﻿ 因素表示的信息空间与广义概率逻辑
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 智能系统学报  2019, Vol. 14 Issue (5): 843-852  DOI: 10.11992/tis.201810021 0

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WANG Peizhuang, ZHOU Hongjun, HE Huacan, et al. Factorial information space and generalized probability logic[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2019, 14(5), 843-852. DOI: 10.11992/tis.201810021.

### 文章历史

1. 辽宁工程技术大学 智能工程与数学研究院，辽宁 阜新 123000;
2. 陕西师范大学 数学学院，陕西 西安 710062;
3. 西北工业大学 计算机学院，陕西 西安 710072;
4. 北京邮电大学 智能科学技术中心，北京 100876

Factorial information space and generalized probability logic
WANG Peizhuang 1, ZHOU Hongjun 2, HE Huacan 3, ZHONG Yixin 4
1. Institute of Intelligence Engineering and Math, Liaoning Technical University, Fuxin 123000, China;
2. College of Mathematics, Shannxi Normal University, Xi’an 710062, China;
3. School of Computer Science, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China;
4. Center for Intelligent Science and Technology, Beijing University of Posts Telecommunications, Beijing 100876, China
Abstract: The generalized probabilistic logic proposed in recent years is of great significance to the development of artificial intelligence. Make flexible judgment that reflects the scene of actual transformation and evolution is the key to the development of the generalized probability logic. Considering this, this paper takes the information space as the interface between logic and actual scene. With this interface, logical judgment can reflect unpredictable real situations. The method in this paper is to use factors space to define the representation domain to form the information space. Then predicate variables are taken as factors, and background axioms are added into the existing logic system. Reasoning is taken under a certain background, different backgrounds will derive different conclusions. The result is that the new logic can not only maintain the rational requirement of the Stone representation theorem but can also make decisions more flexibly and effectively. The conclusion is that the generalized probabilistic logic can serve artificial intelligence more effectively. To meet the need of mechanistic artificial intelligence, this paper proposes the grammar-pragmatic docking method and the goal-driven backward reasoning. Finally, a mathematical proof is given for three couples of continuous operators in universal logic.
Key words: mechanism based artificial intelligence    universal logic    econometric probability logic    factors space    fuzzy sets    possibility space    predicate calculus    random falling shadow

1 可能性空间

Kolmogorov的可能性空间就是他所定义的基本空间 $\varOmega$ 。这个空间对现代概率论来说具有特殊的重要性。Kolmogorov把随机变量 $\xi$ 定义成为一个从 $\varOmega$ 到实直线 $R$ 的可测映射，它把 $\varOmega$ 中的概率传递到直线上形成各种类型的概率分布列、分布密度和分布函数，使古典概率突变成为现代概率论。问题是，随机变量所描述的是像降雨量和命中率这样一些不确定的现象，而映射却是一个非常严格的数学概念，对于 $\varOmega$ 中的每一个点 $\omega$ ，必须有唯一确定的实数值 $\xi \left( \omega \right)$ 与之对应，怎样才能把随机的现象和严格的映射连在一起呢？关键就在基本空间的建立。Kolmogorov的基本空间就是作者所提出的一个因素空间[14]，把所有对结果有影响的因素全部考虑进来，所考虑的因素越多，结果就越确定，作为一种数学抽象随机变量在 $\varOmega$ 中最终会变成一个必然的映射。我们姑且不在哲学上对此进行评价，数学家就需要有这种魄力和手段。汪培庄[15]明确地把基本空间 $\varOmega$ 当作因素空间来研究，提出了因素概率论的思想。天下事物说来说去，就是因果二字，因果出理性，因果生逻辑。若 $A$ $B$ $A$ 就是因， $B$ 就是果，逻辑就是因果。概率就是广义的因果律。概率都是相对于一定条件而言的。条件概率 $p\left( {B\left| A \right.} \right)$ 就是推理句“若 $A$ $B$ ”的真值： $p\left( {B\left| A \right.} \right){\rm{ = }}t\left( {A \to B} \right)$

2 简化的Stone表示定理与因素表现论域

2.1 命题演算的局限性

2.2 Stone拓扑表示定理

Stone拓扑表示定理告诉我们，任何一个布尔代数都同构于由其全体极大滤子所形成的紧零维Hausdorff空间的开闭集代数[16]。简单地说，就是布尔逻辑与集合论是同构的。但要问怎样同构法，就复杂化了。为了简单，我们不妨提出一个Stone简化定理。需要介绍滤子的2种不同的定义，我们把一般格论中定义的滤子叫做强滤子。权威的格论著作[17]给出：在一个尔代数B = (B, $\vee , \wedge ,\neg )$ 中，按常规定义了偏序 $\leqslant$

 $p \leqslant q \Leftrightarrow p \vee q = q \Leftrightarrow p \wedge q = p$

$F$ 是极大真强滤子当且仅当不存在另一个真强滤子 $F'$ 包含 $F$ 。这当且仅当( $p' < p \Rightarrow p' = 0$ )，亦即 $p$ $B$ 中的次小元。证毕。

Stone拓扑表示定理说布尔代数 $B$ $\phi$ 同构，对有限布尔代数来说，就有下面的简化定理：

Stone简化定理　任何一个 $n$ 元布尔代数 $B = (B, \vee , \wedge ,\neg )$ 与集合代数 $P(U) = ({2^U}, \cup , \cap ,C)$ 同构，或、且、非的逻辑运算转化为集合的并、交、余运算。这里， $U$ $B$ 的表现论域。

Stone简化定理把 $B$ 的次小元集合 $U$ 找出来，用 $U$ 中的元素当作变元 $x$ ，用 $U$ 的子集表示概念，把 $B$ 变成 ${2^U}$ ，实现了逻辑或、且、非与集合并、交、余运算的统一。任何公式 $p$ 都对应着一个集合 $P$ ，叫做它的真集。谓词 $p(x)$ 真当且仅当变元 $x$ 进到了集合 $P$ 中。这一定理把难懂的Stone定理说得简单明白而且说到本质。Stone定理之所以重要，就是因为它把事物是非的“是”等同于隶属的“属”，这体现了概念内涵与外延的一致性，是任何逻辑体系都必须满足的，哪一个逻辑体系不满足Stone定理，哪一个逻辑体系就要被否决。因而，这个定理成了检验新逻辑系统的一块试金石。而Stone定理的核心是表现论域。王国俊先生和他的学生们的工作之所以杰出，就是因为他们都明确地使用和定义了各自的表现论域。

 $U = \left \{ {x_1} \wedge {x_2} \wedge \cdots \wedge {x_n}\big|{{x_j} = {p_j} {\text{或}}\neg {p_j}(j = 1,2, \cdots ,n)\ } \big. \right \}$ (2.2)

 $B = \{ 0,p,\neg p,1\}$

B包含两个次小元 $p$ $\neg p$ ，它们分别与两个极大强真滤子相对应： ${F_1} = \{ p,1\}$ ${F_2} = \{ \neg p,1\}$

 $\begin{array}{c} {B} = \left\{ {0,pq,{p^\prime }q,p{q^\prime },{p^\prime }{q^\prime },pq \vee {p^\prime }q = q} \right.,\\ pq \vee pq' = p,pq \vee p'q',p'q \vee pq',\\ p'q \vee p'q' = p',pq' \vee p'q' = q',\\ pq \vee p'q \vee p'q' = pq \vee p',\\ pq \vee p'q \vee pq' = q \vee pq',\\ pq \vee p'q \vee p'q' = pq \vee p',\\ pq \vee pq' \vee pq' = pq \vee pq' \vee pq',\\ p'q \vee pq' \vee p'q' = p'q \vee q',\\ pq \vee p'q \vee p'q' \vee p'q' = 1\} \end{array}$

2.3 谓词演算中的变元争议与因素逻辑

 ${{\text{高}}^{(x)}} \to {{\text{大}}^{\left( y \right)}}$

1）它的符号集是字集 $S = I({f_1}) \cup I({f_2}) \cdots \cup I({f_n})$ 加上符号1,0以及括号；

2) 它的公式集 $F(S)$ 是由 $S$ 所生成的布尔代数 $(F(S), \vee , \wedge ,\neg )$ ，所有的字叫作原始公式；

3) 它的公理集是布尔逻辑的公理集再补充以下假设公理 $\Gamma$

${\Gamma _1}$   字姓公理：称 $I({f_i}) = \{ {x_{i1}},{x_{i2}},\cdots ,{x_{iK}}\}$ 中的字为第 $i$ 家字。有

${x_{i1}} \! \vee\! {x_{i2}} \! {\vee} \! \cdots \! \vee\! {x_{iK}} = 1$ ${x_{ik}} \!\wedge\! {x_{ik'}} = 0 \; (k \ne k')$ $\left \{ {\rm{neg}} {x_{ik}} = \vee\right.$ $\left. \left\{ {x_{ik'}}\big|k' \ne k\right \}\big. \right \}$

${\Gamma _2}$   背景公理：存在一个公式 $r \in F(S)$ 叫作背景式，有 $p \to p \wedge r\;\;{\text{且}}\;\;p \wedge r \to p\;\;\;(\forall p \in F(S))$ ，若系统 ${L_f}$ 不指明 $r$ ，则意味着 $r = 1$

4) 真值集是二值布尔代数W2 ${W_2} = \{ 0,1\} =$ $\{ \{ 0,1\} , \vee , \wedge ,\neg \}$

5) 推理规则： $MP:\left\{ {p,p \to q} \right\}\Big| - q$

 $\Gamma \vdash \phi\;\;\; {\rm{iff}}\;\;\;\Gamma | = \phi$

${L_f}$ 的假设公理 $\Gamma$ 是由两组公理给出。字姓公理 $\Gamma _1$ 强调字是因素的相，不同因素的字是不同姓的。字姓公理保证同姓字之间遵守布尔逻辑关系。其中 ${x_{ik}} \wedge {x_{ik'}} = 0(k \ne k')$ 要求在每一字组中每家不许出两个以上的字，否则就出现矛盾。例如， $x =$ 色红且色绿且质嫩且味鲜，就是一个矛盾式。相对于综合因素 $F$ 而言，字是单因素的相，它是原始公式却不是最小相，字的合取 $x = {x_{i(1)}}{x_{i(2)}} \cdots {x_{n(n)}}$ 才是最小相。例如，红、大、嫩、鲜分别是颜色、个子、质地、口感等4个因素的相，它们都是字，都是原始公式，但都不代表因素空间的原子内涵，它们的合取 $x =$ “红大嫩鲜”才是一个原子内涵。

 $\begin{array}{c} I = I({f_1}) \times I({f_2}) \times \cdots \times I({f_n}) = \\ \left \{ {a_{1(1)}},{a_{1(2)}},\cdots ,{a_{n(n)}}\big| {{a_{ik}} \in I({f_i})(i = 1,2, \cdots ,n)} \big. \right \} \end{array}$

3 结构−功能分析与语法−语用对接

3个开关，每个开关有2种状态，搭配出8种组态，形成表现论域 $U$ ，由于这3个开关都是独立的。 $U$ 中8种搭配都用上了。现在，设想这3个开关不是独立的，譬如： ${x_2}$ ${x_3}$ 是等效的： ${x_2} = {x_3}$ 。在这种限制下，第二、三、六、七列的组态是不可能出现的，背景 $R$ 只包含4种组态： $R = \left\{ {\left( {0,0,0} \right),\left( {0,1,1} \right),\left( {1,0,0} \right),\left( {1,1,1} \right)} \right\}$

 $\begin{gathered} \left( {0,0,0} \right) = (\neg {p_1}) \wedge (\neg {p_2}) \wedge (\neg {p_3}) = , {{\underline{x} }_1} \wedge {{\underline{x} }_2} \wedge {{\underline{x} }_3} = {{\underline{x} }_1}{{\underline{x} }_2}{{\underline{x} }_3} \\ \left( {0,1,1} \right) = (\neg {p_1}) \wedge \left( {{p_2}} \right) \wedge \left( {{p_3}} \right) = , {{\underline{x} }_1} \wedge {x_2} \wedge {x_3} = {{\underline{x} }_1}{x_2}{x_3} \end{gathered}$ (3.1)

${p_1}$ ${p_2}$ ${p_3}$ $B$ 中的字，但字组中的字 ${x_i}$ 既可以是 ${p_i}$ 也可以是 $\neg {p_i}$ 。在做这张表的时候，由于有4种状态是不能出现的，所以，经典的最小化问题是无解的，因为赋值没有完全。但用因素逻辑，可以作功能结构分析如下：

$R = I\left( {{f_1}} \right) \times I\left( {{f_2}} \right) \times \ldots \times I\left( {{f_n}} \right)$ 是包含所有信息组态的完全空间，对 $R$ 所作的任何分割，每一信息组态 $x$ 必在一方。当 $R \ne I\left( F \right)$ 时，对 $R$ 分割的双方可能都找不到某些信息组态，但是这些双方都找不到的信息组态必是虚组合，不妨碍命题的成立。

1) 将赋值表中所有不属于背景 $R$ 的所有列去掉，得到 $R$ 子表；

2) 将 $p = 1$ 的点集合而成正类, 将 $p = 0$ 的点集合而成反类;

3) 逐一检查长度 $k = 1$ 的字组, 若它在反类的所有字组中都不出现，则它是 $p$ 的一个素蕴涵式，从中删除它的所有蕴涵式，如此继续直到所有单字都检查完毕；

4) 字组长度 $k: = k + 1$ ，重复3），重复此过程，直到正类字组被删尽。将 $T$ 的所有素蕴涵式用加号连接起来，就得到 $T$ 的极小析取范式

1)将赋值表中所有不属于背景 $R$ 的所有列去掉，得到 $R$ 子表（见表2）。

2) 将 $p = 1$ 的点集合而成正类, 将 $p = 0$ 的点集合而成反类：

 ${\text{正类}}=\{ {x_1}{x_2}{x_3},{x_1}{x_2}{x_3},{x_1}{x_2}{x_3}\}$
 ${\text{反类}}=\{ {x_1}{x_2}{x_3}\}$

3) 逐一检查长度 $k = 1$ 的字组 $q$ ，首先考虑 $q = {x_1}$ ，它不在反类的字组中出现，所以它是 $p$ 的一个素蕴涵式，删去正类中含有 ${x_1}$ 的所有点，得

 ${\text{正类}} = \{ {x_1}{x_2}{x_3}\}$

4 逻辑的目标驱动与逆向推理

 Download: 图 2 $B$ 在背景 $R$ 下包含 $B$ ： $A{ \subseteq _R}B$ Fig. 2 Bcontaining A under background R: $A{ \subseteq _R}B$

5 泛逻辑前三连续算子对的数学证明

 $\begin{array}{l} {\mu _A}_{ \cup B}\left( x \right) = {\rm{max}}\{ {\mu _A}\left( x \right),{\mu _B}\left( x \right)\} \\ {\mu _A}_{ \cap B}\left( x \right) = {\rm{min}}\{ {\mu _A}\left( x \right),{\mu _B}\left( x \right)\} \end{array}$

2) 概率算子：

 \begin{aligned} {\mu _A}_{ \cup B}\left( x \right) = & {\mu _A}\left( x \right) + {\mu _B}\left( x \right) - {\mu _A}\left( x \right){\mu _B}\left( x \right)\\ & {\mu _A}_{ \cup B}\left( x \right) = {\mu _A}\left( x \right){\mu _B}\left( x \right) \end{aligned}

3) 有界和积算子：

 $\begin{array}{l} {\mu _A}_{ \cup B}\left( x \right) = {\rm{min}}\{ {\mu _A}\left( x \right) + {\mu _B}\left( x \right), 1\} \\ {\mu _A}_{ \cap B}\left( x \right) = {\rm{max}}\{ {\mu _A}\left( x \right) + {\mu _B}\left( x \right) - 1, 0\} \end{array}$

 Download: 图 3 模糊集是随机云的落影 Fig. 3 A fuzzy set is the falling shadow of a random cloud

 Download: 图 4 模糊集的并、交运算 Fig. 4 Union and intersection of fuzzy sets

 $\begin{split} & {\mu _A}_{ \cup B}\left( x \right) = {\mu _A}\left( x \right) \wedge {\mu _B}\left( x \right) = R({\text{交区}})\\ & {\mu _A}_{ \cap B}\left( x \right) = {\mu _A}\left( x \right) \vee {\mu _B}\left( x \right) = R({\text{并区}}) \end{split}$ (6.1)

 $\begin{array}{l} {\mu _A}_{ \cup B}\left( x \right) = {\rm{max}}({\mu _A}\left( x \right),{\mu _B}\left( x \right))\\ {\mu _A}_{ \cap B}\left( x \right) = {\rm{min}}({\mu _A}\left( x \right),{\mu _B}\left( x \right)) \end{array}$

 $\begin{array}{c} {\mu _A}_{ \cup B}\left( x \right) = {\mu _A}\left( x \right) + {\mu _B}\left( x \right) - {\mu _A}\left( x \right) \times {\mu _B}\left( x \right)\\ {\mu _A}_{ \cap B}\left( x \right) = {\mu _A}\left( x \right) \times {\mu _B}\left( x \right) \end{array}$

 \begin{aligned} & {\mu _A}_{ \cup B}\left( x \right) = {\rm{min}}({\mu _A}\left( x \right) + {\mu _B}\left( x \right), 1)\\ & {\mu _A}_{ \cap B}\left( x \right) = {\rm{max}}({\mu _A}\left( x \right) + {\mu _B}\left( x \right) - 1, 0) \end{aligned}

6 结束语

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