随着机械设备的复杂程度不断提高，影响设备运行可靠性的因素越来越多，设备的维护难度增大。得益于传感技术的发展，大量数据的实时采集得以实现，利用监测数据实现故障诊断，是保障设备安全可靠运行的有效手段之一。在机械设备中，滚动轴承是核心动力部件，但是受运行环境复杂(如高温高湿、大冲击、高负载等)和运行时间长等因素的影响，轴承易发生故障，成为制约机械设备安全、精准运行的关键。因此，对滚动轴承的运行状态进行监测，及时发现故障，对于机械设备的安全运行具有十分重要的意义^[1]。特征提取是故障诊断的关键环节，现有方法主要分为人工提取和深度学习自动提取方法。

深度学习可实现自动特征提取并分类，是目前研究的热点。在人工智能不断发展的背景下，Sun等^[2]提出一种新型的旋转机械智能故障诊断方案，建立了基于编码器的深度神经网络。从主轴轴承的监测信号中提取敏感特征具有一定难度，Ding等^[3]提出一种小波包能量(wavelet packet energy, WPE)图像和深度卷积网络(ConvNet)的多尺度特征提取方法，先将相空间重构与小波包变换结合，得到初步的二维WPE特征图，然后将可识别的特征进一步输入改进后的深度卷积网络进行故障识别。为了增强卷积神经网络的平移不变性，Chen等^[4]提出了一种多尺度特征对齐卷积神经网络，设计相应的特征对齐模块，结合多尺度卷积策略，构建特征对齐的多尺度特征提取器。

人工提取特征主要采用信号分析算法来实现，传统的无量纲指标用于故障诊断，精度通常较低，Hu等^[5]提出了一种基于最小冗余最大相关性选择的重定义无量纲指标(redefined dimensionless indicators, RDIs)的特征提取方法，通过变分模态分解(variational mode decomposition, VMD)对原始信号分解，然后利用RDI进行筛选，结合网格搜索有效实现了故障模式识别。Yang等^[6]提出基于VMD和改进包络谱熵结合的特征提取方法，通过对包络谱熵重构得到改进包络谱熵，结合VMD分解构建特征集，再利用联近似对角化特征融合特征集作为最终特征集。

目前在故障诊断领域内，深度学习方法是研究的热点，但是深度学习对于数据量的大小和设备计算能力都要求较高，其可解释性也是待解决的方向之一；人工提取的特征具有较强的物理意义，对数据样本数量、设备计算能力要求较低，通过选取合适的参数，可达到较为理想的诊断效果。

滚动轴承发生故障时，所采集到的振动信号(通常为加速度形式)的复杂度会发生变化，熵是一种描述系统混乱程度的方式，信号复杂度和熵两者具有相似的表征，因此可以用熵来衡量信号的复杂度。目前，基于熵的振动信号特征提取方法在故障诊断领域中被广泛研究。Shannon^[7]提出的熵是研究时间序列数据随机性或不确定性的一种有效且广泛使用的测度。如文献[8]所述，熵测度被广泛用作时间序列信号分析中的特征提取方法，如轴承故障分析，常见的基于熵的度量方法^[9]包括：样本熵(sample entropy, SE)、排列熵(permutation entropy, PE)、模糊熵(fuzzy entropy, FE)、色散熵(dispersion entropy, DE)、多样性熵(diversity entropy, DivE)。

文献[10]提出的样本熵用于振动信号处理，具有较好特征提取效果，但是对长时间序列信号而言，计算成本较高。排列熵反映了基于排列模式分析的任意时间序列信号的复杂性^[11]，该方法考虑了振幅值的顺序，但忽略了振幅的平均值和振幅值之间的差异^[12-13]。文献[14]提出的加权排列方法解决了上述问题，但是每个嵌入向量中相等振幅值的影响有待进一步考虑。模糊熵^[15-18]的原理是将熵方法和模糊数学理论相结合，有效地缓解了样本熵值与动态复杂度不一致的问题，文献[19]提出了利用模糊熵对提取的特征进行滤波方法。色散熵是一种改进版本，解决了样本熵、排列熵及其变体^[15]的局限性，但是时间序列的不确定性成为了色散熵的一个限制，文献[20]通过确定信号振幅之间的关系提出了基于波动的色散熵来解决这个问题。

上述熵度量(包括色散熵)方法大多只用于在单个尺度上提取特征，然而，潜在的故障信息可以嵌入到其他尺度中，挖掘更多尺度的信息从而提高故障诊断和分类精度^[21]。目前研究学者在多尺度粗粒化过程中观察到缺点，例如短信号的不确定和不稳定，并提出了改进的多尺度和精细复合多尺度方法，并与机器学习方法相结合应用到故障诊断领域。例如，应用分层色散熵^[22]和精细复合多尺度色散熵^[23-24]从振动信号中提取特征，然后使用极限学习机、随机森林分类器和支持向量机实现轴承故障分类。在多尺度色散熵、精细复合多尺度色散熵、分层色散熵方法^[25-28]中都是通过正态分布概率累积分布函数将输入信号从0映射到1，也可利用其他线性和非线性技术来代替正态分布概率累积分布函数^[28]，本文受集成熵思想概念^[29-30]的启发，集成多种线性和非线性映射技术来改进波动色散熵以获得更加稳定的低偏差信息。

多尺度粗粒化过程的优点是从原始信号产生多个尺度时间序列。但是，缺点是导致时间序列长度减小，即在比例因子$\tau$下，粗粒化时间序列的长度等于原始时间序列除以$\tau$。因此，比例因子越大，粗粒化时间序列越短，会降低所计算熵值的稳定性，并且忽略了部分相邻点之间的信息^[31]，针对该问题，本文提出了一种n次滑动改进粗粒化与集成波动色散熵的故障诊断方法，首先，采集不同故障下机械设备运行的振动信号，并将采集到的振动信号划分为若干样本；其次，在不同尺度下利用n次滑动的改进粗粒化过程对每个样本进行重构；然后，计算每个样本重构后的序列的集成波动色散熵，作为该样本的特征；最后，将特征集划分为测试集和训练集，利用极限学习机和支持向量机算法得到故障诊断结果。

本文的主要贡献包括：1)提出了基于n次滑动的改进粗粒化方法。传统粗粒化方法随着尺度因子的增大，重构后的序列长度减小，不可避免地造成部分相邻点信息丢失，本文通过设计滑动窗口，进行多次粗粒化处理，保证了序列的每点之间的信息都被完整保留，重构后的信号序列长度与原信号长度一致，避免了信息的丢失。2)设计一种改进的集成波动色散熵，提取振动信号特征，并将特征集输入到机器学习算法中进行故障分类，与传统的色散熵相比，所设计的集成波动色散熵能够更好地提取信号特征。3)将n次滑动的改进粗粒化方法与集成波动色散熵结合，能够保证信号的丰富性，充分提取信号特征，相应的诊断精度显著提高。

1.   集成波动色散熵

本文所设计的n次滑动改进粗粒化与集成波动色散熵的故障诊断方法，总体框架如图1所示，本节将介绍基于集成波动色散熵的特征提取。

图  1  故障诊断方法整体框架

Fig.  1  Flow chart of fault diagnosis method

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在色散熵和波动色散熵的计算中仅使用正态分布概率累积分布函数(normal cumulative distribution function, NCDF)将原始信号映射到离散类中，归一化手段过于单一并不能完全从多角度挖掘信号的特征信息，使用多种映射技术计算集成波动色散熵，可挖掘信号的不同角度的特征信息^[32]。本文使用NCDF、t分布概率累积分布函数、logsig、tansig 4种映射技术，组合各自的优势来计算集成波动色散熵，计算步骤如下。

步骤1　将序列${ X} = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_N}\}$利用正态分布概率累积分布函数映射为${ y } = \{ {y_1},{y_2}, \cdots ,{y_N}\}$，${y_i} = \dfrac{1}{{\sigma \sqrt {2{\text{π}} } }}\displaystyle\int_{ - \infty }^{{x_i}} {{{\text{e}}^{{( - {{(t - \mu )}^2}/2{\sigma ^2})}}}{\text{d}}{t}}$；利用t分布概率累积分布函数(t-cumulative distribution function, TCDF)，映射为${ p } = \{ {p_1},{p_2}, \cdots ,{p_N}\}$；利用logsig函数${l_i} = \dfrac{1}{{1 + {{e} ^{ - {x_i}}}}}$映射为${ l } = \{ {l_1},{l_2}, \cdots ,{l_N}\}$；利用tansig函数${t_i} = \dfrac{1}{{1 + {{e} ^{ - 2x}}}} - 1$映射为${ t } = \{ {t_1},{t_2}, \cdots ,{t_N}\}$。其中：${x_i}$表示序列${X}$第$i$个元素，$\sigma$表示序列${X}$的方差，$\mu$为序列${X}$的均值。

步骤2　将不同映射序列${y}、{p}、{l}、{t}$分配到大小选定的类别c中，分别得到${{ \boldsymbol {\eta }}^{ c}} = \{ \eta _1^c,\eta _2^c, \cdots ,\eta _N^c\}$、${{ \boldsymbol {\alpha }}^{ c}} = \left\{ {\alpha _1^c,\alpha _2^c, \cdots ,\alpha _N^c} \right\}$、${{ \boldsymbol {\beta }}^{ c}} = \{ \beta _1^c,\beta _2^c, \cdots ,\beta _N^c\}$和${{ \boldsymbol {\lambda }}^{ c}} = \{ \lambda _1^c, \lambda _2^c, \cdots , \lambda _N^c\}$ 4个序列。

步骤3　选取嵌入维度m，分别构造嵌入向量：

式中$d$为延时因子。

步骤4　将步骤3中构造的4个嵌入向量如${ \boldsymbol {\eta }}_i^{m,c} = \left[ {\eta _i^c\;\;\;\eta _{i + d}^c\;\;\;\eta _{i + 2d}^c\;\;\; \cdots \;\;\;\eta _{i + (m - 1)d}^c} \right]$中的元素分别映射为色散模式${{\text{π}} _{{v_0}{v_1}{v_2} \cdots {v_{m - 1}}}}$，其中$\eta _i^c = {v_0}$,$\eta _{i + d}^c = {v_1}$, $\eta _{i + 2d}^c = {v_2}$,$\cdots$,$\eta _{i + (m - 1)d}^c = {v_{m - 1}}$。由于${{\text{π}} _{{v_0}{v_1}{v_2} \cdots {v_{m - 1}}}}$有$c$位数字组成，每个数字有$m$种取值，所对应的排列模式有${(2c - 1)^{m - 1}}$个。同样地，将${ \boldsymbol {\alpha }}_i^{m,c}、{ \boldsymbol { \beta }}_i^{m,c}$都映射为色散模式${{\text{π}} _{{v_0}{v_1}{v_2}\cdots{v_{m - 1}}}}$。

步骤5　对于每个潜在的色散模式${{\text{π}} _{{v_0}{v_1}{v_2}\cdots{v_{m - 1}}}}$，通过计算${ \boldsymbol {\eta }}$、${ \boldsymbol {\alpha }}$、${ \boldsymbol {\beta }}$、${ \boldsymbol {\lambda }}$中所有具有该模式的序列量，并将其除以从信号中提取的模式总数得到每个色散模式的统计概率$p({{\text{π}} _{{v_0}{v_1}{v_2}\cdots{v_{m - 1}}}})$：

式中：${ \boldsymbol {Q}}_i^{m,c} = \{ { \boldsymbol {\eta }}_i^{m,c},{ \boldsymbol {\alpha }}_i^{m,c},{ \boldsymbol {\beta }}_i^{m,c}\}$，$4(N - (m - 1))$为${ \boldsymbol {Q}}_i^{m,c}$中色散模式总数量。

步骤6　基于香农熵定义，序列$X$的集成波动色散熵(ensemble fluctuation-based dispersion entropy, EFDE)计算公式为

2.   n次滑动改进的多尺度集成色散熵

2.1   传统粗粒化过程

许多信号类型在不同时间尺度上具有不同复杂性的特征，例如在短时间尺度上可能表现出快速的波动，而在长时间尺度上显示出更缓慢的趋势。利用信息熵方法提取原始信号单一时间尺度的特征，尤其是在分析具有多重时间尺度特征的复杂信号时可能忽视了信号中的重要信息。为了解决信息熵尺度单一的问题，Costa等^[21]提出了一种时间序列复杂度的衡量方法，即多尺度熵，由单尺度序列重构为多尺度序列的处理过程称为粗粒化过程。

对于任意长度为$L$的时间序列${ X} = \left\{ {x_1}, \cdots ,{x_i}, \cdots , {x_L} \right\}$，在不同尺度因子$\tau$下对时间序列进行粗粒化处理，得到重构后的序列$\left\{ {y_j^1,y_j^2, \cdots ,y_j^\tau } \right\}$。

式中：$y_j^\tau$表示序列${X}$在尺度因子$\tau$下进行粗粒化处理后重构序列的第$j$个元素，${x_i}$表示样本${X}$中第$i$个元素，$L$为样本长度。图2为序列长度$L = 10,\tau = 3$为例的粗粒化过程。

图  2  粗粒化过程($L = 10,\tau = 3$)

Fig.  2  Multiscale coarsening process($L = 10,\tau = 3$)

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假设序列X={2, 4, 6, 8, 10, 12}，当尺度因子$\tau$=1时，粗粒化处理后的序列就等于原始序列；当尺度因子$\tau$=2时，粗粒化处理后的序列为：每2个数的平均值，即：{(2+4)/2, (6+8)/2, (10+12)/2}={3, 7, 11}，此时重构后序列的长度变为原始序列长度的1/2；当尺度因子$\tau$=3，则将序列中相邻的3个数求平均，此时序列长度变为原始序列长度的1/3。图3为信号长度$L = 500$，尺度因子$\tau = 5$重构后的序列，随着尺度因子的增加，序列所包含的信息变得更加平滑，动态特征减少，相应的长期趋势特征变得更为突出。

图  3  传统粗粒化不同尺度的重构序列($L = 500,\tau = 5$)

Fig.  3  Signal reconstructed with multiscale coarsening process($L = 500,\tau = 5$)

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2.2   多尺度集成色散熵

与单尺度相比，多尺度可以通过粗粒化过程对序列进行重构，利用EFDE方法计算不同尺度下重构序列的熵值，从而提取更多的特征和更丰富的故障信息。多尺度集成色散熵(multi-scale EFDE, MEFDE)的实现主要包括2个关键步骤：一是利用粗粒化过程在多个尺度上重构原始时间序列；二是计算每个粗粒化重构序列EFDE。

步骤1　对序列${ X} = \left\{ {{x_1}, \cdots ,{x_i}, \cdots ,{x_L}} \right\}$，选定尺度因子$\tau$利用式(1)进行粗粒化处理得到多尺度序列${ Y} = \left\{ {y_j^1;y_j^2; \cdots ;y_j^\tau } \right\}$。

步骤2　计算多尺度下序列${ Y}$的熵值：${E_{{\text{MEFD}}}}({X}, \tau ,m,c) = {E_{{\text{EFD}}}}({ Y},m,c)$

2.3   n次滑动的改进粗粒化过程

传统粗粒化方法的优点是从原始信号产生多个尺度的时间序列。但是，它的缺点是：通过重构，序列长度会随着尺度因子$\tau$的增大而减小^[6]，在尺度因子$\tau$下，重构序列的长度等于原始序列长度除以$\tau$。因此，比例因子越大，粗粒化序列越短，熵值的稳定性越低；并且传统粗粒化方法忽略了部分相邻点之间的信息。针对于上述问题，本文提出一种基于n次滑动的粗粒化过程，通过序列在尺度因子$\tau$下重构时，将粗粒化窗口滑动n次，保证在不同尺度因子$\tau$下重构序列的长度与原序列长度一致，并且在这种方法下序列所有点之间的信息都能被用来进行EFDE的计算。本文设计的n次滑动改进的多尺度集成色散熵(improved multi-scale ensemble fluctuation-based dispersion entropy, IMEFDE)方法包括2个步骤：一是利用n次滑动的改进粗粒化过程在多个尺度上重构原始时间序列；二是计算每个粗粒化重构序列EFDE。

步骤1　对于任意长度为$L$的时间序列${X} = \left\{ {{x_1}, \cdots ,{x_i}, \cdots ,{x_L}} \right\}$，在确定的尺度因子$\tau$下进行序列重构，得到第n次重构后的序列$\left\{ {y_{j,n}^\tau } \right\}$，其中$n = 1,2, \cdots ,\tau - 1$，公式表示为

式中：$y_{j,n}^\tau$表示序列${X}$在尺度因子$\tau$下进行第n次滑动粗粒化之后重构序列的第$j$个元素。图4为所设计的改进粗粒化过程(以序列长度$L = 10$，因子$\tau = 3$为例)。图5为L=500，$\tau$=5，n=4时利用提出的改进粗粒化过程重构的多个尺度下序列，在n次滑动过程中，每多一次滑动过程会使重构后序列长度增加1/$\tau$，所以n的取值不应超过$\tau - 1$，否则会重复计算相邻点之间的信息，并不具有实际的意义。

图  4  n次滑动粗粒化过程($L = 10,\tau = 3$)

Fig.  4  Sliding coarsening process in n steps ($L = 10,\tau = 3$)

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图  5  改进粗粒化后不同尺度的序列重构图($L = 500,$$\tau = 5$)

Fig.  5  Signal reconstructed with improved multiscale coarsening process($L = 500,\tau = 5$)

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步骤2　计算多尺度下序列${ Y} = \left\{ {y_{j,1}^\tau ,y_{j,2}^\tau , \cdots ,y_{j,n}^\tau } \right\}$的熵值。

2.4   一致性分析

本文选取高斯白噪声(white Gaussian noise, WGN)作为模拟信号，分别评估传统粗粒化过程和n次滑动的改进粗粒化过程对于不同信号长度下各种信息熵方法测量信号复杂度能力的影响，本文研究对象为：多尺度样本熵(multi-scale SE, MSE)、n次滑动改进多尺度样本熵(improved MSE, IMSE)、多尺度排列熵(multi-scale PE, MPE)、n次滑动改进多尺度排列熵(improved MPE, IMPE)、多尺度多样性熵(MDivE)、n次滑动改进多样性熵(IMDivE)、多尺度色散熵(multi-scale, MDE)、n次滑动改进多尺度色散熵(improved MDE, IMDE)、多尺度集成波动色散熵MEFDE和n次滑动改进多尺度集成波动色散熵IMEFDE。在本文中，WGN的信号长度的范围被设置为N=[1 024, 2 048, 4 096]；将色散熵和集成波动色散熵的参数设置为m=4、c=6；样本熵的参数为m＝2、r＝0.15；排列熵的预设参数为m=5；多样性熵的预设参数为m=3、$\sigma$=10；尺度因子$\tau$=20。

不同信息熵方法测量不同信号长度的WGN复杂度的结果如图6～10所示。相同信号的长度的增加不会影响信号的复杂度，从图中可以看出，IMSE、IMDivE、IMPE、IMEFDE与MSE、MDivE、MPE、MEFDE相比，随着信号长度的增加，所计算的熵值波动较小，可以更加稳定地代表信号特征，有利于进行故障分类，当尺度因子值较小时其熵值就趋于稳定，具有快速稳定的特征。综上所述，n次滑动的改进粗粒化过程比传统粗粒化过程在使用常用的信息熵方法时，具有更好的一致性。

图  6  不同长度下WGN信号的MSE和IMSE熵值

Fig.  6  MSE and IMSE entropy values of WGN

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图  7  不同长度下WGN信号的MPE和IMPE熵值

Fig.  7  MPE and IMPE entropy values of WGN

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图  8  不同长度下WGN信号的MDivE和IMDivE熵值

Fig.  8  MDivE and IMDivE entropy values of WGN

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图  9  不同长度下WGN信号的MDE和IMDE熵值

Fig.  9  MDE and IMDE entropy values of WGN

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图  10  不同长度下WGN信号的MEFDE和IMEFDE熵值

Fig.  10  MEFDE and IMEFDE entropy values of WGN

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2.5   集成波动色散熵的鲁棒性验证

鲁棒性可理解为熵估计方法对噪声的鲁棒性，也可以理解为熵值估计方法计算的稳定性。因此，在讨论算法的稳定性时，有必要从这2个角度进行综合判断。在本文中，WGN的噪声含量的值范围被设置为[10,100]，间隔为10，信号长度N为1 000。

为验证EFDE信号复杂度估计能力对噪声的鲁棒性，以WGN为模拟信号，对比4种信息熵方法对信号复杂度测量稳定性的影响。4种信息熵方法(SE、DE、EFDE、PE)在不同噪声含量下测量WGN复杂度的结果如图11所示。随着噪声含量的增加SE熵值逐渐减小，并且当信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)为30时，曲线趋于稳定，表明噪声含量与SE信号复杂度估计能力呈负相关，并且SE方法对噪声的鲁棒性较低。PE熵值随着噪声含量的增加而增加，整体熵值曲线呈波动趋势，但波动幅度不大，表明PE方法比SE方法对噪声的鲁棒性更强。然而，随着噪声含量的增加，DE和EFDE的熵曲线可以保持良好的一致性，表明DE和EFDE的信号复杂度估计能力受噪声含量的影响较小，具有较高的鲁棒性。

图  11  不同噪声下WGN信号的熵值

Fig.  11  Entropy value of WGN with different noise contents

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为了验证EFDE方法的高计算稳定性，使用不同的信息熵方法对信号长度N为1 000、信噪比SNR为20 dB的WGN独立进行了10次重复计算，并计算了10次熵运算结果的平均值和标准差。使用变异系数(coefficient of variation, CV)来衡量熵值法的计算稳定性，其中CV是标准差与平均值的比值。CV值越小，熵值估计方法的计算稳定性就越高。表1为具有不同信息熵的十次运算的结果。从表中可以看出，经过10次运算后，EFDE的标准差和CV值最小，表明EFDE的熵值差异最小。

3.   实验结果与分析

3.1   数据集和实验环境

本文使用了3个数据集来验证所提出的特征提取方法的性能，数据集描述如下。

3.1.1   西储大学数据集

西储大学(Case Western Reserve University，CWRU)数据集被广泛使用，本研究使用从驱动端轴承收集的振动数据，如表2所示。CWRU实验装置由感应电机、扭矩传感器、编码器、测力计和控制电路组成，如图12所示。测试轴承安装在电机轴上，在测试轴承的特定位置(如内滚道、滚动元件和外滚道)产生单点故障，故障直径分别为0.007、0.014、0.021和0.028 in(1 in = 2.54 cm)。在4种负载条件(0、1、2和3 hp，1 hp=745.7 W)下，以12 000样本/s的速度收集风机端、驱动端和底座振动数据。根据施加在电机上的负载，记录了1 797～1 720 r/min的电机转速。

图  12  CWRU试验台

Fig.  12  Bearing test bench of CWRU

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3.1.2   江南大学数据集

江南大学(Jiangnan University, JNU)轴承故障数据集^[32]是一个用于研究轴承故障预测和诊断的数据集。该数据集包含了大量与轴承运行状态相关的参数数据，并通过采集轴承在不同工况下的振动信号来记录轴承的工作情况。数据集中包含的参数数据有：振动信号、轴承温度、运行速度等。该数据集包括4种类型的轴承振动数据集，这些数据集是在50 kHz的采样频率下收集的。如表3所示，JNU数据集包含1个健康状态和3个故障状态，故障状态包括内圈故障、外圈故障和滚动元件故障，转速分别为1 000、800和600 r/min。

3.1.3   东南大学数据集

东南大学(Southeast University, SEU)数据集^[33]的轴承数据考虑了转速–负载配置分别为20 Hz–0 V和30 Hz–2 V的2种工作条件。本文使用的SEU数据有1个健康状态和4个故障状态，如表4所示。

3.1.4   实验环境

本文实验的操作系统为Windows 10 64位操作系统，处理器为Intel(R)Core(TM)i5-11400 CPU@2. 60GHz，内存为16 GB RAM。

3.2   实验结果分析

本节分别在CWRU和JNU数据集上，利用所提方法进行故障特征提取，然后结合极限学习机(extreme learning machines, ELM)和支持向量机(support vector machine, SVM)进行分类。本文设定ELM模型^[34]中神经元个数为100，激活函数为sigmoid函数；本文采用的SVM为软件自带的高斯核函数SVM，超参数设置为KernelFunctionr：rbf, BoxConstraint：63.29, KernelScale：1.39。

3.2.1   CWRU数据集实验结果分析

图13为所提故障诊断方法的流程，从原始振动信号中计算每个样本的熵值，熵值和标识符形成特征池。

图  13  IMEFDE故障诊断方法流程

Fig.  13  Flow chart of IMEFDE-based fault diagnosis

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对于CWRU数据集，采用MDE、IMDE、MEFDE、IMEFDE提取特征数为1 305×20，为了训练分类器，将所提取到的特征分为2组，比例为1∶1，分别用于训练和测试。训练完成后，使用测试集对模型进行验证，并使用混淆矩阵计算性能指标。CWRU数据集选取的类总数为10个。MDE、IMDE、MEFDE、IMEFDE参数：样本长度L、嵌入维度m、尺度因子$\tau$、色散类别c分别设置为1 024、4、20、6。

表5给出了使用MDE、IMDE、MEFDE、IMEFDE 4种方法分别与ELM和SVM结合的故障分类结果。

为了避免单一结果的随机性，进行了10次分类实验，并取平均值作为最终的平均分类准确率、精确率、召回率和F₁分数。IMEFDE结合ELM和SVM的故障分类准确率分别为99.7%和99.5%，为所使用的方法中最高，IMEFDE方法的诊断准确率比MDE方法诊断准确率提高约12%，此外，精确率、召回率和F₁分数为所使用方法中最高，具有显著优势。准确率、精密率、召回率和F₁分数计算公式分别为

式中：${{{N}}_{\rm{TP}}}$是真正例，即特定标签的准确预测数(实际标签“n800”，预测为“n800”)；${{{N}}_{\rm{FP}}}$是假正例，为特定标签的错误预测数(实际上标签不是“n800”预测为“n800”)；${{{N}}_{\rm{FN}}}$是假负例，是该特定标签与其他标签一样的错误预测次数(实际标签“n800”，预测为其他标签)，${{{N}}_{\rm{TN}}}$是真负例，即其他标签相对于${{{N}}_{\rm{TP}}}$的准确预测的数量。

图14为分别使用MDE、MEFDE、IMDE、IMEFDE 4种方法提取得到的特征，然后利用t-随机邻近嵌入(t-distributed stochastic neighbor embedding, t-SNE)降维得到的散点聚类图，由图14(a)可以看出MDE计算的BF007、BF021、BF014和ORF014这4种情况下得到的熵值可以与其他故障情况下的熵值分离开来，但是在其他情况下熵值有较大交叉，不利于分类；图14(b)表明MEFDE方法在Normal、ORF007、ORF014、ORF021具有很好的聚类效果，表明集成波动的改进色散熵相比于色散熵作为特征提取方法有优越性，但是在滚动体和内圈故障情况下仍存在大量交叉，不具备优越性；图14(c)表明与MDE和MEFDE相比，IMDE方法具有更好的聚类效果。 IMDE使用了n次滑动的改进粗粒化过程结合色散熵的方法，而MDE使用传统粗粒化过程结合色散熵的方法，可以看出n次滑动的改进粗粒化具有明显优越性，但IMDE方法在BF014、BF007、BF021的熵值仍存在部分重叠问题；图14(d)可以看出与其他3种方法相比，IMEFDE在所有故障情况下聚类效果更好。

图  14  不同熵值散点图

Fig.  14  Scatter plots with different entropy values

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3.2.2   JNU数据集实验结果分析

JNU数据集中的数据类别为4种，MDE、IMDE、MEFDE、IMEFDE的参数样本长度L、嵌入维度m、尺度因子$\tau$、色散类别c分别设置为4096、4、20、6。分别提取到的特征数为2 200×20，以1∶1比例划分训练集和测试集。表6为JNU数据集上使用所有方法得到的准确率、精确率、召回率和F₁分数，可以看出，所提出的IMEFDE方法在JEN数据集中有最高的评价指标。

图15为MDE、MEFDE、IMDE、IMEFDE 4种方法对JNU轴承数据进行熵值计算然后利用t-SNE降维得到的熵值散点图。由图15(a)可以看出对于JNU数据集，MDE在滚动体故障和内圈故障时所计算的熵值较为分散，每种故障的熵值交叉较多；图15(b)表明与MDE相比MEFDE方法虽然可以使滚动体故障具有更好的聚类效果，但是内圈故障的熵值更加分散；图15(c)可以看出IMDE方法计算的内圈故障虽然并没有理想的聚类效果，但是与其他故障类型熵值重叠现象有所缓解；图15(d)显示了IMEFDE方法在轴承正常情况、外圈故障、滚动体故障时的更好的聚类效果，虽然在内圈故障的熵值计算仍比较分散，但是在故障内部熵值分散现象明显得到改善。

图  15  不同熵值散点图

Fig.  15  Scatter plots with different entropy values

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3.2.3   SEU数据集实验结果分析

该实验中，MDE、IMDE、MEFDE、IMEFDE的参数样本长度L、嵌入维度m、尺度因子$\tau$、色散类别c分别设置为4096、4、20、6。提取特征总数为1 275×20，以1∶1划分训练集和测试集；表7给出了4种熵方法分别结合ELM和SVM的准确率、精确率、召回率和F₁分数。所提出的IMEFDE方法分别结合ELM和SVM分类方法将比于其他方法都具有更好的分类准确率(97.3%、98.4%)、精确率(0.98、0.98)、召回率(0.97、0.98)和F₁分数(0.97、0.98)。

图16为利用4种方法对SEU数据集进行特征提取然后利用t-SNE降维得到的熵值散点图。由图16(a)可以看出MDE方法中滚动体故障和联合故障熵值交叉较多，并不利于分类；图16(b)表明MEFDE方法在联合故障熵值聚类优于MDE方法，但其他3种故障熵值仍存在大量重叠部分；图16(c)可以看出IMDE方法可以很好地区分健康情况、滚动体故障和外圈故障，明显优于MDE和MEFDE方法，但是滚动体和外圈故障的熵值并不能完全分离；图16(d)可以看出，与其他3种方法相比，IMEFDE在滚动体故障、内圈故障和健康情况下有更好的聚类效果，在联合体故障和内圈故障情况下熵交叉问题有明显缓解。

图  16  不同熵值散点图

Fig.  16  Scatter plots with different entropy values

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4.   结束语

本文提出了一种改进的n次滑动粗粒化方法，采用多种映射技术改进了集成色散熵的特征提取方法，并机器学习方法实现轴承故障诊断。基于n次滑动的改进粗粒化过程通过序列在尺度因子$\tau$下重构时，将粗粒化窗口滑动n次，保证在不同尺度因子$\tau$下重构序列的长度与原序列保持一致，并且在这种方法下保留序列每点之间的信息，对重构序列计算集成色散熵来挖掘信号的不同角度的故障特征信息。分别在西储大学、江南大学和东南大学轴承数据集进行实验验证，结果表明所提出的基于IMEFDE特征提取的故障诊断方法平均分类精度高于其他3种方法。未来将在故障溯源方面进行研究。