作为直觉模糊集和模糊多值集的一种新的拓展，犹豫模糊集(hesitant fuzzy set, HFS)由Torra于2009年提出^[1-2]，它的隶属函数是由[0, 1]上所有可能的不同值的子集所组成的。Torra介绍了HFS的运算及HFS套的概念。此外，为定义集成算子，Torra提出了HFS的扩展原则，并将此原则用于证实他定义的运算的合理性^[1]。还有很多学者讨论了HFS上的距离和相似性度量^[3-4]、相关系数^[5]及信息测度^[6]等。之后，人们开始逐渐将Torra的经典犹豫模糊集拓展到更复杂的情形。Zhu等^[7]利用犹豫集的隶属度和非隶属度提出了双重犹豫模糊集的概念。Chen等^[8]提出了一种隶属度为区间值的区间值犹豫模糊集模型。Qian等^[9]利用一些直觉模糊集的并作为隶属度定义广义犹豫模糊集。Yu^[10]介绍了三角模糊犹豫模糊集，其隶属度为一些三角模糊数。Rodriguez等^[11]将HFS扩展到语言环境，并提出了犹豫模糊语言术语集的概念。如今，HFS及其扩展模型已经成功应用于决策^{[7, 8, 11-17]}、评价^[10]和聚类^[18-19]等领域。

然而，关于经典犹豫模糊集的基本模糊理论还没有被完全研究，目前主要的研究仍主要集中在经典犹豫模糊集及其拓展形式的运算法则与集成算子^[15]、相关测度研究^{[6, 18-19]}等。本文首先提出HFS的α-截集的概念，将其定义为Ⅰ型模糊集，在此基础上建立分解定理和更一般的扩展原理，并讨论其性质。最后，通过实例说明其在多属性决策和聚类分析中的应用。

1 预备知识

本节回顾Ⅰ型模糊集、区间Ⅱ型模糊集和犹豫模糊集等的相关概念。为后面讨论需要，假设本文所讨论的论域均为非空有限论域。

1.1 Ⅰ型模糊集(T1FS)

Ⅰ型模糊集也称为Zadeh模糊集或者经典模糊集。

定义1^[20]  论域X上的Ⅰ型模糊集(type-1 fuzzy set，T1FS) A，记作A={〈x, μ_A(x)〉|x∈X}。它由隶属(特征)函数μ_A表示，满足：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mu _A}:X \to \left[ {0,1} \right]}\\ {x \mapsto {\mu _A}\left( x \right)} \end{array} $

式中μ_A(x)表示x属于A的隶属度。X上所有的Ⅰ型模糊集全体组成的集合为T1FS(X)。

定义2^[21-22]  设A∈T1FS(X)，对任意α∈[0, 1]，定义α-截集A_α和α-强截集A_α，它们都是X上的精确集，分别满足：

$ \begin{array}{l} {A_\alpha } = \left\{ {x \in X\left| {{\mu _A}\left( x \right) \ge \alpha } \right.} \right\}\\ {A_{\underline \alpha }} = \left\{ {x \in X\left| {{\mu _A}\left( x \right) > \alpha } \right.} \right\} \end{array} $

有关这一类截集的性质以及T1FS的分解定理和扩展原理详见文献[21-24]。

1.2 区间Ⅱ型模糊集(IT2FS)

区间Ⅱ型模糊集是Ⅱ型模糊集的特例，Zadeh将它们均视为经典模糊集的扩展。

定义3^[25]  论域X上的Ⅱ型模糊集(type-2 fuzzy set，T2FS) Ã，记为

$ \tilde A = \left\{ {\left\langle {x,\left( {u,{{\tilde A}_x}\left( u \right)} \right)} \right\rangle \left| {x \in X,\mu \in \left[ {0,1} \right]} \right.} \right\} $

它满足:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\tilde A:X \to {{\left[ {0,1} \right]}^{\left[ {0,1} \right]}}}\\ {x \mapsto {{\tilde A}_x}} \end{array} $

式中Ã_x为[0, 1]上的函数，即

$ \begin{matrix} {{{\tilde{A}}}_{x}}:\left[ 0,1 \right]\to \left[ 0,1 \right] \\ u\mapsto {{{\tilde{A}}}_{x}}\left( u \right) \\ \end{matrix} $

对任意x∈X，定义J_A(x)={u|Ã _x(u)≠0}⊆ [0, 1]，称J_A(x)为x的主隶属度，Ã_x(u)为x在J_A(x)上的次隶属度^[26]。X上所有的Ⅱ型模糊集组成的集合记为T2FS(X)。

若对任意x∈X，Ã_x(u)仅为0或1时，称Ⅱ型模糊集为区间Ⅱ型模糊集(interval type-2 fuzzy set，IT2FS)。

对于IT2FS，当且仅当u∈J_A(x)时，Ã_x(u)=1成立；当且仅当u∉J_A(x)时，Ã_x(u)=0成立。这说明，只要给定每个元素的主隶属度，其次隶属度就可以确定。也就是说，Ã_x可以视为清晰集的特征函数。故IT2FS的定义可视为定义4。

定义4   设[0, 1]上的所有闭子区间组成的类为D[0, 1]，区间Ⅱ型模糊集Ã可由X上的函数表示为

$ \tilde A = \left\{ {\left\langle {x,{J_{\tilde A}}\left( x \right)} \right\rangle \left| {x \in X} \right.} \right\}, $

(1)

式中：

$ {J_{\tilde A}}:X \to D\left[ {0,1} \right]x \mapsto {J_{\tilde A}}\left( x \right) $

式中J_Ã(x)可能是离散的{u_Ãi(x)|i=1, 2, …, n_x}或者为连续的[J_ÃL(x), J_ÃR(x)]。X上的所有区间Ⅱ型模糊集的全体组成的集合记为IT2FS(X)。

定义5   设Ã, $\tilde{B}$∈IT2FS(X)，定义区间Ⅱ型模糊集的运算如下：

1) 若设x∈X，J_Ã(x)={u_Ãi(x)|i=1, 2, …, m_x}，J_$\tilde{B}$(x)={u_$\tilde{B}$j(x)|j=1, 2, …, n_x}，则

① J_Ã^C(x)={1-u_Ãi(x)|i=1, 2, …, m_x}；

② J_{Ã∪$\tilde{B}$}(x)={max{u_Ãi(x), u_$\tilde{B}$j(x)}|i=1, 2, …, m_x, j=1, 2, …, n_x}；

③ J_{Ã∩$\tilde{B}$}(x)={min{u_Ãi(x), u_$\tilde{B}$j(x)} |i=1, 2, …, m_x, j=1, 2, …, n_x}。

2) 若设x∈X，J_Ã(x)=[J_ÃL(x), J_ÃR(x)]，J_$\tilde{B}$(x)=[J_$\tilde{B}$L(x), J_$\tilde{B}$R(x)]，则

① J_Ã^C(x)=[1-J_ÃR(x), 1-J_ÃL(x)]；

② J_{Ã∪$\tilde{B}$}(x)=[max{J_ÃL(x), J_$\tilde{B}$L(x)}, max{J_ÃR(x), J_$\tilde{B}$R(x)}]；

③ J_{Ã∩$\tilde{B}$}(x)=[min{J_ÃL(x), J_$\tilde{B}$L(x)}, min{J_ÃR(x), J_$\tilde{B}$R(x)}]。

1.3 犹豫模糊集(HFS)

Torra和Narukawa在直觉模糊集和模糊多值集的基础上首次提出犹豫模糊集的概念^[1-2]，它可以描述决策中某些犹豫不定的情况，例如某个专家可能会给某个元素定义一组可能的隶属度。

定义6^{[2, 15]}  论域X上的犹豫模糊集E记为

$ E = \left\{ {\left\langle {x,{h_E}\left( x \right)} \right\rangle \left| {x \in X} \right.} \right\}, $

(2)

式中

$ \begin{array}{l} {h_E}:X \to P\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)\\ x \mapsto {h_E}\left( x \right) \end{array} $

式中，h_E(x)⊆ [0, 1]表示元素x属于集合E的可能隶属度，称为x的犹豫模糊隶属度。X上的所有犹豫模糊集的全体组成的集合记为HFS(X)。

元素的犹豫隶属度可能为[0, 1]上的可数或不可数子集。若h_E仅将X上的元素映射到[0, 1]上的有限离散点集，这种犹豫模糊集称为经典犹豫模糊集^[27]。本文不加说明，所讨论的犹豫模糊集(HFS)均为经典犹豫模糊集。

定义7^[2]  设E∈HFS(X)，其上、下界分别为

$ \begin{array}{l} h_E^ - \left( x \right) = \min \left\{ {r\left| {r \in {h_E}\left( x \right)} \right.} \right\}\\ h_E^ + \left( x \right) = \max \left\{ {r\left| {r \in {h_E}\left( x \right)} \right.} \right\} \end{array} $

定义8^[2]  设E, E₁, E₂∈HFS(X)，定义犹豫模糊集的基本运算如下：

1)h_E^C(x)={1-r|r∈h_E(x)}；

2)h_E1∪E2(x)={r∈h_E1(x)∪h_E2(x)|r≥max{h^-_E1(x), h^-_E2(x)}}, 或者等价于{max{r₁, r₂}|r₁∈h_E1(x), r₂∈h_E2(x)}；

3)h_E1∩E2(x)={r∈h_E1(x)∪h_E2(x)|r≤min{h⁺_E1(x), h⁺_E2(x)}}, 或者等价于{min{r₁, r₂}r₁∈h_E1(x), r₂∈h_E2(x)}。

2 犹豫模糊集的α-截集 2.1 犹豫模糊集与离散区间二型模糊集的关系

经典犹豫模糊集中h_E(x)是[0, 1]上的一组有限离散值，这些离散值均是x在E上的可能隶属度值，可视为主隶属度值。比较式(1) 和式(2)，不难发现，在离散情况下IT2FS的概念与经典HFS的概念是一致的，且根据定义5和定义8可知，离散IT2FS的补、并和交运算分别相当于HFS的补、并和交。接下来的例子将进一步说明这一结果。

例1  设E₁, E₂∈HFS(X)，对某个x∈X，令h_E1(x)={0.2, 0.4, 0.6}，h_E2(x)={0.4, 0.8, 1}，则h^-_E1(x)=0.2，h^-_E2(x)=0.4，h⁺_E1(x)=0.6，h⁺_E2(x)=1，h_E1(x)∪h_E2(x)={0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1}。

依据定义8，故h_E1∪E2(x)={0.4, 0.6, 0.8, 1}，h_E1∩E2(x)={0.2, 0.4, 0.6}，h_E1^C(x)={0.4, 0.6, 0.8}。

若令J_Ã1(x)={0.2, 0.4, 0.6}，J_Ã2(x)={0.4, 0.8, 1}，则Ã₁和Ã₂可视为X上的两个区间Ⅱ型模糊集。

由定义5可知:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{J_{{{\tilde A}_1} \cup {{\tilde A}_2}}}\left( x \right) = \left\{ {0.4,0.6,0.8,1} \right\} = {h_{{E_1} \cup {E_2}}}\left( x \right)}\\ {{J_{{{\tilde A}_1} \cup {{\tilde A}_2}}}\left( x \right) = \left\{ {0.2,0.4,0.6} \right\}{h_{{E_1} \cup {E_2}}}\left( x \right)}\\ {{J_{\tilde A_1^C}} = \left\{ {0.4,0.6,0.8} \right\}{h_{E_1^C}}\left( x \right)} \end{array} $

2.2 犹豫模糊集的截集

由上讨论可知，离散IT2FS与HFS是有关联的。Zadeh^[25]、Liu^[28]、Mendel^[29]和Hamrawi^[30-32]均讨论过基于α-平面的T2FS的表现定理(实际上是分解定理)。离散IT2FS是T2FS的特殊形式，它也符合上述讨论的表现定理。袁^[32-34]也曾突破“截集必须是经典集合”的限制，利用三值模糊集和五值模糊集分别作为直觉模糊集和区间直觉模糊集的截集的定义。进一步, Shang^[35]提出了n维模糊集的概念，并指出n维模糊集的截集是一个具有n+1个值的模糊集。受这些截集概念的启发，本节将HFS的α-截集定义为T1FS。

定义9   设E∈HFS(X)且α∈[0, 1]，定义E的α-上截集，记为E_α, 其满足E_α={〈x, μ_Eα(x)〉x∈X}∈T1FS(X)，其中

$ {\mu _{{E_\alpha }}}\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \min \left\{ {r \in {h_E}\left( x \right)\left| {r \ge \alpha } \right.} \right\},\\ \;\;\;\;\;\;\;\left\{ {r \in {h_E}\left( x \right)\left| {r \ge \alpha } \right.} \right\} \ne \emptyset \\ 0,\;\;\;\;\;\left\{ {r \in {h_E}\left( x \right)\left| {r \ge \alpha } \right.} \right\} = \emptyset \end{array} \right. $

(3)

若将式(3) 中{r∈h_E(x)|r≥α}更改为{r∈h_E(x)|r>α}，且其余部分不变，则可定义E的α-强上截集E _α={〈x, μ_{E α}(x)〉|x∈X}。

同样，也可定义E的α-下截集E^α={〈x, μ_E^α(x)〉|x∈X}，其中

$ {\mu _{{E^\alpha }}}\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \max \left\{ {r \in {h_E}\left( x \right)\left| {r \le \alpha } \right.} \right\},\\ \;\;\;\;\;\;\;\left\{ {r \in {h_E}\left( x \right)\left| {r \le \alpha } \right.} \right\} \ne \emptyset \\ 0,\;\;\;\;\;\left\{ {r \in {h_E}\left( x \right)\left| {r \le \alpha } \right.} \right\} = \emptyset \end{array} \right. $

(4)

若将式(4) 中{r∈h_E(x)|r≤α}更改为{r∈h_E(x)|r < α}，且其余部分不变，则可得到E的α-强下截集E ^α={(x, μ_E^α(x))|x∈X}。

例2   设E∈HFS(X)，其中X={x₁, x₂}，E={〈x₁, {0.2, 0.4, 0.6}〉, 〈x₂, {0.3, 0.7}〉}。由定义9有

$ {\mu _{{E_\alpha }}}\left( {{x_1}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0.2,\;\;\;0 \le \alpha \le 0.2\\ 0.4,\;\;\;0.2 < \alpha \le 0.4\\ 0.6,\;\;\;\;0.4 < \alpha \le 0.6\\ 0,\;\;\;\;\;\;\;0.6 < \alpha \le 1 \end{array} \right. $

$ {\mu _{{E_{\underline \alpha }}}}\left( {{x_1}} \right) = \;\left\{ \begin{array}{l} 0.2,\;\;\;\;0 \le \alpha \le 0.2\\ 0.4,\;\;\;\;0.2 \le \alpha < 0.4\\ 0.6,\;\;\;\;0.4 \le \alpha < 0.6\\ 0,\;\;\;\;\;\;\;0.6 < \alpha \le 1 \end{array} \right. $

$ {\mu _{{E^\alpha }}}\left( {{x_1}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0,\;\;\;\;\;\;\;0 \le \alpha < 0.2\\ 0.2,\;\;\;\;0.2 \le \alpha < 0.4\\ 0.4,\;\;\;\;0.4 \le \alpha < 0.6\\ 0.6,\;\;\;\;0.6 \le \alpha \le 1 \end{array} \right. $

$ {\mu _{{E^{\underline \alpha }}}}\left( {{x_1}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0,\;\;\;\;\;\;\;0 \le \alpha \le 0.2\\ 0.2,\;\;\;\;0.2 < \alpha \le 0.4\\ 0.4,\;\;\;\;0.4 < \alpha \le 0.6\\ 0.6,\;\;\;\;0.6 < \alpha \le 1 \end{array} \right. $

$ {\mu _{{E_\alpha }}}\left( {{x_2}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0.3,\;\;\;0 \le \alpha \le 0.3\\ 0.7,\;\;\;0.3 < \alpha \le 0.7\\ 0,\;\;\;\;\;\;\;0.7 < \alpha \le 1 \end{array} \right. $

$ {\mu _{{E_{\underline \alpha }}}}\left( {{x_2}} \right) = \;\left\{ \begin{array}{l} 0.3,\;\;\;\;0 \le \alpha \le 0.3\\ 0.7,\;\;\;\;0.3 \le \alpha < 0.7\\ 0,\;\;\;\;\;\;\;0.7 \le \alpha \le 1 \end{array} \right. $

$ {\mu _{{E^\alpha }}}\left( {{x_2}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0,\;\;\;\;\;\;\;0 \le \alpha < 0.3\\ 0.3,\;\;\;\;0.3 \le \alpha < 0.7\\ 0.7,\;\;\;\;0.7 \le \alpha \le 1 \end{array} \right. $

$ {\mu _{{E^{\underline \alpha }}}}\left( {{x_2}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0,\;\;\;\;\;\;\;0 \le \alpha \le 0.3\\ 0.3,\;\;\;\;0.3 < \alpha \le 0.7\\ 0.7,\;\;\;\;0.7 < \alpha \le 1 \end{array} \right. $

故

$ {E_\alpha } = \left\{ \begin{array}{l} \left\{ {\left( {{x_1},0.2} \right),\left( {{x_2},0.3} \right)} \right\},\;\;0 \le \alpha \le 0.2\\ \left\{ {\left( {{x_1},0.4} \right),\left( {{x_2},0.3} \right)} \right\},\;\;\;0.2 < \alpha \le 0.3\\ \left\{ {\left( {{x_1},0.4} \right),\left( {{x_2},0.7} \right)} \right\},\;\;\;0.3 < \alpha \le 0.4\\ \left\{ {\left( {{x_1},0.6} \right),\left( {{x_2},0.7} \right)} \right\},\;\;\;0.4 < \alpha \le 0.6\\ \left\{ {\left( {{x_2},0.7} \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.6 < \alpha \le 0.7\\ \emptyset ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.7 < \alpha \le 1 \end{array} \right. $

$ {E_{\underline \alpha }} = \left\{ \begin{array}{l} \left\{ {\left( {{x_1},0.2} \right),\left( {{x_2},0.3} \right)} \right\},\;\;0 \le \alpha < 0.2\\ \left\{ {\left( {{x_1},0.4} \right),\left( {{x_2},0.3} \right)} \right\},\;\;\;0.2 \le \alpha < 0.3\\ \left\{ {\left( {{x_1},0.4} \right),\left( {{x_2},0.7} \right)} \right\},\;\;\;0.3 \le \alpha < 0.4\\ \left\{ {\left( {{x_1},0.6} \right),\left( {{x_2},0.7} \right)} \right\},\;\;\;0.4 \le \alpha < 0.6\\ \left\{ {\left( {{x_2},0.7} \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.6 \le \alpha < 0.7\\ \emptyset ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.7 \le \alpha \le 1 \end{array} \right. $

$ {E^\alpha } = \left\{ \begin{array}{l} \emptyset ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \le \alpha < 0.2\\ \left\{ {\left( {{x_1},0.2} \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.2 \le \alpha < 0.3\\ \left\{ {\left( {{x_1},0.2} \right),\left( {{x_2},0.3} \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.3 \le \alpha < 0.4\\ \left\{ {\left( {{x_1},0.4} \right),\left( {{x_2},0.3} \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.4 \le \alpha < 0.6\\ \left\{ {\left( {{x_1},0.6} \right),\left( {{x_2},0.3} \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.6 \le \alpha < 0.7\\ \left\{ {\left( {{x_1},0.6} \right),\left( {{x_2},0.7} \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.7 \le \alpha \le 1 \end{array} \right. $

$ {E^{\underline \alpha }} = \left\{ \begin{array}{l} \emptyset ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \le \alpha \le 0.2\\ \left\{ {\left( {{x_1},0.2} \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.2 < \alpha \le 0.3\\ \left\{ {\left( {{x_1},0.2} \right),\left( {{x_2},0.3} \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.3 < \alpha \le 0.4\\ \left\{ {\left( {{x_1},0.4} \right),\left( {{x_2},0.3} \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.4 < \alpha \le 0.6\\ \left\{ {\left( {{x_1},0.6} \right),\left( {{x_2},0.3} \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.6 < \alpha \le 0.7\\ \left\{ {\left( {{x_1},0.6} \right),\left( {{x_2},0.7} \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.7 < \alpha \le 1 \end{array} \right. $

性质1  设E, F∈HFS(X)，α∈[0, 1]，{α_t|t∈T}⊆ [0, 1]，则

1)E_α⊆ E_α；E^α⊆ E^α；

2)α₁ < α₂⇒E^α₁⊆ E^α₂, ${{E}^{\underline{{{a}_{1}}}}}\subseteq {{E}^{\underline{{{a}_{2}}}}}$；

若α₁ < α₂≤$\underset{x\in X}{\mathop{\wedge }}\, \left\{ h_{E}^{+}\left( x \right) \right\}$，则E_α1⊆ E_α2；

若α₁ < α₂ < $\underset{x\in X}{\mathop{\wedge }}\, \left\{ h_{E}^{+}\left( x \right) \right\}$，则${{E}_{\underline{{{a}_{1}}}}}\subseteq {{E}_{\underline{{{a}_{2}}}}}$；

3)(E∪F)_α⊆ E_α∪F_α；(E∪F)_α⊆ E_α∪F_α；(E∪F)^α⊆ E^α∪F^α；(E∪F)^α⊆ E^α∪F^α；

4)(E∩F)_α ⊇E_α∩F_α；(E∩F)_α ⊇E_α∩F_α；(E∩F)^α ⊇E^α∩F^α；(E∩F) ^α ⊇E^α∩F^α；

5) 设{α_tt∈T}满足a=$\underset{t\in T}{\mathop{\wedge }}\, \left\{ {{\alpha }_{t}} \right\}$，b=$\underset{t\in T}{\mathop{\wedge }}\, \left\{ {{\alpha }_{t}} \right\}$ < $\underset{x\in X}{\mathop{\wedge }}\, \left\{ h_{E}^{+}\left( x \right) \right\}$，则

$ \begin{array}{l} \bigcap\limits_{t \in T} {{E_{{\alpha _t}}} = {E_a}} ;\bigcap\limits_{t \in T} {{E_{\underline {{\alpha _t}} }} = {E_{\underline a }}} ;\bigcap\limits_{t \in T} {{E_{{\alpha _t}}} = {E_b}} ;\bigcap\limits_{t \in T} {{E_{\underline {{\alpha _t}} }} = {E_{\underline b }}} ;\\ \bigcap\limits_{t \in T} {{E^{{\alpha _t}}} = {E^a}} ;\bigcap\limits_{t \in T} {{E^{\underline {{\alpha _t}} }} = {E^{\underline a }}} ;\bigcap\limits_{t \in T} {{E^{{\alpha _t}}} = {E^b}} ;\bigcap\limits_{t \in T} {{E^{\underline {{\alpha _t}} }} = {E^{\underline b }}} ; \end{array} $

6) 若α < $\underset{x\in X}{\mathop{\wedge }}\, \left\{ h_{E}^{+}\left( x \right) \right\}$，则

$ \begin{array}{l} {\left( {{E_\alpha }} \right)^C} = {\left( {{E^C}} \right)^{1 - \alpha }};{\left( {{E^C}} \right)_\alpha } = {\left( {{E^{1 - \alpha }}} \right)^C};\\ {\left( {{E_{\underline \alpha }}} \right)^C} = {\left( {{E^C}} \right)^{\underline {1 - \alpha } }};{\left( {{E^C}} \right)_{\underline \alpha }} = {\left( {{E^{\underline {1 - \alpha } }}} \right)^C}; \end{array} $

7)E₀=E₀=E¹=E；E ₁=E⁰=E⁰=Ø。

证明：易证性质1)、2) 和7), 因此此处证明略。

证明3)，即(E∪F)_α ⊆ E_α∪F_α成立。

对于x∈X，以下依据α的取值进行讨论：

① 当α>max{h_E⁺(x), h_F⁺(x)}时，{r∈h_E(x)|r≥α}={r∈h_F(x)|r≥α} ={r∈h_E∪F(x)|r≥α}=Ø，故μ_Eα(x)=μ_Fα(x)=μ_(E∪F)α(x)=0，从而μ_(E∪F)α(x)=max{μ_Eα(x), μ_Fα(x)}=μ_Eα∪Fα(x)=0。

② 当max{h_E⁺(x), h_F⁺(x)}≥α >max{h_E^-(x), h_F^-(x)}时，有{r∈h_E(x)∪h_F(x) |r≥α} ⊇{^r∈^h_E(x) |r≥α}且{r∈h_E(x)∪h_F(x)|r≥α} ⊇{r∈h_F(x) r≥α}，故μ_(E∪F)α(x)=min{r∈h_E∪F(x)r ≥α}=min{r∈h_E(x) ∪h_F(x)|r≥max{h_E^-(x), h_F^-(x), α}}=min{r∈h_E(x)∪h_F(x) |r≥α}≤max{min{r∈h_E(x) |r≥α}, min{r∈h_F(x)|r≥α}}=max{μ_Eα(x), μ_Fα(x)}=μ_Eα∪Fα(x)。

③ 当max{h_E^-(x), h_F^-(x)}≥α>min{h_E^-(x), h_F^-(x)}时，不妨设h_E^-(x) < α≤h_F^-(x)，则μ_(E∪F)α(x)=min{r∈h_E(x)∪h_F(x) |r≥h_F^-(x)}=h_F^-(x), μ_Eα(x)=min{r∈h_E(x) |r≥α}≥α, μ_Fα(x)=min{r∈h_F(x) |r≥h_F^-(x)}=h_F^-(x)≥α；故μ_(E∪F)α(x)=h_F^-(x) ≤max{μ_Eα(x), μ_Fα(x)}=μ_Eα∪Fα(x)。

④ 当min{h_E^-(x), h_F^-(x)}≥α时，也可类似证明μ_(E∪F)α(x)=max{μ_Eα(x), μ_Fα(x)}=μ_Eα∪Fα(x)。

归纳可知，(E∪F)_α⊆ E_α∪F_α。

用类似的方法可以得到结论3) 的其余情况和结论4)。

⑤ 这里仅证明结论5) 中$\underset{t\in T}{\mathop{\cup }}\, $E_αt=E_b成立，其余情况类似证明。

∀x∈X, t∈T，因为$\underset{t\in T}{\mathop{\vee }}\, ${α_t} < $\underset{x\in X}{\mathop{\wedge }}\, \left\{ h_{E}^{+}\left( x \right) \right\}$，所以μ_Eαt(x)=min{r∈h_E(x)|r≥α_t}, μ_Eb(x)=min{r∈h_E(x)|r≥$\underset{t\in T}{\mathop{\vee }}\, $α_t}。

设c=μ_Eb(x)，则c=min{r∈h_E(x)| r≥$\underset{t\in T}{\mathop{\vee }}\, $α_t}, 故∀t∈T，c≥min{r∈h_E(x)| r≥α_t}，从而c≥$\underset{t\in T}{\mathop{\vee }}\, $min{r∈h_E(x)|r≥α_t}=μ_{$\underset{t\in T}{\mathop{\cup }}\, $}E_αt(x), 故E_b ⊇$\underset{t\in T}{\mathop{\cup }}\, $E_αt。

设d=μ_{$\underset{t\in T}{\mathop{\cup }}\, $}E_αt(x)=$\underset{t\in T}{\mathop{\vee }}\, $min{r∈h_E(x)|r≥α_t}，则∀t∈T，d≥min{r∈h_E(x)|r≥α_t}。

若令r_t=min{r∈h_E(x)|r≥α_t}，则∀t∈T，d≥r_t≥α_t，故d≥$\underset{t\in T}{\mathop{\vee }}\, $r_t≥$\underset{t\in T}{\mathop{\vee }}\, $α_t。因为h_E(x)是有限集，r_t∈h_E(x)。所以必存在t₀∈T，使得r_t0=$\underset{t\in T}{\mathop{\vee }}\, $r_t≥$\underset{t\in T}{\mathop{\vee }}\, $α_t，故d≥r_t0 ≥min{r∈h_E(x)|r≥$\underset{t\in T}{\mathop{\vee }}\, $α_t}, 从而E_b⊆ $\underset{t\in T}{\mathop{\cup }}\, $E_αt。

因此$\underset{t\in T}{\mathop{\cup }}\, $E_αt=E_b。

⑥ 这里仅证明结论6) 中(E_α)^C=(E^C)^1-α成立，其余类似。

因为α < $\underset{x\in X}{\mathop{\wedge }}\, \left\{ h_{E}^{+}\left( x \right) \right\}$，所以{r∈h_E(x)|r≥α}≠Ø，故μ_(Eα)^C(x)=1-μ_Eα(x)=1-min{r∈h_E(x)r≥α}=max{1-r|r∈h_E(x), r≥α}=max{r′∈h_E^C(x)r′≤1-α}=μ_(E^C)^1-α(x)。

考虑到α-上截集与α-下截集的对称性，在下面的讨论中，只讨论α-上截集，并称其为E的α-截集。

3 犹豫模糊集的分解(表示)定理

由于HFS的α-截集是T1FS，根据T1FS的分解定理可得：

性质2   设E∈HFS(X)，α∈[0, 1]，E的α-截集可分解为

$ {E_\alpha } = \bigcup\limits_{\lambda \in \left[ {0,1} \right]} {\lambda {{\left( {{E_\alpha }} \right)}_\lambda }} = \bigcup\limits_{\lambda \in \left[ {0,1} \right)} {\lambda {{\left( {{E_\alpha }} \right)}_{\underline \lambda }}} $

其中，(E_α)_λ={x|μ_Eα(x)≥λ}和(E_α)_λ={x|μ_Eα(x)>λ}均为X上的精确集。

定理1   (HFS的分解定理Ⅰ)设E∈HFS(X)，则E={E_α|α∈[0, 1]} ={$\underset{\lambda \in \left[0, 1 \right]}{\mathop{\cup }}\, $λ(E_α) _λ|α∈[0, 1]}= {$\underset{\lambda \in \left[0, 1 \right]}{\mathop{\cup }}\, $) λ(E_α)_λ|α∈[0, 1]}。

这意味着，∀x∈X，有h_E(x)={μ_Eα(x)|α∈[0, 1]} ={$\underset{\lambda \in \left[0, 1 \right]}{\mathop{\vee }}\, $λ·χ_(Eα)λ(x)|α∈[0, 1]} = {$\underset{\lambda \in \left[0, 1 \right]}{\mathop{\vee }}\, $λ·χ_(Eα)λ(x)α∈[0, 1]}。

定理2  (HFS的分解定理Ⅱ)设E∈HFS(X)，则E={E_αα∈[0, 1)}={$\underset{\lambda \in \left[0, 1 \right]}{\mathop{\cup }}\, $λ(E_α)_λ|α∈[0, 1)}={$\underset{\lambda \in \left[0, 1 \right]}{\mathop{\cup }}\, $λ(E_α)_λ|α∈[0, 1)}。

证明   定理1和定理2的证明可以由定义9和T1FS的分解定理直接得到。

例3  在例2的前提下，当0≤α≤0.2时，有

$ \lambda {\left( {{E_\alpha }} \right)_\lambda } = \left\{ \begin{array}{l} \left\{ {\left( {{x_1},\lambda } \right),\left( {{x_2},\lambda } \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;0 \le \lambda \le 0.2\\ \left\{ {\left( {{x_1},0} \right),\left( {{x_2},\lambda } \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;0.2 < \lambda \le 0.3\\ \left\{ {\left( {{x_1},0} \right),\left( {{x_2},0} \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;0.3 < \lambda \le 1 \end{array} \right. $

$ \lambda {\left( {{E_\alpha }} \right)_{\underline \lambda }} = \left\{ \begin{array}{l} \left\{ {\left( {{x_1},\lambda } \right),\left( {{x_2},\lambda } \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;0 \le \lambda < 0.2\\ \left\{ {\left( {{x_1},0} \right),\left( {{x_2},\lambda } \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;0.2 \le \lambda < 0.3\\ \left\{ {\left( {{x_1},0} \right),\left( {{x_2},0} \right)} \right\},\;\;\;\;\;\;0.3 \le \lambda < 1 \end{array} \right. $

故$\underset{\lambda \in \left[0, 1 \right]}{\mathop{\cup }}\, $λ(E_α)_λ=$\underset{\lambda \in \left[0, 1 \right]}{\mathop{\cup }}\, $λ(E_α) _λ={(x₁, 0.2), (x₂, 0.3)}=E_α。

类似地，对α取其余值的情况也可得到同样结论，因此E={E_α|α∈[0, 1]}。

4 犹豫模糊集的扩展原则

Torra等人^[1]曾介绍了HFS的扩展原理。

定义10^[1]  令Θ:[0, 1]ⁿ→[0, 1]为一个函数，H为论域X上的n个犹豫模糊集，记为H={h₁, h₂, …, h_n}，则Θ在H上的扩展定义如下：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\forall x \in X}\\ {{\Theta _H}\left( x \right) = \bigcup\limits_{r \in {h_1}\left( x \right) \times {h_2}\left( x \right) \times \cdots \times {h_n}\left( x \right)} {\left\{ {\Theta \left( r \right)} \right\}} } \end{array} $

显然这个定义仅仅是清晰集中运算的扩展，而不是一般HFS函数的扩展。本文依据Zadeh提出的T1FS的扩展原则，提出如下的HFS的扩展原则。

定义11   (HFS的扩展原则I)设E∈HFS(X)，F∈HFS(Y)，若f:X→Y，则可以定义一个从HFS(X)到HFS(Y)的犹豫模糊函数，满足

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{h_{f\left( E \right)}}:Y \to P\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)}\\ {y \mapsto {h_{f\left( E \right)}}\left( y \right)} \end{array} $

设f ^-1(y)={x∈X|f(x)=y}，则

$ {h_{f\left( E \right)}}\left( y \right) = \left\{ \begin{array}{l} \mathop \vee \limits_{x \in {f^{ - 1}}\left( y \right)} \left\{ {r\left( x \right)\left| {r\left( x \right) \in {h_E}\left( x \right)} \right.} \right\},\;\;\;\;\;{f^{ - 1}}\left( y \right) \ne \emptyset \\ 0,\;\;\;\;{f^{ - 1}}\left( y \right) = \emptyset \end{array} \right. $

且f也可诱导一个从HFS(Y)到HFS(X)的犹豫模糊逆函数，满足

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{h_{{f^{ - 1}}\left( F \right)}}:X \to P\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)}\\ {x \mapsto {h_{{f^{ - 1}}\left( F \right)}}\left( x \right) = \left\{ {r \in {h_F}\left( y \right)\left| {y = f\left( x \right) \in Y} \right.} \right\}。} \end{array} $

例4   设E∈HFS(X)，F∈HFS(Y)，其中X={-1, 1, 2}，Y={0, 1, 4}，E={〈-1, {0.2, 0.3, 0.8}〉, 〈1, {0.4, 0.6}〉, 〈2, {0.1, 0.2}〉}，F={〈0, {0.2, 0.6}〉, 〈1, {0.3, 0.4}〉, 〈4, {0.7}〉}, 令f:X→Y, x↦f(x)=x²，则由定义11知f(E)={〈0, {0}〉, 〈1, {0.4, 0.6, 0.8}〉, 〈4, {0.1, 0.2}〉}，f^-1(F)={〈-1, {0.3, 0.4}〉, 〈1, {0.3, 0.4}〉, 〈2, {0.7}〉}均为犹豫模糊集。

性质3   设f:X→Y，E, G∈HFS(X)，T, H∈HFS(Y)，则∀α∈[0, 1]，有

1)f(E)_α⊆ f(E_α)，f(E)_α⊆ f(E_α)；

2) f^-1(F)_α=f^-1(F_α)，f^-1(F)_α=f^-1(F_α)；

3)f(E∪G)_α ⊆ f(E)_α∪f(G)_α，f^-1(F∩H)_α ⊆ f^-1(F)_α∩f^-1(H)_α；

4)f(E_α)^C⊆ f(E_α^C)，f^-1(F_α^C)=f^-1(F)_α^C。

证明   1)∀y∈Y，若f^-1(y)=Ø，则h_f(E)(y)=0。从而Øα∈[0, 1]，有μ_f(Eα)(y)=μ_f(E)α(y)=0。若f^-1(y)≠Ø，则分成以下两种情形讨论：

① 当{r∈h_f(E)(y)|r≥α}=Ø时，μ_f(E)α(y)=0。也就是说, ∀x∈f^-1(y)，若r(x)∈h_E(x)，则r(x) < α，即μ_Eα(x)=0。故μ_f(Eα)(y)=$\underset{x\in {{f}^{-1}}\left( y \right)}{\mathop{\vee }}\, $μ_Eα(x)=0=μ_f(E)α(y)。

② 当{r∈h_f(E)(y)|r≥α}≠Ø时，μ_f(E)α(y)=min{r′∈h_f(E)(y) |r′≥α}=min$\underset{x\in {{f}^{-1}}\left( y \right)}{\mathop{\vee }}\, ${r(x)|r(x)∈h_E(x) ∧r(x)≥a}。且μ_f(Eα)(y)=$\underset{x\in {{f}^{-1}}\left( y \right)}{\mathop{\vee }}\, ${μ_Eα(x)}=$\underset{x\in {{f}^{-1}}\left( y \right)}{\mathop{\vee }}\, $min{r(x)|r(x)∈h_E(x)∧r(x)≥a}。

由性质1的结论3) 得，μ_f(E)α(y)≤μ_f(Eα)(y)⇒f(E)_α ⊆ f(E_α)。

2) 对于∀x∈X，分以下分两种情况讨论：

① 当μ_f^-1(F)α(x)=0时，f^-1(F)_α=Ø。说明∀r∈h_f^-1(F)(x), r < α。考虑到r∈h_F(y)，这里y=f(x), 因此μ_Fα(y)=0⇒μ_f^-1(Fα)(x)=0。故μ_f^-1(F)α(x)=μ_f^-1(Fα)(x)。

② 当μ_f^-1(F)α(x)≠0时，μ_f^-1(F)α(x)=min{r∈h_f^-1(F)(x)r≥α}=min{r∈h_F(y)y= f(x), r≥α}=μ_Fα(y), 这里y=f(x), 且μ_f^-1(Fα)(x)=μ_Fα(y)。故μ_{f ^-1(F)α}(x)=μ_{f ^-1(Fα)}(x)，即f ^-1(F)_α=f ^-1(F_α)。

③ f(E∪G)_α⊆ f(E∪G)_α)⊆ f(E_α∪G_α) =f(E_α)∪f(G_α)⊆ f(E)_α∪f(G)_α；

f ^-1(F∩H)_α=f ^-1((F∩H)_α)f ^-1(F_α∩H_α) =f ^-1(F_α)∩f ^-1(H_α)=f ^-1(F)_α∩f ^-1(H)_α。

④ 因为μ_f(Eα)^C(y)=1-μ_f(Eα)(y)=1-$\underset{x\in {{f}^{-1}}\left( y \right)}{\mathop{\vee }}\, ${μ_Eα(x)}=$\underset{x\in {{f}^{-1}}\left( y \right)}{\mathop{\wedge }}\, ${1-μ_Eα(x)}, μ_f(Eα^C)(y)=$\underset{x\in {{f}^{-1}}\left( y \right)}{\mathop{\vee }}\, ${μ_Eα^C(x)}=$\underset{x\in {{f}^{-1}}\left( y \right)}{\mathop{\vee }}\, ${1-μ_Eα(x)}, 所以μ_f(Eα)^C(y)≤μ_f(Eα^C)(y)⇒f(E_α)^C⊆ f(E_α^C)。

另由T1FS的性质和性质3的结论2可知，f ^-1(F_α^C)=(f ^-1(F_α))^C=f ^-1(F)_α^C。

进一步，此函数也可拓展到多元函数情形。

定义12    (HFS的扩展原则Ⅱ)设E_i∈HFS(X_i), (i=1, 2, …, n)，F∈HFS(Y)，若f:X₁×X₂×…×X_n →Y，则可推导出一个从HFS(X₁)×HFS(X₂)×… ×HFS(X_n)到HFS(Y)的犹豫模糊函数，满足:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\forall \left( {{E_1},{E_2}, \cdots ,{E_n}} \right) \in {\rm{HFS}}\left( {{X_1}} \right) \times {\rm{HFS}}\left( {{X_2}} \right) \times \cdots \times {\rm{HFS}}\left( {{X_n}} \right)}\\ {{h_{f\left( {{E_1},{E_2}, \cdots ,{E_n}} \right)}}:Y \to P\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)}\\ {y \mapsto {h_{f\left( {{E_1},{E_2}, \cdots ,{E_n}} \right)}}\left( y \right)} \end{array} $

设f ^-1(y)={(x₁, x₂, …, x_n)|f(x₁, x₂, …, x_n) =y, x_i∈X_i, i=1, 2, …, n}，则当f ^-1(y)≠Ø时

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{h_{f\left( {{E_1},{E_2}, \cdots ,{E_n}} \right)}}\left( y \right) = \left\{ {\mathop \vee \limits_{\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right) \in {f^{ - 1}}\left( y \right)} \left\{ {\mathop \wedge \limits_{i = 1}^n {r_i}\left( {{x_i}} \right)\left| {{r_i}\left( {{x_i}} \right) \in {h_{{E_i}}}\left( {{x_i}} \right)} \right.,} \right.} \right.}\\ {\left. {\left. {i = 1,2, \cdots ,n} \right\}} \right\}} \end{array} $

当f^-1(y)=Ø时，h_f(E)(y)=0。

扩展原则Ⅱ不仅适用于函数，也适用于关系运算。当考虑关系运算时，它与定义10是一致的。

5 应用实例 5.1 HFS的α-截集在多属性决策中的应用

犹豫模糊多属性决策问题中需要考虑方案的综合属性的集结与排序问题，这需要对犹豫模糊数进行相似性度量和比较。由于犹豫模糊数本身就较复杂，从而导致整个决策算法较复杂且效率不高。通过截集的方法可以使犹豫模糊集转换成Ⅰ型模糊集，从而在数据预处理时就能降低算法复杂度。且由于阈值α的可变性，使得聚类结果能更加灵活地符合实际需求。

定义13   设E∈HFS(X)，α∈[0, 1]，x, y∈X，定义E_α(x)>E_α(y)的可能度P(E_α(x)>E_α(y))满足

1) 当μ_Eα(x)>μ_Eα(y)且h_E⁺(x)≥h_E⁺(y)，或μ_Eα(x)=μ_Eα(y)且h_E⁺(x)>h_E⁺(y)时，则P(E_α(x)>E_α(y))=1；

2) 当μ_Eα(x) < μ_Eα(y)且h_E⁺(x)≤h_E⁺(y)，或μ_Eα(x)=μ_Eα(y)且h_E⁺(x) < h_E⁺(y)时，则P(E_α(x)>E_α(y))=0；

3) 除以上两种情况外，P(E_α(x)>E_α(y))=12。

显然，P(E_α(x)>E_α(y))满足下列性质：

$ P\left( {{E_\alpha }\left( x \right) > {E_\alpha }\left( y \right)} \right) + P\left( {{E_\alpha }\left( y \right) > {E_\alpha }\left( x \right)} \right) = 1。$

以下为采用文献[36]所举的例子。

例5   设某一投资公司可对5个能源项目x_i (i=1, 2, …, 5) 进行投资，几位专家分别按照4个评价指标(属性)来进行评估，这4个指标包括技术(E₁)、环境(E₂)、社会政策(E₃)和经济状况(E₄)，各指标的权重向量为ω=(0.15, 0.3, 0.2, 0.35)。已知专家的评估结果用下列犹豫模糊决策矩阵表示，如表 1所示.

具体算法如下：

1) 给定α∈[0, 1]，任意x∈X，计算

$ {E_\alpha }\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^4 {{\omega _k}{\mu _{{E_{k\alpha }}}}\left( x \right)} ,h_E^ + \left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^4 {{\omega _k}h_{{E_k}}^ + \left( x \right)} 。$

2) 根据定义13，令p_ij=P(E_α(x_i)>E_α(x_j))，得到可能度矩阵P=(p_ij)_5×5。

3) 令${{p}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{5}{{{p}_{ij}}}$得每个项目的可能值，则可按照p_i从大到小顺序来决定方案。

本例所得p_i大小如表 2所示，从该表中不难发现，随着α取值不同，p_i的大小顺序并不完全一致。但总体来看x₅的评分都是最高的，所以我们可以认定选择项目x₅进行投资。这结果与文献[36]是一致的。同时由于α的取值可以根据需要进行改变，从而可以更加灵活地进行决策。

5.2 HFS的α-截集在聚类分析中的应用

Chen^[18]和Liao^[37]都曾讨论过犹豫模糊环境下的聚类算法，他们的算法都是需要先通过某种犹豫模糊数的相似测度度量构建相关矩阵，从而进行聚类。本文采取的原理是通过截集将HFS转换成T1FS，将犹豫模糊数聚类问题转换成经典模糊数聚类问题，从而使问题解决变得简单。

例6   上市公司的经营绩效是公司金融领域的研究热点。例如，研究农业类上市公司的经营绩效，可通过考察其盈利能力(A₁)、偿债能力(A₂)、营运能力(A₃)、成长能力(A₄)和股本扩张能力(A₅)等^[38]情况获得。本例中基于这5个指标对国内十家农业类上市公司x_i (i=1, 2, …, 10) 的经营绩效进行聚类分析。不同专家对这些公司关于这5个指标的考核也有不同的评价。现对他们的评价值采用犹豫模糊集的形式给出，如表 3。

具体算法如下：

1) 给定α∈[0, 1]，则可得到第i个公司关于第k个指标在阈值α上的隶属度，即μ_Ekα(x_i)。

2) 采用最大最小法建立不同公司间的模糊相似矩阵R=(r_ij)_10×10，其中

$ {r_{ij}} = \frac{{\sum\limits_{k = 1}^5 {\min \left\{ {{\mu _{{E_{{k_\alpha }}}}}\left( {{x_i}} \right),{\mu _{{E_{{k_\alpha }}}}}\left( {{x_j}} \right)} \right\}} }}{{\sum\limits_{k = 1}^5 {\max \left\{ {{\mu _{{E_{{k_\alpha }}}}}\left( {{x_i}} \right),{\mu _{{E_{{k_\alpha }}}}}\left( {{x_j}} \right)} \right\}} }},\;\;i,j = 1,2, \cdots ,10。$

3) 求出R的闭包，即模糊等价矩阵Ȓ。

4) 从大到小取不同阈值λ∈[0, 1]，利用模糊等价矩阵的截矩阵Ȓ_λ进行聚类。

表 4给出了本例聚类结果。

由表 4可以看出，若国内10家农业类上市公司分为2组，则x₁、x₃、x₅、x₆、x₇、x₈、x₉、x₁₀这8家上市公司的经营绩效略高于x₂、x₄两家上市公司的经营绩效；若国内10家农业类上市公司分为6组，则经营绩效按照x₁、x₃、x₇、x₁₀四家上市公司，x₂、x₄两家上市公司，及x₅、x₆、x₈、x₉依次降低。总体来看，在所有国内10家农业类上市公司中，x₁、x₃、x₁₀的经营绩效能力最高，3家上市公司的能力基本一致。

6 结束语

本文通过分析经典犹豫模糊集与离散区间Ⅱ型模糊集之间的关系，提出了犹豫模糊集的α-截集的概念，并讨论其性质及应用。利用这种截集将经典犹豫模糊集分解成若干个Ⅰ型模糊集，并将此概念应用于犹豫模糊集的分解(表现)定理和两个更一般的扩展原则。这极大地丰富了犹豫模糊集的基本理论。同时，我们也举例说明了该截集方法在多属性决策和聚类分析中的应用。今后我们将继续将该截集的方法推广至其他扩展的犹豫模糊集理论中，以便解决更多的实际应用问题。