图像去噪作为一种经典的低秩矩阵逼近问题，引起了越来越多学者的关注。图像去噪的目的是从噪声图像Y中去除噪声η，尽可能准确地估计出清晰图像X，其中η常常被假设为标准差为σ_n的加性白高斯噪声。由于图像去噪本身的不适定性，因此在增强图像去噪性能上求解图像先验知识的算法得到了广泛的研究。目前相关学者已经提出了多种有效的图像先验知识模型，如全变分方法^[1]、稀疏表示方法^[2-4]、基于非局部自相似性方法^[5-6]和深度学习^[7-8]等。

早期的图像去噪模型主要考虑像素级别的先验知识，比如全变分等正则化方法，但是这些方法往往会损坏图像的细节特征，造成图像过于平滑。近年来，一些基于稀疏表示的正则化方法被相继提出。稀疏表示的目的是在给定的超完备字典D中用尽可能少的原子来表示信号，获得信号更为简洁的表示方式，即稀疏系数α。最具代表性的稀疏表示方法是将图像块作为一种稀疏线性组合进行编码，形成超完备冗余字典^[9]，这些字典通常是从自然图像中学习得到的，从而得到更好的稀疏去噪性能。尽管如此，基于图像块的稀疏表示模型通常会存在一些问题，比如字典学习具有较高的计算复杂度，同时也忽视了图像块之间的相互关系^[10-11]。

传统的基于图像去噪的稀疏表示方法，常常利用l₁范数凸优化来进行稀疏编码^[12-13]，但凸优化方法在一些图像逆问题中很难获得准确的稀疏结果，因此Zha等^[14-15]提出了非凸l_p范数最小化稀疏表示模型，但是该模型只考虑了输入噪声图像的非局部相似性属性，在图像被噪声严重破坏的情况下，从噪声图像中恢复出清晰图像具有很大的挑战性。为提高去噪算法的性能，本文提出一种基于非凸加权l_p范数稀疏误差约束的图像去噪算法，将图像去噪问题转化为一个求解有效稀疏系数的问题。该方法将求解稀疏系数问题拆分为两个子问题，利用广义软阈值算法^[16]求解l_p范数中的稀疏系数，并采用代理算法^[17]求解稀疏误差约束中的稀疏系数，最后将两者的均值作为最终的稀疏系数。为了验证本文算法的有效性，采用标准的图像数据集进行仿真实验。与BM3D^[5]、NCSR^[18]、WNNM^[19]等算法进行比较分析，本文所提算法不仅具有更高的峰值信噪比(PSNR)，而且具有更高的运行效率，达到了预期实验结果。

1 基本概念

本文算法是基于图像非局部自相似性进行研究的，首先对组稀疏表示模型中相似组的选择过程进行介绍。将清晰图像X划分为n个重叠的图像块x_n，对于每一个图像块 ${x_i}(i = 1,2, \cdots \! ,n)$ 从一个搜索窗口中的所有图像块中，利用kNN方法提取出与图像块x_i最相似的m个相似块，构成相似组X_i。基于图像块稀疏表示的相似性^[2]，从每一个相似组X_i中学习对应的字典D_i，则相似组X_i可以被稀疏表示为X_i=D_iN_i，N_i表示稀疏系数。利用l₁范数来求解N_i的最优值N_x，即

$ {N_x} = \arg \mathop {\min }\limits_{{N_i}} \sum\limits_{i = 1}^n {(\frac{1}{2}\parallel {X_i} - {D_i}{N_i}\parallel _{\rm{F}}^2} + \lambda \parallel {N_i}{\parallel _{1}}) $

(1)

式中： $\parallel \cdot \, {\parallel _{{\rm{ F}}}}$ 表示F范数； $\parallel \cdot \, {\parallel _{{\rm{ }}1}}$ 表示l₁范数；λ是正则化参数，其目的是使保真项与稀疏项之间取得较好的平衡。

噪声图像中相似组Y_i的提取方式与清晰图像类似，即 ${Y_i} = \left\{ {{y_i}_1,{y_i}_2, \cdots ,{y_{im}}} \right\}$ ，其中y_im表示第i个相似组Y_i的第m个相似块，相似组Y_i被稀疏表示为Y_i=D_iδ_i。图像去噪则可转化为利用组稀疏表示的形式，从噪声图像Y中恢复出潜在的清晰图像X，求解噪声图像中稀疏系数M_i的最优值M_y，可表示为

$ {M_y} = \arg \mathop {\min }\limits_{{M_i}} \sum\limits_{i = 1}^n {(\frac{1}{2}\parallel {Y_i} - {{\hat X}_i}\parallel _{\rm{F}}^2} + \lambda \parallel {M_i}{\parallel _{{\rm{ }}1}}) $

(2)

式中： ${\hat X_i} = {D_i}{M_i}$ ， ${\hat X_i}$ 表示图像中第i个清晰图像块的估计。

1.1 非凸加权l_p范数最小化

从噪声中估计稀疏信号，常常使用稀疏凸正则化来进行优化。但在一些图像逆问题中，如图像去模糊、图像去噪等图像恢复问题，利用凸正则化并不能较好地获取准确的稀疏结果。根据文献[15]中l_p稀疏表示优化算法的成功应用，为了获得更准确的稀疏表示结果，将非凸加权l_p(0<p<1)惩罚函数扩展到组稀疏表示，采用非凸l_p范数代替凸l₁范数。对于图像去噪，基于组稀疏表示的非凸加权l_p范数最小化可表示为

$ {{{M}}_y} = \arg \mathop {\min }\limits_{{{{M}}_i}} \sum\limits_{i = 1}^n {(\frac{1}{2}\parallel {Y_i} - {{\hat X}_i}\parallel _{\rm{F}}^2} + \parallel {{{W}}_i} \cdot {{{M}}_i}{\parallel _p}) $

式中： $\parallel \cdot \, {\parallel _p}$ 表示非凸l_p范数；·表示向量间的点积运算；W_i表示相似组的权重。权重更新公式为 ${{{w}}_i} = {{c \times 2\sqrt 2 {\sigma ^2}} / {{\sigma _i}}}$ ，c是一个常数，σ_i表示稀疏系数M_i的标准差。

1.2 稀疏误差

由于噪声的影响，从图像Y中估计出准确的稀疏系数M较为困难。换言之，从式(1)中求出的原始清晰图像X的稀疏系数N，从式(2)中求出的估计稀疏系数M，两者存在误差。大部分图像去噪算法的性能都依赖于稀疏系数的准确性，因此降低稀疏误差的大小至关重要，估计稀疏系数M与真实稀疏系数N之差R为^[18]

$ R = M - N $

为提高图像去噪的性能，需要增强稀疏系数M的准确性，也就是使稀疏误差R足够小。因此，式(2)可重写为

$ {M_y} = \arg \mathop {\min }\limits_{{M_i}} \sum\limits_{i = 1}^n {(\frac{1}{2}\parallel {Y_i} - \hat X\parallel _{\rm{F}}^2} + \gamma \parallel {M_i} - {N_i}{\parallel _p}) $

(5)

式中γ表示正则化参数。当p=1时，l_p范数服从拉普拉斯分布；当p=2时，服从高斯分布；当0<p<1时，服从超拉普拉斯分布。相关研究结果表明，稀疏误差R的分布更逼近于拉普拉斯分布，因此利用l₁范数对稀疏误差R进行正则化，式(3)可重写为

${M_y} = \arg \mathop {\min }\limits_{{M_i}} \sum\limits_{i = 1}^n {(\frac{1}{2}\parallel {Y_i} - \hat X\parallel _{\rm{F}}^2} + \gamma \parallel {M_i} - {N_i}{\parallel _{{\rm{ }}1}})$

2 基于非凸加权l_p范数的稀疏误差约束算法

在图像去噪过程中，由于清晰图像X是未知的，求出真实的稀疏系数N是非常困难的，但可求出N的精确估计来近似表示稀疏系数。目前，用来估计稀疏系数的方法已经有很多相关的研究成果，但是这些相关方法的泛化能力具有一定的局限性，在选择时要取决于清晰图像的先验知识。若有较多类似于清晰图像X的训练图像，则可从训练图像中学习到较多清晰图像的先验知识，从而求解更优的稀疏系数。但是，实际情况下，并没有太多类似于清晰图像的训练图像。在本文算法中，采用预滤波对图像进行预处理。

基于上述分析，首先利用BM3D方法对噪声图像Y进行预滤波处理，得到图像Y_B，然后再对Y_B进行初始化，从图像Y_B中获取组稀疏系数N较为准确的估计值，即Y_Bi=D_iN_i。

为提高去噪算法的性能，本文将稀疏误差约束融合到非凸加权l_p范数去噪算法中。图像去噪问题便转化为最小化l_p范数和稀疏误差，进而求得最优稀疏系数问题。基于非凸加权l_p范数稀疏误差约束最小化可表示为

$\begin{array}{c} {M_y} = \arg \mathop {\min }\limits_{{M_i}} \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {(\frac{1}{2}\parallel {Y_i} - \hat X\parallel _F^2} + \\ \parallel {W_i} \cdot {M_i}{\parallel _p} + \gamma \parallel {M_i} - {N_i}{\parallel _{{\rm{ }}1}}) = \\ \arg \mathop {\min }\limits_{{{{u}}_i}} (\parallel {{{y}}_i} - {{{D}}_i}{{{u}}_i}\parallel _2^2 + \parallel {{{w}}_i} \cdot {{{u}}_i}{\parallel _p} + \\ \gamma \parallel {{{u}}_i} - {{{v}}_i}{\parallel _{{\rm{ }}1}}) \end{array}$

(7)

式中： ${{{y}}_i}$ 、 ${{{u}}_i}$ 、 ${{{w}}_i}$ 和 ${{{v}}_i}$ 分别表示Y_i、M_i、W_i和N_i的向量；权重更新公式为 ${w_i} = c \text{×} 2\sqrt 2 {\sigma ^2}/{\sigma _i}$ ，c是一个常数；σ_i表示稀疏系数M_i的标准差；字典 ${{{D}}_i} =$ $ [{d_1}\,\,{d_2}\,\, \cdots \,\,{d_K}]$ ，K表示字典原子的数量；γ表示正则化参数。

由于式(4)中 $\parallel {{{w}}_i} \cdot {{{v}}_i}{\parallel _p}$ 是非凸l_p范数， $\gamma \parallel {{{u}}_i} - {{{v}}_i}{\parallel _{{\rm{ }}1}}$ 是凸l₁范数，两者无法同时求解，因此将式(4)拆分为两个子问题：一是求解非凸加权l_p范数最小化问题中的稀疏系数，即u_pi；二是求解稀疏误差约束问题中的稀疏系数，即u_ri。最后使用均值求解法获得最终的稀疏系数， ${{{u}}_i} = ({{{u}}_{pi}} + {{{u}}_{ri}})/2$ 。则式(4)重写为

$ \begin{array}{c} {M_y} = \arg \mathop {\min }\limits_{{{{u}}_i}} \{ \parallel {{{y}}_i} - {{{D}}_i}{{{u}}_i}\parallel _2^2 + \displaystyle\frac{1}{2}(\parallel {{{w}}_i} \cdot {{{u}}_{pi}}{\parallel _p} + \\ \gamma \parallel {{{u}}_{ri}} - {{{v}}_i}{\parallel _{{\rm{ }}1}})\} \end{array} $

在非凸加权l_p范数最小化问题中，利用广义软阈值算法求解稀疏系数u_pi，即

${{{u}}_{pi}} = S_p^{{\rm{GST}}}({\delta _i};{{{w}}_i})$

式中 $S_p^{{\rm{GST}}}$ 表示广义软阈值运算符。若 ${\delta _i} < \tau _p^{{\rm{GST}}}({{{w}}_i})$ ，则 ${{{u}}_{pi}} \!=\! 0$ 是全局最小值，阈值 $\tau _p^{{\rm{GST}}}({{{w}}_i}) \!=\! {[2{{{w}}_i}(1 - p)]^{\frac{1}{{2 - p}}}} + $ $ {{{w}}_i}p{[2{{{w}}_i}(1 - p)]^{\frac{{p - 1}}{{2 - p}}}}$ ；否则，最小值将在非零点处求得。在稀疏误差约束问题中，利用代理算法求解稀疏系数u_ri：

${{{u}}_{ri}} = {S_\gamma }({{D}}_i^{ - 1}{\hat {{x}}_i} - {{{v}}_i}) + {{{v}}_i}$

(10)

式中：S_γ表示软阈值运算符； ${\hat {{x}}_i}$ 表示第i个重构相似组 ${\hat {{X}}_i}$ 矩阵的向量。

基于非凸加权l_p范数稀疏误差约束的图像去噪算法如算法1。

算法1　基于非凸加权l_p范数稀疏误差约束的图像去噪算法

输入　噪声图像Y，初始化 $\hat {{X}} = {{Y}},{{{Y}}_B},c,{{d}},m,L,J,$ ${{\sigma}} ,\tau ,\zeta ,{\textit{λ}}$ ；

输出　去噪图像 ${\hat {{X}}^{t + 1}}$ 。

1) 利用公式 ${{{Y}}^{t + 1}} = {\hat {{X}}^t} + \lambda ({{Y}} - {\hat {{X}}^t})$ 对输入的噪声图像Y进行归一化；

2) 判断Y ^t+1和Y_B的结构相似性与Y ^t和Y_B的结构相似性的差值是否小于阈值τ；

3) 若 ${\rm{SSIM}}({{{Y}}^{t + 1}},{{{Y}}_B}) - {\rm{SSIM}}({{{Y}}^t},{{{Y}}_B}) < \tau $ ，在图像Y ^t+1中进行相似块选取；否则，在图像Y_B中进行相似块选取；

4) 通过kNN方法对每一个图像块y_i和Y_Bi进行筛选，构建相似组 ${{{Y}}_i}^{t + 1}$ 和 ${{{Y}}_{Bi}}^{t + 1}$ ；

5) 对相似组Y_i进行PCA操作，构建字典 ${{{D}}_i}^{t + 1}$ ；

6) 由Y_Bi=D_iN_i和Y_i=D_iδ_i分别求解第t+1次稀疏系数 ${{{N}}_i}^{t + 1}$ 和 ${{{\delta}} _i}^{t + 1}$ ；

7) 根据 ${{{w}}_i} = c \times 2\sqrt 2 {{{\sigma}} ^2}/{{{\sigma}} _i}$ 求解第t+1次权重 ${W_i}^{t + 1}$ ；

8) 利用广义软阈值算法求解l_p范数中的稀疏系数u_pi；

9) 利用代理算法来求解误差约束中的稀疏系数u_ri；

10) 通过求解u_pi和u_ri的均值来计算第t+1次稀疏系数 ${{{M}}_i}^{t + 1}$ ；

11) 根据 ${{{X}}_i}^{t + 1} = {{{D}}_i}^{t + 1}{{{M}}_i}^{t + 1}$ 求得估计图像块 ${{{X}}_i}^{t + 1}$ ；

12) 根据加权平均合并图像块 ${{{X}}_i}^{t + 1}$ 形成去噪图像 ${\hat {{X}}^{t + 1}}$ ；

13) 结束。

由算法1可知，对于一个大小为d²×m的矩阵，其中d表示算法1中图像块y_i的宽度和高度，m是一个相似组中相似块的数量，在每次迭代中构建字典(算法1中5))是主计算，时间复杂度为 $O(\min \{ {d^2}{m^2},{\rm{ }}{d^4}m\} )$ 。广义软阈值算法(算法1中8))仅需要O(Km)，其中K表示广义软阈值算法中的迭代次数。因此，本文所提出的基于非凸加权l_p范数稀疏误差约束的图像去噪算法的时间复杂度为 $J \times S \times O(\min \{ {d^2}{m^2},{\rm{ }}{d^4}m\} + Km)$ ，J表示算法1的迭代次数，S表示一个滑动窗口中图像块的总数。

本文所提算法采用非凸加权l_p范数作为正则项来保证图像中关键信息的稀疏性，降低了算法的时间消耗。由于图像中噪声的影响，从噪声图像中求解的稀疏系数与真实的稀疏系数具有一定的误差，因此本文算法引入了稀疏误差约束，提出了基于非凸加权l_p范数稀疏误差约束的图像去噪算法。该算法利用稀疏误差约束，获取更精确的稀疏系数，提高了算法的去噪性能。

3 实验分析

为验证本文提出的基于非凸加权l_p范数稀疏误差约束图像去噪算法的有效性，采用如图1所示的测试图像进行仿真实验，将本文算法与几种相关的经典算法BM3D^[9]、EPLL^[20]、NCSR^[18]、WNNM^[19]、AST-NLS^[21]、MSEPLL^[22]进行实验对比分析。为保证实验的可行性和有效性，本文采用与文献[15]中相同的参数设置进行实验。本次实验环境为：CPU为AMD Athlon(tm) II X4 645 Processor，内存4 GB，系统为Windows 7，实验软件为MATLAB-R2016。

为获取噪声图像，对测试图像加入了高斯白噪声，噪声标准差分别为20、30、40、50，对图像加入不同的噪声，会选择不同尺寸的重叠块。当噪声标准差σ≤20时，重叠块的大小为6×6；当噪声标准差20<σ≤50时，重叠块的大小为7×7，选择相似块的搜索窗口大小为30×30，每个窗口选择的相似块个数为60，τ=0.000 1。当σ≤30时，(c, ζ, λ)为(0.2, 0.18, 0.67)；否则，(c, ζ, λ)为(0.3, 0.22, 0.67)。为评估本文算法的去噪性能，本文使用图像的峰值信噪比(PSNR)作为实验结果的评价标准，本文算法与所有对比算法的PSNR值如表1~4所示。

从表1~4可知，PSNR值随着标准差的增加逐渐降低，本文算法的大部分PSNR值都高于其他算法的PSNR值，且PSNR的平均值均高于其他相关算法的PSNR平均值。本文算法与相关算法的PSNR值进行比较，表1中PSNR值提升最高的是NCSR算法，提高了4.34 dB；表2中PSNR值提升最高的是EPLL算法，提高了3.69 dB；表3和表4中PSNR值提升最高的是BM3D算法，分别提高了3.48 dB和3.66 dB。本文算法与相关算法的PSNR平均值进行比较，其中提升最高的是表3中的EPLL算法，平均提升了1.9 dB，提高最低的是表4中的WNNM算法，平均提升了0.30 dB。本文算法在非凸加权l_p范数的基础上增加了稀疏误差约束，在获取有效估计稀疏系数的基础上，降低估计稀疏系数与真实稀疏系数之差，学习更精确的先验知识，取得了更好的去噪性能，验证了本文算法的可行性和有效性。

通过各算法PSNR的实验对比，表明了本文方法性能的优势。同时，为更好地体现本文算法的优越性，实验对比分析了几种相关算法在相同运行环境下的运行时间。各算法的平均运行时间如表5所示。

从表5可以看出，本文算法的运行时间在89.64 s左右，由于本文算法在去噪过程中采用自适应的相似块选取方法，依据图像的结构自相似性，排除非相似块的干扰，快速准确地构建相似组，因此在与算法EPLL、NCSR、WNNM、AST-NLS和MSEPLL比较时，本文算法运行效率较高，节省更多的运行时间。虽然本文算法在运行时间上逊于BM3D算法，但在PSNR值上远高于BM3D算法。通过上述分析，本文算法具有更好的有效性。

为显示去噪算法的视觉效果，本文采用噪声标准差为σ=40的House测试图像进行了仿真实验，实验结果如图2所示。从图2测试图像的右下角窗口可以清晰地看出，其他的去噪算法包含了更多的噪声，同时产生了很多的伪影。如图2(c)所示，由于EPLL算法忽略了图像的非局部自相似性，其纹理和结构边缘处的细节信息存在严重丢失，影响了直观视觉感受。本文所提算法是基于非凸加权l_p范数进行研究的，利用图像的非局部自相似性，在有效去除图像噪声的同时更好地保留了图像的纹理特征，如图2(i)所示。通过上述分析可知，本文所提出的算法具有较好的去噪性能，不仅可以获得较高的PSNR值，同时还产生了更好的视觉感受。

4 结束语

本文基于非凸加权l_p范数算法的研究，将稀疏误差约束融入到非凸加权l_p范数优化算法中，提出了一种基于非凸加权l_p范数稀疏误差约束的图像去噪算法，将图像去噪问题转化为降低误差约束，寻找最优稀疏系数问题。为了更好地求解最优稀疏系数，本文分别使用广义软阈值算法和代理算法来求解非凸l_p范数中的稀疏系数和误差约束中的稀疏系数。实验结果表明，本文所提出的算法可以鲁棒地求解稀疏系数，求得更高的峰值信噪比，以及更高的运行效率，并产生了较好的视觉效果，具有较大的实用性和有效性。