粗糙集^[1]、形式概念分析^[2]和因素空间^[3]是在1982年同时诞生的3个数学流派。3种理论都明确地把知识与思维过程作为数学描述的对象，可被视为智能数学的代表。其中，在数据库中最早付诸实践的是粗糙集。其领军人物Polkowski和Skowron^[4]在1989发表的《粗糙集与知识发现》一文引领了第十届国际人工智能大会上所提出的KDD(数据库知识发现)的新潮流。粗糙集用属性所构建的信息系统来描写事物，用各种细化的熵指标来实现信息的标度，为数据知识挖掘提供了理论基础。相比之下，Wille的形式概念分析就没有那么明确的实际背景。他的理论是在被埋没了12年之后，才被人们发现的。他的《形式概念分析》一书围绕概念格提取这一主题而展开，数学严谨。集合论向世人强调了任何概念的外延都是一个集合。但若反过来问：任何集合都一定是概念的外延吗？就不好回答了。Wille明确地回答：No！他第一次明确地从数学上提出了内涵与外延之间的对合性条件，只有满足对合性的集合和属性对才能形成概念。这是他的重要贡献。在这一点上粗糙集的用词就显得太粗糙了。它把由任一映射所形成的划分都叫做知识，那么，任一集合都可以由其特征函数形成一个划分。由此可推得：任一集合必是某概念的外延，这就与Wille的理论产生了矛盾。人工智能要运用概念进行识别与搜索，内涵是我们识别事物的依据，外延是我们实现搜寻的结果，如果内涵与外延不相一致，那么人工智能就不具备实践的前提。这不能不说是粗糙集在用词上的一个疏忽。

在对属性的称呼上也存在着矛盾。例如，颜色有红、黄、蓝 $ \cdots\cdots $ 之分，是把颜色叫做一个属性，还是把红、黄、蓝等都叫做属性？属性的英文是Attribute。Wille曾以科教片《生物与水》为例来区分说：鱼和水草都是“在水中生活”而狗和豆却是“在陆地上生活”。他把“在水中生活”与“在陆地上生活”这两个词视为两个不同的attribute^[16]。可见，Attribute是指属性的状态，而不是指“生物栖性”这一属性名称。但是，粗糙集则把汽车按颜色、车长、车重、马力、里程等属性来分类，在那里，Attribute指的是颜色、车长、车重，它们都是属性的名称而不是属性值^[15]。这两种不同的用法一直被国人懵懂地引用着。细心的学者把Wille的Attribute译成属性值而把粗糙集中的Attribute译成属性名，这是十分明智的。

以上矛盾并没有影响粗糙集与形式概念的融合，二者求同存异，彼此互补，都得到了良好的发展^[5-6]。Wille的形式背景表以属性值来分列，而粗糙集的信息系统表以属性名来分列，前者的应用效率是比不上后者的。所以，粗糙集在应用邻域一直先行。在跨世纪的年代里，粗糙集在属性约简方面一度在机器学习的应用邻域走红，当时，特征提取仍然是人工智能的瓶颈，特征要靠专家的经验来提取，这就必须限定识别空间的维数。在高维度数据面前，如何降低维度是最大的关键。于是，粗糙集的属性约简方法被人们视为新的希望。出现了大量应用属性约简来提取特征的研究^[7-9]。尤其是支持向量机与属性约简相结合^[10]，更使人注目。遗憾的是，这个时期不太长久，属性约简目前已经减弱了。因为属性约简要用到一个概念工具，叫做区分矩阵（或差异矩阵）。正是由于这个概念的奇特性影响了事态发展。为了说明这件事情，需要回顾一下有关定义。

1 粗糙集信息系统

在粗糙集中，一个信息系统（或称知识表达系统）被描述成一个四元组S=(U, A, V, f)，其中U是对象的非空集合，A是属性名的集合，V是属性值的集合，f是从对象x就着属性A向V所作的映射。为了便于理解，我们对以下所引用的定义符号都略有改变。

定义1^[11] 　矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{D}}} = \left\{ {\alpha (x,y)} \right\}\left( {x,y \in U} \right)$ 叫做S上的一个区分矩阵（discernibility matrix），其中

$\alpha (x,y) = \left\{ {a \in A\left| {f(x,a) \ne f(y,a)} \right.} \right\}$

(1)

这个定义的奇特之处在于矩阵中的元素 $\alpha (x,y)$ 不是实数，不是区间，不是向量，而是属性名的集合。由D还派生出另外一个概念，叫做区分函数。对每一个属性名a指定一个布尔变量，仍记作a，若存在属性名将对象x与y分开，则对 $\alpha (x,y)$ 指定一个布尔变量，用 $ \vee \alpha (x,y) = \vee \left\{ {a \in A\left| {f(x,a) \ne f(y,a)} \right.} \right\}$ 来表示，记作 $\sum {\alpha (x,y)} $ ，若不存在将对象x与y分开的属性名，则对 $\alpha (x,y)$ 指定布尔变量“1”(对∧与∏的叙述亦类似)^[12]。

定义2^[11] 区分函数∆的定义为

$\Delta = \prod\nolimits_{\left( {x,y \in U \times U} \right)} {\left( {\sum {\alpha (x,y)} } \right)} $

(2)

在这里设A={a₁, a₂, $ \cdots $ , a_m}，这里便设置了m个布尔变量。于是 $\alpha (x,y) = \left\{ {{a_i} \in A\left| {f(x,{a_i}) \ne f(y,{a_i})} \right.} \right\}$ 便被指定成括号中所包含的布尔变量的析取，设那几个变量是 ${a_{\left( 1 \right)}},{a_{\left( 2 \right)}}, \cdots ,{a_{\left( k \right)}}$ , 所指定的这个布尔变量便具有布尔表达式 ${a_{\left( 1 \right)}} \vee {a_{\left( 2 \right)}} \cdots \vee {a_{\left( k \right)}} = \vee \left\{ {{a_{\left( 1 \right)}},{a_{\left( 2 \right)}}, \cdots ,{a_{\left( k \right)}}} \right\}$ ，记作 $\sum {\alpha (x,y)} = \vee \left\{ {{a_{\left( 1 \right)}},{a_{\left( 2 \right)}}, \cdots ,{a_{\left( k \right)}}} \right\}$ 。由于这个布尔表达式中只含析取运算，叫做析取式。而在式（2）中，由于∆是由布尔变量先组成析取式而后再进行合取，这种表达形式叫做合取范式。布尔代数中有方法把∆从合取范式改写为析取范式，意思是把析取与合取的运算次序颠倒一下。 $\Delta = \sum {\prod\nolimits_{\left( {x,y \in U \times U} \right)} {\left( {\alpha (x,y)} \right)} } $ 就叫做析取范式。再把析取的这些析取式一一甄别，去掉被蕴含的项，剩下的表达式就叫做极小析取范式。文献[12]的核心论断是：区分函数的极小析取范式中的每一个合取项就是S的一个属性约简，反之亦然。以上就是粗糙集关于属性约简的基本论述。

对于上述内容，应用工作者多看不懂，数学工作者则想不明。有一连串问题：对于属性a为什么要指定一个布尔变量，指定后的运算意义和根据是什么不太明确。布尔变量的析取（∨或∑）合取（∧或∏）对于属性来说究竟是什么意思？若不存在将对象x与y分开的属性名，为什么对a(x, y)指定布尔变量1而不是0？为什么区分函数的极小析取范式中的所有合取项就是S的全部属性约简粗糙集？如此等等都阻碍了人们的理解和应用。

最关键的问题是，粗糙集从未定义过属性名之间的运算，而区分矩阵这一工具所要操作的就是属性名运算。这就形成一种理解障碍。人们曾想通过实际经验来越过障碍，但是，粗糙集中的属性指的是属性名而不是属性值。我们都有属性值之间的运算经验，要把“头发金黄”与“身材高大”这两个属性值进行“且”的运算，我们能理解这种运算结果就是属性值“头发金黄而且身材高大”。可是，要把“身材”与“发色”这两个属性名来加以或、且、非的运算，我们便无从想象了。

其实，这里只差一步，就是应当对属性名称定义运算，给这些运算以合理解释，这个理解障碍就能克服。属性约简的方法就能继续向前发展，降温的应用领域就能重新热起来。而这方面的工作，因素空间早就做了。因素就是粗糙集中所说的属性名。因素空间特地定义了因素之间的运算。本文就是要用因素空间的理论来解释区分矩阵。并给属性约简提供新的发展思路。

2 因素空间中分辨过程的因素约简

因素空间是汪培庄^[12]在1982年提出的以智能描述为主题的数学理论，曾在知识表示和人工智能领域发挥过重要作用，近年来，又以数据科学为重点，为大数据处理提供坚实的数学基础^[13-15]。

因素f是串领属性的关键词。红，黄，蓝，百，黑 $ \cdots\cdots $ ，是一串属性值，由颜色二字来串领，颜色f就叫因素，它所串出的属性值的集合叫做f的（属性）状态空间，记作X(f)={红，黄，蓝，百，黑， $ \cdots $ }，它形成一个维度，一种广义的坐标轴，因素是抽象坐标的维度名称。因素是分析，把对象映射称为定性值，分析以后再综合，就形成一个广义的坐标架，事物就被描述成为其中的点。因素空间企图为事物描述及认知过程提供一个普适的坐标架。因素空间中的因素就是粗糙集中所说的属性名。因素空间中所说的属性，就是粗糙集中的属性值。

定义3^[10] 称集合族 ${\varPsi } = {\{ X(f)\} _{(f \in F)}}$ 为U上的一个因素空间，如果满足公理：

1) 指标集 $F = ( \vee , \wedge {,^c}, {1}, {0})$ 是一个完全的布尔代数；

2) X(0)={∅}；

3) 对任意 $T \subseteq F$ ，若

$(\forall s,t \in T)(s \ne t \Rightarrow s \wedge t = {\rm{0}})$

则 $X( \vee \{ f|f \in T\} ) = {\prod _{f \in T}}X(f)$ ；

4) $\forall f \in F$ ，都有一个映射

$f:D(f) \to X(f){\kern 1pt} {\kern 1pt} (D(f) \subseteq U)$

F叫做因素集，其最大、最小元1和0分别叫做全因素和零因素，X(f)叫做f-性态空间。

所谓一个因素空间就是以因素为指标集的一族属性状态空间，而这些因素之间有运算，构成一个布尔代数F=(F, ∨, ∧, ^c)。运算符∧、∨分别表示因素的分解与综合，其中难以理解的是分解。这要通过因素在粗细上所形成的序关系来说明。因素的考量维度有多寡之分。考虑的维度少，对象就朦胧难分，考虑的维度多，对象才能彼此分离。越大越细，越小越抽。如果因素f所作的划分比因素g的划分更细的话，我们就称f比g大，记作f≥g。f比g大当且仅当对任意u, v∈U, 若f(u)=f(v)则g(u)=g(v)(或者，若g(u)≠g(v)则f(u)≠f(v))。

不难证明，（F, ≥）是一个偏序集。而且布尔代数的运算就是依托这个序关系而建立起来的：f∨g=sup(f, g)；f∧g=inf(f, g)。若把序关系形象地说成是上下级关系，f∨g就是f与g的最小公共上司，f∧g就是f与g的最大公共下级。所以，我们把因素的（∨，∧）运算不做析取–合取运算，而是反过来叫做综合–分解运算。因素是分析与综合的工具。分解∧是将因素由大变小（由粗变细）的过程，而综合∨是使因素由小变大（由细变粗）的反过程。F=(F, ∨, ∧, ^c)形成一个布尔代数，因素是其中的布尔变量。最大、最小元1和0分别叫做全因素与零因素。一个因素不能分解成除自己与零因素之外的下级因素（简称因子）叫做质因素或原子因素。对于区分事物来说，因素合得越大，区分的能力就越强，这是一条最基本的原则。

因素空间中的因素就是粗糙集中所说的属性名。因素空间中所说的属性，就是粗糙集中的属性值。因素空间对区分矩阵的诠释，是从对事物的分辨开始的。

定义4　给定因素空间，称因素 $f\left( { \in F} \right)$ 能分辨 $A\left( { \subseteq U} \right)$ ，如果对任意 $u,v \in A$ 都有 $f(u) \ne f(v)$ 。

粗糙集的区分矩阵是对对象两两分辨的因素集为元素的矩阵。由于因素本身就是布尔变量，就无需再作什么指定。因素之间早就定义了综合与分解的运算，并且约定，一组相对简单的因素 ${f_1},{f_2}, \cdots ,$ ${f_k}$ 可以通过综合而形成一个复杂因素 $f = {f_1} \vee {f_2} \vee \cdots \vee {f_k}$ 。所以，区分矩阵更可以理解成是以两两分辨因素为元素的矩阵。矩阵中的元素是一个复杂因素(用一个复杂因素去取代因素的集合)。

命题1　若f能分辨A，且 $g \geqslant f$ ，则g能分辨A。

证明　 f能分辨A的意思是，对任意 $u,v \in A$ 都有 $f(u) \ne f(v)$ 。而 $g \geqslant f$ 意味着若 $f(u) \ne f(v)$ 则 $g(u) \ne g(v)$ 。故对任意 $u,v \in A$ 都有 $g(u) \ne g(v)$ 。故g能分辨A。证毕。

命题2　若f能分辨A，且B⊆A，则f能分辨B。

证明显然成立。

定义5　称因素空间是正则的，如果能保证：f∧g能分辨A，只要f与g都能分辨A。

虽不能证明所有因素空间都是正则的，但正则性却是普遍地近似的存在着。

命题3 　在正则因素空间里，若f₁能分辨A₁, A₂, $ \cdots $ , f_n能分辨A_n, 则 $f \!=\! {f_1} \wedge {f_2} \! \wedge \! \cdots \! \wedge \! {f_n}$ 能分辨 ${A_1} \! \cap \! {A_2} \! \cap \! \cdots \! \cap \! {A_n}$ 。

证明由命题2知，对任意j=1, 2, $ \cdots $ , n, f_j能分辨 ${A_1} \cap {A_2} \cdots \cap {A_n}$ 。由于正则性知本命题真。证毕。

定义6　给定A⊆U，由 $f\left( {u,v} \right) = \wedge \{ f|f \in F,f\left( u \right) \ne $ $f\left( v \right)\} $ 为元素构成的矩阵，叫做区分矩阵。当没有因素f能区分对象u与v时，令f(u, v)=1（全因素）。

f(u, v)是能区分u与v的因素的最大下级公共因素。这样的因素越少，公共下级因素就越大，当没有这样的因素时，公共下级因素就取最大。全因素应当能区分所有的对象。对角线上的元素全是1。这也解释了定义中的约定为什么是合理的。

定义7　对任意A⊆U记

$d\left( A \right) = \vee \{ f\left( {u,v} \right)|u,v \in A\} = \vee \{ \wedge \{ f|f\left( u \right) \ne f\left( v \right)\} |u,v \in A\} $

叫做A的因素区分函数。

注意，这里的区分函数就是定义2中所说的区分函数，只不过把析取与合取的符号互相颠倒罢了。

命题4　在正则的因素空间中，若区分矩阵中不出现最小元0，A的因素区分函数就是能分辨A的最小因素。

证明　在正则的因素空间中，由命题2.3知f(u, v)能分辨u与v。因 $d\left( A \right) = \vee \{ f\left( {u,v} \right)|u,v \in A\} \geqslant f\left( {u,v} \right)$ ，所以根据命题2.1，对任意u, v∈A，d(A)都能分辨u与v，亦即 $d\left( A \right)\left( u \right) \ne d\left( A \right)\left( v \right)$ 。这就说明d(A)能分辨A。

设g能分辨A，则对任意u, v∈A, u≠v, 都有g(u)≠g(v)。于是， $g \in \{ f|f\left( u \right) \ne f\left( v \right)\} $ 。所以f(u, v)≤g。由于这个不等式对任意u, v∈A（u≠v）都成立，便有d(A)≤g，故d(A)是能分辨A的最小因素。

证毕。

注意，粗糙集用区分矩阵提取的是极小属性约简，本文提出的是最小因素。这看起来是一大进步，但是，命题4中要求区分矩阵不出现0分解，这是一个太强的约束，现实意义不大。

定义8　设因素f、g都能分辨A，且f<g，则称在分辨A上f是对g的约简因素，从f到g，叫做是一次因素约简。固定A=U，g=全因素1，1的约简因素就叫约简因素。因素约简问题就是要找出约简因素，越小越好。因素空间对此提供了另一种现实的因素约简的途径，一是概念划分中以分辨度来实现的因素约简算法，一是决策表以决定度来实现的因素约简算法，其复杂度为O(m²n)，这里m、n分别表示对象和因素的个数。

3 结束语

因素空间中所说的因素是事物生成与思维描述的第一要素。它与粗糙集的属性名相通，但却有更深刻的涵义，它是事物的质根，是广义的基因，它不是被动地描述事物，而是引领着人们的思考，出点子，想办法，都指的是因素，抓注意矛盾，也抓的是因素。运用因素之间的运算，除了能说清楚什么是区分矩阵以外，还能在属性约简的实际算法上作贡献。用区分函数来约简属性是一种理想的方式，其算法很难实现，粗糙集用区分矩阵求极小属性存在着N-hard困境，有的文献要用到整值规划，后者的复杂性已被证明是指数型的，不存在多项式算法。因素空间可以提供简捷的算法。