近几年，由于多智能体系统一致性问题在机器人编队问题^[1]、群集运动问题^[2]等方面得到广泛应用，这一问题成为了当前控制领域的研究重点。一致性控制就是设计一个一致性协议使得所有智能体的状态渐近达到一个共同的值。许多学者已经研究了在拓扑网络、非线性、时滞等约束条件下，以一阶、二阶或高阶动力学方程为模型的多智能体系统的一致性问题^[3-7]。

用基于事件触发控制代替时间触发控制具有十分重要的意义^[8]。通过与时间触发控制的比较发现，基于事件触发控制在减少通信次数方面具有明显的优点，在多数情况下，基于事件触发控制要优于传统的时间触发控制^[9]。2013年，X.Y.Meng等^[10]在固定拓扑网络下针对特定事件设计了一致性协议来探索多智能体系统的一致性问题，随后又提出了在切换拓扑网络下的基于事件的一致性协议。2014年，王航飞等^[1]将基于事件触发控制应用到了环形编队问题中；2016年，K.Liu等^[11]基于一致性理论研究成果研究了一阶和二阶多智能体系统在有向图下基于事件的包容控制问题，基于一定的事件，智能体决定何时传递状态给它的邻居，并且利用这些采样状态设计了分布式协议，从而使得跟随者最终收敛到领导者所形成的凸包中；Y.Fan等^[12]对进行周期采样的多智能体系统设计了基于事件一致性协议，并且在此基础上设计了自触发一致性协议来减少通信次数和采样次数；2017年，W.Zhu等^[13]研究了二阶多智能体系统在离散时间情况下的基于事件触发控制的一致性问题，通过自触发方式避免了观察智能体及其邻居在所有离散时刻的状态；文献[14]针对二阶多智能体系统提出了基于事件触发控制的一致性协议，对固定有向拓扑网络下的系统一致性问题进行了分析；2013年，胡春健^[15]采用事件驱动控制方法，研究了一类一般线性多智能体系统的一致性问题，研究方法上不再要求拉普拉斯矩阵具有对称性，并获得了一类线性多智能体系统达到一致的充分条件；2016年，D.P.Yang等^[16]研究了一般线性多智能体系统在有向图中的基于事件触发控制的一致性问题，基于状态反馈，采用分布式事件触发一致性协议使得所有智能体都实现了一致性，不需要智能体之间进行连续通信；文献[17]研究了一般线性模型多智能体系统在基于事件触发情况下的采样数据一致性问题，分别设计了固定和切换拓扑情况下的分布式事件触发策略。

虽然利用一阶邻居信息研究多智能体系统的一致性较为普遍，但由于系统的复杂性，为了提高系统的收敛速率，许多学者开始利用二阶邻居信息对多智能体系统的一致性问题进行研究。2010年，D.Yuan等^[18]研究了一阶多智能体系统利用二阶邻居信息来加速分布式平均一致性的问题，解决了在离散和连续时间情况下的加速平均一致性问题，并发现了利用二阶邻居信息要比只使用一阶邻居信息的协议收敛速度快；不同于Z.Liu等^[19]在2010年利用全局信息对多智能体系统的一致性进行研究的结果，文中只需要利用一阶和二阶邻居信息来研究一阶多智能体系统的一致性问题，结合二阶邻居信息和事件触发条件，通过对一阶多智能体系统加速平均一致性问题的研究来提高网络收敛速度；2017年，王康等^[20]为了研究一阶多智能体系统的一致性特点及能控、能观性保持策略，分析了具有时变拓扑结构的多智能体系统在一阶邻居和二阶邻居协议下的一致性速度，并且得出了系统在二阶邻居协议下具有更快的收敛速度的结论；2014年，H.Pan等^[21]证明了在二阶动力学方程下利用二阶邻居信息并不一定能够加速一致性速度，一致性速度还和二阶邻居协议的参数有关系。

本文将针对一类一阶多智能体系统的一致性问题展开研究，通过合理设计事件触发条件和一致性协议得到事件触发时刻序列，并获得使系统达到一致性的条件。本文采用的是文献[10]中的研究模型。

1 准备知识 1.1 代数图论

令 $G = \{ {\cal V},{\cal E},{\mathit{\boldsymbol{A}}}\} $ 表示含有n个节点的无向图，其中 ${\cal V} = \{ {v_1},{v_2}, \cdots ,{v_n}\} $ 表示节点的集合， ${\cal E} \subseteq {\cal V} \times {\cal V}$ 表示边的集合，若 $({v_i},{v_j}) \in {\cal E}$ ，那么v_i与v_j称为是相邻的。 ${N_i} = \{ j|({v_i},{v_j}) \in {\cal E},j \ne i\} $ 表示节点v_i的一阶邻居， $N_i^2 = \{ k|k \in {N_j},j \in {N_i},k \ne i,k \ne j\} $ 表示节点v_i的二阶邻居。邻接矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{A}}} = {[{a_{ij}}]_{n \times n}}$ 定义为：若 $({v_i},{v_j}) \in {\cal E}$ ，那么 ${a_{ij}} = 1$ ；否则 ${a_{ij}} = 0$ 。由于在无向图G中， ${a_{ij}} = {a_{ji}}$ ， $\forall i \ne j$ ，所以A为对称阵。在无向图G中，度矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{D}}} = {\rm{diag}}( {d_1},{d_2}, \cdots ,{d_n}) $ 是一个对角阵，其中d_i表示节点v_i的邻居集N_i的势。矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{L}}} = {\mathit{\boldsymbol{D}}} - {\mathit{\boldsymbol{A}}}$ 称为与图G中一阶邻居信息对应的拉普拉斯矩阵。类似地可以定义二阶邻居信息对应的拉普拉斯矩阵 ${\tilde{L}}$ 。在无向图G中，L是对称的半正定矩阵，即 ${\mathit{\boldsymbol{L}}} = {{\mathit{\boldsymbol{L}}}^{\rm{T}}} \geqslant 0$ ，因此它的特征值都是非负实数^[3]，记为 ${\lambda _1} \leqslant {\lambda _2} \leqslant \cdots \leqslant $ $ {\lambda _n}$ 。对于无向图G，如果两个节点 ${v_{{i_0}}}$ 与 ${v_{{i_r}}}$ 之间存在一组边 $({v_{{i_0}}},{v_{{i_1}}}),({v_{{i_1}}},{v_{{i_2}}}), \cdots ,({v_{{i_{r - 1}}}},{v_{{i_r}}})$ ，则称从节点 ${v_{{i_0}}}$ 到 ${v_{{i_r}}}$ 存在长度为r的一条路。如果对于G中的任意两个顶点都有一条路，则称G为连通图。在连通图中， ${\lambda _1} = 0$ ， ${\lambda _2}$ 是最小的非零特征值，且 ${{\bf{1}}_n} = {[1 \,\, 1 \,\, \cdots \,\, 1]^{\rm{T}}}$ 为零特征值所对应的特征向量。在无向连通图中， ${\bf{1}}_n^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{L}}} = {\bf{0}}_n^{\rm{T}}$ ，其中 ${{\bf{0}}_n} = {[0 \,\, 0 \,\, \cdots \,\, 0]^{\rm{T}}}$ 。

1.2 模型描述

考虑具有n个智能体的多智能体系统，且该系统由无向图 $G = \{ {\cal V},{\cal E},{\mathit{\boldsymbol{A}}}\} $ 描述，即每个智能体被描述为图G中的节点，智能体之间的通信用节点间的连接来表示，每个智能体 ${v_i} \in {\cal V}$ 的状态遵循一阶动力学方程：

${\dot x_i}(t) = {u_i}(t),\,\, i = 1,2, \cdots ,n$

(1)

式中： ${x_i} \in {\bf{R}}$ 表示第i个智能体的状态， ${u_i} \in {\bf{R}}$ 表示第i个智能体的控制输入，R表示全体实数集。

设智能体v_i的事件触发判定条件为

$||{e_i}(t_r^i + lh)||_2^2 \leqslant {\sigma _i}||{z_i}(t_r^i + lh)||_2^2,\,\, l = 1,2, \cdots $

(2)

式中： ${\sigma _i} > 0$ ， $t_r^i$ 表示第i个智能体的第r个事件触发时刻，且 $t_r^i$ 是h的整数倍，h表示所有智能体的采样周期。 ${e_i}(t_r^i + lh) = {x_i}(t_r^i) - {x_i}(t_r^i + lh)$ 表示智能体v_i在最近的一个事件触发时刻的状态与当前采样时刻的状态的差值，而 ${z_i}(t_r^i + lh) = \sum\limits_{j \in {N_i}} {({x_i}(} t_r^i + lh) - {x_j}(t_r^i + lh)) + $ $\sum\limits_{k \in N_i^2} {({x_i}(} t_r^i + lh) - {x_k}(t_r^i + lh))$ 表示在当前采样时刻，智能体v_i的状态与其一阶邻居状态的差值以及智能体v_i的状态与其二阶邻居状态差值的和。

在每个采样时刻，每个智能体都传递自己的状态信息给它的一阶邻居和二阶邻居并且也接收来自它一阶邻居和二阶邻居的状态信息用于事件检测。如果条件(2)满足，那么智能体v_i不需要更新自己的控制输入；否则，v_i将更新它自己的控制输入并且通知它的一阶邻居和二阶邻居利用v_i当前的状态信息来更新它们的控制输入，同时将误差 ${e_i}(t_r^i + lh)$ 置于零，这时就满足了条件(2)。也即v_i的事件触发时刻为

$t_{r + 1}^i = t_r^i + h\inf \{ l:||{e_i}(t_r^i + lh)||_2^2 > {\sigma _i}||{z_i}(t_r^i + lh)||_2^2\}$

式中： $t_0^i = 0$ 是初始时刻。很明显，所有测量 ${x_i}(t_r^i)$ 是采样状态 ${x_i}(rh)$ 的一个子序列。也就是说，事件触发时刻 $\{ t_0^i,t_1^i, \cdots \} \subseteq \{ 0,h,2h, \cdots \} $ 。这意味着事件内部时刻 $\{ t_{r + 1}^i - t_r^i,r = 0,1, \cdots \} $ 至少是以所有智能体采样时刻h为下界。

为了减少符号的复杂程度，定义

${\hat x_i}(t) \buildrel \Delta \over = {x_i}(t_r^i),\;t_r^i \leqslant t < t_{r + 1}^i$

即通过在下一个事件出现之前都保持状态不变将离散时间信号 ${x_i}(t_r^i)$ 转换成分段连续时间信号 ${\hat x_i}(t)$ 。

根据定义的符号，考虑利用二阶邻居信息构造一致性协议，由此给出下面的基于事件一致性协议：

${u_i}(t) = - (\sum\limits_{j \in {{\cal N}_i}} {({{\hat x}_i}(} t) - {\hat x_j}(t)) + \sum\limits_{k \in {\cal N}_i^2} {({{\hat x}_i}(} t) - {\hat x_k}(t)))$

(3)

2 固定拓扑网络下的一致性研究

暂且假设系统具有固定拓扑网络结构，由协议(3)式得到智能体v_i的闭环系统为

${\dot x_i}(t) = - (\sum\limits_{j \in {{\cal N}_i}} {({{\hat x}_i}(} t) - {\hat x_j}(t)) + \sum\limits_{k \in {\cal N}_i^2} {({{\hat x}_i}(} t) - {\hat x_k}(t)))$

根据前面定义的 $e(t_r^i + lh)$ 可以得到在 $t \in [t_r^i + lh,$ $t_r^i + lh + h)$ 这一时间段内的智能体v_i的动力学方程如下：

$\begin{array}{c}{{\dot x}_i}(t) = - (\displaystyle\sum\limits_{j \in {{\cal N}_i}} {({x_i}(} t_r^i) - {x_j}(t_{r'}^j)) + \sum\limits_{k \in {\cal N}_i^2} {({x_i}(} t_r^i) - {x_k}(t_{r''}^k))) = \\ - \displaystyle\sum\limits_{j \in {{\cal N}_i}} {({x_i}(} t_r^i + lh) - {x_j}(t_r^i + lh)) - \\\sum\limits_{j \in {{\cal N}_i}} {({x_i}(} t_r^i) - {x_i}(t_r^i + lh)) + \displaystyle\sum\limits_{j \in {{\cal N}_i}} {({x_j}(} t_{r'}^j) - {x_j}(t_r^i + lh)) - \\\displaystyle\sum\limits_{k \in {\cal N}_i^2} {({x_i}(} t_r^i + lh) - {x_k}(t_r^i + lh)) - \\\displaystyle\sum\limits_{k \in {\cal N}_i^2} {({x_i}(} t_r^i) - {x_i}(t_r^i + lh)) + \sum\limits_{k \in {\cal N}_i^2} {({x_k}(} t_{r''}^k) - {x_k}(t_r^i + lh)) = \\ - \displaystyle\sum\limits_{j \in {{\cal N}_i}} {({x_i}(} t_r^i + lh) - {x_j}(t_r^i + lh)) - \sum\limits_{j \in {{\cal N}_i}} {({e_i}(} t_r^i + lh) - \\{e_j}(t_r^i + lh)) - \displaystyle\sum\limits_{k \in {\cal N}_i^2} {({x_i}(} t_r^i + lh) - {x_k}(t_r^i + lh)) - \\\displaystyle\sum\limits_{k \in {\cal N}_i^2} {({e_i}(} t_r^i + lh) - {e_k}(t_r^i + lh))\end{array}$

(4)

式中： $t_{r'}^j = {\rm{max}}\{ t|t \in \{ t_r^j,r = 0,1, \cdots \} ,t \leqslant t_r^i + lh\} $ ， $t_{r''}^k = {\rm{max}}$ $\{ t|t \in \{ t_r^k,r = 0,1, \cdots \} ,t \leqslant t_r^i + lh\} $ ，注意此处l的取值可以是 $0,1,2, \cdots $ 直到下一事件发生。

由式(4)可得，当 $t \in [rh,(r + 1)h)$ 时，有

${\dot{x}}(t) = - ({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) - ({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh)$

(5)

式中： ${\mathit{\boldsymbol{x}}} = {[{x_1} \,{x_2} \, \cdots \, {x_n}]^{\rm{T}}}$ ， ${\mathit{\boldsymbol{e}}} = {[{e_1} \, {e_2} \, \cdots \, {e_n}]^{\rm{T}}}$ 。

在无向连通图中，由于L的非对角线元素不大于零，主对角线元素大于等于零且行和为零， ${\tilde{L}}$ 具有相同的性质，容易得到 ${\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}$ 具有同样的性质，所以 ${\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}$ 仍为拉普拉斯矩阵。

引理1　对于半正定对称矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{A}}} \in {{\bf{R}}^{n \times n}}$ ， $\forall {\mathit{\boldsymbol{a}}},{\mathit{\boldsymbol{b}}} \in $ $ {{\bf{R}}^n}$ ，有

$|2{{\mathit{\boldsymbol{a}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Ab}}}| \leqslant {{\mathit{\boldsymbol{a}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Aa}}} + {{\mathit{\boldsymbol{b}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Ab}}}$

证明　由于A是对称矩阵，所以存在正交矩阵U，使得 ${\mathit{\boldsymbol{UA}}}{{\mathit{\boldsymbol{U}}}^{\rm{T}}}={\mathit{\boldsymbol{\varLambda }}}$ ，其中 ${\mathit{\boldsymbol{\; \varLambda }}} = {\rm{diag}}( {\lambda _1},{\lambda _2}, \cdots ,{\lambda _n}) $ ，且 ${\lambda _i} \geqslant 0,i = 1, 2, \cdots ,n$ 。记 ${\mathit{\boldsymbol{\;\alpha }}} = {\mathit{\boldsymbol{Ua}}}$ ，则

${{\mathit{\boldsymbol{a}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Aa}}} = {{\mathit{\boldsymbol{a}}}^{\rm{T}}}{{\mathit{\boldsymbol{U}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{UA}}}{{\mathit{\boldsymbol{U}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Ua}}} = {{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{\varLambda \alpha }}} = {\lambda _1}\alpha _1^2 + \cdots + {\lambda _n}\alpha _n^2$

记 ${\mathit{\boldsymbol{\beta }}} = {\mathit{\boldsymbol{Ub}}}$ ，则

${{\mathit{\boldsymbol{b}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Ab}}} = {{\mathit{\boldsymbol{b}}}^{\rm{T}}}{{\mathit{\boldsymbol{U}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{UA}}}{{\mathit{\boldsymbol{U}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Ub}}} = {{\mathit{\boldsymbol{\beta }}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{\varLambda \beta }}} = {\lambda _1}\beta _1^2 + \cdots + {\lambda _n}\beta _n^2$

由于 $|2{\alpha _i}{\beta _i}| \leqslant \alpha _i^2 + \beta _i^2$ ， $i = 1, 2, \cdots ,n$ ，那么

$\begin{array}{c}{{\mathit{\boldsymbol{a}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Aa}}} + {{\mathit{\boldsymbol{b}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Ab}}} = {{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{\varLambda \alpha }}} + {{\mathit{\boldsymbol{\beta }}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{\varLambda \beta }}} = \\[3pt]{\lambda _1}\alpha _1^2 + \cdots + {\lambda _n}\alpha _n^2 + {\lambda _1}\beta _1^2 + \cdots + {\lambda _n}\beta _n^2 = \\[3pt]{\lambda _1}(\alpha _1^2 + \beta _1^2) + \cdots + {\lambda _n}(\alpha _n^2 + \beta _n^2) \geqslant \\[5pt]2({\lambda _1}|{\alpha _1}{\beta _1}| + \cdots + {\lambda _n}|{\alpha _n}{\beta _n}|) = 2|{{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{\varLambda \beta }}}| = \\[3pt]2|{{\mathit{\boldsymbol{a}}}^{\rm{T}}}{{\mathit{\boldsymbol{U}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{\varLambda Ub}}}| = 2|{{\mathit{\boldsymbol{a}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Ab}}}|\end{array}$

考虑系统的平均状态：

$\bar x(t) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} (t)$

在无向连通图中， ${\bf{1}}_n^{\rm{T}}({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}) = {\bf{0}}_n^{\rm{T}}$ ，根据协议(3)式得到 ${\dot {\bar {x}}} = \displaystyle\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\dot x}_i}(t)} = \displaystyle\frac{1}{n}{\bf{1}}_n^{\rm{T}}\dot x(t) = - \displaystyle\frac{1}{n}{\bf{1}}_n^{\rm{T}}({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\hat{x}}(t) \equiv 0$ ，其中 ${\hat{x}}(t) = $ $ {[{\hat x_1}(t) \,\, {\hat x_2}(t) \,\, \cdots \,\, {\hat x_n}(t)]^{\rm{T}}}$ 。

因此， $\bar x(t)$ 它是时不变的。定义非一致性向量

$\delta (t) = {\mathit{\boldsymbol{x}}}(t) - \bar x(t){{\bf{1}}_n} = {\mathit{\boldsymbol{x}}}(t) - \bar x{{\bf{1}}_n}$

考虑李雅普诺夫函数

$V(t) = \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(t){\mathit{\boldsymbol{x}}}(t)$

(6)

即状态的平方和的1/2。

引理 2 (Lasalle不变原理)　设C是有界闭集，从C内出发的系统 $\displaystyle\frac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}t}} = f(x)$ 的解 $x(t,{t_0},{x_0}) \subset C$ ，若存在 $V(x):C \to {\bf{R}}$ ，具有连续一阶偏导数，满足 $\displaystyle\frac{{{\rm{d}}V}}{{{\rm{d}}t}} \leqslant 0$ 。又设 $E = \{ x|\displaystyle\frac{{{\mathop{\rm d}\nolimits} V}}{{{\mathop{\rm d}\nolimits} t}} = 0,x \in C\} $ ， $M \subset E$ 是最大不变集，则当 $t \to \infty $ 时，有 $x(t,{t_0},{x_0}) \to M$ 。

定理 1　设系统(1)具有连通通信拓扑，采用协议(3)的系统(1)在事件触发条件(2)的驱动下，若条件

$0 < h \leqslant \frac{1}{{2{\lambda _n}}},0 < {\sigma _{\rm{max}}} < \frac{1}{{\lambda _n^2}}$

(7)

或者

$\frac{1}{{2{\lambda _n}}} < h < \frac{3}{{4{\lambda _n}}},\;0 < {\sigma _{\rm{max}}} < \frac{{3 - 4h{\lambda _n}}}{{(4h{\lambda _n} - 1)\lambda _n^2}}$

(8)

成立，其中 ${\sigma _{\rm{max}}} = {\rm{max}}\{ {\sigma _i},i = 1,2, \cdots ,n\} $ ，则所有智能体的状态都渐近收敛到它们的初始状态平均值。

证明　考虑函数(6)式在 $t \in [rh,(r + 1)h)$ 时间段内沿(4)生成轨线的时间演变，得到

$\begin{array}{c}\dot V(t) = {{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(t){\dot{x}}(t) = - {{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(t)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}})({\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + {\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh)) = \\[4pt](t - rh){({\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + {\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh))^{\rm{T}}}{({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}})^2}({\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + {\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh)) - \\[4pt]{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}})({\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + {\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh)) \leqslant - {{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + \\[4pt]{\tilde{L}})({\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + {\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh)) + h{\lambda _n}{({\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + {\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh))^{\rm{T}}}({\mathit{\boldsymbol{L}}} + \\[4pt]{\tilde{L}})({\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + {\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh)) = - (1 - h{\lambda _n}){{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) - \\[5pt]{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh){\mathit{\boldsymbol{(L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh) + h{\lambda _n}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh) + \\[4pt]2h{\lambda _n}{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh) = - (1 - h{\lambda _n}){{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + \\[5pt]{\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + (2h{\lambda _n} - 1){{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh) + \\[4pt]h{\lambda _n}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh)\end{array}$

应用引理 1，当 $2h{\lambda _n} - 1 \leqslant 0$ 时，有

$\begin{array}{c}\dot V(t) \leqslant - (1 - h{\lambda _n}){{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + (1 - 2h{\lambda _n})\\[5pt](\displaystyle\frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + \displaystyle\frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh)) + \\[5pt]h{\lambda _n}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh) = - \displaystyle\frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + \\[5pt]\displaystyle\frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh)\end{array}$

结合事件触发条件(2)得到

$\begin{array}{c}\dot V(t) \leqslant - \displaystyle\frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + \displaystyle\frac{1}{2}\lambda _n^2{\sigma _{\rm{max}}}{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)\\[5pt]({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) = - \displaystyle\frac{1}{2}(1 - \lambda _n^2{\sigma _{\rm{max}}}){{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh)\end{array}$

当式(7)成立时，有 $\dot V(t) \leqslant 0$ 。

当 $2h{\lambda _n} - 1 > 0$ 时，有

$\begin{array}{c}\dot V(t) \leqslant - (1 - h{\lambda _n}){{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + (2h{\lambda _n} - 1)\\[5pt](\displaystyle\frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + \displaystyle\frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh)) + \end{array}$

$\begin{array}{c}h{\lambda _n}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh) = (2h{\lambda _n} - \displaystyle\frac{3}{2}){{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + \\[5pt]{\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + (2h{\lambda _n} - \displaystyle\frac{1}{2}){{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh)\end{array}$

结合事件触发条件(2)得到

$\begin{array}{c}\dot V(t) \leqslant (2h{\lambda _n} - \displaystyle\frac{3}{2}){{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + \\[5pt](2h{\lambda _n} - \displaystyle\frac{1}{2})\lambda _n^2{\sigma _{max}}{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh) = \\[5pt](2h{\lambda _n} - \displaystyle\frac{3}{2} + (2h{\lambda _n} - \displaystyle\frac{1}{2})\lambda _n^2{\sigma _{max}}){{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh)({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}}){\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh)\end{array}$

当式(8)成立时，有 $\dot V(t) \leqslant 0$ 。

由于G为连通图， $E = \{ x \in {{\bf{R}}^n}|\dot V(t) = 0\} = {\bf{span}}\{ {{\bf{1}}_n}\} $ ，由Lasalle不变原理可知所有智能体一致收敛。

采样周期h和 ${\sigma _i}$ ， $i = 1,2, \cdots ,n$ 的选取需要拓扑的全局信息 ${\lambda _n}$ 。根据圆盘定理^[22]及 ${d_{\rm{max}}} \leqslant (n - 1)$ ，最大特征值 ${\lambda _n}$ 的上界可根据 ${\lambda _n} \leqslant 2{d_{\rm{max}}} \leqslant 2(n - 1)$ 确定。因此，由式(7)可知，如果每个智能体都知道整个系统的个体数量n，那么采样周期h和 ${\sigma _i}$ 可以根据下式选择：

$0 < {\sigma _{\rm{max}}} < \frac{1}{{4{{(n - 1)}^2}}},\;0 < h < \frac{1}{{4(n - 1)}}。$

可以通过一个公共标量α， $0 < \alpha < 1$ ，来缩放采样周期的最大值保证 $0 < h < \displaystyle\frac{1}{{4(n - 1)}}$ 成立，即每个智能体都选择 $h = \displaystyle\frac{\alpha }{{4(n - 1)}}$ 作为它的采样周期。同时注意h， ${\sigma _i}$ ， $i = 1,2, \cdots ,n$ 只有上限，即h， ${\sigma _i}$ 可以足够小，且 ${\sigma _i}$ 越小将会使控制更新的频率越高，系统收敛速度越快，所以在某种意义上，这是一个在性能和控制更新频率之间的取舍问题。

3 切换拓扑网络下的一致性研究

在这部分中，将固定拓扑网络下的研究结果扩展到了G在连通图之间切换的情况，假定所有可能的连通图构成有限集 $\{ {G_1}, {G_2}, \cdots ,{G_m}\} $ ，定义下标集 $J = \{ 1, 2, \cdots ,m\} $ ，引入一个分段常数切换信号 $s(t):[0, + \infty ) $ $ \to J$ 来描述t时刻系统具有的拓扑结构， ${G_{s(rh)}}$ 表示在采样触发时刻rh时的活动拓扑， ${({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}})_{s(rh)}}$ 表示其对应的由一阶和二阶邻居所确定的拉普拉斯矩阵。

在切换拓扑情况下，根据(2)式和(3)式类似地定义事件触发条件和基于事件的一致性协议。在切换拓扑情形下，李雅普诺夫函数不变，仍是

$V(t) = \displaystyle\frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(t)$ ${\mathit{\boldsymbol{x}}}(t)$

定理 2　设系统(1)式的通信拓扑网络在有限个连通图之间进行切换，采用协议(3)式的系统(1)式在事件触发条件(2)式的驱动下，若满足下列条件

$0 < h \leqslant \frac{1}{{2{\lambda _{\rm{max}}}}},\;0 < {\sigma _{\rm{max}}} < \frac{1}{{\lambda _{\rm{max}}^2}}$

或者

$\frac{1}{{2{\lambda _{\rm{max}}}}} < h < \frac{3}{{4{\lambda _{\rm{max}}}}},\;0 < {\sigma _{\rm{max}}} < \frac{{3 - 4h{\lambda _{\rm{max}}}}}{{(4h{\lambda _{\rm{max}}} - 1)\lambda _{\rm{max}}^2}},$

其中 ${\lambda _{\rm{max}}} ={\rm{max}}\{ {\lambda _n}(G),G \in \{ {G_1}, \cdots ,{G_m}\} \} $ ， ${\lambda _n}(G)$ 是拉普拉斯矩阵 $({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}})(G)$ 的最大特征值，那么所有智能体的状态都渐近收敛到它们的初始状态平均值。

证明　类似于定理1的证明过程得到李雅普诺夫函数在区间 $[rh,(r + 1)h)$ 内的导数为

$\dot V(t) = - {{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(t){({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}})_{s(rh)}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh) + {\mathit{\boldsymbol{e}}}(rh))$

若 $0 < h \leqslant \displaystyle\frac{1}{{2{\lambda _n}({G_{s(rh)}})}}$ ，且 $0 < {\sigma _{\rm{max}}} < \displaystyle\frac{1}{{\lambda _n^2({G_{s(rh)}})}}$ ，或者 $\displaystyle\frac{1}{{2{\lambda _n}({G_{s(rh)}})}} < h < \displaystyle\frac{3}{{4{\lambda _n}({G_{s(rh)}})}}$ ，且

$0 < {\sigma _{\rm{max}}} <\displaystyle\frac{{3 - 4h{\lambda _n}({G_{s({{rh}})}})}}{{(4h{\lambda _n}({G_{s({{rh}})}}) - 1)\lambda _n^2({G_{s({{rh}})}})}} $

那么类似于固定拓扑情况，有 $ \dot V(t) - \displaystyle\frac{1}{2}(1 - \lambda _n^2({G_{s(rh)}})$ $ {\sigma _{\rm{max}}}){{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh){({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}})_{s(rh)}}{\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh),$ 或者 $\dot V(t) \leqslant (2h{\lambda _n}({G_{s(rh)}}) - $ $\displaystyle\frac{3}{2} + (2h{\lambda _n}({G_{s(rh)}}) - \displaystyle\frac{1}{2})$ 。

$\lambda _n^2({G_{s(rh)}}){\sigma _{\rm{max}}}){{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{\rm{T}}}(rh){({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}})_{s(rh)}}{\mathit{\boldsymbol{x}}}(rh)$

式中： ${\lambda _n}({G_{s(rh)}})$ 是拉普拉斯矩阵 ${({\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}})_{s(rh)}}$ 的最大特征值。

因为系统在有限个连通图之间切换，可得集合 $E = \{ x \in {{\bf{R}}^n}|\dot V(t) = 0\} = {\rm{span}}\{ {{\bf{1}}_n}\} $ ，根据Lasalle不变原理得到所有智能体的状态都渐近收敛到它们的初始状态平均值。

通过与文献[10]的比较发现：即使多智能体系统(1)只采用一阶邻居信息用于研究系统的一致性收敛问题，与文献[10]的采样周期 $0 < h \leqslant \displaystyle\frac{1}{{2{\lambda _{\rm{max}}}}}$ 相比，本文所提出的采样周期的选取范围也比文献[10]中的采样周期选取范围更大。

4 仿真

在理论分析的基础上，本部分将通过仿真实验对所得出的理论结果进行验证。

考虑由4个智能体组成的多智能体系统，为了便于比较，采用与文献[10]相同的通信拓扑和参数。图1是无向连通图，其利用二阶邻居信息所得的拉普拉斯矩阵为

${\mathit{\boldsymbol{L}}} + {\tilde{L}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3 & { - 1} & { - 1} & { - 1}\\{ - 1} & 3 & { - 1} & { - 1}\\{ - 1} & { - 1} & 3 & { - 1}\\{ - 1} & { - 1} & { - 1} & 3\end{array}} \right]$

拉普拉斯矩阵的最大特征值 ${\lambda _n} = 4$ ，取智能体的事件检测器的参数为 ${\sigma _1} = {\sigma _2} = 0.033$ ， ${\sigma _3} = 0.02$ ， ${\sigma _4} = $ 0.06，所有智能体的采样周期为 $h = 0.002$ ，其中所取数值满足 ${\sigma _{\rm{max}}} < 0.0625$ ， $\;h \leqslant 0.125$ 。智能体初始状态为 ${\mathit{\boldsymbol{x}}}(0) = {[0.4773\; - 0.3392\;0.5\; - 0.6381]^{\rm{T}}}$ 。接下来在图1所示的通信拓扑图中利用事件触发条件(2)，在 $t \in [0,10]$ 进行仿真。

图2是所有智能体在基于事件一致性协议(3)下的状态演变，从图2可以看出系统达到了一致，所有智能体的状态趋于一个共同的值。

图3是所有智能体在基于事件一致性协议(3)下的非一致向量 $||{\mathit{\boldsymbol{x}}}(t) - \bar x{{\bf{1}}_{\mathit{\boldsymbol{n}}}}||$ 的演变过程，从图3可以看出所有智能体的状态都趋于它们的初始状态平均值。

图4是所有智能体在基于事件一致性协议(3)下的控制输入的仿真结果，最终所有智能体的控制输入都趋于0。

图5是所有智能体在基于事件一致性协议(3)下的事件触发时刻，说明只在特定时刻对智能体施加控制输入系统就能实现一致性。

图6和图7分别是文献[7]中所有智能体利用一阶邻居信息在基于事件一致性协议下的状态和非一致向量 $||{\mathit{\boldsymbol{x}}}(t) - \bar x{{\bf{1}}_{\mathit{\boldsymbol{n}}}}||$ 的演变过程。

从图2可以看出所有智能体大约在t=1 s这一时刻收敛到了相同的值，从图6可以看出所有智能体大约在t=3 s这一时刻收敛到了相同的值，通过比较可以发现利用二阶邻居信息之后所有智能体的状态达到一致性的速度更快。同样通过比较非一致性向量范数，我们发现图3在利用了二阶邻居信息之后所有智能体的状态趋于它们的初始状态平均值的速度明显比图7只利用一阶邻居信息时所有智能体的状态趋于它们的初始状态平均值的速度快。

下面给出在切换拓扑网络下的仿真实验。

考虑由4个智能体组成的多智能体系统在图G₁和图G₂之间进行切换，切换时刻是随机的，如图8所示。取智能体的事件检测器的参数为 ${\sigma _i} =$ $ 0.02,i = 1, \cdots, 4$ ，所有智能体的采样周期为 $h = 0.05$ ，智能体初始状态为 ${\mathit{\boldsymbol{x}}}(0) \!=\! {[{\rm{6}}{\rm{.25 \,\,\,\, 2}}{\rm{.7 - 7}}{\rm{.975 \,\,\,\, 9}}{\rm{.638 \,\, 1}}]^{\rm{T}}}$ ，在 $t \in [0,10]$ 进行仿真。

图9是所有智能体在基于事件一致性协议(3)下的状态演变，可以看出在切换拓扑网络下所有智能体的状态仍可以收敛到一个相同的值。

图10是所有智能体在基于事件一致性协议(3)下的事件触发时刻。

5 结束语

本文首先在特定事件条件下利用二阶邻居信息设计了一阶多智能体系统在固定拓扑网络下的一致性协议，利用李雅普诺夫函数，设计采样数据事件检测器使状态渐近收敛到它们的初始状态平均值，发现多智能体系统利用二阶邻居信息能够加快一致性收敛速度。在固定拓扑网络研究结果的基础上，同样给出在切换拓扑网络下的基于事件一致性结果，最后利用仿真加以说明。以后将在二阶动力学方程下利用特定的事件触发条件来研究多智能体系统的一致性问题。