符号网络是指边具有正或负符号属性的网络，符号为正表示网络中两节点间具有相互信任的、积极的朋友关系，负边则表示不信任的、消极的敌对关系。具有符号属性的网络普遍存在^[1]，研究链路的符号属性有利于理解网络的基本结构特征，理解信任和不信任的传播方式。另外，社会符号网络的边符号属性能够直接反映节点间的态度，因此在推荐系统^[2]、舆情分析与观点形成^[3]、网络欺凌与社会排斥^[4]等问题中均能通过符号分析获得应用。符号网络的研究始于Heider^[5]基于社会心理学对人类关系的研究，而随着复杂网络研究兴起，符号网络的结构特征与演化规律受到更多研究者的关注^[6-7]，如何通过部分观测到的网络符号预测未知的边符号成为符号网络中非常重要的研究方向。

符号预测方法大致可以分为两类：1)考虑网络局部特征的方法；2)考虑网络全局特征的方法。考虑网络局部特征的方法主要利用节点的邻域特征，如：节点出边、入边的符号以及相邻三元组各边标注符号特征进行符号预测。这类方法主要基于网络局部特征以及社会学相关理论实现边符号的预测，所有基于弱结构平衡^[8]和地位理论^[9]的预测方法均要求两节点间具有共同邻居时算法才有效，但统计结果发现，现实的符号网络中有很大比例的节点不能构成三元组。Guha等^[10]最早基于网络模型研究符号预测问题，他们将信任网络表示为矩阵并运用不同的矩阵运算代表信任关系在网络上的不同传播方式，实现了信任关系的预测。Leskovec等^[11]采用机器学习的方法对符号预测问题进行了研究，他们利用节点的出度、入度、节点的嵌入性以及基于地位理论的所有16种待预测边所处的三角形的关系模式作为特征采用逻辑回归模型训练分类器，得到了较高的预测精度。文献[12]则通过网络局部特征和地位理论为特征采用SVM算法进行二值分类实现符号预测。相对于Leskovec考虑长度为3的有序环构建的网络特征，Chiang等^[13]利用Katz指标提出一个不平衡测度指标并通过长度为 $\kappa $ 的环的平衡程度构建特征集，然后使用逻辑回归模型进行符号预测，当环的长度从3增加到5时，预测精度有所提高，但是当 $\kappa > 5$ 后对预测精确度的影响不大。文献[14]指出：能够反映符号网络不平衡程度的测度都可以用于符号预测。文献[15]通过分析两节点间不同的连接形式，提出符号预测的方法，使得在没有共同邻居的情形下的预测精度有所提高；符合符号网络局部倾向于结构平衡或弱结构平衡的特征反过来会促使符号网络的全局特征出现，因此有很多利用网络全局结构进行符号预测的方法。文献[16]就从谱分析的角度出发进行符号预测，并指出许多基于谱分析的方法可以从简单的二值网络扩展到符号网络。他们将拉普拉斯矩阵的定义扩充到符号网络，通过拉普拉斯矩阵的核函数进行网络符号的预测。Hsieh^[17]等发现满足弱结构平衡理论的符号网络其邻接矩阵具有低秩特征，于是将符号预测问题转化为矩阵填充问题，用低秩填充法有效地进行了符号预测。他们还将符号预测近似为低秩矩阵分解问题进行了符号预测。文献[18]也研究了矩阵分解在符号预测中的应用并解决了数据不平衡对预测精度的影响。文献[19]提出了一种区别于Hsieh以逐点误差衡量原矩阵与结果矩阵误差的方法，他们将成对误差应用到矩阵分解的损失函数中，给出的算法MF-LiSP取得了较高精确度。通过以上介绍发现，符号网络的局部结构特征与全局特征联系紧密，符号预测方法仅使用局部特征或全局特征都不够全面，在预测算法中如何同时利用局部和全局特征是一个值得研究的问题。

受以上研究的启发，从真实网络数据的统计分析出发，结合节点局部标注特征和网络全局结构特征设计了一种新的基于低秩矩阵分解的符号预测模型，解决了符号网由于数据稀疏和网络局部特征利用不足带来的预测精度不高的问题。

1 相关理论 1.1 基本定义

定义符号网络 $G$ 为 $G = (V,E,S)$ ，其中 $V = \{ 1,2, $ $3, \cdots ,n\} $ 为节点集合， $E = \{ 1,2,3, \cdots ,m\} $ 为边集合， $S = \{ - 1,0,1\} $ 表示边符号， $i,j \in V$ , $e(i,j) \in E$ , $s(i,j) \in S$ ，设 $O$ 为被观测到的边集，则 $O \subseteq E$ 。符号网络 $G$ 对应邻接矩阵 ${{A}}$ ，其中：

${A_{ij}} = \left\{ \begin{array}{l}1,\quad i{\text{与}}j{\text{之间有正边}}\\0,\quad {\text{边符号未知或不存在边}}\\ - 1,\quad i{\text{与}}j{\text{之间有负边}}\end{array} \right.$

符号网络G可能为有向图也可能为无向图，当G为有向图时A为非对称矩阵，若G为无向图则A为对称矩阵。

1.2 结构平衡与弱结构平衡理论

结构平衡理论把人与人之间的关系分为积极和消极两种，被形式化地描述为符号网络，边的正、负符号分别表示积极关系和消极关系。此时符号网络中3个节点间的关系共形成4种三角形模体，如图1所示。从社会心理学角度看，以下结论成立：朋友的朋友是朋友；朋友的敌人是敌人。据此判定图1(a)、(b)是平衡的，而图1(c)、(d)是不平衡的。不平衡的结构具有向平衡结构转换的趋势。在三角形模体中判断局部平衡性时可以通过三条边符号之积来实现：三符号积为正则平衡，否则不平衡。Cartwright和Harary^[20]将Heider^[2]的社会学结论形式化地描述为图结构并证明符号网络平衡的充分必要条件是：网络中的节点能够被划分为两个子集，每个子集内的所有边均为正，子集间的边均为负。

平衡网络的判别条件比较严苛，现实中很难找到平衡网络的情形，因此Davis^[8]放宽结构平衡的约束提出了弱结构平衡理论，弱结构平衡理论规定：只要三角形模体中不存在两正一负的关系就构成弱平衡，在该条件下，图1(a)、(b)、(d)代表的情形均可看作平衡的结构。当网络满足弱平衡结构时，节点可以被分成 $\kappa $ 个子集，且子集内节点间的边全为正，子集间节点的边全为负。这类符号网也被称为 $\kappa $ -平衡网。

1.3 矩阵的秩与结构平衡

根据弱结构平衡的定义，当符号网络满足 $\kappa $ -平衡条件时，网络节点可以被分成 $\kappa $ 个子集，当对网络节点按编号排序，邻接矩阵将是块对角矩阵。

图2(a)给出了一个满足弱平衡网的示例，图中8个节点被分成3个子集，图2(b)为图2(a)对应的邻接矩阵A，若补齐图2(a)中缺失的边，使其成为完全图，该图对应的邻接矩阵为块对角矩阵X，块内很明显矩阵的秩 ${\rm{Rank}}({{X}}) = 3$ 小于矩阵的行列数8。根据以上分析可知符号网络添加相应具有固定符号的边将使符号网络向完全 $\kappa $ -平衡网靠近。

因此可以把符号预测问题看作矩阵填充问题：已知被部分观测到的矩阵 ${{A}}$ ，采用矩阵填充的方法找到矩阵 ${{X}}$ 。此时符号预测问题可被看作优化问题：填充矩阵中零值使得目标矩阵 ${{X}}$ 的秩最小。该问题可形式化描述为

$\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{\min } & {{\rm{Rank}}({{X}})}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}} & \begin{array}{l}{X_{ij}} = {A_{ij}},\forall e(i,j) \in O,\\{X_{ij}} \in \{ \pm 1\} ,\forall e(i,j) \notin O\end{array}\end{array}\end{array}$

(1)

式(1)的目标函数是 ${{X}}$ 矩阵的秩，即其奇异值构成向量的稀疏性，通常上述优化问题是NP难的，而函数 ${\rm{Rank}}({{X}})$ 在矩阵谱范数单位球上的凸包络是矩阵的核范数(即矩阵所有奇异值的和)，因此可以用凸的核范数最小化来近似秩最小化问题，文献[21]表明：当被观测矩阵均匀抽样且 $\left| O \right| \geqslant C{\mu ^4}n{\left( {{{\log }_2}n} \right)^2}$ 成立时，矩阵X可以以 $1 - {n^{ - 3}}$ 的概率被恢复。但是对于符号网络来说，均匀抽样不容易做到，因为通过4.1节数据描述可以看到符号网络80%的边为正，同时矩阵填充的运算速度较慢，因此矩阵填充也经常用低秩矩阵分解来近似。

2 符号预测

当符号预测被近似为低秩矩阵分解问题时，邻接矩阵 ${{A}}$ 可被分解为两个 $\kappa $ 行 $n$ 列的矩阵P^T和Q，优化目标是使 ${{{P}}^{\rm{T}}}{{Q}}$ 与A之间的误差最小，原矩阵可以被 ${\hat r_{ij}} = {({{{P}}^{\rm{T}}}{{Q}})_{ij}}$ 值填充， ${\hat r_{ij}}$ 就是预测到的用户 $i$ 对用户 $j$ 的评价。矩阵分解模型可被形式化地描述为

$\begin{array}{*{20}{c}}\!\!\!\!\!\!\!\! {\mathop {\min }\limits_{{{{P}}^{\rm{T}}},{{Q}} \in {\mathbb{R}^{k \times n}}} }{C = \displaystyle\sum\limits_{e(i,j) \in {\rm O}} {l({A_{ij}},\sum\limits_{k = 1}^\kappa {{P_{ik}}{Q_{kj}}} )} + \lambda {{\left\| {{P}} \right\|}^2} + \lambda {{\left\| {{Q}} \right\|}^2}} \end{array}$

(2)

式(2)中l为损失函数用于评价预测值与原矩阵间的误差，后两项为正则化项，用来防止过拟合损失函数，可根据具体问题进行选择。虽然上式是非凸的，但是实践证明该方法在很多矩阵填充问题中均取得了很好的预测效果。

基本矩阵分解模型充分利用了邻接矩阵的全局低秩特性，但是，在被符号网络所代表的社会关系网中，不同节点的标注行为常常具有偏置现象：网络“喷子”也被称为“Troll”的节点，该类节点为引起别人的注意会故意攻击其他人，“Troll”节点会发出比其余节点更多的负边；与此相对应的，有些节点会收到低于平均水平的评价，它们可能受到“网络欺凌”，这一现象的社会心理学根源是“认知失调”，人们通常为保持与他人态度的一致而调整自己的行为因此而攻击收到过负面评价的人。从真实符号网络的统计特征发现，这两类节点在符号网中确实存在，虽然数量不多但其作用巨大。在符号预测问题中仅考虑平均后的全局特征并不能完全反映网络结构特征，节点的局部标注特征需要在预测模型中得以体现。现定义待预测边的局部标注特征为

${b_{ij}} = \mu + U{i_{\rm{out}}} + U{j_{\rm{in}}}$

(3)

式中： $\, \mu $ 为符号网络的平均标注倾向，当 $\mu $ 为负时说明网络用户更倾向于给其他用户以负面评价； $\mu $ 为正时，则表示网络用户有给其他邻居以正面评价的倾向。设待预测边 $e(i,j)$ 两端的节点为i和j， $U{i_{\rm{out}}}$ 表示节点i发出的边符号的均值， $U{i_{\rm{out}}}$ 的值能够反映节点i对相邻节点的局部标注特征：若节点发出的负边数大于正边数，表示节点i给邻居以负面评价的可能性大， $e(i,j)$ 被预测为负的可能性就增加。同理， $U{j_{\rm{in}}}$ 为 $j$ 收到的边符号的均值，当 $U{j_{\rm{in}}}$ 为负时表示节点 $j$ 收到了更多的负面评价，因此 $e(i,j)$ 被预测为负的可能性就增加。图3给出了符号网络标注的局部偏置示例，设 $\mu = 0.2$ ，即符号网络全局有正面评价的倾向，经计算可得： $U{i_{\rm{out}}} = \left[ {\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + 1} \right]/4 = - 1/4$ ， $U{j_{\rm{in}}} = {{ - 1} / 4}$ ，于是 ${b_{ij}} = {{ - 3} / {10}}$ ，此时边 $e(i,j)$ 的符号预测结果将向负偏斜。

${b_{ij}}$ 的值能够很好地反映待预测边两端节点的局部标注行为和行为偏好，将标注偏好反映在预测的目标函数，得到较基本模型更为精细的预测模型：

$\begin{array}{c}\mathop {\min }\limits_{{{{P}}^{\rm{T}}},{{Q}} \in {{\mathbb{R}}^{k \times n}}} C = \displaystyle\sum\limits_{e(i,j) \in {\rm O}} {l({A_{ij}} - ({b_{ij}} + \sum\limits_{k = 1}^\kappa {{P_{ik}}{Q_{kj}})} } ) + \\\;\;\;\;\;\;\;\;\lambda (\left\| {{P}} \right\|_1^2 + \left\| {{Q}} \right\|_1^2 + U{i_{\rm{out}}}^2 + U{j_{\rm{in}}}^2)\end{array}$

(4)

根据式(4)可知：节点i对节点j的符号可被预测为 ${\hat r_{ij}} = {b_{ij}} + {({{{P}}^{\rm{T}}}{{Q}})_{ij}}$ ，而式(2)表示的基本矩阵分解模型得到的符号预测结果为 ${\hat r_{ij}} = {({{{P}}^{\rm{T}}}{{Q}})_{ij}}$ 。因此，以式(4)为目标函数的优化方法，不但考虑了符号网的全局低秩特性还考虑了待预测边两端节点的局部标注特征，与基本模型相似，添加了关于局部特征项的正则化项 $U{i_{\rm{out}}}^2 + U{j_{\rm{in}}}^2$ 防止过拟合。

损失函数l可以有多种选择，本文选择Square_loss为损失函数，于是优化目标函数可写成：

$\begin{array}{c}\mathop {\min }\limits_{{{{P}}^{\rm{T}}},{{Q}} \in {{\mathbb{R}}^{k \times n}}}C = {\displaystyle\sum\limits_{e(i,j) \in {\rm O}} {\left\| {{A_{ij}} - ({b_{ij}} + \sum\limits_{k = 1}^\kappa {{P_{ik}}{Q_{kj}})} } \right\|} ^2} + \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lambda (\left\| {{P}} \right\|_1^2 + \left\| {{Q}} \right\|_1^2 + U{i_{\rm{out}}}^2 + U{j_{\rm{in}}}^2)\end{array}$

(5)

对式(5)给出的优化问题可以采用随机梯度下降法进行求解，令 ${e_{ij}} = {A_{ij}} - ({b_{ij}} +\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^\kappa {{P_{ik}}{Q_{kj}}} )$ ，通过求梯度以确定优化函数下降方向： $\displaystyle\frac{{\partial C}}{{\partial {P_i}}} = - 2{e_{ij}}{Q_j} + 2\lambda {P_i}$ ， $\displaystyle\frac{{\partial C}}{{\partial {Q_j}}} = - 2{e_{ij}}{P_i} + 2\lambda {Q_j}$ ，同理也可求得目标函数对 $U{i_{\rm{out}}}$ 、 $U{j_{\rm{in}}}$ 的偏导数，由于沿梯度方向相反的方向下降最快，于是得到如下迭代公式：

${P_i} \leftarrow {P_i} + \alpha ({e_{ij}}{Q_j} - \lambda {P_i})$

(6)

${Q_j} \leftarrow {Q_j} + \alpha ({e_{ij}}{P_i} - \lambda {Q_j})$

(7)

$U{i_{\rm{out}}} \leftarrow U{i_{\rm{out}}} + \alpha ({e_{ij}} - \lambda U{i_{\rm{out}}})$

(8)

$U{j_{\rm{in}}} \leftarrow U{j_{\rm{in}}} + \alpha ({e_{ij}} - \lambda U{j_{\rm{in}}})$

(9)

通过反复迭代并不断优化参数，使观测矩阵A与分解后矩阵 ${{B}} + {{{P}}^{\rm{T}}}{{Q}}$ 间的误差小于设定的误差值即最终收敛。其中 $\alpha $ 为学习速度， $\alpha $ 越大下降就越快。随机梯度下降的时间复杂度为 $O(tm\kappa )$ ， $t$ 为迭代并收敛次数， $m$ 为节点个数， $\kappa $ 为秩数。由于符号网络满足低秩特性，通常 $\kappa $ 值很小，且收敛较快，因此采用随机梯度下降法求解最小化问题速度较快。

3 实验结果与分析 3.1 数据集描述

实验中的3个真实大型社会网络数据来自于斯坦福大学的SNAP²项目，Epinions给出了用户间“who-trust-whom”的关系，Slashdot是一个技术相关的新闻网站，允许用户根据自身观点标记其他用户为friend/foe，Wikipedia是维基百科申请管理员身份的投票关系网，若一个用户被大多数其他用户同意则当选为某一学科的管理员负责百科词条的维护，若该用户未受到大多数其他用户的赞成票则选举失败。表1给出了3个网络的统计特征。

表1的统计结果显示：3个符号网络中正边占比均在75%以上，而负边占比较少，互惠边(reciprocal edges)是指两用户间持有相同态度，这样的互惠边在网络中占有一定比例，且互惠边中正边居多，这与人们社会心理有关，当一个人讨厌另一个人反应的是不予理睬，“爱的反义词不是恨而是冷漠”。而一个人对另一个人的示好通常显示出“镜子效应”。统计结果还发现：发出50%以上负边的节点只占网络节点极少部分，且大部分的负边都是由一些特定节点发出的，这些节点充满反社会特征，并通过攻击别人博取别人的关注，这些节点发出的新边为负的可能性极大，而收到50%以上负边的节点也的确存在，即“网络欺凌”是事实，存在“人云亦云”的现象。统计结果还显示，符号网络中有一定比例的节点无法构成三元组，此时基于结构平衡理论的预测算法将失效。

3.2 预测效果与分析

为证明所提带有偏置的矩阵分解模型MF-Bias (matrix factorization with bias)对符号预测问题的有效性，将它与以下基准预测算法进行比较。

1) OutDegree(简写为OD)：若 $d_{{\rm{out}}}^{\rm{ + }}(i) \geqslant d_{{\rm{out}}}^ - $ ，则被预测边 $e(i,j)$ 的符号为正，反之为负。

2) InDegree(简写为ID)：若 $d_{{\rm{in}}}^{\rm{ + }}(j) \geqslant d_{{\rm{in}}}^ - (j)$ ，则被预测边 $e(i,j)$ 的符号为正，反之为负。

3) LR (logistic regression)^[11]：将符号预测问题看作二值分类问题，采用逻辑回归模型训练分类器，得到了较高的预测精度。

4) MF(matrix factorization)^[17]：由Hsieh等提出的基本矩阵分解模型。

3.2.1 评价指标

1)均方根误差(RMSE)

它是衡量模型误差率的常用方法，反映了观测值与真值偏差的平方和观测次数n比值的平方根，计算公式为

${\rm{RMSE}} = \sqrt {\frac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{{({p_i} - {a_i})}^2}} }}{n}} $

(10)

式中： ${p_i}$ 为第 $i$ 个观测值， ${a_i}$ 为第 $i$ 个真实值，RMSE值越小预测误差越小。图4(a)、(b)、(c)给出了3个符号网络在不同抽样比率下的RMSE值。

2)精确性(Accuracy)

用于评价预测算法对符号预测的准确程度，精确性计算公式为

${\rm{Accuracy}} = \frac{{{\rm{TP}} + {\rm{TN}}}}{{P + N}}$

(11)

式中： ${\rm{TP}}$ 表示对符号为正的边的预测正确的数目， ${\rm{TN}}$ 表示符号为负的预测正确的数目， $P + N$ 则是需要预测的边的总数。Accuracy的值越大表示预测成功的概率越高。图4(d)、(e)、(f)给出了3个符号网络在不同抽样比率下的精确性实验结果。

3.2.2 实验参数设置

给定部分观察的符号网络，符号推断的目标就是通过符号网中已知边符号推断出未知边的符号。本文构建的符号网络模型为有向网络，需要说明的是，所提算法也适用于无向符号网络。实验采用随机抽样的方法将数据集分为训练集(training data set)和测试集(testing data set)。训练集被看作部分观测的符号网络，利用测试集训练模型，然后对测试集中边符号进行预测；测试集分别为整个符号网络的15%，30%， $ \cdots $ ，90%。对于MF和MF-Bias算法，首先需要对矩阵 ${{P}}$ 、 ${{Q}}$ 进行初始化，这里我们令其为全1矩阵，有时也将 ${{P}}$ 、 ${{Q}}$ 的初始值设为随机矩阵。另外，模型还需要确定3个参数，即 $\kappa $ 、 $\alpha $ 和 $\lambda $ ，其中 $\kappa $ 为符号网络的秩，取 $\kappa $ =5； $\lambda $ 为惩罚因子，取 $\lambda $ =0.12； $\alpha $ 是学习速度，初始值取 $\alpha $ =0.2，且每次迭代后使 $\alpha $ 值衰减( $\alpha $ *=0.9)，目的是使算法尽快收敛，最大迭代次数为30次。得到的预测结果是符号网上两节点间以正或负的符号相连的倾向，这一预测值并不是离散的±1而是连续的值，因此得到预测结果后需要对预测结果进行划分，划分方法有直接划分、全局划分、局部划分、从众划分^[14]，本文采用直接划分，即预测结果≥0则预测符号为正，否则为负。以下通过均方根误差(RMSE)和预测精确性(Accuracy)评价各算法的预测效果。

3.2.3 实验结果及讨论

图4的实验结果显示：随着抽样数据的增加，预测误差(RMSE)减小，预测精确度增加。基于低秩矩阵分解的方法(包括MF、MF-Bias)获得了比其他算法更好的预测效果，这说明在符号网络中节点标注的偏置现象确实存在，同时，由于MF-Bias充分考虑了节点的局部偏置特性，得到了相较于基本矩阵分解算法好的预测精度，例如：在数据集Epinions上当训练集为90%时，预测精确度为95.04%，相较于基本矩阵分解方法提高了0.6%，LR方法提高了2.3%，在其他两个数据集上也得到了与图4(a)相似的结果(见图4(b)~(c))，RMSE误差分析结果(见图4(d)~(f))与预测精确度得到相似的结论：本文所提MF-Bias模型获得了最小预测误差。实验表明：带有偏置的矩阵分解方法能够很好地对抗数据稀疏带来的问题并提高预测效果。尽管两种启发式算法(ID和OD)的预测精度都低于矩阵分解模型和逻辑回归模型，但是它们的特点是计算复杂度低，因为它们仅仅使用待预测边两端节点的局部信息且能在一定程度上反映数据的结构特性。不同数据集ID和OD的效果截然不同，在Slashdot上OD好于ID，在Wiki上ID好于OD，可见仅考虑出度或入度作为预测依据不够合理，用户在不同数据集上的行为特征值得进一步思考。

3.3 秩与预测精度

根据1.3节可知，符号网络邻接矩阵的秩与弱平衡结构间存在必然联系：当符号网络满足 $\kappa $ -平衡条件时，网络节点可以被分成 $\kappa $ 个子集，邻接矩阵具有低秩性且矩阵的秩恰好等于 $\kappa $ ，而矩阵分解的本质是做降维操作，将会把邻接矩阵分解为2个 $\kappa $ 行 $n$ 列的矩阵，那么到底将邻接矩阵分解为多少行合适呢？本文分别令 $\kappa $ =1、2、4、5、6、7、8、16、32，对两种矩阵分解算法在3个数据集进行精确度测试，所有实验均取测试集为90%，其余各参数与3.2节相同。实验结果如图5所示，实验结果显示：相较于 $\kappa $ =1， $\kappa $ =2时预测精度有大幅提高，这支持了1.4节所述结构平衡理论的正确性， $\kappa $ 值从2~5预测精度有较大幅度提高，大部分数据集在 $\kappa $ =7时预测精度达到最优(Slashdot数据集在 $\kappa $ =5时精确度最优)， $\kappa $ ≥7后预测精度变化不大。实验结果与Chiang等在文献[13]中得到的结论一致，也证明符号网络邻接矩阵的低秩特性明显。实验还发现：比起基本矩阵分解算法，带偏置的矩阵分解算法对 $\kappa $ 值更加鲁棒，即随着 $\kappa $ 的变化符号预测的精确度变化不大，这是因为在带偏置的矩阵分解模型中节点及其邻居的特征与低秩特性共同决定模型的精确度，因此获得了较高的精确度，这也证明节点的局部特性对预测效果有影响。

4 结束语

真实的复杂系统中对立关系普遍存在，利用符号网络对这些复杂系统建模能够很好地表达节点间的对立关系，符号属性对分析、理解复杂网络的拓扑结构、功能、动力学行为具有十分重要的理论意义。要利用符号属性，首要的问题就是对未知边符号的正确预测。本文对已有的符号网络预测方法进行了分类和总结。为了同时利用节点的局部特征和全局特征进行符号预测，在基于利用网络全局特征的低秩矩阵分解方法的基础上改写优化目标函数使之能够描述待预测边两端节点的出度和入度局部特征，给出了带有偏置的低秩矩阵分解方法。实验结果证实：添加节点局部特征后的低秩矩阵分解方法能够得到较其他基准算法好的预测效果，且互惠信息能够进一步提高预测精度。

未来符号预测的研究方向会向两个不同方向发展：1)进一步利用丰富的元数据信息，因为元数据蕴含了用户间的熟识度、声誉、语义与态度等重要信息，元数据可以在缺少结构信息时保证预测精度，当然付出的代价是模型复杂度升高，运算速度降低；2)降低模型复杂度以适应于数量巨大的在线符号网络挖掘，此时基于网络局部信息的符号预测方法具有优势，因为这类算法易于被并行化，从而提高运算速度，当然负面影响会带来一定预测效果的下降。如何充分利用局部信息的研究还显得不足，如节点间除了出度和入度还有哪些连接特点能用结构平衡理论或地位理论来解释。当节点间的嵌入性很低时结构平衡等社会学理论将失效，怎样保证预测的精确度？

另外，还需进一步丰富符号网络结构的理论研究，目前用于符号预测的理论只有结构平衡理论和地位理论，近年并未有较大突破。也就是说，对符号网络结构演化、动力学行为的分析仍然不能解释符号网络结构的形成，从而制约了符号预测方法的进一步发展，根据3.3节的研究发现本文所提算法对矩阵的秩鲁棒，及在秩取5和7时预测效果最好，这一结果的深层社会学理论含义及其与符号网络形成机制间的联系将另文讨论。这也是下一步将要研究的内容。

符号网络作为近年来从基本复杂网络衍生出的新网络模型和符号预测问题作为新模型上的新问题，人们对它们的理解还远远不够，符号网络的拓扑结构、动力学行为以及在个性化推荐、态度预测、用户特征分析与聚类等方面的应用将会受到更多的研究和关注。