) $$ 其中$ \arg \min $表示使函数$ T(\alpha ,\beta ) $取得最小值的函数自变量的值，整体期望目标函数的语义为寻找到一对阈值$ (\alpha ,\beta ) $，使得$ (\alpha ,\beta ) $的整体代价最小。
2.2 决策理论粗糙集代价目标函数在概率−代价空间的可视化分析
在经典决策理论粗糙集理论中，由于$ P_{{\mathrm{r}}}(C|{[x]}_{R})+ P_{{\mathrm{r}}} ({C}^{C}|{[x]}_{R})=1 $， 正域决策的代价目标函数$ {T}_{{\mathrm{P}}} $、负域决策的代价目标函数$ {T}_{{\mathrm{N}}} $和延迟决策的代价目标函数$ {T}_{{\mathrm{B}}} $可表示为线性函数的形式:
$$ \begin{aligned}{T}_{{\mathrm{P}}}&=({\lambda }_{{\mathrm{PP}}}-{\lambda }_{{\mathrm{PN}}})P_{{\mathrm{r}}} (C|[x]_{R})+{\lambda }_{{\mathrm{PN}}}\\ {T}_{{\mathrm{B}}}&=({\lambda }_{{\mathrm{BP}}}-{\lambda }_{{\mathrm{BN}}})P_{{\mathrm{r}}} (C|[x]_{R})+{\lambda }_{{\mathrm{BN}}}\\ {T}_{{\mathrm{N}}}&=({\lambda }_{{\mathrm{NP}}}-{\lambda }_{{\mathrm{NN}}})P_{{\mathrm{r}}} (C|[x]_{R})+{\lambda }_{{\mathrm{NN}}} \end{aligned} $$ (1) 其中正域决策的代价目标函数$ {T}_{{\mathrm{P}}} $的转化过程为
$$ \begin{array}{c} {T}_{{\rm{P}}}={\lambda }_{{\rm{PP}}}P_{{\mathrm{r}}} (C|[x]_{R})+{\lambda }_{{\rm{PN}}}P_{{\mathrm{r}}} ({C}^{C}|[x]_{R})=\\ {\lambda }_{{\rm{PP}}}P_{{\mathrm{r}}} (C|[x]_{R})+{\lambda }_{{\rm{PN}}}\left(1-P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R})\right)=\\ ({\lambda }_{{\rm{PP}}}-{\lambda }_{{\rm{PN}}})P_{{\mathrm{r}}} (C|[x]_{R})+{\lambda }_{{\rm{PN}}} \end{array} $$ $ {T}_{{\rm{N}}} $和$ {T}_{{\rm{B}}} $的转化过程与$ {T}_{{\rm{P}}} $相同。
根据式（1）中各个线性函数的几何特点，各代价目标函数（$ {T}_{{\rm{P}}} $、$ {T}_{{\rm{N}}} $或$ {T}_{{\rm{B}}} $）和条件概率之间的可视化关系可以在二维概率−代价($ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $)空间中使用直线来被表示。
以正域决策代价目标函数$ {T}_{{\mathrm{P}}} $作为例子。在$ P_{{\rm{r}}}\sim T $空间中Tp函数的可视化如图3所示，其横轴$ P_{{\mathrm{r}}} $表示各代价目标函数的条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R}) $值，纵轴$ T $表示各代价目标函数的行动代价取值。其中$ ({\lambda }_{{\rm{PP}}}-{\lambda }_{{\rm{PN}}}) $为$ {T}_{{\rm{P}}} $的斜率，当$ P_{{\mathrm{r}}}=0 $时，$ {T}_{{\rm{P}}} $行动的代价取值为$ {\lambda }_{{\rm{PN}}} $；当$ P_{{\mathrm{r}}}=1 $时，$ {T}_{{\rm{P}}} $行动的代价取值为$ {\lambda }_{{\rm{PP}}} $。
图 3 在$ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $空间中$ {T}_{{\mathrm{P}}} $函数的可视化图形Fig. 3 Visualization of the $ {T}_{{\mathrm{P}}} $ function in $ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $ space下载:
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在经典决策粗糙集合理论中通常约定$ ({\lambda }_{{\rm{PP}}}- {\lambda }_{{\rm{PN}}}) <0 $，其可视化语义为$ {T}_{{\rm{P}}} $的正域决策代价随着条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} $的增加而减小， 即对象集合$ {[x]}_{R} $被决策为正域C的代价随着条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} $的增加而减小。
同理，如图4（a）所示，负域决策的代价目标函数可表示为直线$ {T}_\text{N} $。其中，$ ({\lambda }_\text{NP}-{\lambda }_\text{NN}) $为$ {T}_\text{N} $的斜率，同时，当$ P_{{\mathrm{r}}}=0 $时，$ {T}_\text{N} $行动的代价取值为$ {\lambda }_\text{NN} $；当$ P_{{\mathrm{r}}}=1 $时，$ {T}_\text{N} $行动的代价取值为$ {\lambda }_\text{NP} $。经典决策粗糙集合理论中通常约定$ ({\lambda }_\text{NP}-{\lambda }_\text{NN}) \gt 0 $，其可视化语义为$ {T}_\text{N} $的负域决策的代价随着条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} $的增加而增加。
图 4 目标代价函数$ {T}_{{\mathrm{N}}} $、$ {T}_{{\mathrm{B}}} $的可视化图形Fig. 4 Visualization of the cost functions $ {T}_{{\mathrm{N}}} $ and $ {T}_{{\mathrm{B}}} $下载:
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如图4（b）所示，延迟域决策的代价目标函数可表示为直线$ {T}_\text{B} $。其中，$ ({\lambda }_\text{BP}-{\lambda }_\text{BN}) $为$ {T}_\text{B} $的斜率，同时，当$ P_{{\mathrm{r}}}=0 $时，$ {T}_\text{B} $行动的代价取值为$ {\lambda }_\text{BN} $；当$ P_{{\mathrm{r}}}=1 $时，$ {T}_\text{B} $行动的代价取值为$ {\lambda }_\text{BP} $。经典决策粗糙集合理论中通常对$ {T}_\text{B} $的斜率不作要求，其可视化语义为延迟域决策代价$ T $与条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} $的单调关系无法确定。
2.3 三支决策阈值的可视化推理
在经典决策粗糙集合理论中通常约定$ {\lambda }_\text{PP}\leq {\lambda }_\text{BP} \lt {\lambda }_\text{NP} $，$ {\lambda }_\text{NN}\leq {\lambda }_\text{BN} \lt {\lambda }_\text{PN} $。$ {T}_{P}、{T}_{N}、{T}_{B} $之间的几何关系如图5所示，其几何语义为当$ P_{{\mathrm{r}}}=1 $时，$ {T}_\text{N} $的取值大于$ {T}_\text{B} $的取值，同时$ {T}_\text{B} $的取值大于$ {T}_\text{P} $的取值。当$ P_{{\mathrm{r}}}=0 $时，$ {T}_\text{P} $的取值大于$ {T}_\text{B} $，同时$ {T}_\text{B} $的取值大于$ {T}_\text{N} $的取值。在此情况下，两条直线$ {T}_\text{P} $和$ {T}_\text{B} $一定会相交，经典决策粗糙集理论将直线$ {T}_\text{P} $和$ {T}_\text{B} $的交点对应的$ P_{{\mathrm{r}}} $值设为$ \alpha $，并且约定$ 0 \lt \alpha \leq 1 $。两条直线$ {T}_\text{N} $和$ {T}_\text{B} $也一定会相交，其中直线$ {T}_\text{N} $和$ {T}_\text{B} $的交点对应的$ P_{{\mathrm{r}}} $值被设为$ \beta $，并且约定$ 0\leq \beta \lt 1 $。
图 5 $ {T}_{P}、{T}_{N}、{T}_{B} $之间的几何关系1Fig. 5 Geometric relationships one between$ {T}_{P}、{T}_{N}、{T}_{B} $下载:
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根据$ \alpha $与$ \beta $的几何语义可得
$$ \begin{aligned}\alpha &=\left(1+\frac{{\lambda }_\text{BP}-{\lambda }_\text{PP}}{{\lambda }_\text{PN}-{\lambda }_\text{BN}}\right)^{-1}\\ \beta &=\left(1+\frac{{\lambda }_\text{NP}-{\lambda }_\text{BP}}{{\lambda }_\text{BN}-{\lambda }_\text{NN}}\right)^{-1} \end{aligned} $$ 证明
由于$ \alpha $为直线$ {T}_\text{P} $和$ {T}_\text{B} $的交点对应的$ P_{{\mathrm{r}}} $值，所以通过求解$ {T}_\text{P}={T}_\text{B} $，得到的$ P_{{\mathrm{r}}} $值为$ \alpha $。
根据$ {T}_\text{P} $和$ {T}_\text{B} $对应的以$ P_{{\mathrm{r}}} $为自变量的方程
$$ \begin{aligned}{T}_\text{P}&=({\lambda }_\text{PP}-{\lambda }_\text{PN})P_{{\mathrm{r}}} (C|[x]_\text{R})+{\lambda }_\text{PN}\\ {T}_\text{B}&=({\lambda }_\text{BP}-{\lambda }_\text{BN})P_{{\mathrm{r}}} (C|[x]_\text{R})+{\lambda }_\text{BN} \end{aligned} $$ 可以得到等式
$$ ({\lambda }_\text{PP}-{\lambda }_\text{PN})P_{{\mathrm{r}}}+{\lambda }_\text{PN}=({\lambda }_\text{BP}-{\lambda }_\text{BN})P_{{\mathrm{r}}}+{\lambda }_\text{BN} $$ 解得$ P_{{\mathrm{r}}}={\left(1+\dfrac{{\lambda }_\text{BP}-{\lambda }_\text{PP}}{{\lambda }_\text{PN}-{\lambda }_\text{BN}}\right)}^{-1} $
故$ \alpha ={\left(1+\dfrac{{\lambda }_\text{BP}-{\lambda }_\text{PP}}{{\lambda }_\text{PN}-{\lambda }_\text{BN}}\right)}^{-1} $得证。
由$ \alpha $的取值公式可得，$ \alpha $随着$ ({\lambda }_\text{BP}-{\lambda }_\text{PP})/ ({\lambda }_\text{PN}-{\lambda }_\text{BN}) $的增大而减小。当$ ({\lambda }_\text{BP}-{\lambda }_\text{PP})/({\lambda }_\text{PN}-{\lambda }_\text{BN}) $趋向于正无穷时，$ \alpha $趋向于0；当$ ({\lambda }_\text{BP}-{\lambda }_\text{PP})/({\lambda }_\text{PN}-{\lambda }_\text{BN}) $趋向于0时，$ \alpha $趋向于1。
同理，运用与证明$ \alpha $取值类似的方法，可得$ \beta ={\left(1+\dfrac{{\lambda }_\text{NP}-{\lambda }_\text{BP}}{{\lambda }_\text{BN}-{\lambda }_\text{NN}}\right)}^{-1} $。
由$ \beta $的取值公式可得，$ \beta $随着$ ({\lambda }_\text{NP}-{\lambda }_\text{BP})/ ({\lambda }_\text{BN}-{\lambda }_\text{NN}) $的增大而减小。当$ ({\lambda }_\text{NP}-{\lambda }_\text{BP})/({\lambda }_\text{BN}-{\lambda }_\text{NN}) $趋向于正无穷时，$ \beta $趋向于0；当$ ({\lambda }_\text{NP}-{\lambda }_\text{BP})/({\lambda }_\text{BN}-{\lambda }_\text{NN}) $趋向于0时，$ \beta $趋向于1。
2.4 三支决策目标代价最小化的可视化推理
经典决策粗糙集合理论中，同时约定各损失函数之间满足
$$ ({\lambda }_\text{BP}-{\lambda }_\text{PP})/({\lambda }_\text{PN}-{\lambda }_\text{BN}) \lt ({\lambda }_\text{NP}-{\lambda }_\text{BP})/({\lambda }_\text{BN}-{\lambda }_\text{NN}) $$ 其几何语义为此时直线$ {T}_\text{P} $和$ {T}_\text{B} $的交点对应的横坐标取值大于直线$ {T}_\text{N} $和$ {T}_\text{B} $的交点对应的横坐标取值，即此时$ \alpha \gt \beta $。
根据图5所示，此时当横坐标$ P_{{\mathrm{r}}}\geq \alpha $时，直线$ {T}_\text{P} $的代价取值最小；当横坐标$ P_{{\mathrm{r}}}\leq \beta $时，直线$ {T}_\text{N} $的代价取值最小；当横坐标$ \beta \lt P_{{\mathrm{r}}} \lt \alpha $则，直线$ {T}_\text{B} $的代价取值小。
同样，如果各损失函数之间满足
$$({\lambda }_\text{BP}-{\lambda }_\text{PP})/({\lambda }_\text{PN}-{\lambda }_\text{BN}) \gt ({\lambda }_\text{NP}-{\lambda }_\text{BP})/({\lambda }_\text{NN}-{\lambda }_\text{NN}) $$ 根据$ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $空间中各代价目标函数$ {T}_\text{P} $、$ {T}_\text{N} $或$ {T}_\text{B} $的几何语义，可得$ \beta \gt \alpha $。${T}_\text{P}、{T}_\text{N}、{T}_\text{B} $之间的几何关系2如图6所示，此时经典决策粗糙集理论将两条直线$ {T}_\text{P} $和$ {T}_\text{N} $交点的横坐标值设为$ \gamma $，并且$ 0\leq \gamma \leq 1 $。
图 6 $ {T}_\text{P}、{T}_\text{N}、{T}_\text{B} $之间的几何关系2Fig. 6 The geometric relationship two between $ {T}_\text{P}、{T}_\text{N}、{T}_\text{B} $下载:
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根据上述$ \gamma $的几何特征，通过求解${T}_{{\rm{P}}}={T}_{{\rm{N}}}$，可得
$$ \gamma ={\left(1+\frac{{\lambda }_\text{NP}-{\lambda }_\text{PP}}{{\lambda }_\text{PN}-{\lambda }_\text{NN}}\right)}^{-1} $$ (2) $ \gamma $取值的证明过程与证明$ \alpha $的取值证明过程类似。
由式（2）可得，直线$ {T}_\text{P} $和$ {T}_\text{N} $交点的对应的$ P_{{\mathrm{r}}} $值$ \gamma $，随着$ ({\lambda }_\text{NP}-{\lambda }_\text{PP})/({\lambda }_\text{PN}-{\lambda }_\text{NN}) $的增大而减小。
此时，当横坐标$ P_{{\mathrm{r}}} \geq \gamma $时，直线$ {T}_{{\mathrm{P}}} $的代价取值最小；当横坐标$ P_{{\mathrm{r}}} \lt \gamma $时，直线$ {T}_{{\mathrm{N}}} $的代价取值最小。因此，图6所示的三支决策已经退化为两支决策。
综上所述，在$ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $空间中线性函数的斜率与交点的可视化分析，为动态调整不同决策方案和降低决策风险提供了可视化的理论依据。
3. 双量化三支决策的可视化分析
双量化三支决策理论(double-quantitative three-way decision, DQ-TWD)[29]是张贤勇教授在传统三支决策框架基础上提出的创新性扩展模型，旨在通过融合相对条件概率$P_{{\mathrm{r}}} $与绝对条件概率$P_{{\mathrm{a}}} $，克服单一量化视角的局限性，提升决策的全面性与鲁棒性。该理论的核心在于结合局部信息纯度与全局贡献度，通过双重量化指标动态优化决策阈值，实现更精细化的分类与推理。
3.1 三支关注的基本概念
传统三支决策模型基于贝叶斯风险理论，利用相对条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} $将论域划分为正域$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{POS}}) $、延迟域$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{BND}}) $和负域$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{NEG}}) $。然而，相对条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} $仅反映局部纯度(如等价类内目标实例的比例)，忽略了等价类对整体目标的全局贡献(如该等价类在全局目标中的占比)。例如，某等价类虽具有高$ P_{{\mathrm{r}}} $(局部表现优秀)，但其规模有限，导致其对全局决策的贡献度不足；反之，低$ P_{{\mathrm{r}}} $但大规模的等价类可能对全局具有显著影响。这种矛盾促使双量化理论的提出，通过引入绝对条件概率$ P_{{\mathrm{a}}} $与三支关注机制，实现局部与全局的互补性融合。其中，绝对条件概率$ P_{{\mathrm{a}}} $被定义为等价类$ {[x]}_{R} $对目标概念$ C $整体的贡献比例，其数学表达为
$$ P_{{\mathrm{a}}}=P_{{\mathrm{r}}} ({[x]}_{R}|C)=\frac{\left| {[x]}_{R}\cap C\right| }{|C|} $$ 与经典决策粗糙三支决策类似，三支关注对于某个等价类$ {[x]}_{R} $，决策者可以通过设定的一对阈值($ \mu ,\nu $)($ 0\leq \mu \lt \nu \leq 1 $)并且根据该等价类的绝对条件概率$ P_{{\mathrm{a}}} $，做出3种不同的关注决策：
若$ P_{{\mathrm{a}}}\geq \mu $，则高关注$ {[x]}_{R} $；
若$ P_{{\mathrm{a}}}\leq \nu $，则低关注$ {[x]}_{R} $；
若$ \nu \lt P_{{\mathrm{a}}} \lt \mu $，则中关注$ {[x]}_{R} $。
在三支关注理论中，上述3种不同的关注决策可表示为等价类$ {[x]}_{R} $被划分为3个论域空间，即高关注域$ {\mathrm{HIG}} $、中关注域$ {\mathrm{NEU}} $和低关注域$ {\mathrm{LOW}} $。
$$ \begin{aligned}{\mathrm{HIG}}\colon C_{u,v}({\mathrm{HIG}})&=\{x\colon P_{{\mathrm{a}}}\geq u\}\\ {\mathrm{NEU}}\colon C_{u,v}({\mathrm{NEU}})&=\{x\colon P_{{\mathrm{a}}}\in (v,u)\}\\ {\mathrm{LOW}}\colon C_{u,v}({\mathrm{LOW}})&=\{x\colon P_{{\mathrm{a}}}\leq v\} \end{aligned} $$ 根据高关注区域、中关注区域、低关注区域的定义，可以建立三支关注概念的可视化模型，如图7所示。
图 7 三支关注概念的可视化模型Fig. 7 Visualization model of the three-way attentions concept下载:
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3.2 三支决策与三支关注集成类型
三支决策与三支关注的双量化集成类型主要采用串行集成策略，即在三支决策基础上添加三支关注。
因为相对条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} $与绝对条件概率$ P_{{\mathrm{a}}} $是独立的，在讨论三支关注与三支决策的集成问题上，双量化三支决策可视化模型如图8所示，以$ P_{{\mathrm{r}}} $为横轴、$ P_{{\mathrm{a}}} $为纵轴构建二维$ P_{{\mathrm{r}}}\sim P_{{\mathrm{a}}} $空间，并以空间中的4条直线：$ P_{{\mathrm{r}}}=\beta $、$ P_{{\mathrm{r}}}=\alpha $、$ P_{{\mathrm{a}}}=\mu $和$ P_{{\mathrm{a}}}=\nu $将$ P_{{\mathrm{r}}}\sim P_{{\mathrm{a}}} $空间划分为9个决策区域。
图 8 双量化三支决策可视化模型Fig. 8 Visualization model of double-quantitative three-way decisions下载:
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（1）接受且高关注区域$ (C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{POS}})\cap C_{u ,v }({\mathrm{HIG}})) $；
（2）接受且中关注区域$(C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{POS}})\cap C_{u ,v }({\mathrm{NEU}}))$；
（3）接受且低关注区域$(C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{POS}})\cap C_{u ,v }({\mathrm{LOW}}))$；
（4）延迟且高关注区域$(C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{BND}})\cap C_{u ,v }({\mathrm{HIG}}))$；
（5）延迟且中关注区域$(C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{BND}})\cap C_{u ,v }({\mathrm{NEU}}))$；
（6）延迟且低关注区域$(C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{BND}})\cap C_{u ,v }({\mathrm{LOW}}))$；
（7）拒绝且高关注区域$(C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{NEG}})\cap C_{u ,v }({\mathrm{HIG}}))$；
（8）拒绝且中关注区域$(C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{NEG}})\cap C_{u ,v }({\mathrm{NEU}}))$；
（9）拒绝且低关注区域$(C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{NEG}})\cap C_{u ,v }({\mathrm{LOW}}))$。
每个等价类$ {[x]}_{R} $根据其相对条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} $值与绝对条件概率$ P_{{\mathrm{a}}} $值映射为$ P_{{\mathrm{r}}}\sim P_{{\mathrm{a}}} $空间中的一个二维数据点，决策者根据该数据点处于$ P_{{\mathrm{r}}}\sim P_{{\mathrm{a}}} $空间中的某个决策区域，作出相应的双量化三支决策。
该九域划分突破了传统单量化三支决策的粒度限制，通过三支决策与三支关注实现了局部−全局信息的协同推理。在$ P_{{\mathrm{r}}}\sim P_{{\mathrm{a}}} $空间中每个子域对应特定的决策动作与可靠性评价。例如，处于区域1中的等价类，具有局部置信度与全局覆盖度上的双重优势，往往被视为核心决策支撑域；而处于区域9中的等价类，具有双维度低价值，往往直接拒绝并被剔除。
这种细粒度划分不仅增强了复杂非均衡数据下的决策鲁棒性，更通过九域间的动态映射关系（如区域2→区域1的升域转化需提升$P_{{\mathrm{a}}}$值）构建了多目标优化的量化路径。
综上所述，在二维$ P_{{\mathrm{r}}}\sim P_{{\mathrm{a}}} $空间中构建的双量化三支决策可视化模型，通过二维空间中的区域可视化映射，实现了局部信息纯度与全局贡献度的协同分析，便于决策者直观理解传统单量化模型的粗粒度局限，提升了非均衡数据下的决策精细化水平。
4. 三支决策可视化分析实例
4.1 决策理论粗糙集三支决策分析实例
为验证本文所提可视化分析方法的有效性与实用性，本章选取文献[30]所使用的UCI蘑菇数据集作为实例进行研究。该实例旨在清晰地展示，在面对一个具体的分类问题时，本文构建的$P_{{\mathrm{r}}}\sim T$空间不仅能够静态呈现决策结果，更能动态、直观地揭示代价参数如何驱动决策阈值变化，并最终影响决策规则的内在机理。
数据集包含了
8124 个蘑菇样本，每一个样本拥有22个描述性属性以及一个最终的类别标签，目标概念 C 定义为“可食用蘑菇”。决策的目标是在引入决策代价的前提下，将蘑菇划分为“接受”（判断为毒蘑菇）、“拒绝”（判断为可使用）或“延迟决策”（无法判断是否可食用，需进一步检查）3个域。根据概率粗糙集理论，本节将论域$ U $（全体蘑菇样本）基于菌褶颜色划分为10个等价类{$ [{x}_{1}] $,$ [{x}_{2}] $,···,$ [{x}_{10}] $}，并计算每个等价类$ [{x}_{i}] $对于目标概念C的相对条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R}) $。等价类条件概率信息如表2所示，其中$ [{x}_{i}] $表示第i个等价类，描述表示每个代价类的菌褶颜色。
表 2 基于菌褶颜色划分的等价类条件概率信息表Table 2 Conditional probabilities of equivalence classes partitioned by gill color等价类 $ [{x}_{1}] $ $ [{x}_{2}] $ $ [{x}_{3}] $ $ [{x}_{4}] $ $ [{x}_{5}] $ $ [{x}_{6}] $ $ [{x}_{7}] $ $ [{x}_{8}] $ $ [{x}_{9}] $ $ [{x}_{10}] $ 描述 粉色 白色 紫色 灰色 橙色 黑色 棕色 黄色 绿色 红色 $ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R}) $ 0.126 0.266 0.447 0.58 0.721 0.843 0.893 1.000 1.000 1.000 同时3种决策动作在面对两种对象实际类别时所产生的代价为：
$ {\lambda }_{{\rm{PN}}} $=30，即将毒蘑菇误判为可食用，风险最高；$ {\lambda }_{{\rm{NP}}} $=15，即将可食用蘑菇误判为有毒，造成机会成本；$ {\lambda }_{{\rm{BP}}} $=5，$ {\lambda }_{{\rm{BN}}} $=10，即延迟决策本身也存在相应的时间或检测成本；$ {\lambda }_{{\rm{PP}}} $=0，$ {\lambda }_{{\rm{NN}}} $=0，即正确决策无代价，其数值根据决策粗糙集理论，满足$ {\lambda }_{{\rm{PP}}}\leq {\lambda }_{{\rm{BP}}} \lt {\lambda }_{{\rm{NP}}} $，$ {\lambda }_{{\rm{NN}}}\leq {\lambda }_{{\rm{BN}}} \lt {\lambda }_{{\rm{PN}}} $。
根据上述损失函数可以获得的正域、负域和延迟域的决策代价目标函数为
$$ \begin{aligned}{T}_{{\rm{P}}}&=(0-30)P_{{\mathrm{r}}} (C|[x]_{R})+30\\ {T}_{{\rm{B}}}&=(5-10)P_{{\mathrm{r}}} (C|[x]_{R})+10\\ {T}_{{\rm{N}}}&=(15-0)P_{{\mathrm{r}}} (C|[x]_{R})+0 \end{aligned} $$ 正域、负域和延迟域的决策代价目标函数在二维$P_{{\mathrm{r}}}\sim T$空间之间的可视化关系如图9所示。
图 9 决策代价函数$ {T}_{{\mathrm{P}}}、{T}_{{\mathrm{N}}}、{T}_{{\mathrm{B}}} $在 $ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $空间中的几何关系Fig. 9 Geometric relationships between decision cost function $ {T}_{{\mathrm{P}}}、{T}_{{\mathrm{N}}}、{T}_{{\mathrm{B}}} $ in $ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $ space下载:
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根据贝叶斯最小风险决策理论，对于任意一个等价类$ [{x}_{i}] $，最优决策应是选择使其期望代价最小的行动方案。这一抽象原则在本研究构建的$P_{{\mathrm{r}}}\sim T$二维可视化空间中获得了清晰的可视化解释。
如图9所示，正域、负域和延迟域的决策代价目标函数被表达为3条独立的直线，对于给定的条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R}) $，确定最优决策的过程在几何上对应为——在该概率点上，选择3条代价直线中纵坐标值最小的决策代价目标函数。
决策区域的转换点，即决策阈值$ \alpha $和$ \beta $，在几何上体现为这些代价函数直线的交点横坐标。通过计算各函数交点可以得到：$ \alpha =0.8 $，$ \beta =0.5 $。这种几何关系确立了清晰的三支决策规则：
当一个等价类的条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R}) $处于区间 [0,0.5] 时，直线$ {T}_{{\rm{N}}} $的取值最小，因此应采取拒绝决策，将其划入负域$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{NEG}}) $；
当一个等价类的条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R}) $处于区间(0.5,0.8)时，直线$ {T}_{{\rm{B}}} $的取值最小，因此应采取延迟决策，将其划入延迟域$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{BND}}) $；
当一个等价类的条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R}) $处于区间[0.8,1]时，直线$ {T}_{{\rm{N}}} $的取值最小，因此应采取接受决策，将其划入正域$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{POS}}) $。
本节将使用上述决策规则对表2中实验对象数据实施三支分类，此时可以根据各个等价类$ [{x}_{i}] $的条件概率值，将决策代价函数几何关系和等价类映射到$ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $空间的横轴上，如图10所示，图10中，$ P_{\text{r}_{{{X}_{{i}}}}} $代表第i个等价类$ [{x}_{i}] $所对应的相对条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[{{x}_{i}}]}_{R}) $的值。根据其对应的条件概率值与$ \alpha $和$ \beta $的的关系，可以直观地得到如下三支决策域分类
图 10 $ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $空间中决策代价函数几何关系和等价类映射Fig. 10 Geometry of decision cost functions and equivalence class projections in $ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $ space下载:
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$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{POS}})=\{[{x}_{6}],[{x}_{7}],[{x}_{9}],[{x}_{10}]\}$集合中的元素被判断为可食用。
$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{BND}})=\{[{x}_{4}],[{x}_{5}]\}$集合中的元素被要求接受进一步的检验。
$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{NEG}})=\{[{x}_{1}],[{x}_{2}],[{x}_{3}]\}$集合中的元素被判断为有毒。
该可视化方法的一个关键优势在于，它能清晰地预演决策者风险偏好变化所带来的后果，而这种变化在模型中即体现为代价参数的调整。
例如，假设决策者获得了更经济的检测手段，导致延迟决策的成本显著降低。此时可食用蘑菇进行延迟决策的成本$ {\lambda }_{{\mathrm{BP}}} $由5大幅下调至1，其余代价保持不变。在${\lambda }_{{\mathrm{BP}}} $=1情况下，$P_{\mathrm{r}}\sim T $空间中的决策代价函数几何关系和等价类映射如图11所示，这一调整在几何上表现为直线$ {T}_{{\mathrm{B}}} $的斜率减小。其带来的决策后果是延迟域范围的扩张：延迟域的右边界$ \alpha $增加，左边界$ \beta $则减少。
图 11 在 $ {\lambda }_{{\mathrm{BP}}} $=1情况下，$ P_{\mathrm{r}}\sim T $空间中的决策代价函数几何关系和等价类映射Fig. 11 Geometry of decision cost functions ($ {\lambda }_{{\mathrm{BP}}} $=1) and equivalence class projections in $ P_{\mathrm{r}}\sim T $ space下载:
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这在决策语义上意味着，决策者现在更倾向于将更多不确定的样本纳入延迟观察，而不是草率地接受或拒绝，这体现了一种更为审慎的决策策略。
此时，通过计算各函数交点可以得到：$ \alpha $=0.95、$ \beta $=0.42。对应的三支决策域分类改变为
$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{POS}})=\{[{x}_{8}],[{x}_{9}],[{x}_{10}]\} $集合中的元素被判断为可食用。
$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{BND}})=\{[{x}_{4}],[{x}_{5}],[{x}_{6}],[{x}_{7}]\} $集合中的元素被要求接受进一步的检验。
$ C_{\alpha ,\,\beta }({\mathrm{NEG}})=\{[{x}_{1}],[{x}_{2}],[{x}_{3}]\} $集合中的元素被判断为有毒。
最后，探讨三支决策退化到二支决策的情况。例如，将延迟可食用蘑菇的成本大幅提高至$ {\lambda }_{{\mathrm{BP}}} $=12，即对可食用蘑菇做出延迟决策的成本由5增加至12，其余保持不变，由图12所示。此行为导致直线$ {T}_{B} $的斜率增大，带来的变化是$ \alpha $的值会减小，$ \beta $的值会增加，同时$ \alpha $的值小于$ \beta $的值。
图 12 $ {\lambda }_{{\mathrm{BP}}} $=12情况下，$ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $空间中的决策代价函数几何关系和等价类映射Fig. 12 Geometry of decision cost functions ($ {\lambda }_{{\mathrm{BP}}} $=12) and equivalence class projections in $ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $ space下载:
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在上文中提到，对于给定的条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R}) $，其最优决策便对应于3条直线中在该点函数值（即纵坐标）最低的那一条，而此时对于任何$ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R}) $，$ {T}_{{\mathrm{B}}} $都不是最小值。在图11对应退化的情况下可以看出，决策区域的转换点变成了决策阈值$ \gamma $。通过计算各函数交点可以得到：$ \alpha $=0.63、$ \beta $=0.77、$ \gamma $=0.67。
这种几何关系确立了新的二支决策规则：
当一个等价类的条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R}) $处于区间 [0,0.67]时，直线$ {T}_{{\mathrm{N}}} $的值最小，因此应采取拒绝决策，将其划入负域$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{NEG}}) $。
当一个等价类的条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R}) $处于区间(0.67,1]时，直线$ {T}_{{\mathrm{P}}} $的值最小，因此应采取接受决策，将其划入正域$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{POS}}) $。
使用上述决策规则对表2中实验对象数据实施三支分类，得到如下二支决策域分类
$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{POS}})=\{[{x}_{5}],[{x}_{6}],[{x}_{7}],[{x}_{8}],[{x}_{9}],[{x}_{10}]\} $集合中的元素被判断为可食用。
$ C_{\alpha,\; \beta }({\mathrm{NEG}})=\{[{x}_{1}],[{x}_{2}],[{x}_{3}],[{x}_{4}]\} $集合中的元素被判断为有毒。
4.2 双量化三支决策实例与可视化决策分析
为从实证角度进一步检验该可视化模型的有效性，本小节延续4.1节的研究，继续采用UCI蘑菇数据集。与前述基于“菌褶颜色”属性的分析不同，本节将选取在双量化空间中分布模式更为清晰的“气味”属性作为划分等价类的依据，进行深入的实例分析，展示该可视化方法如何清晰、直观地揭示一个高效分类属性在双量化决策空间中的分布模式，从而辅助决策者识别关键规则，并验证模型的决策效能。
根据概率粗糙集理论，本节将论域$ U $（全体蘑菇样本）基于气味划分为9个等价类{$ [{x}_{1}] $,$ [{x}_{2}] $,···,$ [{x}_{9}] $}，并计算每个等价类$ [{x}_{i}] $对于目标概念C的相对条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R}) $。基于气味属性划分的等价类条件概率信息表如表3所示，其中$ [{x}_{i}] $表示第i个等价类,描述表示每个代价类的气味特征，$ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R}) $为对应等价类的相对条件概率。
表 3 基于气味属性划分的等价类条件概率信息表Table 3 Conditional probabilities of equivalence classes partitioned by odor等价类 $ [{x}_{1}] $ $ [{x}_{2}] $ $ [{x}_{3}] $ $ [{x}_{4}] $ $ [{x}_{5}] $ $ [{x}_{6}] $ $ [{x}_{7}] $ $ [{x}_{8}] $ $ [{x}_{9}] $ 描述 无 恶臭 辛辣 鱼腥 杏仁 茴香 刺激性 煤焦油 霉味 $ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R}) $ 0.966 0.000 0.000 0.000 1.000 1.000 0.000 0.000 0.000 $ P_{{\mathrm{r}}} ({[x]}_{R}|C) $ 0.151 0.431 0.147 0.077 0.020 0.050 0.065 0.049 0.009 $ P_{{\mathrm{r}}}\sim P_{{\mathrm{a}}} $可视化空间的构建基于4条阈值直线：相对条件概率$ P_{{\mathrm{r}}} $的阈值设为$ \alpha =0.8 $和$ \beta =0.5 $；绝对条件概率$ P_{{\mathrm{a}}} $的阈值取$ \mu =0.15 $和$ \nu =0.05 $。由此，$ P_{{\mathrm{r}}}\sim P_{{\mathrm{a}}} $平面被划分为9个语义明确的决策区域。
当基于“气味”属性划分的9个等价类被映射到该决策空间时，它们展现出一种高度结构化、高区分度的分布模式，如图13所示。
图 13 基于“气味”属性的等价类在$ P_{{\mathrm{r}}}\sim P_{{\mathrm{a}}} $空间中的分布Fig. 13 Distribution of “odor” equivalence classes in the $ P_{{\mathrm{r}}}\sim P_{{\mathrm{a}}} $ space下载:
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图13中，各个等价类$ [{x}_{i}] $根据其对应的绝对条件概率和相对条件概率被映射为空间中的一个红点。
此时，基于气味属性划分的等价类双量化三支决策域分类为
（1）接受且高关注区域：$ \{[{x}_{1}]\} $；
（2）接受且中关注区域：$ \{[{x}_{6}]\} $；
（3）接受且低关注区域：$ \{[{x}_{5}]\} $；
（4）延迟且高关注区域：$ \{\varnothing \} $；
（5）延迟且中关注区域：$ \{\varnothing \} $；
（6）延迟且低关注区域：$ \{\varnothing \} $；
（7）拒绝且高关注区域：$ \{[{x}_{2}]\} $；
（8）拒绝且中关注区域：$ \{[{x}_{3}],[{x}_{4}],[{x}_{7}]\} $；
（9）拒绝且低关注区域：$ \{[{x}_{8}],[{x}_{9}]\} $。
从图13及其对应的分类结果可以看出，基于“气味”属性的等价类在本文构建的可视化空间中呈现出高度结构化的分布模式。该方案成功地将论域内的对象划分到意义明确的决策簇中，其核心优势在于决策的高确定性与规则的高价值性得到了完美结合。具体分析如下：
首先，对于“无气味”的等价类，其相对条件概率$ P_{\mathrm{r}} $和绝对条件概率$ P_{\mathrm{a}} $双高，精准地映射在“接受且高关注”区域，构成了判断蘑菇可食用的强有力规则。与此同时，“恶臭”作为具有最高全局重要性的负类特征，被映射在“拒绝且高关注”区域，成为了识别不可食用蘑菇的最关键指标。
其次，决策空间利用高效。绝大多数样本都被少数几个高确定性、高价值的核心规则所覆盖。这种分布模式使得整个决策空间结构清晰、层次分明，避免了信息分散和决策模糊的问题。
综上所述，通过“气味”属性的实例可以看出，本章提出的双量化可视化模型能够有效识别出具有卓越分类效能的关键属性。该方法不仅直观地展示了不同等价类在决策中的确定性（局部价值）和重要性（全局价值），还为决策者提供了一种强大的、可解释的分析方法，能够快速洞察数据背后的核心模式。
5. 结束语
本文的研究结果展示了所提可视化分析方法在三支决策领域的可拓展性。与以往将可视化作为辅助阐述的手段不同，本文系统性地构建了$ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $和$ P_{{\mathrm{r}}}\sim P_{{\mathrm{a}}} $两种二维可视化空间。这些模型不仅为理解三支决策的语义提供了直观支撑，更重要的是，它们将抽象的代价函数、决策阈值和多维量化指标之间的交互关系转化为清晰的几何关系。通过这种方式，抽象的决策规则得以在统一的框架内进行可视化推导、解释和集成，从而为复杂不确定性推理提供了更具系统性和可解释性的分析路径，显著提升了决策效率。
未来研究可从以下方向推进：其一，将可视化技术深度整合至三支决策的拓展模型中，以增强复杂场景下的理论适用性；其二，在实际应用中使用本文提出的可视化技术，通过本文方法实时反馈机制提升决策效率与用户协作能力。
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图 1 从二支决策概念到三支决策概念
Fig. 1 Evolution from two-way decision concept to three-way decision concept
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图 2 概率粗糙集三支划分的可视化
Fig. 2 Visualization of three-way partition in probabilistic rough sets
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图 3 在$ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $空间中$ {T}_{{\mathrm{P}}} $函数的可视化图形
Fig. 3 Visualization of the $ {T}_{{\mathrm{P}}} $ function in $ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $ space
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图 4 目标代价函数$ {T}_{{\mathrm{N}}} $、$ {T}_{{\mathrm{B}}} $的可视化图形
Fig. 4 Visualization of the cost functions $ {T}_{{\mathrm{N}}} $ and $ {T}_{{\mathrm{B}}} $
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图 5 $ {T}_{P}、{T}_{N}、{T}_{B} $之间的几何关系1
Fig. 5 Geometric relationships one between$ {T}_{P}、{T}_{N}、{T}_{B} $
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图 6 $ {T}_\text{P}、{T}_\text{N}、{T}_\text{B} $之间的几何关系2
Fig. 6 The geometric relationship two between $ {T}_\text{P}、{T}_\text{N}、{T}_\text{B} $
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图 7 三支关注概念的可视化模型
Fig. 7 Visualization model of the three-way attentions concept
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图 8 双量化三支决策可视化模型
Fig. 8 Visualization model of double-quantitative three-way decisions
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图 9 决策代价函数$ {T}_{{\mathrm{P}}}、{T}_{{\mathrm{N}}}、{T}_{{\mathrm{B}}} $在 $ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $空间中的几何关系
Fig. 9 Geometric relationships between decision cost function $ {T}_{{\mathrm{P}}}、{T}_{{\mathrm{N}}}、{T}_{{\mathrm{B}}} $ in $ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $ space
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图 10 $ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $空间中决策代价函数几何关系和等价类映射
Fig. 10 Geometry of decision cost functions and equivalence class projections in $ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $ space
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图 11 在 $ {\lambda }_{{\mathrm{BP}}} $=1情况下，$ P_{\mathrm{r}}\sim T $空间中的决策代价函数几何关系和等价类映射
Fig. 11 Geometry of decision cost functions ($ {\lambda }_{{\mathrm{BP}}} $=1) and equivalence class projections in $ P_{\mathrm{r}}\sim T $ space
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图 12 $ {\lambda }_{{\mathrm{BP}}} $=12情况下，$ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $空间中的决策代价函数几何关系和等价类映射
Fig. 12 Geometry of decision cost functions ($ {\lambda }_{{\mathrm{BP}}} $=12) and equivalence class projections in $ P_{{\mathrm{r}}}\sim T $ space
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图 13 基于“气味”属性的等价类在$ P_{{\mathrm{r}}}\sim P_{{\mathrm{a}}} $空间中的分布
Fig. 13 Distribution of “odor” equivalence classes in the $ P_{{\mathrm{r}}}\sim P_{{\mathrm{a}}} $ space
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表 1 决策代价矩阵
Table 1 Cost matrix of decisions
类别 $ {a}_\text{P} $ $ {a}_\text{B} $ $ {a}_\text{N} $ $ x\in C $ $ {\lambda }_\text{PP} $ $ {\lambda }_\text{BP} $ $ {\lambda }_\text{NP} $ $ x\in {C}^{C} $ $ {\lambda }_\text{PN} $ $ {\lambda }_\text{BN} $ $ {\lambda }_\text{NN} $ 表 2 基于菌褶颜色划分的等价类条件概率信息表
Table 2 Conditional probabilities of equivalence classes partitioned by gill color
等价类 $ [{x}_{1}] $ $ [{x}_{2}] $ $ [{x}_{3}] $ $ [{x}_{4}] $ $ [{x}_{5}] $ $ [{x}_{6}] $ $ [{x}_{7}] $ $ [{x}_{8}] $ $ [{x}_{9}] $ $ [{x}_{10}] $ 描述 粉色 白色 紫色 灰色 橙色 黑色 棕色 黄色 绿色 红色 $ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R}) $ 0.126 0.266 0.447 0.58 0.721 0.843 0.893 1.000 1.000 1.000 表 3 基于气味属性划分的等价类条件概率信息表
Table 3 Conditional probabilities of equivalence classes partitioned by odor
等价类 $ [{x}_{1}] $ $ [{x}_{2}] $ $ [{x}_{3}] $ $ [{x}_{4}] $ $ [{x}_{5}] $ $ [{x}_{6}] $ $ [{x}_{7}] $ $ [{x}_{8}] $ $ [{x}_{9}] $ 描述 无 恶臭 辛辣 鱼腥 杏仁 茴香 刺激性 煤焦油 霉味 $ P_{{\mathrm{r}}} (C|{[x]}_{R}) $ 0.966 0.000 0.000 0.000 1.000 1.000 0.000 0.000 0.000 $ P_{{\mathrm{r}}} ({[x]}_{R}|C) $ 0.151 0.431 0.147 0.077 0.020 0.050 0.065 0.049 0.009 -
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