假设 $ M $ 是一个推理机， $ A $ 和 $ B $ 分别是推理机 $ M $ 的输入和输出。在推理过程中，如果小的输入扰动引起小的输出扰动，则称推理机 $ M $ 具有良好的鲁棒性。不同领域的研究者对扰动的概念有不同的答案，因此，各种相关的概念相继提出，例如最大扰动、平均扰动、δ−等价、δ−灵敏度、最大δ−灵敏度、平均δ−灵敏度等。文献[1]给出了模糊集的最大扰动和平均扰动，并讨论几种模糊推理系统的扰动。文献[2]研究连接词的模糊δ−等价和模糊蕴涵算子的鲁棒性。文献[3-4]提出模糊连接词的δ−灵敏度、最大δ−灵敏度和平均δ−灵敏度的概念，并讨论模糊推理算法的鲁棒性。通过比较和分析这些概念，我们注意到这些概念是基于不同的距离度量的。然而，在这些距离度量研究中，距离的结构并没有涉及模糊连接词。众所周知，模糊连接词决定模糊逻辑系统的内部结构，基于这一点，文献[5-6]提出基于模糊连接词的模糊集相似度的概念，并讨论模糊推理算法[7]的鲁棒性。文献[8]基于模糊集双剩余给出一种距离度量，研究4种特殊的度量空间的结构，得到适合模糊推理的两类模糊度量空间。

然而，由于模糊集在处理信息的模糊性与不确定性方面存在局限，因此，文献[9]提出区间值模糊集，它不仅能减少模糊信息的损失，而且在信息处理中能有效反映信息的模糊性和不确定性。随后，许多学者关注区间值模糊集的研究，并将近似推理推广到区间值模糊环境。文献[10]将CRI算法推广到区间值模糊集；文献[11-13]分别研究基于区间相关联三角范数的模糊推理全蕴涵算法、全蕴涵反向算法与模糊推理五蕴涵算法，并分别研究算法的鲁棒性；文献[14]研究区间模糊推理反向三I约束算法的鲁棒性；文献[15]研究基于t−可表示区间值三角范数诱导的剩余蕴涵的全蕴涵算法。这些模糊推理算法鲁棒性研究都是基于区间值模糊集的Moore距离。

然而，使用Moore距离研究区间值模糊推理算法的鲁棒性，很容易丢失信息。由于模糊推理系统的行为主要决定于模糊连接词和模糊蕴涵算子，基于此，本文引入基于区间值剩余蕴涵的一种距离度量研究区间值逻辑度量空间。主要创新点如下：

1) 基于区间值左连续三角范数诱导的剩余蕴涵算子，构造一种新函数，给出此函数做成的区间值模糊集的距离度量的充分条件；

2) 给出由4个著名的区间值剩余蕴涵诱导的区间值模糊集的距离，构造4个逻辑度量空间；

3) 从拓扑空间角度，证明基于区间值Łukasiewicz剩余蕴涵的逻辑度量空间中不存在孤立点，基于区间值Goguen剩余蕴涵的逻辑度量空中存在一个孤立点，说明这2个逻辑度量空间适合做区间值模糊推理；

4) 在区间值Łukasiewicz逻辑度量空间中，证明基于区间值Łukasiewicz剩余蕴涵的模糊推理全蕴涵算法是鲁棒的。

1.   预备知识

令 $L=\{[a,b]|a\leqslant b,a,b\in [0,1]\}$ ， $L$ 上的序 $ { \leqslant _L} $ 定义为 $ [a,b]{ \leqslant _L}[c,d] $ ，如果 $ a \leqslant c $ 且 $ b \leqslant d $ ，称之为Kulisch-Miranker序^[16]。容易验证 $ { \leqslant _L} $ 的是 $L$ 上的偏序，并且 $(L,{ \leqslant _L}, {0^*},{1^*})$ 做成一个完备格。设 $L(X)$ 表示非空集合 $X = \{ {x_1}, {x_2}, \cdots ,{x_n}\}$ 上所有区间值模糊集。设 $A = \{ [{A_l}({x_i}), {A_r}({x_i})] \in L|{x_i} \in X\} \in L(X)$ ，则 ${A^c} = \{ [1 - {A_r}({x_i}), 1 - {A_l}({x_i})] \in L|{x_i} \in X\}$ 是区间值模糊集 $ A $ 的补集。

定义1^[17] 　函数 $ T:{[0,1]^2} \to [0,1] $ ，如果满足交换律和结合律，且关于2个变量是递增，对于所有 $x \in [0,1]$ ， $ T(x,1) = x $ ，则 $ T $ 称为三角范数。

定义2^[18] 　由左连续三角范数 $ T $ 诱导的剩余蕴涵定义为

定义3^[17] 　设 $ T $ 为左连续三角范数， $ R $ 为其诱导的剩余蕴涵。双剩余定义为

定义4^[19] 　设 $ T $ 是区间[0,1]的三角范数， $\Im :L \times L \to L$ 定义为

则 $ \Im $ 称为 $L$ 上相关联三角范数。如果 $ T $ 是左连续三角范数，则称相关联三角范数 $ \Im $ 是左连续^[11]。

定义5^[20] 　设 $ \Im $ 是 $L$ 上的三角范数，对于任意 $[a,b],[c,d] \in L$ ， $ \Re :L \times L \to L $ 定义为

则 $ \Re $ 称为由三角范数 $ \Im $ 诱导的剩余蕴涵。

引理1^[20] 　设 $ \Im $ 是 $L$ 上相关联三角范数，则由相关联三角范数 $ \Im $ 诱导的剩余蕴涵为

其中 $ {R_T} $ 是[0,1]上的左连续三角范数 $ T $ 诱导的剩余蕴涵。

例1　4个特殊的区间值三角范数及诱导的剩余蕴涵。

1) 区间值Gödel三角范数及其剩余蕴涵^[20]：

2) 区间值极小三角范数及其剩余蕴涵^[11]：

其中 $ a' = 1 - a,b' = 1 - b $ 。

3) 区间值乘积三角范数及其剩余蕴涵^[11]：

4) 区间值Łukasiewicz三角范数及其剩余蕴涵^[20]：

定义6^[14] 　 $ \wp :L \times L \to L $ 定义如下：

其中 $ \Re $ 是 $L$ 上左连续区间值三角范数诱导的剩余蕴涵，则 $ \wp $ 称为区间值双剩余蕴涵算子。

引理2^[14] 　设 $ \Re $ 是由 $L$ 上的左连续相关联三角范数 $ \Im $ 诱导的剩余蕴涵，对于任意的 $[a,b],[c,d], [e,f], [g,h] \in L$ ，则区间值双剩余蕴涵算子 $ \wp $ 满足以下性质：

1) $ \wp ([a,b],[1,1]) = [a,b] $ ；

2) $ [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow \wp ([a,b],[c,d]) = [1,1]) $ ；

3) $ \wp ([a,b],[c,d]) = \wp ([c,d],[a,b]) $ ；

4) $ \Im (\wp ([a,b],[c,d]),\wp ([e,f],[g,h]) $ ${ \leqslant _L}\wp (\Im ([a,b], [e, f]), \Im ([c,d],[g,h]))$ ；

5) $ \Im (\wp ([a,b],[c,d]),\wp ([e,f],[g,h]) $ ${ \leqslant _L}\wp (\Re ([a,b],[e, f]),\Re ([c,d],[g,h]))$ ；

6) $ \Im (\wp ([a,b],[c,d]),\wp ([c,d],[e,f]) $ ${ \leqslant _L}\wp ([a, b],[e, f])$ 。

定义7^[21] 　设 $ X $ 是一个集合， 函数 $D$ ： $X \times X \to [0, + \infty )$ 定义如下，对于任意 $ x,y,z \in X $ ，满足如下条件：

1) $D(x,y) \geqslant 0$ ；

2) $D(x,y) = 0$ ，当且仅当 $ x = y $ ；

3) $D(x,y) \leqslant D(x,z) + D(y,z)$ 。

则函数 $D$ 称为距离度量， $(X,D{\text{)}}$ 称为一个度量空间。

2.   新的区间值模糊集的距离度量

设 $ \Re $ 是由左连续相关联三角范数诱导的剩余蕴涵：

其中 $ R $ 是区间[0, 1]上的左连续三角范数 $ T $ 诱导的剩余蕴涵。

命题1　设 $ \alpha = [{\alpha _l},{\alpha _r}],\beta = [{\beta _l},{\beta _r}] \in L $ ， $\Re \in \{ {\Re _G},{\Re _L}, {\Re _{{G_0}}},{\Re _0}\}$ ，则 $ d(\alpha ,\beta ) = 1 - {(\Re (\alpha ,\beta ) \wedge \Re (\beta ,\alpha ))_l} $ 是 $ \alpha $ ， $ \beta $ 的距离度量。

引理3　对于所有的 $[a,b],[c,d] \in L$ ，假设 ${\Re _i}([a, b],[c,d]) = [{R_i}(a,c) \wedge {R_i}(b,d),{R_i}(b,d)](i = 1,2)$ 分别为左连续相关联三角范数 $ {\Im _i}(i = 1,2) $ 诱导的剩余蕴涵，则 $ {\Re _{\text{1}}}{ \leqslant _L}{\Re _{\text{2}}} $ 当且仅当 $ {R_{\text{1}}} \leqslant {R_{\text{2}}} $ 。

命题2　设 $ \alpha = [{\alpha _l},{\alpha _r}],\beta = [{\beta _l},{\beta _r}] \in L $ , $ \Re $ 是由左连续相关联三角范数所诱导的剩余蕴涵。如果 $ \Re { \leqslant _L}{\Re _L} $ ，则 $d(\alpha ,\beta ) = 1 - {\wp _l}(\alpha ,\beta ) = 1 - (\Re (\alpha , \beta ) \wedge \Re (\beta ,\alpha ))_l$ 是 $\alpha 、\beta$ 之间的一种距离。

证明　1) 显然 $ d(\alpha ,\beta ) \geqslant 0 $ 。

2) 如果 $ \alpha = \beta $ ，有 $ d(\alpha ,\beta ) = 0 $ 。

如果 $ d(\alpha ,\beta ) = 0 $ ，则 $ {\wp _l}(\alpha ,\beta ) = 1 $ ，即 $(R({\alpha }_{l},{\beta }_{l})\wedge R({\alpha }_{r}, {\beta }_{r}))\wedge (R({\beta }_{l},{\alpha }_{l})\wedge R({\beta }_{r},{\alpha }_{r}))=1$ 。因此， $ {\alpha }_{l}={\beta }_{l}，{\alpha }_{r}={\beta }_{r} $ ，即 $ \alpha = \beta $ 。

3) 由引理2中6)可得：

因此 $ T({\wp _l}(\alpha ,\gamma ),{\wp _l}(\gamma ,\beta )) \leqslant {\wp _l}(\alpha ,\beta ) $ 。

所以 $ {\wp _l}(\alpha ,\gamma ) \leqslant R({\wp _l}(\gamma ,\beta ),{\wp _l}(\alpha ,\beta )) $ 。

因为 $ \Re \leqslant {\Re _L} $ ，由引理3可得， $ R \leqslant {R_L} $ 。

因此，

由此可得 $ {\text{1}} + {\wp _l}(\alpha ,\gamma ) \leqslant 2 - {\wp _l}(\gamma ,\beta ) + {\wp _l}(\alpha ,\beta ) $ 。因此 $ {\text{1}} - {\wp _l}(\alpha ,\beta ) \leqslant 1 - {\wp _l}(\alpha ,\gamma ) + 1 - {\wp _l}(\gamma ,\beta ) $ ，即 $d(\alpha ,\beta ) \leqslant d(\alpha , \gamma ) + d(\beta ,\gamma )$ 。

定理1　设 $X = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\} $ ， $A,B \in L(X)$ ， $ \Re $ 是由左连续相关联三角范数诱导的剩余蕴涵。如果 $\Re \leqslant {\Re _L}$ ，则 $d(A,B) = 1 - \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\wp _l}(A({x_i}),B({x_i}))}$ 是 $L(X)$ 的一个距离度量， $(L(X),d)$ 是一个度量空间， $(L(X),d)$ 称为逻辑度量空间。

证明类似于命题2。

推论1　由定理1得到4个逻辑度量空间 $(L(X),{d_G})$ 、 $(L(X),{d_0})$ 、 $(L(X),{d_{{G_0}}})$ 和 $(L(X),{d_L})$ 。

注1　1) 当 $ \Re = {\Re _L} $ ，则

${d_L}(A,B) = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {(|{A_l}({x_i}) - {B_l}({x_i})| \vee |{A_r}({x_i}) - {B_r}({x_i})|)}$ 是基于Hausdorff度量的规范化Hamming距离^[22]。

2) 如果区间值模糊集 $ A $ 和 $ B $ 退化为模糊集，区间值剩余蕴涵 $ \Re $ 退化为剩余蕴涵 $ R $ ， $ R \leqslant {R_L} $ ，即 $ a + R(a,b) \leqslant 1 + b $ ，则 $d(A,B) = 1 - \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n [R(A({x_i}), B({x_i})) \wedge R(B({x_i}),A({x_i})]$ 是模糊集的距离度量^[7]。

例2 设 $ X = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_{10}}{\text{\} }} $ $ A,B,C\in L(X) $ ， $A({x_i}) = [0.9, 1.0](1 \leqslant i \leqslant 10)$ ， $B({x}_{i})=[0.9,1.0](1\leqslant i\leqslant 9)$ ， $B({x}_{10})= [0.0,0.1] $ ， $C({x_i}) = [0.0,0.1](1 \leqslant i \leqslant 10)$ 。我们利用推论2得到的4种距离，分别计算模糊集 $ (A,B) $ 、 $ (A,C) $ 之间的距离，如表1所示。

利用Moore距离， $ d(A,B) = d(A,C) $ $ = 0.9 $ ，这个结论显然不合理，利用我们提出的距离，得到区间值模糊集的距离是合理的，与实际的数据信息相吻合的。

3.   4个逻辑度量空间的结构

在度量空间 $ (Y,d) $ 中，设 $ y \in Y $ 。对于任意的 $0 < \varepsilon < 1$ ，如果总能找到另一个点 $ y' \in Y $ ，使得 $d(y,y') < \varepsilon$ ，则 $ y $ 称为 $ Y $ 的一个聚点。如果存在 $ \delta > 0 $ ，使得对于每个 $ y' \in Y $ ， $ d(y,y') \geqslant \delta $ ，则 $ y $ 称为孤立点^[23]。 在本节中，分别研究这4个逻辑度量空间 $(L(X),{d_G})$ 、 $(L(X),{d_0})$ 、 $(L(X),{d_{{G_0}}})$ 和 $(L(X),{d_L})$ 中聚点和孤立点的分布情况。本节中假设 $X = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\} $ ， $A \in L(X)$ 。如果存在 $ {x_k} \in X $ ，使得 $ A({x_k}) = [1,1] $ ，则称 $ A $ 为正规区间值模糊集。

定义8^[23] 　设 $ X $ 是一个拓扑空间， $ U\ne \varnothing $ 、 $V\ne \varnothing $ 是2个开集且 $ U \cap V = \emptyset $ ，如果 $ X = U \cup V $ ，则拓扑空间 $ X $ 称为非连通的。否则，拓扑空间 $ X $ 称为连通的。

定义9^[23] 　设 $ S $ 是拓扑空间 $ X $ 一个子集，如果 $ X $ 中的每个点或者属于 $ S $ ，或者是 $ S $ 的聚点，即 $ S $ 的闭包等于拓扑空间 $ X $ ，则称 $ S $ 是一个稠密子集。

引理4　设 $ \alpha =[{\alpha }_{l},{\alpha }_{r}]，\beta =[{\beta }_{l},{\beta }_{r}]\in L $ ，且 $ \alpha \ne \beta $ ，则

定理2　 $ A $ 为逻辑度量空间 $(L(X),{d_G})$ 的聚点当且仅当 $ A $ 为正规区间值模糊集。

证明　设 $ A $ 为正规区间值模糊集，则存在 $ {x_k} \in X $ 使得 $ A({x_k}) = [1,1] $ 。对于任意的 $ \varepsilon \in (0,1) $ ，取 $B \in L(X)$ ，使得 $ B({x_k}) = [1 - {\varepsilon _1},1 - {\varepsilon _2}] $ ， $ {\varepsilon _2} < {\varepsilon _1} < \varepsilon $ ， $B({x_j}) = A({x_j}) (j \ne k)$ 。显然 $ B \ne A $ 且

因此，在 $ A $ 的任意 $ \varepsilon $ 邻域内，始终存在一个不同于 $ A $ 的区间值模糊集 $ B $ 。因此， $ A $ 是度量空间 $(L(X),{d_G})$ 中的聚点。

如果 $ A $ 不是正规的，则对于所有的 $ {x_i} \in X $ ， $ A({x_i}) \ne [1,1] $ ，任意 $B \in L(X)$ ，使的 $ B \ne A $ 。假设：

设 $ c = \max \{ z|z \in C\} $ ， $ d = \max \{ z|z \in D\} $ ， $ a = \max \{ c,d\} $ 。则有

因此，存在 $ \delta > 0 $ ，使得在 $ A $ 的 $ \delta $ 邻域中不存在与 $ A $ 不同的区间值模糊集，即 $ A $ 是度量空间 $(L(X),{d_G})$ 的一个孤立点。

推论1　设 $V = L(X) - U$ ，其中 $U = \{ A \in L(X)|\exists {x_i} \in X,A({x_i}) = [1,1]\}$ 。那么 $ V $ 是逻辑度量空间 $(L(X),{d_G})$ 的稠密子集，即所有孤立点的集合是逻辑度量空间 $(L(X),{d_G})$ 的一个稠密集子集。

推论2　逻辑度量空间 $(L(X),{d_G})$ 是一个不连通空间。

引理5　设 $ \alpha = [{\alpha _l},{\alpha _r}],\beta = [{\beta _l},{\beta _r}] \in L $ ，且 $ \alpha \ne \beta $ ，则

定理3　 $ A $ 是度量空间 $(L(X),{d_0})$ 的聚点当且仅当 $ A $ 或 $ {A^c} $ 是 $ X $ 上正规区间值模糊集。

证明类似于定理2。

推论3　设 $ U = \{ A \in L(X)|\exists {x_i} \in X, $ $A({x}_{i})={[1,1]} {或} A({x}_{i})=[0,0]\}，$ 并且有 $ V = L(X) - U $ ，则 $ V $ 是逻辑度量空间 $ (L(X),{d}_{0}) $ 的一个稠密子集，即所有孤立点的集合是逻辑度量空间 $ (L(X),{d}_{0}) $ 的一个稠密子集。

推论4　逻辑度量空间 $(L(X),{d_0})$ 是一个不连通空间。

引理6　设 $\alpha = [{\alpha _l},{\alpha _r}],\beta = [{\beta _l},{\beta _r}] \in L$ ，且 $ \alpha \ne \beta $ ，则

定理4　 $ A = \{ A({x_i}) = [{\text{0}},{\text{0}}](1 \leqslant i \leqslant n)|{x_i} \in X\} $ 是度量空间 $(L(X),{d_{{G_0}}})$ 的唯一孤立点。

推论5　设 $V = L(X) - U$ ，其中 $U = \{ A \in L(X)|\forall {x_i} \in X,A({x_i}) = [0,0]\}$ ，则 $ V $ 是逻辑度量空间 $(L(X),{d_{{G_0}}})$ 的一个稠密子集，即所有聚点的集合是逻辑度量空间 $ (L(X),{d}_{{G}_{0}}) $ 的一个稠密子集。

推论6　逻辑度量空间 $(L(X),{d_{{G_0}}})$ 是一个不连通空间。

引理7　设 $ \alpha = [{\alpha _l},{\alpha _r}],\beta = [{\beta _l},{\beta _r}] \in L $ ，且 $ \alpha \ne \beta $ ，则

定理5　量逻辑度空间 $ (L(X),{d}_{L}) $ 不存在孤立点。即逻辑度量空间 $(L(X),{d_L})$ 是一个连通空间。

综上对4个逻辑度量空间的研究，逻辑度量空间 $(L(X),{d_G})$ 和 $(L(X),{d_0})$ 中存在过多的孤立点；而 $(L(X),{d_{{G_0}}})$ 中只有一个孤立点，除了这个点， $(L(X),{d_{{G_0}}})$ 中的其他点都是聚点； $(L(X),{d_L})$ 中没有孤立点。

4.   区间值模糊推理全蕴涵算法的鲁棒性

为了讨论区间值模糊推理算法的鲁棒性，我们希望度量空间 $(L(X),d)$ 没有太多的孤立点。 因此，逻辑度量空间 $(L(X),{d_L})$ 和 $(L(X),{d_{{G_0}}})$ 更适合做区间值模糊推理。推理算法输入微小的改变，引起输出微小的改变，则称算法是鲁棒的。推理算法的鲁棒性是评价推理算法的一个重要指标。在本节中，在适合做区间值模糊推理的逻辑度量空间 $(L(X),{d_L})$ 中，研究基于区间值Łukasiewicz 剩余蕴涵的区间值模糊推理全蕴涵算法的鲁棒性。基于区间值Goguen蕴涵区间值模糊推理全蕴涵算法的鲁棒性研究是类似的。

命题3　设 $X = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\} $ ， $A,{A}^{\prime },B和{B}^{\prime }\in (L(X), {d}_{L})$ 。 如果 $ {d_L}(A,A') \leqslant {\varepsilon _1} $ ， $ {d_L}(B,B') \leqslant {\varepsilon _2} $ ，则 ${d_L}({\Im _L}(A,B), {\Im _L}(A',B')) \leqslant {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}$ 。

命题4　设 $X = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\} $ ， $A,A',B,B' \in (L(X), {d_L})$ 。如果 $ {d_L}(A,A') \leqslant {\varepsilon _1} $ ， $ {d_L}(B,B') \leqslant {\varepsilon _2} $ ，则 ${d_L}({\Re _L}(A,B), {\Re _L}(A',B')) \leqslant {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}$ 。

定理6^[11] 　设 $ \Re $ 是一个区间值剩余蕴涵。1) 模糊假言推理(fuzzy modus ponens, FMP)问题的区间值 $ \Re $ −型全蕴涵推理算法解 $ {B^*} $ 为

${B^*}(y) = \mathop {\sup }\limits_{x \in X} \Im (\Re (A(x),B(y)),{A^*}(x)),y \in Y$

2) 模糊反驳推理(fuzzy modus tollens, FMT）问题的区间值 $ \Re $ −型全蕴涵推理算法解 $ {A^*} $ 为

${A^*}(x) = \mathop {\inf }\limits_{y \in Y} \Re (\Re (A(x),B(y)),{B^*}(y)),x \in X$

定理7　设 $ {B^*} $ 和 $ {B'^*} $ 分别是FMP $ (A,B,{A^*}) $ 和FMP $ (A',B',{A'^*}) $ 的区间值 $ \Re $ −型全蕴涵推理算法解(见定理6中1))。设 $ d(A,A') \leqslant {\varepsilon _1} $ ， $ d(B,B') \leqslant {\varepsilon _2} $ ， $d({A^*}, {A'^*}) \leqslant {\varepsilon _3}$ ，则 $ d({B^*},{B'^*}) \leqslant {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2} + {\varepsilon _3} $ 。

证明　对于区间值Łukasiewicz剩余蕴涵和对应的三角范数。由命题3及4可得， ${d_L}({\Re _L}(A,B), {\Re _L}(A',B')) \leqslant {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}$ 。

因此， ${d}_{L}({B}^{*},B'^{*})\leqslant {\varepsilon }_{1}+{\varepsilon }_{2}+{\varepsilon }_{3}。$

定理8　设 $ {A^*} $ 和 $ A{'^*} $ 分别是FMT $ (A,B,{B^*}) $ 和FMT $ (A',B',{B'^*}) $ 的区间值 $ \Re $ −型全蕴涵推理算法解(见定理6中2))。设 $ d(A,A') \leqslant {\varepsilon _1} $ ， $ d(B,B') \leqslant {\varepsilon _2} $ ， $d({B^*}, {B'^*}) \leqslant {\varepsilon _3}$ ，则 $ d({A^*},{A'^*}) \leqslant {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2} + {\varepsilon _3} $ 。

证明类似于定理7。

5.   结束语

本文基于左连续区间值三角范数诱导的剩余蕴涵，提出一种新的区间值模糊集的距离度量。基于4个常用的区间值剩余蕴涵，构造4个特殊的逻辑度量空间。证明得到：逻辑度量空间 $(L(X),{d_G})$ 和 $(L(X),{d_0})$ 存在过多孤立点，不适合做区间值模糊推理；逻辑度量空间 $(L(X),{d_{{G_0}}})$ 存在一个孤立点，逻辑度量空间 $(L(X),{d_L})$ 没有孤立点，因此，逻辑度量空间 $(L(X),{d_{{G_0}}})$ 和 $(L(X),{d_L})$ 适合做区间值模糊推理。进一步，在逻辑度量空间 $(L(X),{d_L})$ 中，证明基于区间值Łukasiewicz蕴涵的区间值模糊推理全蕴涵算法是鲁棒的，为区间值模糊推理算法的应用提供坚实的理论基础。

由于区间值模糊集可以处理具有模糊性与不确定性的信息，区间值模糊推理算法能够很好处理具有这类复杂信息的推理问题。在未来研究中，我们将把具有理论支撑的区间值模糊推理全蕴涵算法应用于模式识别与医疗诊断等领域。