A multi-objective firefly algorithm with group optimization of decision variables
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摘要: 多目标萤火虫算法采用整体维度更新策略，常因某几维变量上优化效果不佳，导致算法收敛速度慢和寻优精度低。针对上述问题，本文提出基于决策变量分组优化的多目标萤火虫算法(multi-objective firefly algorithm with group optimization of decision variables, MOFA-GD)。引入决策变量分组机制，根据各变量对算法性能的不同影响，将整体决策变量划分成收敛性变量组和多样性变量组；设计决策变量分组优化模型，利用学习行为优化收敛性变量组，加快种群收敛速度，非均匀变异算子优化多样性变量组，避免种群过早收敛，逐渐减小的变异幅度引导种群局部开发，提升算法寻优精度；采用档案截断策略维护外部档案，精准删除拥挤个体，从而保持外部档案的多样性。实验结果表明：MOFA-GD表现出优秀的收敛速度和寻优精度，获得了均匀分布的Pareto解集。本文所提算法为求解多目标优化问题提供了一种高效且可靠的解决方案。Abstract: Multi-objective firefly algorithm adopts an overall dimension update strategy, which often results in slow convergence and poor optimization accuracy due to inadequate optimization effects on certain dimensions. To address these problems, this paper proposes a multi-objective firefly algorithm with group optimization of decision variables(MOFA-GD). Firstly, it introduces a decision variable grouping mechanism, dividing the entire set of decision variables into a convergence variable group and a diversity variable group based on different impacts of each variable on the algorithm’s performance. Secondly, it designs a decision variable grouping optimization model, utilizing learning behavior to optimize the convergence variable group to accelerate the population’s convergence speed, while using a non-uniform mutation operator to optimize the diversity variable group to prevent premature convergence. A gradually decreasing mutation amplitude guides local exploitation by the population, thereby enhancing the algorithm’s optimization accuracy. Finally, it adopts an archive truncation strategy to maintain the external archive, accurately removing crowded individuals to preserve diversity of the external archive. Experimental results show that MOFA-GD demonstrates excellent convergence speed and optimization accuracy, achieving a uniformly distributed Pareto optimal solution set. The proposed algorithm provides a high-efficiency and reliable solution for solving multi-objective optimization problems.
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在科学研究和工程实践的诸多领域中，常常遇到需要同时优化多个目标的问题，这类问题被称多目标优化问题(multi-objective optimization problems, MOP)[1]。在MOP中，各目标之间往往存在冲突，这意味着侧重任意一个目标的决策可能对其他目标产生负面影响。因此，在求解MOP时并非同时优化所有目标，而是在多个冲突的目标之间找到一种平衡，得到一个折衷的解集，即Pareto解集[2]。随着科学技术的快速发展，机器学习[3]、深度学习[4]和演化计算等人工智能技术在诸多领域得到了广泛的应用，展示了其巨大的潜力和价值。多目标进化算法(multi-objective evolutionary algorithms, MOEA)[5]是一类模拟生物进化的人工智能算法，具有种群搜索和信息交互等特点，能自动计算得到一个Pareto解集，为解决MOP提供了新思路。其中，群智能优化算法[6]是一类模拟动物群体行为的元启发式算法，例如模拟灰狼群体狩猎行为的多目标灰狼算法(multi-objective grey wolf optimizer, MOGWO)[7]、模拟蜂群采蜜行为的多目标人工蜂群算法(multi-objective artificial bee colony algorithm, MOABC)[8]等。这类新型进化算法为解决复杂MOP拓宽了视野，丰富了MOEA在不同领域的应用。
2008年，Yang[9]通过模拟萤火虫的群体行为，提出了萤火虫算法(firefly algorithm, FA)。萤火虫算法具有全局搜索能力强、行为简单易于实现和参数设置少等优点，使得萤火虫算法成为解决复杂优化问题的一种有力工具。2013年，Yang[10]基于FA的优点将其拓展到求解多目标优化问题，提出了多目标萤火虫算法(multi-objective firefly algorithm, MOFA)。MOFA继承了FA的优势，但同时也存在寻优精度不高、易过早收敛和全吸引模型导致不合理移动等缺陷。
为克服MOFA的缺陷，学者们从不同的角度进行研究，并提出相关改进算法。针对改进方式的不同，大致可归结为3类：1)基于初始化种群的改进，这类算法通过改进种群初始化机制，提高初始种群的分布性，进而提升算法性能。谢承旺等[11]提出一种混合型多目标萤火虫算法(hybrid multi-objective firefly algorithm, HMOFA)，该算法提出混合水平正交表生成均匀分布初始化种群，为种群进化提供良好基础，同时融入三点最短路径技术提升算法性能。Zhao等[12]提出平衡收敛性与多样性的多策略集成萤火虫算法(multi-strategy ensemble firefly algorithm with equilibrium of convergence and diversity, MEFA-CD)，该算法提出改进的线性同余法应用于种群初始化阶段，保证全局搜索能力，同时利用混合学习策略引导萤火虫学习，提高算法的收敛性能。赵嘉等[13]提出一种基于动态评分和邻域搜索的高维多目标萤火虫算法(many-objective firefly algorithm for solving large-scale sparse optimization problems, SMaOFA)，该算法采用双编码混合集成的方式生成稀疏的初始种群，并提出一种动态评分策略，为种群进化提供先验知识，有效保证解集的稀疏性。2)基于更新机制的改进，这类算法改进萤火虫的位置更新公式，提高萤火虫的寻优能力。Lyu等[14]提出了一种基于补偿因子与精英学习的多目标萤火虫算法(multi-objective firefly algorithm based on compensation factor and elite learning, CFMOFA)，该算法引入补偿因子改进位置更新公式，使个体在迭代中避免陷入局部最优并且快速靠近Pareto最优解。赵嘉等[15]提出一种基于最大最小策略和非均匀变异的萤火虫算法(heterogeneous variation firefly algorithm with maximin strategy, HVFA-M)，该算法引入最大最小策略区别萤火虫的优劣和实现外部档案的维护，同时采用精英解引导萤火虫移动改进学习公式，提升算法收敛速度和解集分布性。陈娟等[16]提出基于动态反向学习和莱维飞行的双搜索模式萤火虫算法(double search mode firefly algorithm based on dynamic reverse learning and Levy flight, MOFA-LR)，该算法利用反向解和莱维飞行分别对被支配和非支配个体的学习公式改进，提高了算法的搜索效率，避免算法早熟收敛。Zhao等[17]提出自适应区域划分的多目标萤火虫算法(multi-objective firefly algorithm with adaptive region division, MOFA-ARD)，该算法对不同区域的萤火虫个体使用不同的位置更新机制，保证萤火虫个体之间进行优势互补，有效提高了算法的开发能力。3)基于混合算法的改进，这类算法通常融入其他算法的思想，弥补萤火虫算法的不足，使算法具备更优的搜索性能。Wang等[18]提出一种面向大数据优化的混合多目标萤火虫算法(a hybrid multi-objective firefly algorithm for big data optimization, HMOFA)，该算法将交叉策略嵌入到萤火虫算法，以保持种群多样性。Zhao等[19]提出分层学习多目标萤火虫算法(hierarchical learning multi-objective firefly algorithm for high-dimensional feature selection, HMOFA)，该算法引入聚类初始化方法，减少了冗余特征，有效提升初始种群质量。
算法在求解MOP的过程中，决策变量扮演着至关重要的角色。决策变量将各目标函数相互联系，通过不断调整决策变量的值以寻找到满足约束条件的Pareto最优解集。尽管上述各改进算法虽然对MOFA做出很好的改进，在一定程度上提升了算法的寻优能力，但是未充分考虑决策变量对算法性能的影响，整体维度更新的学习公式可能会导致某些维度的决策变量优化效果不佳，从而影响算法的收敛速度和寻优精度。为解决此类问题，本文提出决策变量分组优化的多目标萤火虫算法(multi-objective firefly algorithm with group optimization of decision variables, MOFA-GD)。MOFA-GD具有以下特点：1)加入决策变量分组机制[20]。该机制基于变量对算法性能的不同影响，将整体决策变量划分成收敛性变量组和多样性变量组，为算法对决策变量分组优化奠定良好基础。2)设计决策变量分组优化模型。此模型添加学习行为优化收敛性变量组，使萤火虫个体快速收敛到真实Pareto前沿，加快种群收敛速度；同时，添加非均匀变异算子[21]优化多样性变量组，使算法前期克服种群约束，充分探索决策空间，后期注重局部探索，提升算法寻优精度。3)采用档案截断策略[22]。该策略实现对外部档案的动态调整，通过删除拥挤区域的萤火虫个体来维护种群的多样性，最终得到一组分布均匀的Pareto解集。
上述策略考虑决策变量对算法的影响，对变量组分配与之相适应的优化策略，有效改善算法的收敛性和多样性，提升了算法的收敛速度和收敛精度。
1. 多目标优化相关理论
1.1 多目标优化问题
实际生活很多工程设计通常出现多个目标的优化问题。一般情况下，各目标之间互相制约，不能同时找到最优解。以最小化问题为例，MOP可以表达为
$$ \left\{ \begin{gathered} \min {\boldsymbol{y}} = F({\boldsymbol{x}}) = [{f_1}({\boldsymbol{x}})\;\;\;{f_2}({\boldsymbol{x}})\;\;\;\cdots\;\;\;{f_m}({\boldsymbol{x}})] \\ {\boldsymbol{x}} = [{x^1}\;\;\;{x^2}\;\;\;\cdots\;\;\;{x^n}] \in {\boldsymbol{X}} \subset {{\bf{R}}^n} \\ {\boldsymbol{y}} = [{y^1}\;\;\;{y^2}\;\;\;\cdots\;\;\;{y^m}] \in {\boldsymbol{Y }}\subset {{\bf{R}}^m} \\ \end{gathered} \right. $$ 式中：
${\boldsymbol{x}}$ 为决策向量，$n$ 为决策向量的维度，${\boldsymbol{X}}$ 为$n$ 维决策空间，${\boldsymbol{y}}$ 为目标向量，$m$ 为目标函数的个数，${\boldsymbol{Y}}$ 为$m$ 维目标空间。通常MOP不存在唯一的最优解，取而代之的是一组折衷最优解。这组折衷最优解在决策空间被称为帕累托集合(Pareto set, PS)，在目标空间称为帕累托前沿(Pareto front, PF)。若${{\boldsymbol{x}}_i}$ 和${{\boldsymbol{x}}_j}$ 为决策空间${\boldsymbol{X}}$ 的2个决策向量，当且仅当对于所有的$l = 1,2,\cdots,m$ 都有${f_l}({{\boldsymbol{x}}_i}) \leqslant {f_l}({{\boldsymbol{x}}_j})$ ，且存在一个$h = 1,2,\cdots,m$ 使得${f_h}({{\boldsymbol{x}}_i}) < {f_h}({{\boldsymbol{x}}_j})$ ，称${{\boldsymbol{x}}_i}$ 帕累托支配${{\boldsymbol{x}}_j}$ ，记$ {{\boldsymbol{x}}_i} \prec {{\boldsymbol{x}}_j} $ 。如果不存在任何一个决策向量${\boldsymbol{x}} \in {\boldsymbol{X}}$ 能够使得${\boldsymbol{x}} \prec {{\boldsymbol{x}}^*}$ ，则${{\boldsymbol{x}}^*}$ 是一个帕累托最优解(Pareto optimal solution)。1.2 多目标萤火虫算法
萤火虫算法中的发光机制和行为方式比较独特，萤火虫在决策空间中被描述为一系列的点，每一个点代表一个解。解映射在目标空间的适应值就代表萤火虫的亮度，也代表萤火虫所处位置的优劣程度。萤火虫依靠彼此之间的亮度相互吸引，通过不断的相互吸引更新位置和亮度，从而完成寻优任务。吸引力大小由萤火虫的亮度和彼此之间的距离
$i$ 决定。萤火虫$j$ 对萤火虫$i$ 的吸引力${\beta _{ij}}$ 可定义为[23]$$ {\beta _{ij}} = {\beta _0}{{\mathrm{e}}^{ - \gamma r_{ij}^2}} $$ 式中：
${\beta _0}$ 为最大吸引力，通常${\beta _0}$ 取1；${r_{ij}}$ 为萤火虫$i$ 到萤火虫$j$ 的欧氏距离；$\gamma $ 为光吸收系数，控制着2个萤火虫个体之间的距离${r_{ij}}$ 对彼此之间吸引力${\beta _{ij}}$ 的影响，一般取$\gamma \in [0.1,100]$ 。求解多目标优化问题时，通常采用萤火虫个体之间的Pareto支配关系确定它们之间的吸引关系。对于决策空间中的2只萤火虫，若萤火虫
$i$ 被萤火虫$j$ 支配，此时萤火虫$j$ 比萤火虫$i$ 更亮，则萤火虫$i$ 被萤火虫$j$ 吸引进行移动，萤火虫$i$ 的位置更新公式为$$ {{\boldsymbol{x}}_i}(t + 1) = {{\boldsymbol{x}}_i}(t) + {\beta _{ij}}({{\boldsymbol{x}}_j}(t) - {{\boldsymbol{x}}_i}(t)) + \alpha \cdot {{\boldsymbol{\varepsilon}} _i}(t) $$ (1) 式中：
$t$ 为当前迭代次数；$ {{\boldsymbol{x}}_i} $ 和$ {{\boldsymbol{x}}_j} $ 分别为萤火虫$i$ 和萤火虫$j$ 所处的决策空间位置；${\beta _{ij}}$ 为萤火虫$i$ 和萤火虫$j$ 之间的吸引力；${{\boldsymbol{\varepsilon}} _i}(t)$ 通常为均匀分布、正态分布或其他分布得到的随机数向量；$ \alpha $ 为步长因子，控制随机数向量$ {{\boldsymbol{\varepsilon}} _i}(t) $ 的幅度，一般取$ \alpha \in [0,1] $ 。若萤火虫$i$ 未找到被吸引的萤火虫$j$ ，此时萤火虫$i$ 的位置更新公式为[24]$$ {{\boldsymbol{x}}_i}(t + 1) = {{\boldsymbol{g}}^*}(t) + \alpha \cdot {{\boldsymbol{\varepsilon}} _i}(t) $$ (2) 式中
${{\boldsymbol{g}}^*}(t)$ 为多个目标函数以随机加权求和的方式取得的当前最优解。2. 决策变量分组优化的多目标萤火虫算法
2.1 决策变量分组机制
2.1.1 决策变量分组
在多目标优化问题中，决策变量与目标函数值之间存在着映射关系，决策变量值的变化直接影响目标函数值大小。在多目标进化算法中，个体按照预定的规则，在迭代过程中不断调整其决策变量，从而实现多个目标的同时优化。为了探究各个维度的变量对目标函数值的具体影响，本文采用控制变量法，通过持续改变个体的一维变量值，且保持其余变量值不变，产生新的个体，观察相应个体的Pareto支配关系，进而归纳出不同变量的作用机制与特性。
若改变个体
${\boldsymbol{x}}$ 的其中一维变量一次，生成了一个新个体${{\boldsymbol{x}}^*}$ ，则它们之间的关系可能有以下2种情况：1)${\boldsymbol{x}}$ 与${{\boldsymbol{x}}^*}$ 互不支配，即个体${\boldsymbol{x}}$ 和${{\boldsymbol{x}}^*}$ 之间不存在支配关系。2)${\boldsymbol{x}} \prec {{\boldsymbol{x}}^*}$ 或${{\boldsymbol{x}}^*} \prec {\boldsymbol{x}}$ ，即个体${\boldsymbol{x}}$ 和${{\boldsymbol{x}}^*}$ 之间存在支配关系。由此可以推断，持续改变某一维度的变量产生的个体集合会呈现以下3种情况。为了区分这些情况，特此定义如下：1)位置变量，当持续改变位置变量时，所产生的个体集合中，任意2个个体之间不存在支配关系。2)距离变量，当持续改变距离变量时，所产生的个体集合中，任意2个个体之间存在支配的关系。3)混合变量，当持续改变混合变量时，所产生的个体集合中，既包含存在支配关系的个体对，也包含不存在支配关系的个体对。综上所述：距离变量在优化过程中，其变化驱动种群向Pareto前沿靠近，影响着种群的收敛性，因此将其划分为收敛性变量组；位置变量的变化有助于保持种群的多样性，防止算法过早收敛到Pareto前沿局部区域，因此将其划分为多样性变量组；混合变量虽然对种群的收敛性和分布性均有影响，但是在处理具有多个局部最优解的MOP中，找到更广泛分布的Pareto最优解集更为关键，因此也将其划分为多样性变量组。2.1.2 决策变量检测
为了检测决策变量对算法性能的作用机制，对每个维度的变量进行随机扰动，并进行固定次数的采样，利用快速非支配排序，确定采样解在目标空间的最大非支配层，以确定各采样解之间的支配关系。具体地，令采样频次
${N_{{\mathrm{sample}}}}$ 为采样扰动解的数量，${{\boldsymbol{x}}_i}$ 为MOP的决策向量$ {\boldsymbol{x}}({\boldsymbol{x}} = [{x_1}\;\;\;{x_2}\;\;\;\cdots\;\;\;{x_d}]) $ 的任意一维变量。在${{\boldsymbol{x}}_i}$ 的取值范围内随机扰动且保持其他变量不变，进行${N_{{\mathrm{sample}}}}$ 次随机采样，观察采样解映射到目标空间中的非支配分层情况，若最大非支配层数${R_{\max }} = 1$ ，则变量${{\boldsymbol{x}}_i}$ 是位置变量；若最大非支配层数${R_{\max }} = {N_{\rm{sample}}}$ ，则变量${{\boldsymbol{x}}_i}$ 是距离变量；若最大非支配层数${R_{\max }} > 1$ 且${R_{\max }} < {N_{\rm{sample}}}$ ，则变量${{\boldsymbol{x}}_i}$ 是混合变量。其中，采样频次${N_{\rm{sample}}}$ 越大，检测结果越准确，但同时消耗的计算资源越大。为平衡算法的计算复杂度和实验结果稳定性，通过反复实验对比，采样频次${N_{\rm{sample}}}$ 设置为10已能满足检测决策变量的需求，为进一步确保结果可靠性，将采样频次${N_{\rm{sample}}}$ 设置为20更为合适。以ZDT1测试函数[14]为例，图1给出了仅对变量
${x_1}$ 和${x_2}$ 在其可行域内随机采样${N_{\rm{sample}}} = 10$ 次后，采样解在目标空间中的非支配分层情况。其中空心圆点代表采样解映射到目标空间中的位置，黑色的线代表ZDT1的真实Pareto前沿，椭圆代表非支配层。图1(a)中仅改变${x_1}$ 采样解最大非支配层${R_{\max }} = 1$ ，根据前文的规则，${x_1}$ 是位置变量，应归类到多样性变量；图1(b)中仅改变${x_2}$ 采样解最大非支配层${R_{\max }} = {N_{\rm{sample}}}$ ，根据前文的规则，${x_2}$ 变量是距离变量，应划分到收敛性变量组。
图 1 在ZDT1测试函数中仅改变x1和仅改变x2的采样解在目标空间划分非支配层Fig. 1 Sampling solutions that change only x1 and only x2 in the ZDT1 test function map to the non-dominated layer of the target space
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2.2 决策变量分组优化模型
在2.1节将萤火虫个体决策向量划分成收敛性变量组和多样性变量组；在本节中提出决策变量分组优化模型，对收敛性变量组和多样性变量组分配适应其特性的策略以一种动态递减的概率
${p_m}$ 进行优化，以提高算法的收敛性和多样性。在萤火虫相互吸引位置更新后，添加向优秀个体学习的行为，优化收敛性变量组，使萤火虫个体快速收敛到真实Pareto前沿，加快种群收敛速度；添加非均匀变异算子，优化多样性变量组，使算法避免早熟收敛，增加种群多样性。分组优化概率${p_m}$ 是一个随迭代次数增加动态递减的因子，其表达式为$$ {p_m} = 1 - \exp ({t \mathord{\left/ {\vphantom {t {{t_{\max }}}}} \right. } {{t_{\max }}}} - 1) $$ 式中：
$t$ 为当前迭代次数，${t_{\max }}$ 为最大迭代次数，$ \mathrm{e} $ 为自然常数。算法前期较大的${p_m}$ 有利于发挥决策变量分组优化模型的寻优能力；算法后期${p_m}$ 逐渐减小，防止偏离种群最优进化方向。2.2.1 学习行为优化收敛性变量组
收敛性变量组中的距离变量能驱动个体向真实Pareto前沿收敛。外部档案中的精英解具有非劣特性，而多个目标加权求和得出的当前最优解更具综合性，因此这些优秀个体更接近全局最优解。鉴于此，将精英解和当前最优解共同引导萤火虫个体学习，优化萤火虫个体的收敛性变量组，从而提升算法的收敛速度，同时保留个体多样性变量组的信息，避免大量个体向优秀个体学习出现的聚集现象。这里的精英解是从外部档案中随机选取一个萤火虫个体。对每一代萤火虫
$i$ 向优秀个体学习，优化收敛性变量组的操作可定义为$$ {{\boldsymbol{x}}_{i,{{\boldsymbol{Q}}_c}}}(t + 1) = {\omega _1} \times {\boldsymbol{d}}_{{{\boldsymbol{Q}}_c}}^*(t) + {\omega _2} \times {\boldsymbol{g}}_{{{\boldsymbol{Q}}_c}}^* $$ (3) 式中：
$ {{\boldsymbol{x}}_{i,{{\boldsymbol{Q}}_c}}} $ 、$d_{{{\boldsymbol{Q}}_c}}^*$ 和${\boldsymbol{g}}_{{{\boldsymbol{Q}}_c}}^*$ 分别为萤火虫$i$ 、精英解${{\boldsymbol{d}}^*}$ 和当前最优解${{\boldsymbol{g}}^*}$ 的收敛性变量组，${\omega _1},{\omega _2} \in [0,1]$ 且${\omega _1} + {\omega _2} = 1$ 。2.2.2 变异算子优化多样性变量组
非均匀变异算子在算法前期变异幅度较大，能够使算法克服种群约束，充分开发解空间，提升算法的勘探能力；随着算法的迭代变异幅度逐渐减小，能够进行更细致的搜索，提高算法的寻优精度。利用非均匀变异算子优化多样性变量组，有效防止种群聚集，提升种群多样性。因此，每一代的萤火虫
$i$ 进行变异，优化多样性变量组的操作定义为[14]$$ {\boldsymbol{x}}_i^{{k^{'}}} = \left\{ \begin{gathered} {\boldsymbol{x}}_i^k + \Delta (t,{{\boldsymbol{U}}^k} - {\boldsymbol{x}}_i^k),\;\;\theta < 0.5 \\ {\boldsymbol{x}}_i^k + \Delta (t,{\boldsymbol{x}}_i^k - {{\boldsymbol{L}}^k}),\;\;\theta \geqslant 0.5 \\ \end{gathered} \right. $$ (4) 式中：
${\boldsymbol{x}}_i^k$ 为萤火虫个体$i$ 多样性变量组$ {{\boldsymbol{Q}}_d} $ 中随机选取的第$k$ 维变量，$\theta $ 为区间$[0,1]$ 一个随机数，$t$ 为算法的当前迭代次数，$ {{\boldsymbol{U}}^k} $ 和$ {{\boldsymbol{L}}^k} $ 分别为第$k$ 维变量的上界和下界。$ \Delta (t,y) $ 可表示为$$ \Delta (t,y) = y \times (1 - {r^{{{(1 - {t \mathord{\left/ {\vphantom {t {{t_{\max }}}}} \right. } {{t_{\max }}}})}^b}}}) $$ 式中：
$r$ 为$[0,1]$ 的随机数；${t_{\max }}$ 为最大迭代次数；$b$ 为决定变异幅度的参数，一般取值为2~5，本文取$b = 3$ 。变异幅度随着迭代次数$t$ 的增加而逐渐减小，使该算子注重局部搜索，有利于产生更靠近真实Pareto前沿的新解。2.3 档案截断策略
在MOEA中，为防止精英解在种群进化过程中丢失，通常会设立一个容量固定的外部档案来保存算法运行中的精英解。此外，外部档案的个体提供了全局多样化的信息，帮助算法做更全面的决策。外部档案中的个体数量对算法的性能和结果有一定影响，如果外部档案个体数量过少，则会导致解的多样性不足；如果外部档案个体数量过多，会导致算法的运行速度变慢，则增加计算复杂度。随着算法迭代的进行，不断有新的非支配解进入外部档案，为保证算法性能，当外部档案个体数量超过其档案最大容量时，采用Zitzler等[22]提出的档案截断策略实现对外部档案维护。
算法进行一轮迭代后，外部档案加入新的非支配解，若此时外部档案
${{\boldsymbol{P}}_t}$ 的当前个体数量$\left| {{{\boldsymbol{P}}_t}} \right|$ 大于外部档案最大容量${N_{{\mathrm{elite}}}}$ ，调用档案截断策略迭代地从外部档案${{\boldsymbol{P}}_t}$ 中移除个体，直到外部档案${{\boldsymbol{P}}_t}$ 的当前个体数量$\left| {{{\boldsymbol{P}}_t}} \right|$ 等于最大容量${N_{{\mathrm{elite}}}}$ 。在每次的迭代中，选择萤火虫个体$i$ 满足对于所有的$j \in {{\boldsymbol{P}}_t}$ 且$i{ \leqslant _d}j$ 就将萤火虫个体$i$ 移除，其中$i{ \leqslant _d}j$ 的定义为[22]$$ \begin{gathered} \forall 0 < k < \left| {{{\boldsymbol{P}}_t}} \right|:\sigma _i^k = \sigma _j^k \vee \exists 0 < k < \left| {{{\boldsymbol{P}}_t}} \right|: \\ \left[ {\left( {\forall 0 < l < k:\sigma _i^l = \sigma _j^l} \right) \wedge \sigma _i^k < \sigma _j^k} \right] \\ \end{gathered} $$ (5) 式中
$\sigma _i^k$ 为个体$i$ 到外部档案${{\boldsymbol{P}}_t}$ 第$k$ 近邻距离。2.4 算法流程
输入 MOP表达式
$F(x)$ ，决策向量维度$D$ ，决策空间上界${\boldsymbol{U}}$ 和下界${\boldsymbol{L}}$ ，光吸收系数$\gamma $ ，最大吸引力${\beta _0}$ ，初始步长因子$ \alpha $ ，采样频次${N_{\rm{sample}}}$ ，初始种群大小$N$ ，最大迭代次数${t_{\max }}$ 和外部档案最大容量${N_{{\mathrm{elite}}}}$ 。输出 Pareto最优解集。
1) 初始化，设置输入参数。
2) 在可行域内随机生成一个决策向量
${\boldsymbol{x}}$ ，进行决策变量分组。3) 若
$l \leqslant D$ ，转至步骤4)；否则，获得多样性变量组${{\boldsymbol{Q}}_d}$ 和收敛性变量组${{\boldsymbol{Q}}_c}$ ，转至步骤7)。4) 仅改变的第
$ l $ 维变量采样${N_{\rm{sample}}}$ 次，获得采样解集合$ P_{x} $ ，计算采样解适应值。5) 对采样解进行快速非支配排序，判断最大非支配层
${R_{\max }}$ 的大小。若${R_{\max }} = 1$ ，则第$l$ 维变量为位置变量；若${R_{\max }} = {N_{\rm{sample}}}$ ，则第$l$ 维变量为距离变量；若$1 < {R_{\max }} < {N_{\rm{sample}}}$ ，则第$l$ 维变量为混合变量。将位置变量和混合变量划分到多样性变量组$ {\boldsymbol{Q}}_{d} $ ，将距离变量划分到收敛性变量组$ {\boldsymbol{Q}}_{c} $ 。6)
$l = l + 1$ ，转至步骤3)。7) 种群初始化，计算种群在每一个目标函数上的适应值
8) 若
$t \leqslant {t_{\max }}$ ，转至步骤9)；否则，转至步骤19)。9) 若
$ i \leq N $ ，转至步骤10)；否则，转至步骤17)。10) 若
$ j \leq N $ ，转至步骤11)；否则，转至步骤13)。11) 若萤火虫
$j$ 支配萤火虫$i$ ，按照式(1)更新其位置；若萤火虫$i$ 不受任何个体支配，按照式(2)更新其位置。检查萤火虫位置是否超出可行域范围，若超出可行域范围则赋予其可行域边界值，计算其适应值。12)
$ f=f+1 $ 。转至步骤10)。13) 若
$ \mathrm{rand}(1) < p_m $ ，萤火虫$i$ 进行分组优化，转至14)；否则，转至步骤16)。14) 萤火虫
$i$ 按照式(3)进行向优秀个体学习优化收敛性变量组$ {\boldsymbol{Q}}_{c} $ ；按照式(4)进行非均匀变异优化多样性变量组$ {\boldsymbol{Q}}_{d} $ 。15) 计算萤火虫
$i$ 分组优化后的适应值。若分组优化后的萤火虫${i^*}$ 支配优化前的萤火虫$i$ ，则分组优化后萤火虫${i^*}$ 的位置和适应值；否则保留原来萤火虫$i$ 的位置和适应值。16)
$ i=i+1 $ ，转至步骤9)。17) 外部档案的更新，若外部档案中个体数量大于最大容量
${N_{\rm{elite}}}$ ，则按照满足式(5)的个体删除。18)
$t = t + 1$ ，转至步骤8)。19) 迭代结束，输出Pareto最优解集。
2.5 算法时间复杂度分析
设种群规模为
$N$ ，外部档案最大容量${N_{\rm{elite}}}$ ，决策向量维度为$D$ ，目标空间的维度为$m$ ，采样频次${N_{\rm{sample}}}$ 。MOFA中萤火虫彼此相互吸引，需要2个循环嵌套遍历种群，所以MOFA的时间复杂度为$O(D \times {N^2})$ 。MOFA-GD基于MOFA添加决策变量分组机制，分析了$D$ 个维度变量，每个维度采样频次为${N_{\rm{sample}}}$ ，因此时间复杂度是$O({N_{\rm{sample}}} \times D)$ 。决策变量分组优化模型的时间复杂度不大于$O(D)$ 。获取非支配解需要对比$N$ 个萤火虫在$m$ 个目标空间的适应值，因此获取非支配解的时间复杂度为$O(m \times N\log N)$ 。采用档案截断策略需要计算一个距离关系矩阵，外部档案最大容量为${N_{\rm{elite}}}$ ，所以截断档案策略的时间复杂度为$O({N_{\rm{elite}}}\log {N_{\rm{elite}}})$ 。综上，MOFA-GD时间复杂度为$O({N_{\rm{sample}}} \times D) + O(D \times {N^2}) + O(m \times N\log N) + O({N_{\rm{elite}}}\log {N_{\rm{elite}}})$ 。由于求解的目标个数$m$ 和采样频次${N_{\rm{sample}}}$ 远小于种群规模$N$ ，外部档案最大容量${N_{\rm{elite}}}$ 通常与种群规模$N$ 设置相同，因此MOFA-GD的时间复杂度为$O(D \times {N^2})$ ，与MOFA时间复杂度在同一数量级上。3. 实验仿真与结果分析
3.1 测试函数
为了测试MOFA-GD的有效性，本文将MOFA-GD在ZDT、Viennet和DTLZ系列共15个测试函数上进行验证[14]。15个测试函数中由5个2目标函数和10个3目标函数组成，表达式和真实Pareto前沿数据集采取PLATEMO平台[25]的数据。15个测试函数的特性如表1。各个测试函数通过决策变量分组机制，划分决策变量和分组情况见表2。
表 1 测试函数集Table 1 Set of test functions测试函数 目标个数 约束 Pareto前沿特征 ZDT1 2 $ n = 30,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n $ 凸 ZDT2 2 $ n = 30,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n $ 非凸 ZDT3 2 $ n = 30,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n $ 非连续 ZDT4 2 $n = 10,0 \leqslant {x_1} \leqslant 1, - 5 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 5,i = 2,3, \cdot \cdot \cdot ,n$ 凸+多模态 ZDT6 2 $n = 10,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$ 非凸+多模态+有偏好 Viennet1 3 $n = 2, - 2 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 2,i = 1,2$ 凸 Viennet2 3 $n = 2, - 4 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 4,i = 1,2$ 混合 Viennet3 3 $n = 2, - 3 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 3,i = 1,2$ 混合+退化 DTLZ1 3 $n = 7,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$ 多模态 DTLZ2 3 $n = 12,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$ 非凸 DTLZ3 3 $n = 12,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$ 非凸+多模态 DTLZ4 3 $n = 12,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$ 非凸+有偏好 DTLZ5 3 $n = 12,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$ 非凸+退化 DTLZ6 3 $n = 12,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$ 非凸+退化+有偏好 DTLZ7 3 $n = 22,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$ 混合+不连续+多模态 表 2 各个测试函数的决策变量属性和分组Table 2 Each test function of the decision variables properties and grouping测试函数 多样性变量组 收敛性变量组 位置变量 混合变量 距离变量 ZDT1、ZDT2、 ${x_1}$ — ${x_2},{x_3}, \cdot \cdot \cdot ,{x_{30}}$ ZDT3 — ${x_1}$ ${x_2},{x_3}, \cdot \cdot \cdot ,{x_{30}}$ ZDT4、ZDT6 ${x_1}$ — ${x_2},{x_3}, \cdot \cdot \cdot ,{x_{10}}$ Viennet1、Viennet2、Viennet3 — ${x_1},{x_2}$ — DTLZ1 ${x_1},{x_2}$ — ${x_3},{x_4}, \cdot \cdot \cdot ,{x_7}$ DTLZ2、DTLZ3、DTLZ5、DTLZ6 ${x_1},{x_2}$ — ${x_3},{x_4}, \cdot \cdot \cdot ,{x_{12}}$ DTLZ4 — ${x_1},{x_2}$ ${x_3},{x_4}, \cdot \cdot \cdot ,{x_{12}}$ DTLZ7 — ${x_1},{x_2}$ ${x_3},{x_4}, \cdot \cdot \cdot ,{x_{12}}$ 3.2 评价指标
在求解MOP时，算法应注重Pareto解集逼近真实Pareto最优解集的能力，同时也应注重其在真实Pareto最优解集上的分布情况。为了准确地评价MOFA-GD的性能，本文采用世代距离(generational distance, GD)[10]和最大覆盖范围(maximum spread, MS)[15]2个指标来分别评估其收敛性和多样性。
GD的表达式为
$$ \angle_{\mathrm{GD}}=\frac{1}{N}\sqrt{\sum\limits_{j=1}^N(\boldsymbol{V}_j-\boldsymbol{O}_j^*)^2} $$ (6) 式中：
$N$ 为算法所得Pareto解的个数，$ {{\boldsymbol{V}}_j} $ 为第$j$ 个Pareto解的目标值，${\boldsymbol{O}}_j^*$ 为距离${{\boldsymbol{V}}_j}$ 最近的真实Pareto解的目标值。从式(6)可知，$ \angle _{GD} $ 评估了算法所得Pareto前沿与真实Pareto前沿之间的最小距离的平均值，$\angle _{GD}$ 值越小，则算法所得Pareto前沿在真实Pareto前沿的拟合程度越好。MS的表达式为
$$ \angle_{\mathrm{MS}}=\sqrt{\frac{1}{M}\sum\limits_{l=1}^M\left(\frac{\min(f_l^{\max},F_l^{\max})-\max(f_l^{\min},F_l^{\min})}{F_l^{\max}-F_l^{\min}}\right)^2} $$ (7) 式中：
$M$ 为目标数，$f_l^{\max }$ 和$f_l^{\min }$ 分别为算法所得Pareto前沿第$l$ 个目标最大值和最小值，$F_l^{\max }$ 和$F_l^{\min }$ 分别为真实Pareto前沿第$l$ 个目标最大值和最小值。从式(7)可以看出MS评估了算法所得Pareto前沿在真实Pareto前沿上的覆盖率，MS值越大，则算法所得Pareto前沿上覆盖范围越广。但是GD和MS不能反映其在真实Pareto前沿上的分布情况，针对此，本文采用一种综合性能指标：反世代距离(inverted generational distance, IGD)[16]评估算法所得Pareto前沿在真实Pareto前沿上得的分布情况。
IGD的表达式为
$$ \angle_{\mathrm{IGD}}=\frac{1}{N^*}\sqrt{\sum\limits_{j=1}^{N^*}(\boldsymbol{O}_j-\boldsymbol{V}_j^*)^2} $$ (8) 式中：
${N^*}$ 为真实Pareto解的个数，$ {{\boldsymbol{O}}_j} $ 为第$j$ 个真实Pareto解的目标值，${\boldsymbol{V}}_j^*$ 为距离${{\boldsymbol{O}}_j}$ 最近的算法所得Pareto解的目标值。从式(8)可知，IGD计算每个在真实Pareto前沿到算法所得Pareto前沿之间的最小距离和，当IGD值越小，说明种群分布越均匀且越广泛，同时也能较好地反映算法所得的Pareto前沿的收敛程度。3.3 MOFA-GD与经典多目标优化算法对比实验
为了验证MOFA-GD的性能，将MOFA-GD选用6种在多目标优化领域出现较早、广泛应用且在理论和实践中表现出良好性能的经典优化算法，进行对比实验，6种算法分别为MOPSO-CD[26]、SPEA2[22]、MOEA/D[27]、NSGA-II[28]、PESA-II[29]和MOFA[10]，所有算法的实验参数设置与相应参考文献保持一致，各算法参数设置如表3所示。
表 3 各算法的实验参数设置Table 3 Experimental parameter settings for each algorithms算法 参数设置 年份 MOPSO-CD $ \omega=0.4,R_1,R_2=\mathrm{ran}\mathrm{d}[0,1] $ 2005 SPEA2 $ {p_c} = 0.9,{p_m} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 n}} \right. } n},{\eta _c} = 20,{\eta _m} = 20 $ 2002 MOEA/D $\gamma = 0.5$ 2007 NSGA-II $ {p_c} = 0.9,{p_m} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 n}} \right. } n},{\eta _c} = 20,{\eta _m} = 20 $ 2002 PESA-II $ {p_c} = 0.7,{p_m} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 n}} \right. } n},{\eta _c} = 20,{\eta _m} = 20 $ 2001 MOFA $\alpha = 0.2,{\beta _0} = 1,\gamma = 1$ 2013 MOFA-GD $\alpha = 0.2,{\beta _0} = 1,\gamma = 1,{N_{\rm{sample}}} = 20$ — 对于所有的测试函数，各个算法的种群规模
$N$ 均设置为100，外部档案最大容量${N_{\rm{elite}}}$ 设置为100。为确保实验的公平性和随机性，所有算法均在相同实验环境下进行仿真，每个测试函数评估10000 次，各算法在同一测试函数上独立运行50次。表4~6给出了MOFA-GD与6种经典算法在15个测试函数上的GD、MS、IGD和运行时间的均值(mean)和标准差(std)，给出了各算法的优势解统计(total)和基于Friedman检验的秩平均值(ranking)。
表 4 MOFA-GD与6种经典算法在GD指标上的实验结果Table 4 Experimental results of MOFA-GD and six classical algorithms on GD测试函数 指标 MOFA-GD MOPSO-CD SPEA2 MOEA/D NSGA-II PESA-II MOFA ZDT1 mean 1.5797 ×10−44.1580 ×10−41.5486 ×10−31.2063 ×10−21.1935 ×10−31.5487 ×10−39.4602 ×10−4std 2.1113 ×10−52.2613 ×10−32.9557 ×10−45.0316 ×10−32.5680 ×10−44.7015 ×10−45.3092 ×10−4ZDT2 mean 4.6483 ×10−53.6238 ×10−31.8163 ×10−35.4349 ×10−41.4472 ×10−31.5546 ×10−39.6352 ×10−4std 2.4484 ×10−69.8606 ×10−33.8308 ×10−45.6675 ×10−43.9701 ×10−45.8745 ×10−42.8644 ×10−6ZDT3 mean 1.5579 ×10−41.0033 ×10−31.1870 ×10−31.4266 ×10−28.3916 ×10−41.3459 ×10−31.2628 ×10−3std 1.4596 ×10−52.9992 ×10−31.2586 ×10−35.4727 ×10−37.9735 ×10−47.5793 ×10−49.4632 ×10−4ZDT4 mean 5.2585 ×10−46.8083 ×1002.7215 ×10−26.9146 ×10−23.0052 ×10−21.3807 ×10−22.7017 ×100std 2.8694 ×10−55.4800 ×1002.4889 ×10−23.5250 ×10−22.8266 ×10−23.8637 ×10−21.1051 ×100ZDT6 mean 3.3150 ×10−24.9561 ×10−28.7334 ×10−31.0812 ×10−27.3054 ×10−33.6392 ×10−32.2541 ×10−1std 2.8344 ×10−22.8408 ×10−24.6539 ×10−33.8292 ×10−33.6134 ×10−35.9133 ×10−32.1215 ×10−1Viennet1 mean 1.4446 ×10−21.2424 ×10−21.3966 ×10−21.5988 ×10−21.1262 ×10−21.3562 ×10−21.4087 ×10−2std 1.2262 ×10−31.8224 ×10−31.1148 ×10−31.5173 ×10−31.6053 ×10−31.6710 ×10−31.2347 ×10−3Viennet2 mean 1.8617 ×10−31.9582 ×10−31.6730 ×10−39.9840 ×10−41.9994 ×10−31.7633 ×10−32.4516 ×10−3std 1.0599 ×10−31.9222 ×10−46.0380 ×10−52.8373 ×10−51.2968 ×10−42.0598 ×10−47.0558 ×10−4Viennet3 mean 3.7705 ×10−33.4290 ×10−34.1426 ×10−31.4746 ×10−33.7435 ×10−33.2771 ×10−34.3021 ×10−3std 1.4029 ×10−33.7429 ×10−42.2419 ×10−43.7110 ×10−52.6085 ×10−44.0190 ×10−43.9276 ×10−4DTLZ1 mean 1.7041 ×10−36.2810 ×1003.5185 ×10−23.2462 ×10−24.1118 ×10−21.6928 ×10−11.7593 ×101std 1.4869 ×10−36.6422 ×10−16.4340 ×10−25.3184 ×10−24.0005 ×10−24.1372 ×10−16.9750 ×100DTLZ2 mean 9.4096 ×10−38.5339 ×10−31.1439 ×10−36.4824 ×10−41.3374 ×10−31.6265 ×10−34.3248 ×10−2std 8.5338 ×10−31.8044 ×10−31.3759 ×10−44.6147 ×10−51.5506 ×10−42.2228 ×10−45.2943 ×10−3DTLZ3 mean 1.7592 ×10−34.0485 ×1011.3795 ×1002.8785 ×1001.4312 ×1001.1830 ×1001.1619 ×102std 4.1840 ×10−44.8136 ×1007.3996 ×10−12.0913 ×1008.4159 ×10−11.0822 ×1007.2704 ×101DTLZ4 mean 7.3557 ×10−32.3393 ×10−29.9281 ×10−44.0295 ×10−41.2039 ×10−31.5777 ×10−33.4964 ×10−2std 8.7921 ×10−31.1199 ×10−24.7151 ×10−42.3155 ×10−43.4383 ×10−41.9360 ×10−48.3391 ×10−3DTLZ5 mean 1.3975 ×10−43.7954 ×10−34.1055 ×10−42.1938 ×10−42.8279 ×10−42.9674 ×10−42.6448 ×10−2std 3.8346 ×10−51.4698 ×10−37.5034 ×10−58.8732 ×10−45.8888 ×10−59.6254 ×10−58.0642 ×10−3DTLZ6 mean 4.7943 ×10−61.0614 ×10−24.7789 ×10−62.0849 ×10−24.7571 ×10−62.8885 ×10−39.1980 ×10−1std 2.2657 ×10−75.2044 ×10−22.2863 ×10−74.6275 ×10−22.6931 ×10−76.9810 ×10−31.9528 ×10−1DTLZ7 mean 4.0464 ×10−34.3405 ×10−35.1354 ×10−34.6933 ×10−36.5109 ×10−36.1822 ×10−36.3770 ×10−3std 6.3265 ×10−46.2178 ×10−41.0026 ×10−31.3401 ×10−31.1154 ×10−31.6348 ×10−31.2759 ×10−2total 9 0 0 4 1 1 0 ranking 2.80 4.73 3.60 3.60 3.47 3.73 6.07 注：加粗的数据为各算法在同一测试函数上取得的最优结果。 表 5 MOFA-GD与6种经典算法在MS指标上的实验结果Table 5 Experimental results of MOFA-GD and six classical algorithms on MS测试函数 指标 MOFA-GD MOPSO-CD SPEA2 MOEA/D NSGA-II PESA-II MOFA ZDT1 mean 1.0000 ×1001.0000 ×1009.9184 ×10−16.5493 ×10−19.9552 ×10−19.3366 ×10−16.9247 ×10−1std 0.0000 ×1000.0000 ×1004.3402 ×10−31.3790 ×10−18.8171 ×10−48.9534 ×10−22.5355 ×10−2ZDT2 mean 1.0000 ×1001.0000 ×1009.8581 ×10−11.3608 ×10−18.3096 ×10−17.9724 ×10−17.0711 ×10−1std 0.0000 ×1000.0000 ×1002.0411 ×10−35.2328 ×10−22.7449 ×10−12.9011 ×10−10.0000 ×100ZDT3 mean 9.9996 ×10−19.8022 ×10−19.9366 ×10−16.6855 ×10−19.9437 ×10−18.5050 ×10−16.5297 ×10−1std 4.8976 ×10−52.4984 ×10−29.0955 ×10−41.4231 ×10−23.7976 ×10−31.1396 ×10−14.9455 ×10−2ZDT4 mean 1.0000 ×1003.8371 ×10−16.2497 ×10−16.2654 ×10−16.5809 ×10−15.7167 ×10−14.3224 ×10−1std 0.0000 ×1002.8228 ×10−12.5438 ×10−19.9928 ×10−21.5300 ×10−11.6921 ×10−14.5264 ×10−2ZDT6 mean 1.0000 ×1001.0000 ×1009.5415 ×10−18.7609 ×10−19.4777 ×10−19.6437 ×10−15.8983 ×10−1std 1.4259 ×10−63.5081 ×10−72.3633 ×10−21.0001 ×10−12.1674 ×10−21.9990 ×10−31.9757 ×10−1Viennet1 mean 9.9999 ×10−19.9994 ×10−19.9786 ×10−17.7898 ×10−19.9901 ×10−19.7234 ×10−16.9402 ×10−1std 8.2326 ×10−34.5693 ×10−52.2057 ×10−32.3568 ×10−31.7065 ×10−34.0741 ×10−24.8855 ×10−2Viennet2 mean 9.9834 ×10−19.9041 ×10−19.9966 ×10−12.5711 ×10−19.9927 ×10−19.8993 ×10−16.3116 ×10−1std 1.6710 ×10−33.9147 ×10−33.3057 ×10−43.6598 ×10−36.9880 ×10−48.1029 ×10−31.2115 ×10−1Viennet3 mean 9.9889 ×10−19.9804 ×10−19.9598 ×10−15.2283 ×10−19.9895 ×10−19.9502 ×10−13.9336 ×10−1std 9.4656 ×10−42.3929 ×10−38.1494 ×10−47.7723 ×10−31.8107 ×10−36.0191 ×10−37.4213 ×10−2DTLZ1 mean 9.9538 ×10−11.0000 ×1001.0000 ×1009.4027 ×10−11.0000 ×1001.0000 ×1008.1650 ×10−1std 5.4572 ×10−30.0000 ×1000.0000 ×1001.0129 ×10−10.0000 ×1000.0000 ×1001.3597E−16 DTLZ2 mean 9.9959 ×10−11.0000 ×1001.0000 ×1001.0000 ×1001.0000 ×1009.9623 ×10−16.1030 ×10−1std 8.1412 ×10−40.0000 ×1000.0000 ×1000.0000 ×1000.0000 ×1003.3221 ×10−35.7050 ×10−2DTLZ3 mean 9.9968 ×10−11.0000 ×1001.0000 ×1009.8288 ×10−11.0000 ×1001.0000 ×1008.1650 ×10−1std 3.4151 ×10−40.0000 ×1000.0000 ×1002.0122 ×10−20.0000 ×1000.0000 ×1001.3597E−16 DTLZ4 mean 1.0000 ×1001.0000 ×1009.3883 ×10−15.5563 ×10−36.6667 ×10−19.9948 ×10−11.0000 ×100std 0.0000 ×1000.0000 ×1001.0595 ×10−19.6238 ×10−35.7735 ×10−18.9238 ×10−40.0000 ×100DTLZ5 mean 1.0000 ×1001.0000 ×1001.0000 ×1001.0000 ×1001.0000 ×1009.8726 ×10−17.9163 ×10−1std 0.0000 ×1000.0000 ×1000.0000 ×1000.0000 ×1000.0000 ×1001.6742 ×10−21.0510 ×10−1DTLZ6 mean 1.0000 ×1001.0000 ×1001.0000 ×1009.9409 ×10−11.0000 ×1009.9463 ×10−18.1650 ×10−1std 0.0000 ×1000.0000 ×1000.0000 ×1009.9481 ×10−30.0000 ×1008.9274 ×10−31.3597E−16 DTLZ7 mean 9.9913 ×10−19.8816 ×10−19.9094 ×10−19.8876 ×10−19.8702 ×10−18.5730 ×10−17.2191 ×10−1std 8.6620 ×10−45.1758 ×10−31.6569 ×10−31.7458 ×10−28.7592 ×10−41.4787 ×10−18.2089 ×10−2total 11 9 6 2 5 1 1 ranking 5.06 5.10 4.87 2.57 4.93 3.33 1.60 注：加粗的数据为各算法在同一测试函数上取得的最优结果。 表 6 MOFA-GD与6种经典算法在IGD指标上的实验结果Table 6 Experimental results of MOFA-GD and six classical algorithms on IGD测试函数 指标 MOFA-GD MOPSO-CD SPEA2 MOEA/D NSGA-II PESA-II MOFA ZDT1 mean 3.8849 ×10−37.2150 ×10−31.5893 ×10−21.5067 ×10−11.2773 ×10−23.4504 ×10−25.3718 ×10−1std 3.5299 ×10−52.1606 ×10−22.7429 ×10−36.2132 ×10−22.2630 ×10−33.0983 ×10−27.2900 ×10−2ZDT2 mean 3.8654 ×10−35.9912 ×10−22.0011 ×10−25.2955 ×10−13.0198 ×10−29.7354 ×10−26.0793 ×10−1std 3.0624 ×10−51.4181 ×10−17.6091 ×10−37.8624 ×10−24.3802 ×10−27.3808 ×10−27.2257 ×10−3ZDT3 mean 4.7560 ×10−31.3238 ×10−21.4667 ×10−21.4836 ×10−11.5712 ×10−23.5133 ×10−24.6203 ×10−1std 1.5045 ×10−42.5378 ×10−26.8054 ×10−34.4974 ×10−21.7003 ×10−22.3084 ×10−29.4936 ×10−2ZDT4 mean 3.9754 ×10−31.4990 ×1012.2729 ×10−14.9037 ×10−13.0316 ×10−11.6025 ×10−12.7495 ×10−1std 7.9899 ×10−58.1023 ×1001.3432 ×10−12.0115 ×10−11.8224 ×10−19.1766 ×10−27.8013 ×10−3ZDT6 mean 3.1228 ×10−33.9721 ×10−36.2222 ×10−27.6398 ×10−25.3301 ×10−22.3854 ×10−21.4086 ×10−1std 3.4597 ×10−56.5297 ×10−42.6778 ×10−22.4561 ×10−22.5303 ×10−21.0888 ×10−22.2434 ×10−1Viennet1 mean 1.2650 ×10−11.4970 ×10−11.2635 ×10−12.0452 ×10−11.5732 ×10−11.4052 ×10−12.9885 ×10−1std 2.9588 ×10−35.5004 ×10−32.3433 ×10−34.1264 ×10−38.4072 ×10−35.0250 ×10−32.2626 ×10−2Viennet2 mean 2.6223 ×10−21.9021 ×10−21.2697 ×10−21.1043 ×10−12.1668 ×10−21.9136 ×10−22.4455 ×10−2std 4.1432 ×10−31.1159 ×10−33.7431 ×10−41.0514 ×10−31.8111 ×10−31.1918 ×10−33.0092 ×10−3Viennet3 mean 4.4177 ×10−23.7074 ×10−23.3686 ×10−22.0249 ×1004.1283 ×10−28.9543 ×10−24.6168 ×10−2std 6.0781 ×10−41.7387 ×10−39.4065 ×10−34.1172 ×10−23.1965 ×10−32.2292 ×10−13.9934 ×10−3DTLZ1 mean 3.7092 ×10−21.7421 ×1011.6921 ×10−12.0533 ×10−12.8926 ×10−12.0599 ×10−12.0671 ×10−1std 3.7023 ×10−35.0585 ×1001.5299 ×10−12.6218 ×10−12.6636 ×10−13.0184 ×10−15.2550 ×10−3DTLZ2 mean 8.0807 ×10−29.9274 ×10−25.4686 ×10−25.4904 ×10−26.9291 ×10−26.7582 ×10−22.3675 ×10−1std 6.3738 ×10−31.0452 ×10−26.2684 ×10−41.9886 ×10−43.6187 ×10−33.9193 ×10−32.0530 ×10−2DTLZ3 mean 5.9972 ×10−21.1464 ×1027.8474 ×1001.7444 ×1018.3355 ×1007.4589 ×1005.6091 ×10−1std 4.7918 ×10−33.6816 ×1014.1377 ×1001.3031 ×1014.9823 ×1006.4979 ×1004.7536 ×10−3DTLZ4 mean 1.6353 ×10−12.9417 ×10−12.1555 ×10−14.3956 ×10−11.1553 ×10−16.4794 ×10−26.4337 ×10−1std 3.8610 ×10−24.8680 ×10−22.7442 ×10−13.2580 ×10−11.6505 ×10−11.9913 ×10−35.1571 ×10−2DTLZ5 mean 4.4077 ×10−32.4077 ×10−25.2891 ×10−33.2317 ×10−26.0572 ×10−31.2854 ×10−27.2396 ×10−2std 1.0577 ×10−45.7398 ×10−33.2714 ×10−48.1148 ×10−42.7943 ×10−41.7048 ×10−31.5063 ×10−2DTLZ6 mean 4.1229 ×10−33.3619 ×10−25.7534 ×10−31.5875 ×10−16.1384 ×10−31.5459 ×10−26.0019 ×10−1std 3.1729 ×10−51.2390 ×10−16.4367 ×10−32.9157 ×10−11.1575 ×10−36.6019 ×10−31.1210 ×10−1DTLZ7 mean 9.2645 ×10−28.5723 ×10−28.8454 ×10−21.8334 ×10−11.0638 ×10−11.6993 ×10−11.4738 ×100std 1.0077 ×10−25.9124 ×10−35.7305 ×10−21.2903 ×10−15.5775 ×10−21.5060 ×10−19.6465 ×10−2total 10 1 3 0 0 1 0 ranking 2.13 4.07 2.47 5.67 3.87 3.76 6.07 注：加粗的数据为各算法在同一测试函数上取得的最优结果。 根据表4，MOFA-GD在收敛性能上取得了9次最优，相比较于其他算法取得最优次数最多，尤其是在ZDT4、DTLZ1、DTLZ3这3个具有多模态特征的测试函数上取得的GD均值数量级比其他算法取得的GD均值数量级优，充分证明其收敛性能优、寻优精度高的特点。由表5可知，MOFA-GD计算所得的Pareto解集在真实Pareto解集的覆盖范围也取得了优秀的结果，在15个测试函数上取得了11次最优，并且在所有的测试函数上的覆盖程度接近1，充分验证其覆盖范围广泛的优点。从表6给出的IGD平均值来看，MOFA-GD在15个测试函数中取得10次最优，在所有的优化算法中占优最多，其中在5个2目标测试函数全部占优；从IGD标准差来看，MOFA-GD在10个占优测试函数上有8个所得的IGD标准差比其他算法至少优一个数量级，说明其具有多样性高、稳定性良好的特点。从表4~6给出的各算法基于Friedman检验结果可知，MOFA-GD在IGD、GD和MS上均排名第一，说明其在不同测试函数及不同指标上的差异较小，进一步验证了MOFA-GD的稳定性和可靠性。表7给出MOFA-GD与6种经典算法的CPU运行时间。根据表7，MOPSO-CD算法在8个测试函数上的运行时间最快，NSGA-II在5个测试函数上表现最佳，PESA-II在2个测试函数上表现出最优的运行速度，而MOFA和MOFA-GD的表现处于劣势。究其原因，除MOFA和MOFA-GD外，其余算法的时间复杂度为
$ O(N) $ ，而MOFA采用全吸引模型，其时间复杂度为$ O\left(N^{2}\right) $ ，致使MOFA的在求解过程中需要更多的计算资源；MOFA-GD是基于MOFA改进的算法，根据2.5节对算法时间复杂度的分析可知，MOFA-GD的时间复杂度与MOFA在同一数量级，但MOFA-GD进行了决策变量分组优化等步骤，消耗了额外计算资源，使MOFA-GD的运行时间稍慢于MOFA。结合表4~6中的IGD、GD和MS结果可知，MOFA-GD表现出优秀的收敛性和分布性，在所有测试函数上具有较高的精度。正如“世上没有免费的午餐”定律，MOFA-GD获得了更优的综合性能，必然付出了额外的计算代价。综合来看，MOFA-GD与6种经典算法相比具有较强的竞争力。表 7 MOFA-GD与6种经典算法在CPU运行时间的实验结果Table 7 Experimental results of MOFA-GD and six classical algorithms on CPU running times 测试函数 MOFA-GD MOPSO-CD SPEA2 MOEA/D NSGA-II PESA-II MOFA ZDT1 1.6736 ×1014.7239 ×1005.5465 ×1007.4319 ×1004.8380 ×1004.8619 ×1001.7050 ×101ZDT2 1.7184 ×1014.8023 ×1006.4233 ×1007.2925 ×1004.8272 ×1004.8329 ×1001.5665 ×101ZDT3 1.4033 ×1014.7961 ×1005.0801 ×1007.2905 ×1004.8417 ×1004.8304 ×1001.2033 ×101ZDT4 1.6588 ×1014.8048 ×1006.3097 ×1007.1388 ×1004.8215 ×1004.8283 ×1001.4565 ×101ZDT6 1.9193 ×1014.8095 ×1006.3342 ×1007.1877 ×1004.8343 ×1004.8263 ×1001.8775 ×101Viennet1 2.2136 ×1014.8432 ×1006.0527 ×1007.2786 ×1004.8215 ×1004.8269 ×1002.3516 ×101Viennet2 1.1267 ×1014.7977 ×1006.3067 ×1008.0447 ×1004.8078 ×1004.8030 ×1001.1359 ×101Viennet3 1.2774 ×1014.8075 ×1007.0385 ×1007.0981 ×1004.8308 ×1004.8235 ×1001.1848 ×101DTLZ1 1.5298 ×1014.8214 ×1006.5560 ×1007.5724 ×1004.8261 ×1004.8252 ×1001.0821 ×101DTLZ2 1.8327 ×1014.8296 ×1006.6649 ×1007.0017 ×1004.8793 ×1004.8220 ×1001.1174 ×101DTLZ3 1.4658 ×1014.8719 ×1005.8858 ×1007.8922 ×1004.6352 ×1004.6412 ×1001.6373 ×101DTLZ4 1.1558 ×1014.7883 ×1005.2525 ×1007.6795 ×1004.6482 ×1004.6734 ×1001.0091 ×101DTLZ5 1.9149 ×1014.6411 ×1005.6652 ×1007.4119 ×1004.6367 ×1004.6401 ×1001.6204 ×101DTLZ6 2.4564 ×1014.6695 ×1005.2249 ×1007.5378 ×1004.6398 ×1004.6422 ×1001.9895 ×101DTLZ7 1.9876 ×1014.6508 ×1005.1222 ×1007.2282 ×1004.6432 ×1004.6378 ×1001.6925 ×101注：加粗的数据为运行时间最优的结果。 为了更直观地体现MOFA-GD的性能优势，图2给出了MOFA-GD和6种经典多目标优化算法在6个测试函数上的Pareto前沿拟合曲线，2目标测试函数选取PF特征为非凸(ZDT2)、非连续(ZDT3)和多模态(ZDT4)，3目标测试函数选取PF特征为非凸(DTLZ2)、多模态(DTLZ3)和非连续(DTLZ7)。图3给出了各算法在上述6个测试函数的IGD收敛曲线。
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图 3 各算法在6个测试函数的IGD收敛曲线Fig. 3 IGD convergence curve for each algorithm for 6 test functions下载:
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从图2可知，MOFA-GD算法得出的Pareto前沿在6个测试问题上都能够拟合到真实Pareto前沿，说明MOFA-GD在求解非连续、多模态等复杂优化函数时具有优秀的收敛性，同时解集在Pareto前沿上均匀分布，原因是档案截断策略能够精准识别较拥挤的个体，动态调整萤火虫的分布，使其分布均匀。根据图3，MOFA-GD在各测试函数上迭代到10代左右IGD值趋于最优且呈平稳趋势，而其他算法大约迭代到50代才能逐渐平稳，由此可见MOFA-GD比其他算法收敛速度更快且精度更高，尤其在ZDT4和DTLZ3测试函数上，MOFA-GD不仅能够快速收敛到IGD最优值附近，还能保持平稳不再有波动。究其原因，MOFA-GD采用了学习行为，使萤火虫能够快速靠近到优秀个体附近，随着迭代的进行能够学习多个优秀个体的信息，使得种群稳定分布在真实Pareto前沿附近。
2 MOFA-GD与6种经典算法的Pareto前沿拟合曲线2 Fitting of Pareto fronts of MOFA-GD and six classical algorithms下载:
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3.4 MOFA-GD与新近多目标优化算法对比实验
为了进一步验证MOFA-GD的性能，本节采用3.1节的测试问题，将MOFA-GD与10种在近几年内提出、具有创新性的多目标优化算法进行仿真实验对比。10种算法分别为基于竞争机制的多目标粒子群算法（CMOPSO）[30]、基于参考点非支配排序的进化多目标优化算法（NSGA-III）[31]、基于参考点支配的快速非支配排序算法（RPD-NSGA-II）[32]、多阶段进化算法（MSEA）[33]、基于参考点引导后代的大规模多目标优化算法（FLEA）[34]、基于动态Thompson自适应算子选择的多目标差分进化算法（MOEA/D-DYTS）[35]、求解大规模稀疏优化问题的基于学习Pareto最优子空间的多目标进化算法（MOEA-PSL）[36]、基于聚类的自适应多目标进化算法（CA-MOEA）[37]、基于竞争因子和精英解引导的多目标萤火虫算法（CFMOFA）[14]和基于决策变量分析的多目标进化算法（MOEA/DVA）[20]，上述算法针对经典算法的不足进行了改进，并且在实验中验证其具备良好性能。各个算法采用的实验参数均采用PLATEMO的默认参数。实验设置同3.3节，为保证实验随机性，所有算法独立运行50次。
表8~10给出了MOFA-GD与10种新近多目标优化算法在15个测试函数计算的IGD、GD和MS平均值。倒数第2行给出了各算法的优势统计结果(total)，最后1行是各算法在15个测试函数优化结果基于Friedman检验的平秩(ranking)。
表 8 MOFA-GD与10种新近算法在IGD上的实验结果Table 8 Experimental results of MOFA-GD and ten recent algorithms on IGD测试函数 MOFA-
GDCMOPSO NSGA-
IIIRPD-
NSGA-IIMSEA FLEA MOEA/D-
DYTSMOEA-
PSLCA-
MOEACFMOFA MOEA/
DVAZDT1 3.88×10−3 5.07×10−3 1.99×10−2 1.41×10−2 6.42×10−3 1.17×10−1 3.15×10−1 4.65×10−3 1.29×10−2 3.57×10−1 8.18×10−1 ZDT2 3.87×10−3 4.58×10−3 6.45×10−2 2.16×10−2 9.73×10−1 5.93×10−1 5.93×10−1 5.53×10−3 2.81×10−2 5.28×10−1 1.47×100 ZDT3 4.76×10−3 5.42×10−3 1.80×10−2 1.80×10−2 1.36×10−2 1.82×10−1 3.35×10−1 5.27×10−3 1.32×10−2 4.17×10−1 6.66×10−1 ZDT4 3.98×10−3 7.81×100 5.11×10−1 4.07×10−1 8.76×100 2.67×101 1.11×101 4.57×10−3 3.89×10−1 3.43×101 7.93×100 ZDT6 3.12×10−3 3.21×10−3 1.74×10−1 4.66×10−2 1.45×10−1 4.43×10−1 1.73×10−2 3.65×10−3 1.62×10−1 3.19×100 8.80×10−1 Viennet1 1.27×10−1 1.31×10−1 1.69×10−1 1.88×10−1 1.15×10−1 1.70×10−1 1.86×10−1 1.80×10−1 1.34×10−1 1.31×10−1 6.97×10−1 Viennet2 2.62×10−2 1.29×10−2 5.63×10−2 4.17×10−2 1.28×10−2 3.32×10−2 4.61×10−2 2.04×10−2 1.33×10−2 1.32×10−2 1.19×10−1 Viennet3 4.42×10−2 3.21×10−2 1.76×100 1.88×10−1 7.03×10−2 4.28×10−2 7.54×10−1 2.32×10−1 3.55×10−2 6.00×10−2 5.69×10−1 DTLZ1 3.71×10−2 1.37×101 1.64×10−1 1.10×10−1 9.61×10−2 6.78×100 2.31×100 1.44×100 1.89×10−1 1.97×101 1.61×100 DTLZ2 8.08×10−2 5.86×10−2 5.49×10−2 5.70×10−2 5.32×10−2 1.96×10−1 7.71×10−2 7.71×10−2 5.80×10−2 8.02×10−2 8.84×10−2 DTLZ3 6.00×10−2 1.41×102 9.95×100 7.05×100 9.42×100 6.80×101 1.28×101 4.70×101 9.15×100 2.06×102 4.93×101 DTLZ4 1.64×10−1 1.67×10−1 1.62×10−1 5.72×10−2 7.13×10−2 3.55×10−1 1.59×10−1 1.49×10−1 1.14×10−1 2.31×10−1 5.04×10−1 DTLZ5 4.41×10−3 7.40×10−3 1.25×10−2 3.19×10−2 4.20×10−3 4.50×10−2 1.41×10−2 1.01×10−2 5.86×10−3 1.72×10−2 2.63×10−2 DTLZ6 4.12×10−3 1.74×10−1 1.93×10−2 1.49×10−1 4.29×10−3 4.42×10−1 1.43×10−2 5.36×10−3 8.77×10−3 2.14×100 7.63×10−1 DTLZ7 9.26×10−2 1.58×10−1 1.03×10−1 1.22×10−1 1.85×10−1 1.16×100 5.78×10−1 7.86×10−2 8.09×10−2 8.53×10−1 1.88×100 total 8 1 0 1 4 0 0 1 0 0 0 ranking 2.73 4.90 6.17 5.43 4.00 8.63 7.53 4.37 3.93 8.50 9.80 注：加粗的数据为各算法在同一测试函数上取得的最优结果，下同。 表 9 MOFA-GD与10种新近算法在GD上的实验结果Table 9 Experimental results of MOFA-GD and ten recent algorithms on GD测试函数 MOFA-
GDCMOPSO NSGA-
IIIRPD-
NSGA-IIMSEA FLEA MOEA/D-
DYTSMOEA-
PSLCA-
MOEACFMOFA MOEA/
DVAZDT1 1.58×10−4 2.88×10−4 1.77×10−3 1.37×10−3 3.53×10−4 1.77×10−3 3.58×10−2 5.39×10−4 1.21×10−3 8.53×10−2 3.46×10−1 ZDT2 4.65×10−5 2.10×10−4 2.54×10−3 1.80×10−3 7.08×10−1 9.21×10−2 9.34×10−2 5.65×10−5 1.66×10−3 1.60×10−1 6.96×10−1 ZDT3 1.56×10−4 2.11×10−4 1.15×10−3 1.01×10−3 3.13×10−4 7.18×10−3 4.52×10−2 4.75×10−4 9.22×10−4 1.14×10−1 3.27×10−1 ZDT4 5.26×10−4 5.70×100 1.02×10−1 3.80×10−2 7.52×100 5.24×100 7.02×100 6.32×10−4 6.76×10−2 2.25×101 8.35×100 ZDT6 3.32×10−2 1.91×10−2 3.51×10−2 7.22×10−2 3.08×10−2 2.79×10−1 2.54×10−2 3.04×10−2 3.17×10−2 1.54×100 1.36×100 Viennet1 1.44×10−2 1.47×10−2 1.34×10−2 1.37×10−2 8.84×10−3 1.53×10−2 6.47×10−3 1.12×10−2 1.29×10−2 1.52×10−2 1.76×10−2 Viennet2 1.86×10−3 1.66×10−3 1.57×10−3 1.39×10−3 1.60×10−3 2.12×10−3 9.74×10−4 1.96×10−3 1.63×10−3 1.70×10−3 8.66×10−3 Viennet3 3.77×10−3 3.50×10−3 3.38×10−3 5.10×10−3 3.30×10−3 3.63×10−3 4.70×10−3 3.23×10−3 3.60×10−3 2.86×10−3 9.14×10−3 DTLZ1 1.70×10−3 4.73×100 3.04×10−2 1.89×10−2 1.26×10−2 3.91×100 2.17×100 3.60×10−1 2.92×10−2 8.05×100 2.34×100 DTLZ2 9.41×10−3 2.25×10−3 6.04×10−4 6.90×10−4 5.27×10−4 2.77×10−2 1.56×10−3 2.99×10−3 1.19×10−3 1.16×10−2 8.06×10−3 DTLZ3 1.76×10−3 4.70×101 1.88×100 2.31×100 2.01×100 2.04×101 1.31×101 1.31×101 2.23×100 7.29×101 2.25×101 DTLZ4 7.36×10−3 2.86×10−3 5.88×10−4 7.01×10−4 5.55×10−4 3.87×10−2 1.36×10−3 2.51×10−3 1.10×10−3 1.20×10−2 1.64×10−2 DTLZ5 1.40×10−4 9.04×10−4 3.43×10−4 9.40×10−4 9.43×10−4 1.89×10−2 3.19×10−4 9.43×10−4 3.76×10−4 2.35×10−3 6.32×10−3 DTLZ6 4.79×10−6 2.32×10−2 6.65×10−6 2.14×10−3 7.60×10−6 1.26×10−1 4.78×10−6 4.81×10−6 1.80×10−3 7.48×10−1 6.76×10−1 DTLZ7 4.05×10−3 4.21×10−3 5.61×10−3 3.68×10−3 1.63×10−3 1.28×10−2 1.49×10−1 2.96×10−3 5.60×10−3 1.57×10−1 8.36×10−1 total 8 0 0 1 3 1 2 0 0 1 0 ranking 3.93 5.67 4.63 5.07 3.97 8.77 5.50 4.47 4.67 9.27 10.07 表 10 MOFA-GD与10种新近算法在MS上的实验结果Table 10 Experimental results of MOFA-GD and ten recent algorithms on MS测试函数 MOFA-
GDCMOPSO NSGA-
IIIRPD-
NSGA-IIMSEA FLEA MOEA/D-
DYTSMOEA-
PSLCA-
MOEACFMOFA MOEA/
DVAZDT1 1.00×100 9.99×10−1 9.87×10−1 9.96×10−1 9.99×10−1 1.00×100 8.37×10−1 1.00×100 9.96×10−1 8.01×10−1 7.11×10−1 ZDT2 1.00×100 9.99×10−1 6.97×10−1 9.87×10−1 6.60×10−1 2.49×10−1 4.96×10−1 1.00×100 9.76×10−1 7.14×10−1 7.07×10−1 ZDT3 1.00×100 9.97×10−1 9.91×10−1 9.93×10−1 9.99×10−1 5.85×10−1 8.22×10−1 1.00×100 9.93×10−1 8.14×10−1 7.41×10−1 ZDT4 1.00×100 1.03×10−1 4.81×10−1 5.03×10−1 4.06×10−1 2.03×10−1 4.83×10−1 1.00×100 5.06×10−1 6.66×10−1 7.07×10−1 ZDT6 1.00×100 1.00×100 8.42×10−1 9.52×10−1 8.58×10−1 1.00×100 1.00×100 1.00×100 8.91×10−1 7.07×10−1 8.89×10−1 Viennet1 9.91×10−1 1.00×100 8.57×10−1 9.87×10−1 9.93×10−1 9.90×10−1 9.99×10−1 9.97×10−1 9.99×10−1 9.97×10−1 8.77×10−1 Viennet2 9.98×10−1 9.97×10−1 5.76×10−1 9.98×10−1 9.97×10−1 8.77×10−1 9.98×10−1 9.87×10−1 9.88×10−1 9.73×10−1 8.78×10−1 Viennet3 9.99×10−1 9.96×10−1 7.84×10−1 1.00×100 9.97×10−1 1.00×100 9.59×10−1 9.66×10−1 9.96×10−1 9.97×10−1 9.18×10−1 DTLZ1 9.95×10−1 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 9.27×10−1 1.00×100 1.00×100 1.00×100 DTLZ2 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 DTLZ3 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 DTLZ4 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 8.84×10−1 DTLZ5 1.00×100 1.00×100 9.96×10−1 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 DTLZ6 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 DTLZ7 9.99×10−1 9.86×10−1 9.80×10−1 9.87×10−1 8.00×10−1 1.77×10−1 9.10×10−1 8.65×10−1 9.84×10−1 8.42×10−1 8.18×10−1 total 12 8 5 7 6 8 6 10 6 6 4 ranking 7.90 7.03 4.10 6.90 5.77 5.23 5.97 6.93 6.53 5.40 4.23 根据表8，从综合性指标IGD来看，MOFA-GD在15个测试函数上取得了8次最优，MSEA取得了4次最优，CMOPSO、RPDNSGA-II、MOEA-PSL均取得1次最优，其余算法没有取得最优，说明MOFA-GD相比新近多目标优化算法仍具有优良的表现。值得注意的是在ZDT4、DTLZ1和DTLZ3测试函数上，MOFA-GD的优化结果比较其余算法的优化结果优一个数量级，原因是ZDT4、DTLZ1和DTLZ3测试函数具有多模态特征，种群在迭代过程中极易过早收敛到某个局部最优解，而MOFA-GD采用了分组优化模型，其中变异算子优化多样性变量组使个体充分探索决策空间，避免个体陷入局部最优。从表9~10可知，MOFA-GD在收敛性和多样性方面均有优良表现，在15个测试函数上，GD指标结果取得8次最优，在所有对比算法中取得最优次数最多；MS指标上取得12次最优，其中11个测试函数上覆盖程度为1。从表8~10给出的Friedman秩检验结果可知，MOFA-GD在所有对比算法中排名第一，由此可见MOFA-GD具有较好的算法稳定性和可靠性。值得注意的是，算法MOEA/DVA同样采用对变量进行分组优化，在大部分测试函数上收敛性和分布性均优于MOEA/DVA，原因是MOFA-GD对分组变量采用了适应其特征的策略进行优化：学习行为优化距离变量，使个体快速收敛到真实Pareto解集附近，有效加快种群收敛速度；变异算子优化位置变量，使个体充分探索决策空间，极大地提升种群的多样性，进而使算法具有较好的性能。
4. 盘式制动器的优化设计问题
为验证算法求解实际工程MOP的性能，本文将MOFA-GD应用于优化盘式制动器设计问题。盘式制动器的优化设计是实际工程中经典的结构设计模式，最早由Ray等[38]对盘式制动器进行了设计与分析，2020年Tanabe等[39]将其归纳为实际工程的多目标优化问题并公开了数据集。该案例以制动盘内半径为决策变量
${x_1}$ 、制动盘外半径为决策变量${x_2}$ 、制动力为决策变量${x_3}$ 和摩擦曲面个数为决策变量${x_4}$ 组成决策向量${\boldsymbol{x}}=[x_1\;\;\;x_2\;\;\;x_3\;\;\;x_4] $ ，以最小制动器质量${f_1}(x)$ 和最短制动时间${f_2}(x)$ 为优化目标，建立数学模型，其表达式为$$ \min F({\boldsymbol{x}}) = \left\{ \begin{gathered} {f_1}({\boldsymbol{x}}) = 4.9 \times {10^{ - 5}}(x_2^2 - x_1^2)({x_4} - 1) \\ {f_2}({\boldsymbol{x}}) = \frac{{9.82 \times {{10}^6}(x_2^2 - x_1^2)}}{{{x_3}{x_4}(x_2^3 - x_1^3)}} \\ \end{gathered} \right. $$ 其约束函数为
$$ \begin{gathered} {g_1}({\boldsymbol{x}}) = ({x_2} - {x_1}) - 20 \geqslant 0 \\ {g_2}({\boldsymbol{x}}) = 30 - 2.5({x_4} + 1) \geqslant 0 \\ {g_3}({\boldsymbol{x}}) = 0.4 - \frac{{{x_3}}}{{3.14(x_2^2 - x_1^2)}} \geqslant 0 \\ {g_4}({\boldsymbol{x}}) = 1 - \frac{{2.22 \times {{10}^{ - 3}}{x_3}{x_4}(x_2^3 - x_1^3)}}{{{{(x_2^2 - x_1^2)}^2}}} \geqslant 0 \\ {g_5}({\boldsymbol{x}}) = \frac{{2.66 \times {{10}^{ - 2}}{x_3}{x_4}(x_2^3 - x_1^3)}}{{x_2^2 - x_1^2}} - 900 \geqslant 0 \end{gathered} $$ 决策变量的取值范围为：
$ 55 \leqslant {x_1} \leqslant 80,75 \leqslant {x_2} \leqslant 110 $ ，$ 1000 \leqslant {x_3} \leqslant 3000,2 \leqslant {x_4} \leqslant 20 $ 。本文所提算法采用可行性法则约束处理机制[40]对算法进行处理，使MOFA-GD有效处理约束。为对比MOFA-GD的优化效果，选择5种近几年求解约束多目标优化问题的算法进行仿真对比实验，5种算法分别为求解大规模多目标优化问题的改进Pareto建模优化算法（AGEMOEA-II）[41]、求解约束多目标优化问题的竞争与协作群智能算法（CMOCSO）[42]、基于问题转换处理的约束多目标优化算法（DCNSGA-III）[43]、基于演进多任务的约束多目标优化算法（EMCMO）[44]和基于新型协作机制的约束多种群进化算法（MCCMO）[45]，算法参数均取自PLATEMO的默认参数，实验设置与3.3保持一致，以IGD综合性指标为评价指标。为确保实验的公平，评价指标所得数据为各算法独立运行50次取平均值(mean)和标准差(std)，结果由表11给出。
表 11 MOFA-GD与5种算法基于IGD指标上的实验结果Table 11 Experimental results of MOFA-GD and five algorithms on IGD指标 MOFA-GD AGEMOEA-II CMOCSO DCNSGA-III EMCMO MCCMO mean 3.1203 ×10−16.8582 ×10−12.1691 ×1004.6271 ×1007.6959 ×10−18.4755 ×10−1std 7.2206 ×10−25.3153 ×10−18.7031 ×10−15.5657 ×10−16.7288 ×10−16.9658 ×10−1根据表11给出的IGD平均值来看，相比其他算法，MOFA-GD面对此问题表现出优良的性能，其IGD平均值取得了最优。图4给出了各算法在盘式制动器优化问题上获得的Pareto最优前沿，可以从图4中清楚地看到，在收敛性和分布性上，MOFA-GD均优于其他算法，计算得到的Pareto前沿均匀分布在真实Pareto前沿上。由此可见，MOFA-GD在众多算法中展现出卓越的性能，是一个解决实际工程优化问题的可行选择。
图 4 MOFA-GD与5种对比算法在盘式制动器优化问题上获得的Pareto前沿Fig. 4 Pareto front obtained by MOFA-GD and 5 comparison algorithms for disc brake optimization下载:
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5. 结束语
MOFA采用整体维度更新策略，未能充分考虑决策变量对算法的影响，导致某几维变量上优化效果不佳，进而影响算法的收敛性和多样性。针对上述问题，本文提出决策变量分组优化的多目标萤火虫算法。MOFA-GD引入决策变量分组机制，按照决策变量对算法性能的不同影响，将整体变量分成收敛性变量组和多样性变量组。设计决策变量分组优化模型：学习行为优化收敛性变量组，使萤火虫能够快速靠近最优个体；非均匀变异算子优化多样性变量组，使萤火虫能够克服种群约束，充分探索决策空间，后期逐渐减小的变异幅度和概率使萤火虫精细化探索，不仅提升了算法寻优精度，还增强了算法的稳定性。档案截断策略能够精准删除拥挤的个体，使萤火虫均匀分布在Pareto前沿。在15个广泛使用的多目标优化测试函数上，MOFA-GD与6种经典多目标优化算法和10种新近多目标优化算法进行性能对比，通过收敛性指标GD、分布性指标MS和综合性指标IGD的性能检测，充分验证MOFA-GD具有优秀的收敛性和分布性，是一种求解多目标优化问题的可靠选择。最后将MOFA-GD应用到优化盘式制动器设计上，与5种约束多目标优化算相比展现出卓越的性能。鉴于MOFA-GD的有效性和稳定性，在今后的研究方向有望进一步扩大MOFA-GD的应用范围，以应对更多样化的工程优化问题。
-
图 1 在ZDT1测试函数中仅改变x1和仅改变x2的采样解在目标空间划分非支配层
Fig. 1 Sampling solutions that change only x1 and only x2 in the ZDT1 test function map to the non-dominated layer of the target space
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图 3 各算法在6个测试函数的IGD收敛曲线
Fig. 3 IGD convergence curve for each algorithm for 6 test functions
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2 MOFA-GD与6种经典算法的Pareto前沿拟合曲线
2 Fitting of Pareto fronts of MOFA-GD and six classical algorithms
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图 4 MOFA-GD与5种对比算法在盘式制动器优化问题上获得的Pareto前沿
Fig. 4 Pareto front obtained by MOFA-GD and 5 comparison algorithms for disc brake optimization
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表 1 测试函数集
Table 1 Set of test functions
测试函数 目标个数 约束 Pareto前沿特征 ZDT1 2 $ n = 30,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n $ 凸 ZDT2 2 $ n = 30,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n $ 非凸 ZDT3 2 $ n = 30,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n $ 非连续 ZDT4 2 $n = 10,0 \leqslant {x_1} \leqslant 1, - 5 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 5,i = 2,3, \cdot \cdot \cdot ,n$ 凸+多模态 ZDT6 2 $n = 10,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$ 非凸+多模态+有偏好 Viennet1 3 $n = 2, - 2 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 2,i = 1,2$ 凸 Viennet2 3 $n = 2, - 4 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 4,i = 1,2$ 混合 Viennet3 3 $n = 2, - 3 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 3,i = 1,2$ 混合+退化 DTLZ1 3 $n = 7,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$ 多模态 DTLZ2 3 $n = 12,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$ 非凸 DTLZ3 3 $n = 12,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$ 非凸+多模态 DTLZ4 3 $n = 12,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$ 非凸+有偏好 DTLZ5 3 $n = 12,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$ 非凸+退化 DTLZ6 3 $n = 12,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$ 非凸+退化+有偏好 DTLZ7 3 $n = 22,0 \leqslant {{\boldsymbol{x}}_i} \leqslant 1,i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$ 混合+不连续+多模态 表 2 各个测试函数的决策变量属性和分组
Table 2 Each test function of the decision variables properties and grouping
测试函数 多样性变量组 收敛性变量组 位置变量 混合变量 距离变量 ZDT1、ZDT2、 ${x_1}$ — ${x_2},{x_3}, \cdot \cdot \cdot ,{x_{30}}$ ZDT3 — ${x_1}$ ${x_2},{x_3}, \cdot \cdot \cdot ,{x_{30}}$ ZDT4、ZDT6 ${x_1}$ — ${x_2},{x_3}, \cdot \cdot \cdot ,{x_{10}}$ Viennet1、Viennet2、Viennet3 — ${x_1},{x_2}$ — DTLZ1 ${x_1},{x_2}$ — ${x_3},{x_4}, \cdot \cdot \cdot ,{x_7}$ DTLZ2、DTLZ3、DTLZ5、DTLZ6 ${x_1},{x_2}$ — ${x_3},{x_4}, \cdot \cdot \cdot ,{x_{12}}$ DTLZ4 — ${x_1},{x_2}$ ${x_3},{x_4}, \cdot \cdot \cdot ,{x_{12}}$ DTLZ7 — ${x_1},{x_2}$ ${x_3},{x_4}, \cdot \cdot \cdot ,{x_{12}}$ 表 3 各算法的实验参数设置
Table 3 Experimental parameter settings for each algorithms
算法 参数设置 年份 MOPSO-CD $ \omega=0.4,R_1,R_2=\mathrm{ran}\mathrm{d}[0,1] $ 2005 SPEA2 $ {p_c} = 0.9,{p_m} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 n}} \right. } n},{\eta _c} = 20,{\eta _m} = 20 $ 2002 MOEA/D $\gamma = 0.5$ 2007 NSGA-II $ {p_c} = 0.9,{p_m} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 n}} \right. } n},{\eta _c} = 20,{\eta _m} = 20 $ 2002 PESA-II $ {p_c} = 0.7,{p_m} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 n}} \right. } n},{\eta _c} = 20,{\eta _m} = 20 $ 2001 MOFA $\alpha = 0.2,{\beta _0} = 1,\gamma = 1$ 2013 MOFA-GD $\alpha = 0.2,{\beta _0} = 1,\gamma = 1,{N_{\rm{sample}}} = 20$ — 表 4 MOFA-GD与6种经典算法在GD指标上的实验结果
Table 4 Experimental results of MOFA-GD and six classical algorithms on GD
测试函数 指标 MOFA-GD MOPSO-CD SPEA2 MOEA/D NSGA-II PESA-II MOFA ZDT1 mean 1.5797 ×10−44.1580 ×10−41.5486 ×10−31.2063 ×10−21.1935 ×10−31.5487 ×10−39.4602 ×10−4std 2.1113 ×10−52.2613 ×10−32.9557 ×10−45.0316 ×10−32.5680 ×10−44.7015 ×10−45.3092 ×10−4ZDT2 mean 4.6483 ×10−53.6238 ×10−31.8163 ×10−35.4349 ×10−41.4472 ×10−31.5546 ×10−39.6352 ×10−4std 2.4484 ×10−69.8606 ×10−33.8308 ×10−45.6675 ×10−43.9701 ×10−45.8745 ×10−42.8644 ×10−6ZDT3 mean 1.5579 ×10−41.0033 ×10−31.1870 ×10−31.4266 ×10−28.3916 ×10−41.3459 ×10−31.2628 ×10−3std 1.4596 ×10−52.9992 ×10−31.2586 ×10−35.4727 ×10−37.9735 ×10−47.5793 ×10−49.4632 ×10−4ZDT4 mean 5.2585 ×10−46.8083 ×1002.7215 ×10−26.9146 ×10−23.0052 ×10−21.3807 ×10−22.7017 ×100std 2.8694 ×10−55.4800 ×1002.4889 ×10−23.5250 ×10−22.8266 ×10−23.8637 ×10−21.1051 ×100ZDT6 mean 3.3150 ×10−24.9561 ×10−28.7334 ×10−31.0812 ×10−27.3054 ×10−33.6392 ×10−32.2541 ×10−1std 2.8344 ×10−22.8408 ×10−24.6539 ×10−33.8292 ×10−33.6134 ×10−35.9133 ×10−32.1215 ×10−1Viennet1 mean 1.4446 ×10−21.2424 ×10−21.3966 ×10−21.5988 ×10−21.1262 ×10−21.3562 ×10−21.4087 ×10−2std 1.2262 ×10−31.8224 ×10−31.1148 ×10−31.5173 ×10−31.6053 ×10−31.6710 ×10−31.2347 ×10−3Viennet2 mean 1.8617 ×10−31.9582 ×10−31.6730 ×10−39.9840 ×10−41.9994 ×10−31.7633 ×10−32.4516 ×10−3std 1.0599 ×10−31.9222 ×10−46.0380 ×10−52.8373 ×10−51.2968 ×10−42.0598 ×10−47.0558 ×10−4Viennet3 mean 3.7705 ×10−33.4290 ×10−34.1426 ×10−31.4746 ×10−33.7435 ×10−33.2771 ×10−34.3021 ×10−3std 1.4029 ×10−33.7429 ×10−42.2419 ×10−43.7110 ×10−52.6085 ×10−44.0190 ×10−43.9276 ×10−4DTLZ1 mean 1.7041 ×10−36.2810 ×1003.5185 ×10−23.2462 ×10−24.1118 ×10−21.6928 ×10−11.7593 ×101std 1.4869 ×10−36.6422 ×10−16.4340 ×10−25.3184 ×10−24.0005 ×10−24.1372 ×10−16.9750 ×100DTLZ2 mean 9.4096 ×10−38.5339 ×10−31.1439 ×10−36.4824 ×10−41.3374 ×10−31.6265 ×10−34.3248 ×10−2std 8.5338 ×10−31.8044 ×10−31.3759 ×10−44.6147 ×10−51.5506 ×10−42.2228 ×10−45.2943 ×10−3DTLZ3 mean 1.7592 ×10−34.0485 ×1011.3795 ×1002.8785 ×1001.4312 ×1001.1830 ×1001.1619 ×102std 4.1840 ×10−44.8136 ×1007.3996 ×10−12.0913 ×1008.4159 ×10−11.0822 ×1007.2704 ×101DTLZ4 mean 7.3557 ×10−32.3393 ×10−29.9281 ×10−44.0295 ×10−41.2039 ×10−31.5777 ×10−33.4964 ×10−2std 8.7921 ×10−31.1199 ×10−24.7151 ×10−42.3155 ×10−43.4383 ×10−41.9360 ×10−48.3391 ×10−3DTLZ5 mean 1.3975 ×10−43.7954 ×10−34.1055 ×10−42.1938 ×10−42.8279 ×10−42.9674 ×10−42.6448 ×10−2std 3.8346 ×10−51.4698 ×10−37.5034 ×10−58.8732 ×10−45.8888 ×10−59.6254 ×10−58.0642 ×10−3DTLZ6 mean 4.7943 ×10−61.0614 ×10−24.7789 ×10−62.0849 ×10−24.7571 ×10−62.8885 ×10−39.1980 ×10−1std 2.2657 ×10−75.2044 ×10−22.2863 ×10−74.6275 ×10−22.6931 ×10−76.9810 ×10−31.9528 ×10−1DTLZ7 mean 4.0464 ×10−34.3405 ×10−35.1354 ×10−34.6933 ×10−36.5109 ×10−36.1822 ×10−36.3770 ×10−3std 6.3265 ×10−46.2178 ×10−41.0026 ×10−31.3401 ×10−31.1154 ×10−31.6348 ×10−31.2759 ×10−2total 9 0 0 4 1 1 0 ranking 2.80 4.73 3.60 3.60 3.47 3.73 6.07 注：加粗的数据为各算法在同一测试函数上取得的最优结果。 表 5 MOFA-GD与6种经典算法在MS指标上的实验结果
Table 5 Experimental results of MOFA-GD and six classical algorithms on MS
测试函数 指标 MOFA-GD MOPSO-CD SPEA2 MOEA/D NSGA-II PESA-II MOFA ZDT1 mean 1.0000 ×1001.0000 ×1009.9184 ×10−16.5493 ×10−19.9552 ×10−19.3366 ×10−16.9247 ×10−1std 0.0000 ×1000.0000 ×1004.3402 ×10−31.3790 ×10−18.8171 ×10−48.9534 ×10−22.5355 ×10−2ZDT2 mean 1.0000 ×1001.0000 ×1009.8581 ×10−11.3608 ×10−18.3096 ×10−17.9724 ×10−17.0711 ×10−1std 0.0000 ×1000.0000 ×1002.0411 ×10−35.2328 ×10−22.7449 ×10−12.9011 ×10−10.0000 ×100ZDT3 mean 9.9996 ×10−19.8022 ×10−19.9366 ×10−16.6855 ×10−19.9437 ×10−18.5050 ×10−16.5297 ×10−1std 4.8976 ×10−52.4984 ×10−29.0955 ×10−41.4231 ×10−23.7976 ×10−31.1396 ×10−14.9455 ×10−2ZDT4 mean 1.0000 ×1003.8371 ×10−16.2497 ×10−16.2654 ×10−16.5809 ×10−15.7167 ×10−14.3224 ×10−1std 0.0000 ×1002.8228 ×10−12.5438 ×10−19.9928 ×10−21.5300 ×10−11.6921 ×10−14.5264 ×10−2ZDT6 mean 1.0000 ×1001.0000 ×1009.5415 ×10−18.7609 ×10−19.4777 ×10−19.6437 ×10−15.8983 ×10−1std 1.4259 ×10−63.5081 ×10−72.3633 ×10−21.0001 ×10−12.1674 ×10−21.9990 ×10−31.9757 ×10−1Viennet1 mean 9.9999 ×10−19.9994 ×10−19.9786 ×10−17.7898 ×10−19.9901 ×10−19.7234 ×10−16.9402 ×10−1std 8.2326 ×10−34.5693 ×10−52.2057 ×10−32.3568 ×10−31.7065 ×10−34.0741 ×10−24.8855 ×10−2Viennet2 mean 9.9834 ×10−19.9041 ×10−19.9966 ×10−12.5711 ×10−19.9927 ×10−19.8993 ×10−16.3116 ×10−1std 1.6710 ×10−33.9147 ×10−33.3057 ×10−43.6598 ×10−36.9880 ×10−48.1029 ×10−31.2115 ×10−1Viennet3 mean 9.9889 ×10−19.9804 ×10−19.9598 ×10−15.2283 ×10−19.9895 ×10−19.9502 ×10−13.9336 ×10−1std 9.4656 ×10−42.3929 ×10−38.1494 ×10−47.7723 ×10−31.8107 ×10−36.0191 ×10−37.4213 ×10−2DTLZ1 mean 9.9538 ×10−11.0000 ×1001.0000 ×1009.4027 ×10−11.0000 ×1001.0000 ×1008.1650 ×10−1std 5.4572 ×10−30.0000 ×1000.0000 ×1001.0129 ×10−10.0000 ×1000.0000 ×1001.3597E−16 DTLZ2 mean 9.9959 ×10−11.0000 ×1001.0000 ×1001.0000 ×1001.0000 ×1009.9623 ×10−16.1030 ×10−1std 8.1412 ×10−40.0000 ×1000.0000 ×1000.0000 ×1000.0000 ×1003.3221 ×10−35.7050 ×10−2DTLZ3 mean 9.9968 ×10−11.0000 ×1001.0000 ×1009.8288 ×10−11.0000 ×1001.0000 ×1008.1650 ×10−1std 3.4151 ×10−40.0000 ×1000.0000 ×1002.0122 ×10−20.0000 ×1000.0000 ×1001.3597E−16 DTLZ4 mean 1.0000 ×1001.0000 ×1009.3883 ×10−15.5563 ×10−36.6667 ×10−19.9948 ×10−11.0000 ×100std 0.0000 ×1000.0000 ×1001.0595 ×10−19.6238 ×10−35.7735 ×10−18.9238 ×10−40.0000 ×100DTLZ5 mean 1.0000 ×1001.0000 ×1001.0000 ×1001.0000 ×1001.0000 ×1009.8726 ×10−17.9163 ×10−1std 0.0000 ×1000.0000 ×1000.0000 ×1000.0000 ×1000.0000 ×1001.6742 ×10−21.0510 ×10−1DTLZ6 mean 1.0000 ×1001.0000 ×1001.0000 ×1009.9409 ×10−11.0000 ×1009.9463 ×10−18.1650 ×10−1std 0.0000 ×1000.0000 ×1000.0000 ×1009.9481 ×10−30.0000 ×1008.9274 ×10−31.3597E−16 DTLZ7 mean 9.9913 ×10−19.8816 ×10−19.9094 ×10−19.8876 ×10−19.8702 ×10−18.5730 ×10−17.2191 ×10−1std 8.6620 ×10−45.1758 ×10−31.6569 ×10−31.7458 ×10−28.7592 ×10−41.4787 ×10−18.2089 ×10−2total 11 9 6 2 5 1 1 ranking 5.06 5.10 4.87 2.57 4.93 3.33 1.60 注：加粗的数据为各算法在同一测试函数上取得的最优结果。 表 6 MOFA-GD与6种经典算法在IGD指标上的实验结果
Table 6 Experimental results of MOFA-GD and six classical algorithms on IGD
测试函数 指标 MOFA-GD MOPSO-CD SPEA2 MOEA/D NSGA-II PESA-II MOFA ZDT1 mean 3.8849 ×10−37.2150 ×10−31.5893 ×10−21.5067 ×10−11.2773 ×10−23.4504 ×10−25.3718 ×10−1std 3.5299 ×10−52.1606 ×10−22.7429 ×10−36.2132 ×10−22.2630 ×10−33.0983 ×10−27.2900 ×10−2ZDT2 mean 3.8654 ×10−35.9912 ×10−22.0011 ×10−25.2955 ×10−13.0198 ×10−29.7354 ×10−26.0793 ×10−1std 3.0624 ×10−51.4181 ×10−17.6091 ×10−37.8624 ×10−24.3802 ×10−27.3808 ×10−27.2257 ×10−3ZDT3 mean 4.7560 ×10−31.3238 ×10−21.4667 ×10−21.4836 ×10−11.5712 ×10−23.5133 ×10−24.6203 ×10−1std 1.5045 ×10−42.5378 ×10−26.8054 ×10−34.4974 ×10−21.7003 ×10−22.3084 ×10−29.4936 ×10−2ZDT4 mean 3.9754 ×10−31.4990 ×1012.2729 ×10−14.9037 ×10−13.0316 ×10−11.6025 ×10−12.7495 ×10−1std 7.9899 ×10−58.1023 ×1001.3432 ×10−12.0115 ×10−11.8224 ×10−19.1766 ×10−27.8013 ×10−3ZDT6 mean 3.1228 ×10−33.9721 ×10−36.2222 ×10−27.6398 ×10−25.3301 ×10−22.3854 ×10−21.4086 ×10−1std 3.4597 ×10−56.5297 ×10−42.6778 ×10−22.4561 ×10−22.5303 ×10−21.0888 ×10−22.2434 ×10−1Viennet1 mean 1.2650 ×10−11.4970 ×10−11.2635 ×10−12.0452 ×10−11.5732 ×10−11.4052 ×10−12.9885 ×10−1std 2.9588 ×10−35.5004 ×10−32.3433 ×10−34.1264 ×10−38.4072 ×10−35.0250 ×10−32.2626 ×10−2Viennet2 mean 2.6223 ×10−21.9021 ×10−21.2697 ×10−21.1043 ×10−12.1668 ×10−21.9136 ×10−22.4455 ×10−2std 4.1432 ×10−31.1159 ×10−33.7431 ×10−41.0514 ×10−31.8111 ×10−31.1918 ×10−33.0092 ×10−3Viennet3 mean 4.4177 ×10−23.7074 ×10−23.3686 ×10−22.0249 ×1004.1283 ×10−28.9543 ×10−24.6168 ×10−2std 6.0781 ×10−41.7387 ×10−39.4065 ×10−34.1172 ×10−23.1965 ×10−32.2292 ×10−13.9934 ×10−3DTLZ1 mean 3.7092 ×10−21.7421 ×1011.6921 ×10−12.0533 ×10−12.8926 ×10−12.0599 ×10−12.0671 ×10−1std 3.7023 ×10−35.0585 ×1001.5299 ×10−12.6218 ×10−12.6636 ×10−13.0184 ×10−15.2550 ×10−3DTLZ2 mean 8.0807 ×10−29.9274 ×10−25.4686 ×10−25.4904 ×10−26.9291 ×10−26.7582 ×10−22.3675 ×10−1std 6.3738 ×10−31.0452 ×10−26.2684 ×10−41.9886 ×10−43.6187 ×10−33.9193 ×10−32.0530 ×10−2DTLZ3 mean 5.9972 ×10−21.1464 ×1027.8474 ×1001.7444 ×1018.3355 ×1007.4589 ×1005.6091 ×10−1std 4.7918 ×10−33.6816 ×1014.1377 ×1001.3031 ×1014.9823 ×1006.4979 ×1004.7536 ×10−3DTLZ4 mean 1.6353 ×10−12.9417 ×10−12.1555 ×10−14.3956 ×10−11.1553 ×10−16.4794 ×10−26.4337 ×10−1std 3.8610 ×10−24.8680 ×10−22.7442 ×10−13.2580 ×10−11.6505 ×10−11.9913 ×10−35.1571 ×10−2DTLZ5 mean 4.4077 ×10−32.4077 ×10−25.2891 ×10−33.2317 ×10−26.0572 ×10−31.2854 ×10−27.2396 ×10−2std 1.0577 ×10−45.7398 ×10−33.2714 ×10−48.1148 ×10−42.7943 ×10−41.7048 ×10−31.5063 ×10−2DTLZ6 mean 4.1229 ×10−33.3619 ×10−25.7534 ×10−31.5875 ×10−16.1384 ×10−31.5459 ×10−26.0019 ×10−1std 3.1729 ×10−51.2390 ×10−16.4367 ×10−32.9157 ×10−11.1575 ×10−36.6019 ×10−31.1210 ×10−1DTLZ7 mean 9.2645 ×10−28.5723 ×10−28.8454 ×10−21.8334 ×10−11.0638 ×10−11.6993 ×10−11.4738 ×100std 1.0077 ×10−25.9124 ×10−35.7305 ×10−21.2903 ×10−15.5775 ×10−21.5060 ×10−19.6465 ×10−2total 10 1 3 0 0 1 0 ranking 2.13 4.07 2.47 5.67 3.87 3.76 6.07 注：加粗的数据为各算法在同一测试函数上取得的最优结果。 表 7 MOFA-GD与6种经典算法在CPU运行时间的实验结果
Table 7 Experimental results of MOFA-GD and six classical algorithms on CPU running time
s 测试函数 MOFA-GD MOPSO-CD SPEA2 MOEA/D NSGA-II PESA-II MOFA ZDT1 1.6736 ×1014.7239 ×1005.5465 ×1007.4319 ×1004.8380 ×1004.8619 ×1001.7050 ×101ZDT2 1.7184 ×1014.8023 ×1006.4233 ×1007.2925 ×1004.8272 ×1004.8329 ×1001.5665 ×101ZDT3 1.4033 ×1014.7961 ×1005.0801 ×1007.2905 ×1004.8417 ×1004.8304 ×1001.2033 ×101ZDT4 1.6588 ×1014.8048 ×1006.3097 ×1007.1388 ×1004.8215 ×1004.8283 ×1001.4565 ×101ZDT6 1.9193 ×1014.8095 ×1006.3342 ×1007.1877 ×1004.8343 ×1004.8263 ×1001.8775 ×101Viennet1 2.2136 ×1014.8432 ×1006.0527 ×1007.2786 ×1004.8215 ×1004.8269 ×1002.3516 ×101Viennet2 1.1267 ×1014.7977 ×1006.3067 ×1008.0447 ×1004.8078 ×1004.8030 ×1001.1359 ×101Viennet3 1.2774 ×1014.8075 ×1007.0385 ×1007.0981 ×1004.8308 ×1004.8235 ×1001.1848 ×101DTLZ1 1.5298 ×1014.8214 ×1006.5560 ×1007.5724 ×1004.8261 ×1004.8252 ×1001.0821 ×101DTLZ2 1.8327 ×1014.8296 ×1006.6649 ×1007.0017 ×1004.8793 ×1004.8220 ×1001.1174 ×101DTLZ3 1.4658 ×1014.8719 ×1005.8858 ×1007.8922 ×1004.6352 ×1004.6412 ×1001.6373 ×101DTLZ4 1.1558 ×1014.7883 ×1005.2525 ×1007.6795 ×1004.6482 ×1004.6734 ×1001.0091 ×101DTLZ5 1.9149 ×1014.6411 ×1005.6652 ×1007.4119 ×1004.6367 ×1004.6401 ×1001.6204 ×101DTLZ6 2.4564 ×1014.6695 ×1005.2249 ×1007.5378 ×1004.6398 ×1004.6422 ×1001.9895 ×101DTLZ7 1.9876 ×1014.6508 ×1005.1222 ×1007.2282 ×1004.6432 ×1004.6378 ×1001.6925 ×101注：加粗的数据为运行时间最优的结果。 表 8 MOFA-GD与10种新近算法在IGD上的实验结果
Table 8 Experimental results of MOFA-GD and ten recent algorithms on IGD
测试函数 MOFA-
GDCMOPSO NSGA-
IIIRPD-
NSGA-IIMSEA FLEA MOEA/D-
DYTSMOEA-
PSLCA-
MOEACFMOFA MOEA/
DVAZDT1 3.88×10−3 5.07×10−3 1.99×10−2 1.41×10−2 6.42×10−3 1.17×10−1 3.15×10−1 4.65×10−3 1.29×10−2 3.57×10−1 8.18×10−1 ZDT2 3.87×10−3 4.58×10−3 6.45×10−2 2.16×10−2 9.73×10−1 5.93×10−1 5.93×10−1 5.53×10−3 2.81×10−2 5.28×10−1 1.47×100 ZDT3 4.76×10−3 5.42×10−3 1.80×10−2 1.80×10−2 1.36×10−2 1.82×10−1 3.35×10−1 5.27×10−3 1.32×10−2 4.17×10−1 6.66×10−1 ZDT4 3.98×10−3 7.81×100 5.11×10−1 4.07×10−1 8.76×100 2.67×101 1.11×101 4.57×10−3 3.89×10−1 3.43×101 7.93×100 ZDT6 3.12×10−3 3.21×10−3 1.74×10−1 4.66×10−2 1.45×10−1 4.43×10−1 1.73×10−2 3.65×10−3 1.62×10−1 3.19×100 8.80×10−1 Viennet1 1.27×10−1 1.31×10−1 1.69×10−1 1.88×10−1 1.15×10−1 1.70×10−1 1.86×10−1 1.80×10−1 1.34×10−1 1.31×10−1 6.97×10−1 Viennet2 2.62×10−2 1.29×10−2 5.63×10−2 4.17×10−2 1.28×10−2 3.32×10−2 4.61×10−2 2.04×10−2 1.33×10−2 1.32×10−2 1.19×10−1 Viennet3 4.42×10−2 3.21×10−2 1.76×100 1.88×10−1 7.03×10−2 4.28×10−2 7.54×10−1 2.32×10−1 3.55×10−2 6.00×10−2 5.69×10−1 DTLZ1 3.71×10−2 1.37×101 1.64×10−1 1.10×10−1 9.61×10−2 6.78×100 2.31×100 1.44×100 1.89×10−1 1.97×101 1.61×100 DTLZ2 8.08×10−2 5.86×10−2 5.49×10−2 5.70×10−2 5.32×10−2 1.96×10−1 7.71×10−2 7.71×10−2 5.80×10−2 8.02×10−2 8.84×10−2 DTLZ3 6.00×10−2 1.41×102 9.95×100 7.05×100 9.42×100 6.80×101 1.28×101 4.70×101 9.15×100 2.06×102 4.93×101 DTLZ4 1.64×10−1 1.67×10−1 1.62×10−1 5.72×10−2 7.13×10−2 3.55×10−1 1.59×10−1 1.49×10−1 1.14×10−1 2.31×10−1 5.04×10−1 DTLZ5 4.41×10−3 7.40×10−3 1.25×10−2 3.19×10−2 4.20×10−3 4.50×10−2 1.41×10−2 1.01×10−2 5.86×10−3 1.72×10−2 2.63×10−2 DTLZ6 4.12×10−3 1.74×10−1 1.93×10−2 1.49×10−1 4.29×10−3 4.42×10−1 1.43×10−2 5.36×10−3 8.77×10−3 2.14×100 7.63×10−1 DTLZ7 9.26×10−2 1.58×10−1 1.03×10−1 1.22×10−1 1.85×10−1 1.16×100 5.78×10−1 7.86×10−2 8.09×10−2 8.53×10−1 1.88×100 total 8 1 0 1 4 0 0 1 0 0 0 ranking 2.73 4.90 6.17 5.43 4.00 8.63 7.53 4.37 3.93 8.50 9.80 注：加粗的数据为各算法在同一测试函数上取得的最优结果，下同。 表 9 MOFA-GD与10种新近算法在GD上的实验结果
Table 9 Experimental results of MOFA-GD and ten recent algorithms on GD
测试函数 MOFA-
GDCMOPSO NSGA-
IIIRPD-
NSGA-IIMSEA FLEA MOEA/D-
DYTSMOEA-
PSLCA-
MOEACFMOFA MOEA/
DVAZDT1 1.58×10−4 2.88×10−4 1.77×10−3 1.37×10−3 3.53×10−4 1.77×10−3 3.58×10−2 5.39×10−4 1.21×10−3 8.53×10−2 3.46×10−1 ZDT2 4.65×10−5 2.10×10−4 2.54×10−3 1.80×10−3 7.08×10−1 9.21×10−2 9.34×10−2 5.65×10−5 1.66×10−3 1.60×10−1 6.96×10−1 ZDT3 1.56×10−4 2.11×10−4 1.15×10−3 1.01×10−3 3.13×10−4 7.18×10−3 4.52×10−2 4.75×10−4 9.22×10−4 1.14×10−1 3.27×10−1 ZDT4 5.26×10−4 5.70×100 1.02×10−1 3.80×10−2 7.52×100 5.24×100 7.02×100 6.32×10−4 6.76×10−2 2.25×101 8.35×100 ZDT6 3.32×10−2 1.91×10−2 3.51×10−2 7.22×10−2 3.08×10−2 2.79×10−1 2.54×10−2 3.04×10−2 3.17×10−2 1.54×100 1.36×100 Viennet1 1.44×10−2 1.47×10−2 1.34×10−2 1.37×10−2 8.84×10−3 1.53×10−2 6.47×10−3 1.12×10−2 1.29×10−2 1.52×10−2 1.76×10−2 Viennet2 1.86×10−3 1.66×10−3 1.57×10−3 1.39×10−3 1.60×10−3 2.12×10−3 9.74×10−4 1.96×10−3 1.63×10−3 1.70×10−3 8.66×10−3 Viennet3 3.77×10−3 3.50×10−3 3.38×10−3 5.10×10−3 3.30×10−3 3.63×10−3 4.70×10−3 3.23×10−3 3.60×10−3 2.86×10−3 9.14×10−3 DTLZ1 1.70×10−3 4.73×100 3.04×10−2 1.89×10−2 1.26×10−2 3.91×100 2.17×100 3.60×10−1 2.92×10−2 8.05×100 2.34×100 DTLZ2 9.41×10−3 2.25×10−3 6.04×10−4 6.90×10−4 5.27×10−4 2.77×10−2 1.56×10−3 2.99×10−3 1.19×10−3 1.16×10−2 8.06×10−3 DTLZ3 1.76×10−3 4.70×101 1.88×100 2.31×100 2.01×100 2.04×101 1.31×101 1.31×101 2.23×100 7.29×101 2.25×101 DTLZ4 7.36×10−3 2.86×10−3 5.88×10−4 7.01×10−4 5.55×10−4 3.87×10−2 1.36×10−3 2.51×10−3 1.10×10−3 1.20×10−2 1.64×10−2 DTLZ5 1.40×10−4 9.04×10−4 3.43×10−4 9.40×10−4 9.43×10−4 1.89×10−2 3.19×10−4 9.43×10−4 3.76×10−4 2.35×10−3 6.32×10−3 DTLZ6 4.79×10−6 2.32×10−2 6.65×10−6 2.14×10−3 7.60×10−6 1.26×10−1 4.78×10−6 4.81×10−6 1.80×10−3 7.48×10−1 6.76×10−1 DTLZ7 4.05×10−3 4.21×10−3 5.61×10−3 3.68×10−3 1.63×10−3 1.28×10−2 1.49×10−1 2.96×10−3 5.60×10−3 1.57×10−1 8.36×10−1 total 8 0 0 1 3 1 2 0 0 1 0 ranking 3.93 5.67 4.63 5.07 3.97 8.77 5.50 4.47 4.67 9.27 10.07 表 10 MOFA-GD与10种新近算法在MS上的实验结果
Table 10 Experimental results of MOFA-GD and ten recent algorithms on MS
测试函数 MOFA-
GDCMOPSO NSGA-
IIIRPD-
NSGA-IIMSEA FLEA MOEA/D-
DYTSMOEA-
PSLCA-
MOEACFMOFA MOEA/
DVAZDT1 1.00×100 9.99×10−1 9.87×10−1 9.96×10−1 9.99×10−1 1.00×100 8.37×10−1 1.00×100 9.96×10−1 8.01×10−1 7.11×10−1 ZDT2 1.00×100 9.99×10−1 6.97×10−1 9.87×10−1 6.60×10−1 2.49×10−1 4.96×10−1 1.00×100 9.76×10−1 7.14×10−1 7.07×10−1 ZDT3 1.00×100 9.97×10−1 9.91×10−1 9.93×10−1 9.99×10−1 5.85×10−1 8.22×10−1 1.00×100 9.93×10−1 8.14×10−1 7.41×10−1 ZDT4 1.00×100 1.03×10−1 4.81×10−1 5.03×10−1 4.06×10−1 2.03×10−1 4.83×10−1 1.00×100 5.06×10−1 6.66×10−1 7.07×10−1 ZDT6 1.00×100 1.00×100 8.42×10−1 9.52×10−1 8.58×10−1 1.00×100 1.00×100 1.00×100 8.91×10−1 7.07×10−1 8.89×10−1 Viennet1 9.91×10−1 1.00×100 8.57×10−1 9.87×10−1 9.93×10−1 9.90×10−1 9.99×10−1 9.97×10−1 9.99×10−1 9.97×10−1 8.77×10−1 Viennet2 9.98×10−1 9.97×10−1 5.76×10−1 9.98×10−1 9.97×10−1 8.77×10−1 9.98×10−1 9.87×10−1 9.88×10−1 9.73×10−1 8.78×10−1 Viennet3 9.99×10−1 9.96×10−1 7.84×10−1 1.00×100 9.97×10−1 1.00×100 9.59×10−1 9.66×10−1 9.96×10−1 9.97×10−1 9.18×10−1 DTLZ1 9.95×10−1 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 9.27×10−1 1.00×100 1.00×100 1.00×100 DTLZ2 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 DTLZ3 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 DTLZ4 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 8.84×10−1 DTLZ5 1.00×100 1.00×100 9.96×10−1 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 DTLZ6 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 1.00×100 DTLZ7 9.99×10−1 9.86×10−1 9.80×10−1 9.87×10−1 8.00×10−1 1.77×10−1 9.10×10−1 8.65×10−1 9.84×10−1 8.42×10−1 8.18×10−1 total 12 8 5 7 6 8 6 10 6 6 4 ranking 7.90 7.03 4.10 6.90 5.77 5.23 5.97 6.93 6.53 5.40 4.23 表 11 MOFA-GD与5种算法基于IGD指标上的实验结果
Table 11 Experimental results of MOFA-GD and five algorithms on IGD
指标 MOFA-GD AGEMOEA-II CMOCSO DCNSGA-III EMCMO MCCMO mean 3.1203 ×10−16.8582 ×10−12.1691 ×1004.6271 ×1007.6959 ×10−18.4755 ×10−1std 7.2206 ×10−25.3153 ×10−18.7031 ×10−15.5657 ×10−16.7288 ×10−16.9658 ×10−1 -
[1] FARAG M A, EL-SHORBAGY M A, MOUSA A A, et al. A new hybrid metaheuristic algorithm for multiobjective optimization problems[J]. International journal of computational intelligence systems, 2020, 13(1): 920−940. doi: 10.2991/ijcis.d.200618.001 [2] BAROCIO E, REGALADO J, CUEVAS E, et al. Modified bio-inspired optimisation algorithm with a centroid decision making approach for solving a multi-objective optimal power flow problem[J]. IET generation, transmission & distribution, 2017, 11(4): 1012−1022. [3] 李昌响, 赵嘉, 韩龙哲, 等. 多通道CNN-BiLSTM的短时温度预测[J]. 江西师范大学学报(自然科学版), 2023, 47(3): 325−330. LI Changxiang, ZHAO Jia, HAN Longzhe, et al. The short-time temperature prediction for multi-channel CNN-BiLSTM[J]. Journal of Jiangxi Normal University (natural science edition), 2023, 47(3): 325−330. [4] 李松, 吴润秀, 康平, 等. 基于自适应剪辑与概率参数的Tri-Training算法[J]. 江西师范大学学报(自然科学版), 2023, 47(5): 490−496. LI Song, WU Runxiu, KANG Ping, et al. The ADP-Tri-Training: Tri-Training with adaptive editing and probability parameters[J]. Journal of Jiangxi Normal University (natural science edition), 2023, 47(5): 490−496. [5] LIAGKOURAS K, METAXIOTIS K. Enhancing the performance of MOEAs: an experimental presentation of a new fitness guided mutation operator[J]. Journal of experimental & theoretical artificial intelligence, 2017, 29(1): 91−131. [6] XIAO Renbin. Four development stages of collective intelligence[J]. Frontiers of information technology & electronic engineering, 2024, 25(7): 903−916. [7] MIRJALILI S, SAREMI S, MIRJALILI S M, et al. Multi-objective grey wolf optimizer: a novel algorithm for multi-criterion optimization[J]. Expert systems with applications, 2016, 47: 106−119. doi: 10.1016/j.eswa.2015.10.039 [8] AKBARI R, HEDAYATZADEH R, ZIARATI K, et al. A multi-objective artificial bee colony algorithm[J]. Swarm and evolutionary computation, 2012, 2: 39−52. doi: 10.1016/j.swevo.2011.08.001 [9] YANG Xinse. Nature-inspired metaheuristic algorithms[M]. Frome: Luniver press, 2008. [10] YANG Xinshe. Multiobjective firefly algorithm for continuous optimization[J]. Engineering with computers, 2013, 29(2): 175−184. doi: 10.1007/s00366-012-0254-1 [11] 谢承旺, 肖驰, 丁立新, 等. HMOFA: 一种混合型多目标萤火虫算法[J]. 软件学报, 2018, 29(4): 1143−1162. XIE Chengwang, XIAO Chi, DING Lixin, et al. HMOFA: a hybrid multi-objective firefly algorithm[J]. Journal of software, 2018, 29(4): 1143−1162. [12] ZHAO Jia, CHEN Dandan, XIAO Renbin, et al. Multi-strategy ensemble firefly algorithm with equilibrium of convergence and diversity[J]. Applied soft computing, 2022, 123: 108938. doi: 10.1016/j.asoc.2022.108938 [13] 赵嘉, 胡秋敏, 肖人彬, 等. 求解大规模稀疏优化问题的高维多目标萤火虫算法[J]. 控制与决策., 2024, 39(12): 3989−3996. ZHAO Jia, HU Qiumin, XIAO Renbin, et al. Many-objective firefly algorithm for solving large-scale sparse optimization problems[J]. Control and decision., 2024, 39(12): 3989−3996. [14] LYU Li, ZHAO Jia, WANG Jiayuan, et al. Multi-objective firefly algorithm based on compensation factor and elite learning[J]. Future generation computer systems, 2019, 91: 37−47. doi: 10.1016/j.future.2018.07.047 [15] 赵嘉, 陈丹丹, 肖人彬, 等. 一种基于最大最小策略和非均匀变异的萤火虫算法[J]. 智能系统学报, 2022, 17(1): 116−130. doi: 10.11992/tis.202106018 ZHAO Jia, CHEN Dandan, XIAO Renbin, et al. A heterogeneous variation firefly algorithm with maximin strategy[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2022, 17(1): 116−130. doi: 10.11992/tis.202106018 [16] 陈娟, 赵嘉, 肖人彬, 等. 基于动态反向学习和莱维飞行的双搜索模式萤火虫算法[J]. 信息与控制, 2023, 52(5): 607−615. CHEN Juan, ZHAO Jiao, XIAO Renbin, et al. Double search mode firefly algorithm based on dynamic reverse learning and levy flight[J]. Information and control, 2023, 52(5): 607−615. [17] ZHAO Jia, CHEN Dandan, XIAO Renbin, et al. Multi-objective firefly algorithm with adaptive region division[J]. Applied soft computing, 2023, 147: 110796. doi: 10.1016/j.asoc.2023.110796 [18] WANG Hui, WANG Wenjun, CUI Laizhong, et al. A hybrid multi-objective firefly algorithm for big data optimization[J]. Applied soft computing, 2018, 69: 806−815. doi: 10.1016/j.asoc.2017.06.029 [19] ZHAO Jia, LV Siyu, XIAO Renbin, et al. Hierarchical learning multi-objective firefly algorithm for high-dimensional feature selection[J]. Applied soft computing, 2024, 165: 112042. doi: 10.1016/j.asoc.2024.112042 [20] MA Xiaoliang, LIU Fang, QI Yutao, et al. A multiobjective evolutionary algorithm based on decision variable analyses for multiobjective optimization problems with large-scale variables[J]. IEEE transactions on evolutionary computation, 2016, 20(2): 275−298. doi: 10.1109/TEVC.2015.2455812 [21] ZHAO Xinchao, GAO Xiaoshan, HU Zechun. Evolutionary programming based on non-uniform mutation[J]. Applied mathematics and computation, 2007, 192(1): 1−11. doi: 10.1016/j.amc.2006.06.107 [22] ZITZLER E, LAUMANNS M. THIELE L. SPEA2: improving the strength pareto evolutionary algorithm for multi-objective optimization [C]//Proceedings of the Evolutionary Methods for Design, Optimization and Control. Barcelona: IEEE, 2002: 19−26. [23] 赵嘉, 谢智峰, 吕莉, 等. 深度学习萤火虫算法[J]. 电子学报, 2018, 46(11): 2633−2641. doi: 10.3969/j.issn.0372-2112.2018.11.010 ZHAO Jia, XIE Zhifeng, LV Li, et al. Firefly algorithm with deep learning[J]. Acta electronica sinica, 2018, 46(11): 2633−2641. doi: 10.3969/j.issn.0372-2112.2018.11.010 [24] ZHAO Jia, CHEN Wenping, XIAO Renbin, et al. Firefly algorithm with division of roles for complex optimal scheduling[J]. Frontiers of information technology & electronic engineering, 2021, 22(10): 1311−1333. [25] TIAN Ye, CHENG Ran, ZHANG Xingyi, et al. PlatEMO: a MATLAB platform for evolutionary multi-objective optimization educational forum[J]. IEEE computational intelligence magazine, 2017, 12(4): 73−87. doi: 10.1109/MCI.2017.2742868 [26] RAQUEL C R, NAVAL P C. An effective use of crowding distance in multiobjective particle swarm optimization[C]//Proceedings of the 7th Annual Conference on Genetic and Evolutionary Computation. Washington: ACM, 2005: 257−264. [27] ZHANG Qingfu, LI Hui. MOEA/D: a multiobjective evolutionary algorithm based on decomposition[J]. IEEE transactions on evolutionary computation, 2007, 11(6): 712−731. doi: 10.1109/TEVC.2007.892759 [28] DEB K, PRATAP A, AGARWAL S, et al. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II[J]. IEEE transactions on evolutionary computation, 2002, 6(2): 182−197. doi: 10.1109/4235.996017 [29] CORNE D W, JERRAM N R, KNOWLES J D, et al. PESA-II: region-based selection in evolutionary multiobjective optimization[C]//Proceedings of the 3rd Annual Conference on Genetic and Evolutionary Computation. [S. l. : s. n. ], 2001: 283−290. [30] ZHANG Xingyi, ZHENG Xiutao, CHENG Ran, et al. A competitive mechanism based multi-objective particle swarm optimizer with fast convergence[J]. Information sciences, 2018, 427: 63−76. doi: 10.1016/j.ins.2017.10.037 [31] DEB K, JAIN H. An evolutionary many-objective optimization algorithm using reference-point-based nondominated sorting approach, part I: solving problems with box constraints[J]. IEEE transactions on evolutionary computation, 2014, 18(4): 577−601. doi: 10.1109/TEVC.2013.2281535 [32] ELARBI M, BECHIKH S, GUPTA A, et al. A new decomposition-based NSGA-II for many-objective optimization[J]. IEEE transactions on systems, man, and cybernetics: systems, 2018, 48(7): 1191−1210. doi: 10.1109/TSMC.2017.2654301 [33] TIAN Ye, HE Cheng, CHENG Ran, et al. A multistage evolutionary algorithm for better diversity preservation in multiobjective optimization[J]. IEEE transactions on systems, man, and cybernetics: systems, 2021, 51(9): 5880−5894. doi: 10.1109/TSMC.2019.2956288 [34] LI Lianghao, HE Cheng, CHENG Ran, et al. A fast sampling based evolutionary algorithm for million-dimensional multiobjective optimization[J]. Swarm and evolutionary computation, 2022, 75: 101181. doi: 10.1016/j.swevo.2022.101181 [35] BACK T, PREUSS M, DEUTZ A, et al. Parallel problem solving from nature-PPSN XVI[M]. Cham: Springer International Publishing, 2020: 271−284. [36] TIAN Ye, LU Chang, ZHANG Xingyi, et al. Solving large-scale multiobjective optimization problems with sparse optimal solutions via unsupervised neural networks[J]. IEEE transactions on cybernetics, 2021, 51(6): 3115−3128. doi: 10.1109/TCYB.2020.2979930 [37] HUA Yicun, JIN Yaochu, HAO Kuangrong. A clustering-based adaptive evolutionary algorithm for multiobjective optimization with irregular Pareto fronts[J]. IEEE transactions on cybernetics, 2019, 49(7): 2758−2770. doi: 10.1109/TCYB.2018.2834466 [38] RAY T, LIEW K M. A swarm metaphor for multiobjective design optimization[J]. Engineering optimization, 2002, 34(2): 141−153. doi: 10.1080/03052150210915 [39] TANABE R, ISHIBUCHI H. An easy-to-use real-world multi-objective optimization problem suite[J]. Applied soft computing, 2020, 89: 106078. doi: 10.1016/j.asoc.2020.106078 [40] DEB K. An efficient constraint handling method for genetic algorithms[J]. Computer methods in applied mechanics and engineering, 2000, 186(2/3/4): 311−338. [41] PANICHELLA A. An improved Pareto front modeling algorithm for large-scale many-objective optimization[C]//Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference. Boston : ACM, 2022: 565−573. [42] MING Fei, GONG Wenyin, LI Dongcheng, et al. A competitive and cooperative swarm optimizer for constrained multiobjective optimization problems[J]. IEEE transactions on evolutionary computation, 2023, 27(5): 1313−1326. doi: 10.1109/TEVC.2022.3199775 [43] JIAO Ruwang, ZENG Sanyou, LI Changhe, et al. Handling constrained many-objective optimization problems via problem transformation[J]. IEEE transactions on cybernetics, 2021, 51(10): 4834−4847. doi: 10.1109/TCYB.2020.3031642 [44] QIAO Kangjia, YU Kunjie, QU Boyang, et al. An evolutionary multitasking optimization framework for constrained multiobjective optimization problems[J]. IEEE transactions on evolutionary computation, 2022, 26(2): 263−277. doi: 10.1109/TEVC.2022.3145582 [45] ZOU Juan, SUN Ruiqing, LIU Yuan, et al. A multipopulation evolutionary algorithm using new cooperative mechanism for solving multiobjective problems with multiconstraint[J]. IEEE transactions on evolutionary computation, 2024, 28(1): 267−280. doi: 10.1109/TEVC.2023.3260306
