DOI: 10.11992/tis.201611007
, ,
2. 北京交通大学 计算机与信息科学学院, 北京 100044;
3. 中国科学院 软件研究所, 北京 100190
, ,
2. School of Computer and Information Technology, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China;
3. Institute of Software, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China
聚类算法作为数据分析中广泛使用的主要方法之一，已经广泛应用于模式识别、机器学习、图像处理和数据挖掘等方面[1-4]。简单来说，聚类就是根据数据的特征将数据划分为几类，使得同一类别数据间的相似度尽可能大，而不同类别数据间的相似度则尽可能小。目前，常用聚类算法可以分为划分法、层次法、基于密度的方法、基于网格的方法和基于模型的方法。事实上，很多聚类算法往往需要预先知道聚类问题的类别数。然而，在很多实际情况下，很难根据数据特征获得有效的类别数。因此，为了获得有效的类别数，很多学者基于聚类的不同性质分别提出了一系列评价聚类结果的评价指标。对给定范围的类别数依次对数据集进行聚类，并采用评价指标对每次的聚类结果进行评价，然后选择一个使评价指标最优的类别数。目前，常用有效性评价指标大致可以分为3种类型，分别是基于数据集模糊划分的指标、基于数据集样本几何结构的指标和基于数据集统计信息的指标。其中，1991年，Xie等[5]利用模糊聚类的目标函数，同时考虑数据集本身的结构和模糊隶属度的性质，提出了Xie-Beni指标。之后，很多学者基于数据集模糊划分提出了一系列改善的评价指标[6-9]，但这些指标不适合对硬聚类算法的聚类结果进行评价。另外一类是基于数据集样本几何结构的评价指标[10-16]。1974年，Caliński和Harabasz提出了基于全部样本的类内离差矩阵和类间离差矩阵测度的Caliński-Harabasz (CH) 指标[12]。1979年，Davies和Bouldin提出了基于样本的类内散度与各聚类中心间距离测度的Davies-Bouldin (DB) 指标[13], 以及随后提出的基于最大化类内相似度和最小化类间相似度目标的Weighted inter-intra (Wint) 指标[14]、基于样本类内离差矩阵的Krzanowski-Lai (KL) 指标[15]、周世兵等提出的基于样本间的最小类间距离与类内距离的Between-Within Proportion (BWP) 指标[16]。但是这些评价指标均具有一定的局限性，对数据结构无法完全分离的数据集进行评价得到的结果并不理想。2007年，Kapp等基于数据集统计的思想，使用类内数据点的in-group比例来评价聚类结果，提出了In-Group Proportion (IGP) 评价指标[17]。该评价指标使用样本与其最近邻样本划分到同一类的比例来衡量聚类结果的质量。但是由于IGP只关注最近邻一致性，使得IGP指标值会随着聚类数的增加而减少，导致在很多实际情况下，利用IGP指标得到的类别数往往比实际的类别数小。针对这种情况，本文基于最近邻一致性和最远邻相异性的原则，提出了一种最近最远得分指标 (NFS)，并基于此指标，提出了一种基于NFS指标自动确定类别数的聚类算法。实验结果验证了本文所提的评价指标的有效性和可行性。
1 已有评价指标众所周知，很多聚类算法需要用户根据先验知识给出算法所需要的类别数。但是，在很多实际应用中很难获得有效的先验知识，因此，确定聚类问题的类别数成为了聚类分析的一个研究的热点。目前传统的确定类别数的方法是根据评价指标来确定类别数。至今提出的评价指标包括CH指标、BWP指标和IGP指标等。
1.1 Calinski-Harabasz (CH) 指标CH指标是Caliński和Harabasz提出的确定最佳聚类数的评价指标[12]。该指标是一种基于样本的类内距离和类间离差矩阵的测度，其判断函数为
 |
(1) |
式中：n为数据集样本数, K为类别数。且
 |
式中：dj2是第j类中样本间的平均距离, j=1, 2, …, k；d2是所有样本间的平均距离。且AK为
 |
CH指标值越大表示聚类结果的类内距离越小而类间距离越大，聚类结果性能越好。但是随着类别数搜索范围的变化，CH指标得到的最佳聚类数会发生变化，并且随着搜索范围增大，CH指标得到的最佳聚类数有逐渐增大的趋势[18]。
1.2 BWP指标BWP指标是周世兵等人提出的一种基于样本的几何结构设计的确定聚类类别数的评价指标[16]，该指标利用聚类结果的类内紧密性和类间分离性来衡量聚类结果。指标的最大值对应的类数作为聚类数。该指标的判断函数为
 |
(2) |
式中：K是类别数，bwp (i, j) 为
 |
式中:b(i, j) 是第j类中的第i个样本到其他每类中样本平均距离的最小值，称为最小类间距；w(i, j) 是第j类中的第i个样本的类内距离。且
 |
BWP指标值越大则表示聚类结果的类内越紧密而类间越远离，聚类结果性能越好。但是该评价指标不适合非完全分离的数据集。
1.3 IGP指标IGP指标是Kapp提出的评价指标[17]。此指标的设计思想是：当对新的样本进行分类时，新样本应该被划分到与其最相似的样本所在类别。因此该指标使用样本与其最近邻样本划分到同一类的比例来衡量聚类结果的质量。该指标的评价函数为
 |
(3) |
式中：K是类别数；igp (u, X) 表示数据集X中的第u类的指标值，且
 |
式中：jN是距离样本j最近的样本，ClassX(j) 表示数据集X中的第j个样本所属的类别。
IGP指标的值越大表示样本和其最近邻划分到同一类的概率越高，聚类结果越好。但是IGP指标只关注了最近邻一致性，使得IGP指标值不适合判断非完全分离的数据集。
2 最近最远得分评价指标为了能准确地得到聚类问题的类别数，本文在基于最近邻一致性和最远邻相异性的原则上，提出了最近最远得分 (nearest and furthest score，NFS) 评价指标。
2.1 相关概念定义X={x1, x2, …, xn}是一个n维矢量空间的有限子集，K是类别数，C={c1, c2, …, cK}是聚类算法所得类别中心集合。
定义1 最近得分。定义ns (i) 是第i个样本的最近得分，第j个样本是距离其最近的样本，若样本i与样本j属于同一类别，则第i个样本的最近得分值为1；否则其最近得分值为－1，即
 |
(4) |
式中：sc (i) 代表第i个样本所属的类别，sc (j) 代表距离样本i最近的样本j所属的类别。
定义2 最远得分。定义fs (i) 是第i个样本的最远得分，第l个样本是距离其最远的样本，若样本i与样本l属于不同类别，则第i个样本的最远得分值为1，否则其最远得分值－1，即
 |
(5) |
式中：sc (i) 代表第i个样本所属的类别；sc (l) 代表距离样本i最远的样本l所属的类别。
定义3 样本得分。定义s(i) 是第i个样本的得分值，则第i个样本的最近得分和最远得分的平均值为第i个样本的得分，即
 |
(6) |
定义4 每类的得分。定义cs (j) 为第j类的得分，其定义为属于第j类的所有样本的得分的平均值，即
 |
(7) |
式中nj为第j类中的样本总数。
定义5 NFS。定义nfs (K) 为在类别数为K下聚类结果的最近最远得分，定义为所有类得分的平均值，即
 |
(8) |
式中K是类别数。
2.2 NFS指标的分析NFS指标的设计原则是每个样本应该和距离其最近的样本划分到同一类别中，而与距离其最远的样本划分到不同类别中。因此，每个样本拥有两个影响评分的因子，分别是最近得分因子和最远得分因子。对于最近得分因子，如果某个样本与距离其最近的样本划分到同一类中，则得1分，表示对此聚类结果的支持，而如果划分到不同类中，则得－1分，表示对此聚类结果的反对。最远得分因子的规定也是如此。
随着类别数的增加，样本和其最近邻样本被划分到不同类别中的概率将会增加，从而导致了最近得分累积和的减少；然而随着类别数的增加，样本和其最远邻样本被划分到同一类的概率将会减少，从而导致了最远得分累积和的增加。因此，在评价聚类结果时仅采用最近得分或最远得分将很难得到正确的类别数，需要综合利用这两个得分才能获得好的聚类结果。为了说明这个问题，我们将利用图 1所示的数据集在不同类别数下的聚类结果来说明同时考虑最近得分和最远得分的必要性。观察图 1所示数据集，可知此数据集的最佳类别数为4。如果只考虑最近邻得分时，如图 1(a)所示，当K=2时，所有样本和其最近邻样本都在同一类中，而如图 1(b)和图 1(c)所示，当K=3或K=4时，样本和其最近邻划分到不同类的比率就会增大，聚类结果的最近得分值会下降，因此K=2时，使最近得分值达到最大，故采用最近得分准则所得到的最佳类别数为2。而如果只考虑最远得分时，如图 1(a)所示，当K=2时，样本和其最远邻样本被划分到同一类的比率很大，而如图 1(b)和图 1(c)所示，当K=3或K=4时，样本与其最远邻样本划分到同一类的比率下降，而且当K=3时，样本和其最远邻样本分别划分到不同类中，此时聚类结果的最远得分值达到最大，因此，采用最远得分准则所得到的最佳类别数为3。为了选择出正确的类别数，评价指标应该综合考虑最近得分和最远得分这两个因素。基于以上的理论，在NFS评价指标中每个样本的得分设计为最近得分和最远得分的均值。
|
| 图 1 不同聚类数下的聚类 Fig. 1 Clustering under different cluster number |
NFS指标值衡量的是样本对聚类结果的满意度，NFS指标值越大聚类结果就越好。因此，依据NFS选取最佳类别数的公式为
 |
(9) |
基于NFS的自动聚类算法 (automatic clustering algorithm based on the NFS，ACNFS) 主要包括3个主要步骤。第1步确定类别数的搜索范围，第2步计算在不同类别数下的NFS评价指标值，第3步是根据评价指标得到使聚类结果达到最好的类别数。该算法具体步骤如下。
1) 使用基于最短距离的分层聚类算法[19]并设定合适的截止阈值得到类别数，把该类别数作为搜索上限Kmax，设置搜索下限Kmin=2，得到聚类数的搜索范围[Kmin, Kmax]。
2) 对于搜索范围[Kmin, Kmax]中不同的聚类数K分别运行以下步骤:
①利用K-means[20]算法对数据集进行聚类；
②根据式 (4)~(8) 计算聚类结果的NFS指标值;
③根据式 (9) 得到最佳聚类数Kopt。
ACNFS算法流程如图 2所示。
|
| 图 2 ACNFS算法流程图 Fig. 2 The flow chart of ACNFS algorithm |
假定数据集有n个样本，则ACNFS算法的时间复杂度分析如下。
1) ACNFS算法首先采用基于最短距离的分层聚类算法，该算法每次把距离最近的两类合并成一类，其时间复杂度为O(tn2)，其中t为迭代次数且t<<n。
2) 算法第二步中使用K-means算法进行聚类，其时间复杂度为O(nKl)，其中l为迭代次数，K为类别数，且l<<n，K<<n。
3) 采用K-menas聚类之后需要采用NFS评价指标对聚类结果进行评估。我们需要计算样本间的距离从而计算每个样本的最近得分与最远得分，因此计算NFS指标值的时间复杂度为O{n2}。
为了获得类别数，需要重复K-means和计算NFS指标值Kmax－Kmin+1次，因此2) 和3) 的总的时间复杂度为O((n2+nkl)×(Kmax－Kmin+1))，且 (Kmax－Kmin+1)<<n。
因此，ACNFS算法总的时间复杂度即为O(tn2+(n2+nkl)×(Kmax－Kmin))。
4 实验为了验证本文所提NFS指标和ACNFS算法的有效性，我们进行了仿真实验。在实验中我们将采用6个人工数据集和4个UCI真实数据，对CH指标、BWP指标、IGP指标和NFS指标确定类别数的性能进行比较。实验证明，基于NFS指标所提出的ACNFS算法可以有效地确定数据集的类别数，实现类别中心和类别数的自动估计。
在仿真实验中，我们所采用的人工数据集如图 3所示，而真实数据集则为UCI数据库中的IRIS，Balance Scale，Wine以及Soybean-small数据集。为了方便，我们将上述所有数据集的特征总结到表 1中，其中n表示数据集中样本点的个数，K表示数据集中样本点的类别数，d表示数据集中样本点的特征维数，最后一列表示各类别中样本点的个数。
|
| 图 3 人工数据集 Fig. 3 Artificial dataset |
| 数据集 | n | K | d | 每类中样本点的个数 |
| Dataset 1 | 800 | 2 | 2 | 400, 400 |
| Dataset 2 | 800 | 3 | 2 | 400, 200, 200 |
| Dataset 3 | 800 | 3 | 2 | 400, 200, 200 |
| Dataset 4 | 1 100 | 4 | 2 | 200, 400, 200 |
| Dataset 5 | 1 000 | 5 | 2 | 400, 200, 200, 300 |
| Dataset 6 | 900 | 6 | 2 | 200, 200, 200, 200, 200 |
| Iris | 150 | 3 | 4 | 150, 150, 150, 150, 150, 150 |
| Balance Scale | 630 | 3 | 4 | 50, 50, 50 |
| Wine | 178 | 3 | 13 | 54, 288, 288 |
| Soybean-small | 47 | 4 | 35 | 59, 71, 48 |
首先，分别采用CH指标、BWP指标、IGP指标和NFS指标估计人工数据集Dataset 1~Dataset 6的类别数，实验结果如表 2~7所示。
| 评价指标 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 最终类别数 |
| CH | 100 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| BWP | 100 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| IGP | 100 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| NFS | 100 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| 评价指标 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 最终类别数 |
| CH | 100 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| BWP | 100 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| IGP | 100 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| NFS | 0 | 100 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
| 评价指标 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 最终类别数 |
| CH | 0 | 100 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
| BWP | 0 | 100 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
| IGP | 0 | 100 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
| NFS | 0 | 100 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
| 评价指标 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 最终类别数 |
| CH | 0 | 0 | 100 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4 |
| BWP | 0 | 0 | 71.3 | 20 | 8.7 | 0 | 0 | 4 |
| IGP | 95 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| NFS | 0 | 0 | 100 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4 |
| 评价指标 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 最终类别数 |
| CH | 0 | 0 | 0 | 100 | 0 | 0 | 0 | 5 |
| BWP | 0 | 0 | 0 | 100 | 0 | 0 | 0 | 5 |
| IGP | 75 | 0 | 25 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| NFS | 0 | 0 | 0 | 100 | 0 | 0 | 0 | 5 |
| 评价指标 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 最终类别数 |
| CH | 0 | 0 | 0 | 0 | 100 | 0 | 0 | 6 |
| BWP | 0 | 0 | 0 | 0 | 100 | 0 | 0 | 6 |
| IGP | 10 | 0 | 0 | 0 | 90 | 0 | 0 | 6 |
| NFS | 0 | 0 | 0 | 0 | 100 | 0 | 0 | 6 |
表 2中给出了对数据集Dataset 1采用不同评价指标得到的类别数和各类别数出现的百分比。第2列到第8列的数据是百分数值，而百分数值代表算法在运行N次，得到相应的类别数的次数与N的比值。实验中取N=20。表 2中的最后1列表示通过投票准则获得的数据集的类别数。从表 2可以看出，对人工数据集Dataset 1采用这4种评价指标均能得到正确的类别数，而且评价结果稳定，每次都能得到正确类别数。
表 3给出了对数据集Dataset 2采用不同评价指标得到的类别数和各类别数出现的百分比。从Dataset 2的散点分布图中可以看出，有两类数据无法完全分离。因此，只有采用NFS指标得到的类别数是正确的类别数，而且评价结果稳定，每次都能得到正确的类别数；而采用其他的评价指标却无法得到正确的类别数。
表 4给出了对数据集Dataset 3采用不同评价指标得到的类别数和各类别数出现的百分比。由于在数据集Dataset 3中，不同类之间是完全可分的，因此采用这4个评价指标，均可以得到正确的类别数，而且评价结果稳定。
表 5给出了对数据集Dataset 4采用不同评价指标得到的类别数和各类别数出现的百分比。采用NFS指标、CH指标和BWP指标均可以得到正确的类别数，而采用IGP指标却无法得到正确的类别数。从具体情况分析，NFS指标和CH指标性能较好，评价结果稳定，每次都可以得到正确的类别数；而BWP指标差一点，正确率只有71.3%。
表 6给出了对数据集Dataset 5采用不同评价指标得到的类别数和各类别数出现的百分比。采用NFS指标、CH指标和BWP指标均可以得到正确的类别数，而采用IGP指标却无法得到正确的类别数。
表 7给出了对数据集Dataset 6采用不同评价指标得到的类别数和各类别数出现的百分比。采用四种评价指标均能得到该数据集的正确类别数。其中NFS指标、BWP指标和CH指标的性能较好，评价结果稳定；而IGP指标性能差一点，正确率为90%。
由表 2~7所示的实验结果可如，对于可分性较好的人工数据集，CH指标、BWP指标和NFS指标均能获得正确的类别数。下面将采用UCI中的真实数据集IRIS、Balance Scale、Wine以及Soybean-small来验证CH指标、BWP指标、IGP指标和NFS指标在确定类别数时的性能。
表 8给出了数据集Wine在采用不同评价指标时，在不同的类别数下的指标值，其中带下划线的数据是该指标下的最大值。NFS指标和BWP指标在类别数K=3时取最大值，而其他指标在类别数K=2时取最大值，但是由于数据集Wine的真实类别数为3，因此采用NFS指标和BWP指标可以得到正确的类别数，而采用其他评价指标则无法得到正确的类别数。
| 类别数 | CH | BWP | IGP | NFS |
| 2 | 7 521 600 | 0.325 07 | 0.962 17 | 0.867 06 |
| 3 | 4 926 850 | 0.334 04 | 0.940 62 | 0.900 9 |
| 4 | 3 356 440 | 0.302 3 | 0.789 52 | 0.774 77 |
| 5 | 2 578 840 | 0.269 58 | 0.71 | 0.697 46 |
| 6 | 2 147 415 | 0.232 55 | 0.673 66 | 0.692 12 |
| 7 | 1 823 905 | 0.203 82 | 0.649 83 | 0.666 35 |
| 8 | 1 608 870 | 0.187 71 | 0.648 15 | 0.633 2 |
| 9 | 1 438 765 | 0.184 71 | 0.612 81 | 0.616 55 |
| 10 | 1 291 850 | 0.178 71 | 0.594 33 | 0.576 6 |
| 最终类别数 | 2 | 3 | 2 | 3 |
表 9给出了4组真实数据集分别在采用不同评价指标下得到的类别数，这里依然是运行多次实验通过投票准则确定最终的类别数，括号中的数据表示类别数出现的百分比。参考表 1中各数据集的真实类别数，可以得到如下结论：采用NFS指标可以得到所有真实数据集的正确的类别数，其中对于Balance Scale和Wine数据集，评价结果稳定，效果较好，而对于IRIS和Soybean-small数据集，评价结果差一点，只有60%和45%的正确率；然而采用BWP指标只可以得到数据集Wine的正确类别数，而且评价结果稳定；但是采用CH指标和IGP指标则无法得到数据集的正确类别数。
| 数据集 | CH | BWP | IGP | NFS |
| IRIS | 2(100) | 2(100) | 2(100) | 3(60) |
| Balance Scale | 2(100) | 8(70) | 2(100) | 3(100) |
| Wine | 2(100) | 3(100) | 2(100) | 3(100) |
| Soybean-small | 2(100) | 3(32.9) | 3(40) | 4(45) |
5 结束语
众所周知，很多聚类算法需要根据先验知识给出算法所需要的类别数。但是，在很多实际应用中很难获得有效的先验知识，因此确定聚类问题的类别数成为了一个研究的热点。本文首先基于最近邻一致性和最远邻相异性的原则，提出了一种最近最远得分评价指标 (NFS)，并在此基础上提出了一种基于NFS自动聚类算法，实现了对类别数和类别中心的自动估计。与已经提出的评价指标相比，NFS指标是基于数据集统计信息的指标，而且NFS指标考虑了最近样本和最远样本两个方面，通过评分机制还保证了每个样本都对评价指标产生影响。从而使NFS指标在IRIS等数据集中呈现较好的结果。但是NFS指标并不是最完美的，因此还需要继续进行相关研究。
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