随着现代设备的不断复杂化、精细化，维修任务的要求也变得越来越高^[1-2]。而对于维修任务来说，资源冗余或缺少都会对整个维修任务造成影响，不利于维修的完成，资源预测是减少冗余和缺失的重要途径^[3-6]。在维修保障活动中，如果能够准确地预测维修资源，就可以依据预测情况进行资源安排，以减少资源冗余或缺失情况的发生，提升维修效率，尽快地实现设备的正常工作^[7-12]。

在维修物资预测中，由于备件需求预测在整个维修保障工作中发挥着关键的作用^[13]，许多专家学者对备件预测进行详细研究。Yang等^[14]提出了分数灰色预测方法，并使用粒子群同重力搜索结合的新算法来求解模型。Abbasimehr等^[15]基于多层长短期记忆网络(long short-term memory, LSTM)，提出了一种利用网络搜索，并配合不同组合的LSTM超参数的需求预测模型。Boukhtouta等^[16]针对影响备件需求预测准确度的库存成本，提出了一个基于误差的库存成本评估模型。张楠^[17]利用指数光滑法和反向传播神经网络对地铁的备件进行需求预测。陈鹏^[18]以层次分析法的帕累托分析法模型为基础，建立了LSTM神经网络模型与时间序列预测模型组合的备件预测模型。邵松世等^[19]分析了船舶备件需求在大部件维修下的情况，研究了该情境下k/n(G)系统的船舶备件需求分布和需求特征，建立保障模型。李婷等^[20]以时间延迟和马尔可夫模型为基础，联合优化了基础周期和检修窗口，并基于最优维修产生了备件预测数据。王莉莉等^[21]基于系统动力学，提出了一种飞机备件预测方法。蔡志成等^[22]考虑灰色模型和马尔可夫的预测的优点，提出了改进的灰色马尔可夫模型，提升了预测的准确度。

这些方法对于资源预测起到了积极的影响，但还存在一定局限性^[23-25] 。对于物资预测，尤其是备件预测，基于其需求变化波动大、需求偏向于短期的特点，采用灰色预测是较合适的^[26-27]。灰色预测尽管简单，但还存在预测精度不足的缺点，难以得到精准的结果。因此学者将预测精度的提升作为研究对象，许多研究表明灰色预测精度的提升可以从模型改进和原始序列光滑化进行。除此之外，灰色预测会因为累计计算出现干扰误差，可构建缓冲算子来减少误差^[28-30]。基于此本文构建了一种弱缓冲算子，并使用到不同模型和光滑函数的备件预测中。通过仿真实验验证设计的缓冲算子的有效性，在选取的模型和光滑函数下，对缓冲算子参数进行优化分析，并对未来进行预测。

1.   模型建立

1.1   灰色预测模型与方法

灰色预测是源于人们对系统发展的不确定性，通过对原始数据进行生成、处理、挖掘系统规律、建立灰色预测模型，用定量的方法对系统的未来情况进行分析。其详细步骤如下，流程见图1。

图  1  灰色预测流程

Fig.  1  Grey prediction process

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步骤1　序列级比检验。假设原始序列为${X^{\left( 0 \right)}} = \left( {{x^{\left( 0 \right)}}\left( 1 \right),{x^{\left( 0 \right)}}\left( 2 \right), \cdots ,{x^{\left( 0 \right)}}\left( n \right)} \right)$，级比计算公式为

当$L\left( k \right)$落在区间$\left[ {{{\text{e}}^{{{ - 2} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 2} {\left( {n + 1} \right)}}} \right. } {\left( {n + 1} \right)}}}},{{\text{e}}^{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 {\left( {n + 1} \right)}}} \right. } {\left( {n + 1} \right)}}}}} \right]$之内，则可以使用灰色预测，若不在则进行平移或换模型。

步骤2　累计生成序列。设累计生成的序列为${X^{\left( 1 \right)}} = \left( {{x^{\left( 1 \right)}}\left( 1 \right),{x^{\left( 1 \right)}}\left( 2 \right), \cdots ,{x^{\left( 1 \right)}}\left( n \right)} \right)$，其中第$k$个数据${x^{\left( 1 \right)}}\left( k \right)$的计算公式为

步骤3　临均值生成。使用序列${X^{\left( 1 \right)}}$中相邻数据的平均值来生成。设新生成的临均值序列为$Z = \left( {{\textit{z}}\left( 1 \right),{\textit{z}}\left( 2 \right), \cdots ,{\textit{z}}\left( {n - 1} \right)} \right)$，其中第$k$个数据${\textit{z}}\left( k \right)$的计算公式为

步骤4　构造数据矩阵${\boldsymbol{B}}$及数据向量${\boldsymbol{Y}}$。

步骤5　计算发展系数$a$及灰作用量$b$。$a$与$b$计算公式为

步骤6　建立模型求解时间响应函数。序列可建成灰色微分方程${x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) + a{\textit{z}}\left( k \right) = b$，对灰色微分方程进行白化，白化后方程为

相应的时间响应函数为

步骤7　还原模型并预测。使用时间响应函数来还原预测值，预测值用${\hat x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)$表示，计算公式为

1.2   模型改进

基本的灰色预测在预测精度上还有所欠缺，因此可以通过模型改进来提升灰色预测的精度，本文着重介绍3种改进的模型，分别是新陈代谢灰色预测、新初值灰色预测及改进的离散灰色预测模型。

1.2.1   新陈代谢灰色预测

对于基本的灰色预测模型，受时间的影响，后续数据对模型会有很大的影响。因此有学者进一步提出了新陈代谢模型，其基本思想是将预测数据的第一位作为原数据的最后一位，并剔除原数据的第一位。通过不断地替换来实现对模型的预测，这样可以有效地保持后续的时间特点，可表述为在原始数据序列${{\boldsymbol{X}}^{\left( 0 \right)}}$中，置入最新信息${x^{\left( 0 \right)}}\left( {n + 1} \right)$，去掉最老信息${x^0}\left( 1 \right)$，产生新序列，新序列为

对新序列${\boldsymbol{X}}'$进行灰色预测，再度产生新数据，重复剔除和添加操作，循环往复最终实现对所要求日期的全部数据预测，预测完毕时的模型即为新陈代谢灰色预测模型。

在使用新陈代谢预测时，除了从原始序列第一位开始，还可以从特定的某一位开始。假定预测从第$n - m + 1$开始，因此可以得出灰色预测模型次序列为

次序列${{\boldsymbol{Y}}^{\left( 0 \right)}}$建模得到预测数据${x^0}\left( {n + 1} \right)$，然后去掉最老的一个数据${x^{\left( 0 \right)}}\left( {n - m + 1} \right)$，把得到的预测数据${x^0}\left( {n + 1} \right)$加入到预测序列中，得到新的序列为

然后用新的序列来建模，这样一直预测下去，依次递补，直到完成预测目标。这样预测的次序列可以看作是取原始序列的后$m$位，新陈代谢模型可以取不同的$m$值，显然不同$m$值会产生不同的预测结果，因此需要选择最为合适的值。可以预先选取一系列$m$值，然后进行预测还原，再分别计算不同的残差$e\left( k \right)$，计算公式为

通过残差与真实值比重求解相对误差$\varepsilon \left( k \right)$，计算公式为

求出所有相对误差的平均值即为平均相对误差$\bar \varepsilon$，计算公式为

根据平均相对误差的定义可知，平均相对误差越小，预测的效果就越好，故选取平均相对误差最小的预先取值作为$m$值，作为新陈代谢预测的维度，计算公式为

1.2.2   新初值灰色预测

在基本灰色预测模型中，灰色微分方程的初始值大多是累计序列的第一个分量，这样会使得模型难以充分利用历史数据信息，以至于无法准确预测。因此考虑在模型中使用其他分量以提升灰色预测的精度，文献[31]已经证明将灰色微分模型的初始条件变为${{\boldsymbol{X}}^{\left( 1 \right)}}$的最后一个分量，即${x^{\left( 1 \right)}}\left( n \right)$，可以提升精度。基于此可以考虑将${x^{\left( 1 \right)}}\left( m \right)$作为初始条件，此时的时间响应函数为

其还原函数为

显然不同$m$值会有不同的预测效果，理论上最好的$m$值会使得平均相对误差最小，预测的结果最好。因此可以采取新陈代谢预测法取值的思路来确定$m$的取值，将不同$m$值代入式(2)，选取平均相对误差最小的预先取值作为$m$值。

1.2.3   改进的离散灰色预测

从基本灰色预测的预测过程来看，经历了从离散到连续的直接跳跃阶段，这必然会对模型预测精度有所影响，同时灰色预测还存在稳定性的问题，因此考虑使用离散的灰色预测模型替代原有模型，离散灰色模型的公式为

离散灰色预测模型时间响应函数为

其参数求解公式为

在此基础上提出改进的离散灰色预测模型，设原始序列${{\boldsymbol{X}}^{\left( 0 \right)}}$和累计序列${{\boldsymbol{X}}^{\left( 1 \right)}}$，离散灰色扩展公式为

此外令

参数${\beta _1}$、${\beta _2}$、${\beta _3}$、${\beta _4}$使用最小二乘法进行求解，计算公式为

根据离散灰色预测模型的扩展公式及通过最小二乘法求得的参数，可以得到

进一步求出预测值，计算公式为

预测值计算中，$\xi$是未知量，需要求出，可令$R = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left[ {{{\hat x}^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) - {x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)} \right]}^2}}$，此时只有$\xi$是变量，其他都是常数，故$R$是关于$\xi$的函数。$R$表示了预测值与真实值的拟合程度，理论上$R$是越小越好，而$\dfrac{{{\mathrm{d}}R}}{{{\mathrm{d}}\xi }} = 0$求的$\xi$代入$R$最小，故求解该式可得到$\xi$。

改进的离散灰色预测步骤如下：

步骤1　利用式(3)求出参数${\boldsymbol{ \beta }}$。

步骤2　令${\hat x^{\left( 1 \right)}}\left( 1 \right) = \xi$，利用扩展公式求出预测值${\hat x^{\left( 1 \right)}}\left( k \right)$，$k = 2,3, \cdots ,n$。

步骤3　求出最小误差平法和的函数值$R$，其中$R = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left[ {{{\hat x}^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) - {x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)} \right]}^2}}$。

步骤4　令$\dfrac{{{\mathrm{d}}R}}{{{\mathrm{d}}\xi }} = 0$，求出使$R$最小的$\xi$值。

步骤5　求出${\hat x^{\left( 1 \right)}}\left( k \right)$的数值解。

步骤6　利用累减，求出${\hat x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)$。

1.3   序列光滑化

对于灰色预测来说，精度不仅仅取决于模型，还会受原始序列光滑度的影响，提升原始序列的光滑度可以有效地提升模型的精度，光滑度的相关概念如下所述。

假定原始序列${X^{\left( 0 \right)}}$和临均值序列$Z$，某可导函数序列为${X^{\left( 2 \right)}} = \left( {{x^{\left( 2 \right)}}\left( 1 \right),{x^{\left( 2 \right)}}\left( 2 \right), \cdots ,{x^{\left( 2 \right)}}\left( {n - 1} \right)} \right)$。将${X^{\left( 0 \right)}}$删去${x^{\left( 0 \right)}}\left( n \right)$，并记为${X^{\left( 3 \right)}}$。若序列${X^{\left( 3 \right)}}$和${X^{\left( 2 \right)}}$满足：当$k$充分大时，${x^{\left( 3 \right)}}\left( k \right) < \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{k - 1} {{x^{\left( 3 \right)}}\left( i \right)}$且$\mathop {\max }\limits_{1 \leqslant k \leqslant n - 1} \left| {{x^{\left( 2 \right)}}\left( k \right) - {x^{\left( 3 \right)}}\left( k \right)} \right| \geqslant \mathop {\max }\limits_{1 \leqslant k \leqslant n - 1} \left| {{x^{\left( 2 \right)}}\left( k \right) - {\textit{z}}\left( k \right)} \right|$，称序列${X^{\left( 3 \right)}}$是光滑序列。

定义$p\left( k \right) = {{x\left( k \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{x\left( k \right)} {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{k - 1} {x\left( i \right)} }}} \right. } {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{k - 1} {x\left( i \right)} }}$为${X^{\left( 0 \right)}}$的光滑比。$\forall {\text{ }}\varepsilon > 0$，$\exists {\text{ }}{k_0}$，当$k > {k_0}$时，若$p\left( k \right) < \varepsilon$，则${X^{\left( 0 \right)}}$为光滑离散序列。

文献[32]已经说明了原始数据序列的光滑度是影响预测的重要因素，光滑程度越高，就能得到更加准确的预测结果。因此为提升灰色预测的精度，可以通过选取光滑函数将不光滑的原始序列转变为光滑的序列，运用光滑后的数据进行灰色预测，接着将光滑后的预测值进行还原，这样可以得到更加准确的预测值。序列光滑化步骤如下：

步骤1　确定光滑化函数$y = f\left( x \right)$。

步骤2　将原始序列${X^{\left( 0 \right)}}$中每一个数据代入光滑函数，得到光滑后的序列${\tilde X^{\left( 0 \right)}}$，对应的关系为

步骤3　对光滑后序列${\tilde X^{\left( 0 \right)}}$进行灰色预测，得到预测值序列$\hat X^{(0)}$。

步骤4　根据光滑函数得到对应的反函数$x = g\left( y \right)$，并结合预测值$\hat{X} ^{\left( 0 \right)}$得到原始序列对应的预测值${\hat X^{\left( 0 \right)}}$，数据对应关系为

显然选取不同函数会对预测精度产生不同的影响，而本文是对灰色预测模型进行进一步改进，需选取光滑函数并进行对比。通过参考相关文献^[33-35]决定选取了$\ln {\text{ }}(x + c)$、${a^{ - \sin {\text{ }}\left( {{\text{ln }}\left( x \right)} \right)}}$、${\left( {x + 1} \right)^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 p}} \right. } p}}}$这3个函数作为基准，再进行模型改进加以分析。这3个光滑化函数已经被证明了可以有效提升预测的精度，基于文献分析，本文可以假定光滑函数的参数依次选取$c = - 40$，$a = 10$，$p = - 5$。

1.4   基于弱缓冲算子的改进模型

在灰色预测中，累计序列的存在会导致灰色预测预测值和实际值出现误差。对于这个误差可以引入缓冲算子实现数据的修正，运用修改后的数据进行预测还原，可以有效地提升预测精度，缓冲算子相关概念如下所述。

假定作用于序列${X^{\left( 0 \right)}}$的算子为D，如果${X^{\left( 0 \right)}}$经过算子$D$作用所得到的序列为

称$D$是序列算子。若还满足${x^{\left( 0 \right)}}\left( n \right){d} = {x^{\left( 0 \right)}}\left( n \right)$，${x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)$充分参与算子作用全过程且任意${x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right){d}$可由统一公式表示，则称$D$是缓冲算子，缓冲算子成立的前提条件为缓冲算子三定理。作用序列后使序列增长速度减缓的算子被称为弱缓冲算子，速度增大被称为强缓冲算子。

定理1　${X^{\left( 0 \right)}}$是正项单调递增序列，$D$为弱缓冲算子的充要条件为$\forall {\text{ }}k$，${x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right){d} \geqslant {x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)$；$D$为强缓冲算子的充要条件为$\forall {\text{ }}k$，${x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right){d} \leqslant {x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)$。

定理2　${X^{\left( 0 \right)}}$是正项单调递减序列，$D$为弱缓冲算子的充要条件为$\forall {\text{ }}k$，${x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right){d} \leqslant {x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)$；$D$为强缓冲算子的充要条件为$\forall {\text{ }}k$，${x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right){d} \geqslant {x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)$。

定理3　${X^{\left( 0 \right)}}$是正项振荡序列，$D$为弱缓冲算子的充要条件为$\forall {\text{ }}k$，同时满足2个不等式：

$D$为强缓冲算子的充要条件是$\forall k$，同时满足2个不等式：

根据以上定理可构建弱缓冲算子，构造算子为

容易证明算子$D$满足缓冲算子三定理，因此$D$是缓冲算子。缓冲算子$D$有以下的性质：

当$s = 1$，${X^{\left( 0 \right)}}$是正项递增序列时，若$a > 1$，$D$是弱缓冲算子；若$0 < a < 1$，$D$是强缓冲算子；若$a = 1$，$D$是恒等缓冲算子。

当$s = 2$，${X^{\left( 0 \right)}}$是正项递减序列时，若$a > 1$，$D$是弱缓冲算子；若$0 < a < 1$，$D$是强缓冲算子；若$a = 1$，$D$是恒等缓冲算子。

证明　当$s = 1$，${X^{\left( 0 \right)}}$是正项递增序列时，可知$0 < \dfrac{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)}}{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( n \right)}} < 1$，故$0 \leqslant \cos {\text{ }}\left( {\dfrac{{\text{π}} }{2} \times {{\left( {\dfrac{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( i \right)}}{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( n \right)}}} \right)}^{{{\left( { - 1} \right)}^{s + 1}}}}} \right) \leqslant 1$，所以$q\left( k \right) > 0$。若$a > 1$，则${x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right){d} \geqslant {x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)$，$D$是弱缓冲算子。若$0 < a < 1$，${x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right){d} \leqslant {x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)$，$D$是强缓冲算子。若$a = 1$，${x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right){d} = {x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)$，$D$是恒等缓冲算子。

当$s = 2$，${X^{\left( 0 \right)}}$是正项递减序列时，可知$0 < \dfrac{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( n \right)}}{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)}} < 1$，故$0 \leqslant \cos {\text{ }}\left( {\dfrac{{\text{π}} }{2} \times {{\left( {\dfrac{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( i \right)}}{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( n \right)}}} \right)}^{{{\left( { - 1} \right)}^{s + 1}}}}} \right) \leqslant 1$，所以$q\left( k \right) < 0$。若$a > 1$，则${x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right){d} \leqslant {x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)$，$D$是弱缓冲算子。若$0 < a < 1$，${x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right){d} \geqslant {x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)$，$D$是强缓冲算子。若$a = 1$，${x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right){d} = {x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)$，$D$是恒等缓冲算子。

由以上定理和证明，可知所构建的缓冲算子有结论：无论原始序列是正项递增还是递减，在$a > 1$时，缓冲算子$D$对于原始序列都具有改善作用。

证明　由以上论述可知在$a > 1$时，缓冲算子$D$有2种情况。

情况1　${X^{\left( 0 \right)}}$递增，$s = 1$。

${X^{\left( 0 \right)}}$是正项递增序列，那么$\dfrac{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right)}}{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( n \right)}}$递增，$1 + {\left( { - 1} \right)^{s + 1}} \times \cos {\text{ }}\left( {\dfrac{{\text{π}} }{2} \times {{\left( {\dfrac{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( i \right)}}{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( n \right)}}} \right)}^{{{\left( { - 1} \right)}^{s + 1}}}}} \right)$递减。若$\exists {\text{ }}{k_1} > {k_2}$，则$q\left( {{k_1}} \right) < q\left( {{k_2}} \right)$。

又因为$a > 1$，所以$\dfrac{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( {{k_1}} \right){d}}}{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( {{k_2}} \right){d}}} < \dfrac{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( {{k_1}} \right)}}{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( {{k_2}} \right)}}$，根据灰色预测理论可知缓冲算子改善了原始序列的光滑性，有利于灰色预测精度的提升。

情况2　${X^{\left( 0 \right)}}$递减，$s = 2$。

${X^{\left( 0 \right)}}$是正项递减序列，那么$\dfrac{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( n \right)}}{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( i \right)}}$递增， $1 + {\left( { - 1} \right)^{s + 1}} \times \cos {\text{ }}\left( {\dfrac{{\text{π}} }{2} \times {{\left( {\dfrac{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( i \right)}}{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( n \right)}}} \right)}^{{{\left( { - 1} \right)}^{s + 1}}}}} \right)$递增。若$\exists {\text{ }}{k_1} > {k_2}$，则$q\left( {{k_1}} \right) > q\left( {{k_2}} \right)$。

又因为$a > 1$，所以$\dfrac{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( {{k_1}} \right){d}}}{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( {{k_2}} \right){d}}} > \dfrac{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( {{k_1}} \right)}}{{{x^{\left( 0 \right)}}\left( {{k_2}} \right)}}$，同理可知缓冲算子改善了原始序列的光滑性，有利于灰色预测精度的提升。

1.5   模型的精度检验

由于模型和原始数据的不同，预测的实际效果是不同，因此在使用灰色预测时需要进行精度检验，通过检验的结果选取最为合适的预测模型。检验方法包括相对误差、后验差、关联度检验等方法。

1)相对误差。根据前文可以求出平均相对误差$\bar \varepsilon$，而${p^{\left( 0 \right)}} = \left( {1 - \bar \varepsilon } \right) \times 100\text{%}$为模型精度，一般要求${p^{\left( 0 \right)}} > 80\text{%}$，最好是${p^{\left( 0 \right)}} > 90\text{%}$。

2)后验差检验属于统计概念，它是按照残差的概率分布进行检验的。其详细步骤如下。

步骤1　计算原始序列的均值${\bar x^{\left( 0 \right)}}$和方差$S_1^2$：

步骤2　计算残差序列的均值$\bar e$及方差$S_2^2$：

步骤3　计算后验差比值$C$：

步骤4　计算小误差概率$p$：

指标$C$和$p$是后验差检验的2个重要指标。指标$C$越小越好，$C$越小，表示${S_1}$越大而${S_2}$越小，${S_1}$越大就表示原始数据方差大，原始数据的离散程度大；${S_2}$越小就表明残差方差小，残差离散度小。$C$小就表明原始数据很离散，而模型所得的预测值与原始数据相差并不大。指标$p$越大越好，$p$越大，表明残差与残差平均值之差小于给定值$0.674\;5{S_1}$的点较多，即预测值比较均匀。表1给出了2个指标下评定模型预测精度的等级。

3)关联度检验属于集合检验，它是通过考察模型预测值曲线与原始数据曲线的相似程度进行检验。一般来说，越接近，变化趋势也就越接近，关联度就越大。关联度计算公式为

模型预测值序列与原始数据序列在各点的关联系数值较多，信息过于分散，不便于比较，因此有必要将各个时刻的关联度系数集中体现在一个值上面，这一数值就是灰关联度$\bar \xi$，计算公式为

这代表了模型预测值对原始数据序列的关联度，一般要求$\bar \xi > 0.6$，灰关联度越大，表明模型的预测效果越好。

2.   仿真实验与结果分析

为了验证模型和算法的有效性，本文首先设置15个时期备件的数量，详细数据见表2。在此基础上结合本文的备件预测问题进行仿真实验和分析。

灰色预测法需要判定原始数据是否符合要求，因此首先计算出原始数据的级数比，使用式(1)，并运用表2进行计算，得到数据矩阵为[0.9608 0.9273　0.9821　1.0000　0.9825　0.9344　0.9531 0.9014　1.0000　0.9861　0.9863　0.9241　0.9634 0.8913]。其次计算出级数比较区间，根据表2的历史备件数目并结合级数比较区间公式$\left[\text{e}^{-2\mathord{\left/\vphantom{-2\left(n+1\right)}\right.}\left(n+1\right)},\ \text{e}^{2\mathord{\left/\vphantom{2\left(n+1\right)}\right.}\left(n+1\right)}\right]$，可知$n = 15$，因此可以计算出级数比较区间为[0.8825, 1.1331]。最后通过比较可知数据矩阵均处于比较区间内，因此数据不需要进行平移或转换模型，可以进行灰色预测。

备件数目是一个正项递增的序列，由缓冲算子分析可知，提升精度需要采用弱缓冲算子，且$a > 1$。为验证缓冲算子的效果，首先随机取$a = 1.1$来进行仿真实验，使用弱缓冲算子后得到的结果见表3。

2.1   缓冲算子的有效性

为验证引入的弱缓冲算子的有效性，从不同模型、光滑化及模型结合光滑化3个方面进行对比。

2.1.1   不同模型与弱缓冲算子

本文选取了灰色预测的基本模型以及包括新陈代谢、新初值和改进离散的3种灰色预测扩展模型，对4个模型进行仿真实验，预测值与真实值的相对误差见图2，平均相对误差见表4。

图  2  算子引入前后4个模型的相对误差

Fig.  2  Relative errors of the four models before and after the introduction of the operator

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通过图2可知4种模型在引入缓冲算子后，相较于原有每一个序列对应的预测值，新产生的预测值的相对误差较小。从表4也可以得出在使用缓冲算子后，平均相对误差也有明显的下降，因此本文所使用的缓冲算子在不同模型种对提升精度均具有较好的效果。

2.1.2   不同光滑函数与弱缓冲算子

选取了包括$\ln {\text{ }}(x - 40)$、${10^{ - \sin {\text{ }}\left( {{\text{ln }}\left( x \right)} \right)}}$、${\left( {x + 1} \right)^{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 5}} \right. } 5}}}$在内的3种光滑函数，并在引入弱缓冲算子前后，使用基本灰色预测对原始数据进行预测，算子引入前后的相对误差结果见图3，平均相对误差见表5。

图  3  算子引入前后3个平滑函数结合基本灰色的相对误差

Fig.  3  Operator introduces three smoothing functions before and after combining the relative errors of the basic gray

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通过图3可知上述3种光滑函数在引入缓冲算子后，相较于原有每一个序列对应的预测值，新产生的预测值的相对误差较小。从表5也可以得出在使用缓冲算子后，平均相对误差也有明显的下降，因此本文所使用的缓冲算子在不同模型中对提升精度均具有较好的效果。

2.1.3   结合模型与弱缓冲算子

将4种模型与3种光滑结合形成12种结合模型，并计算引入缓冲算子前后的相对误差，基本模型见图3和表5，新陈代谢见图4和表6，新初值见图5和表7，改进离散见图6和表8。

图  4  算子引入前后3个平滑函数结合新陈代谢的相对误差

Fig.  4  Operator introduces 3 smoothing functions before and after combining the relative errors in metabolism

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图  5  算子引入前后3个平滑函数结合新初值的相对误差

Fig.  5  Relative error of the three smoothing functions before and after the introduction of the operator combined with the new initial values

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图  6  算子引入前后3个平滑函数结合改进离散的相对误差

Fig.  6  Operator introduces a combination of three smoothing functions before and after to improve the discrete relative error

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根据仿真实验可以看出上述模型引入弱缓冲算子后，对于预测精度的提升都是极其有利的，建立的弱缓冲算子在模型、光滑化及结合模型3个模块中都可以有效地提升预测精度。

2.2   参数的优化及模型的确定

为探究$a$对模型的影响，可用平均相对误差来衡量。由于不同模型的预测维度是不同的，为分析影响，需要统一维度。根据4种模型和3个光滑函数的计算过程可知，在所有算法中新陈代谢预测值与原始数据对应的维度最小，维度为3，即预测值对应的真实值序列为第13～15位。故所有模型以此为基准计算平均相对误差。对$a$依次从1取到3，间隔为0.1，共计21个数据，趋势如图7所示。

图  7  不同模型及光滑函数在不同$a$值的平均相对误差

Fig.  7  Mean relative errors for different models and smooth functions at different values of $a$

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根据图7可知，在不同模型与光滑函数结合中，所有模型的图形为抛物线，如本实验中在[1,2]内平均相对误差逐步减小，在(2,3]内平均相对误差逐步增大。显然在灰色预测可以找到一个使平均相对误差最小的$a$值，根据实验可知在使用设定的缓冲算子时，可以先优先从靠近2左侧处取值，通过一系列的选值及仿真实验，来确定误差最小的$a$值的大致范围。在本实验中，基于仿真结果可知，缓冲算子在$a = 1.9$时的平均相对误差最小，且使用新陈代谢结合缓冲算子效果也最好，因此用该模型对未来进行预测，未来3期的预测值如表9所示。

3.   结束语

针对当前维修保障任务中备件预测效果不理想的问题，本文从光滑化原始序列和模型改进2个方面对现有灰色方法进行改进以有效提升备件预测的精度，同时引入弱缓冲算子进一步减少灰色预测过程中的干扰误差对预测结果的影响以优化备件预测效果。仿真实验结果表明在不同光滑化原始序列、模型改进以及弱缓冲算子情况下所建立的灰色预测模型能够获得较好的预测精度。未来可以考虑将环境因素同历史数据结合，建立更加符合实际的模型，实现对装备备件更为准确的预测。