随着德国工业4.0普及，机器人被广泛应用在各个领域，成为国内外学者关注的热点之一。其控制问题的解决方法已有很多，如文献[1-4]提出的自适应鲁棒控制和模糊PID控制等。滑模被广泛应用在机器人控制、电机控制、航天发动机等方面。其原理主要为利用输入的控制信号不断做切换，使得系统不断逼近预设好的滑模面，从而使误差逐渐减小。文献[5]提出了一种积分次优化的二阶滑模，利用其在三自由度的工业机器人上的轨迹跟踪，并与典型的PD控制器、次优化的二阶滑模三者进行比较。文献[6]利用非线性阻尼和终端滑模对机械手进行控制，使其稳定性得于提高；文献[7]利用高阶滑模对单自由度机械手进行控制；文献[8]提出了融合自适应模糊算法和滑模，对机器人进行控制，提高了被控系统的鲁棒性。然而，传统滑模的控制机理是在不同的控制逻辑之间来回切换，因此，势必存在时间滞后、空间滞后、系统惯性等因素，导致被控系统容易出现抖振现象。抖振的存在, 使得系统状态在平衡状态之间来回切换，导致被控系统出现跟踪误差。工业机器人控制对于精确性有着严苛的要求，对于末端执行器的跟踪误差应达到工业要求，否则会降低被控系统的准确度。当跟踪误差过大时，甚至会激发高频未建模态，使工业机器人处于不受控状态。近年来，诸多学者针对抖振现象提出了不同的改进方法，从而有效的减小被控系统的抖振问题，主要包括趋近律方法，观测方法，智能控制方法，动态滑模方法等。在人工智能迅速崛起的基础上，大多的学者主要采用智能控制与不同形式的滑模相结合的控制方法，如文献[9]提出的改进神经网络自适应滑模控制；文章[10-11]采用基于智能算法 (GA, PSO) 的滑模控制。全局快速终端滑模是在传统滑模的基础上引入非线性函数，既保证了系统在有限时间内到达滑模面，又使得系统在有限时间内达到平衡点时，误差可以快速收敛至零，达到全局快速收敛的目的。具有减小系统抖振，提高系统动静态的优点。

为了提高系统的响应速度和减小系统抖振等动静态性能，本文提出一种基于PSO优化的全局快速终端滑模的六自由度机器臂控制，分析与克服全局快速终端滑模的奇异性，给出了系统的响应时间，并通过仿真和实验两方面验证该控制策略的准确性和可行性。

1 机械臂滑模控制系统 1.1 六自由度机械臂数学模型

利用Euler-Lagrange方法，不考虑外部未知干扰力作用，在关节坐标中建立六自由度机械臂的动力学模型如下：

式中：分别代表关节角度、角速度、角加速度矢量；M(θ)∈R^6×6代表正定对称惯性矩阵，代表离心力和哥氏力矢量，G(θ)∈R^6×1代表重力加速度矩阵。τ(θ) 代表各个关节的输入力矩矢量。当机械臂处于非高速运动状态时，式 (1) 中的离心力和哥氏力对机械臂系统几乎不产生任何影响，因此，是可以完全忽略不计的^[12]，即式 (1) 可以简化为

由于六自由度机器人具有MIMO特性，为了实现对其控制的目标，将其分解成单关节的子系统，由式 (2) 可有

令

由式 (3)、(4) 可得单关节的角加速度为

式中G_i为i轴的重力加速度，i=1, 2, …, 6。

令：

则有

式中：f(x)、g(x) 为R域中光滑的连续函数。

如式 (6) 所示的二阶非线性方程即表示为六自由度机械臂的各个关节子系统。此法好处在于将六自由度机械臂模型转换成相互独立的子系统，方便后期的设计与优化。

1.2 滑模控制器设计

设单关节的常规全局快速终端滑模控制器的滑模面函数为

式中p < q且都为互质的正奇数，取值分别为: p=3, q=5, i=1, 2, …, 6, e_i为误差信号^[13]，即有

由式 (7) 求导可得

由式 (6)、(8)、(9) 可得

故此选取位置控制规律为

式中h为指数趋近律，定义为

由位置控制律式 (11) 可知，当系统的状态接近至设定值时，即e≈0之时，因为p－q/q < 0，则e^p－q/q接近于无穷大，及证明式 (11) 存在奇异问题。在实际的控制中，奇异的存在容易被控系统失调。为了克服奇异问题，选取滑模面为

同理，可得控制律为

通过解方程 (7) s_i=0得，系统滑动模态上任意状态e_i(0)≠0至平衡状态的时间为

通过解h(s)=0得，系统从状态空间任意一点到达滑动模态上的时间为

由式 (15)、(16) 可知，单关节系统的响应时间由到达时间和滑模运动时间决定；时间参数与α_i、β_i、γ_i、φ_i 4个参数息息相关，因此对于控制律参数的优化有重要的意义。

为了使滑模面在被控系统发生滑动模式，则必须满足Lyapunov稳定性。证明如下。选取Lyapunov函数为

则有

综合式 (7)、(8)、(13)、(14) 有

因为m、n互质奇数，则m+n为偶数，参数φ、γ_i为大于零的实数，即可得，所以系统是稳定的。

2 PSO优化机械臂滑模控制系统

PSO算法是Kennedy博士和Eberhart博士通过对鸟群觅食的集体协作行为的研究，于20世纪90年代首次提出的计算优化算法。该算法是基于群体迭代，追求解空间中的最优粒子，具有简单易实现、收敛速度快、全局搜索能力强等优点，适用于科研以及工程应用。算法的搜索机制可描述为，以解空间中的任意一点为出发点，基于设定的适应度函数为个体最优解保留标准，通过群体的更新迭代，寻求出解空间中的最优解。假设，问题的解空间为D维，初始的粒子群体规模为n，以初始种群中的一点为寻求解的出发点，以适应度函数为评价标准，通过粒子迭代更新，寻求出个体极值以及全局最优值。粒子的迭代更新规则如下所示。

式中：k为迭代次数，ω为惯性权重，c₁、c₂分别为局部学习因子和全局学习因子。随机数r₁, r₂∈[0, 1]。p为个体极值，S_i为当前整种群最优值。

基于PSO优化的全局快速终端滑模控制的六自由度工业机械臂系统如图 1所示。由图 1可知，以六自由度机械臂的各个关节的角度和其输入的控制量作为PSO的输入项，通过迭代优化，调整α_i、β_i、φ_i、γ_i参数，从而达到改善系统性能的目的。

为保证被控系统拥有良好的动静态性能，同时防止系统控制量的输出过大。因此，PSO优化的最小目标函数的参数选定为：误差的绝对值的时间积分和系统控制量输出的平方，参照文献[13]，单关节最优目标函数定为

式中：ω₁、ω₂、ω₃为权重系数，e_i(t) 为i关节的跟踪误差，t_iu为i关节上升时间。同时，为了避免超调对系统的影响，在优化函数中加入惩罚函数，即当系统出现超调σ_i时，改写为

滑模最终的控制目标在于使系统响应快，超调小，因此，参照文献[13]，对于误差、上升时间、超调、控制量的权重进行折衷选择，文中取ω₁=0.999, ω₂=0.001, ω₃=2.0, ω₄=200。

3 仿真及实验结果 3.1 仿真研究

为了验证上述控制算法的准确性和可行性，基于上述建立的六自由度工业机械臂的动力学模型，按照图 1所示的框架图，利用全局快速终端滑模对其各个关节进行PSO离线优化仿真。

问题解域的确定：由式 (15)、(16) 可知，系统状态至平衡状态的总时间为：t=t_s+t_r; 系统的快速性主要由α_i和γ_i决定，其值越大，快速性越强，同时，其值过大，输出的控制量越大，过一定值可引发机械臂剧烈振荡，而β_i和φ_i可调节控制精度与抖振振幅。鉴于机械臂本身的力矩输出受限，设定的控制量输出范围为: τ_i∈[－10, 10] N · m。鉴于控制量的范围，设置4个参数的解域为：α_i, β_i, φ_i, γ_i∈[0, 10]，PSO算法种群的数量为25，迭代的最大数为100。优化步骤采用单轴分别优化，即当前优化的轴输入信号为阶跃信号，其他轴输入信号为0，直至优化机械臂的6个轴。单轴优化步骤为：

1) 设定优化轴初始状态，以及PSO相关参数，如种群数目，最大迭代次数，粒子的初始值以及解域范围等；

2) 运行20 s为一个周期，利用式 (21) 计算每个粒子的适应度，比较保存最优值；

3) 重置优化轴的初始状态；

4) 根据PSO动力方程式 (19) 进行粒子的更新；

5) 判断是否达到终止条件 (最大迭代步数或精度要求)，若否，则进入2) 继续搜索。

经过6个轴的分别优化后，见实验结果如图 2。

图 2表示的为一号轴 (基座) 的适应度函数值J收敛过程。由图知，迭代至10次左右收敛。

经过PSO离线优化的终止条件，可得6个轴的滑模控制器的最优参数见表 1。

3.2 实验研究

实验用的六自由度机械臂是由Googol公司生产，采样周期为0.002 s。硬件平台使用CPAC结构，CPAC可将PC机开放、灵活的软件体系结构与PLC相结合，并实现了与DSP运动控制技术的无缝连接，上位机软件为OtoStudio。整个系统的硬件结构组成如图 3。

为解决控制算法在上位机的实现难题，控制算法的角度、角速度等表示为

机械臂初始化状态: , i=1, 2, 3, 4, 6，, θ₅=90°。机械臂六轴的期望位置分别为：θ₁^*=－23°, θ₂^*=25°, θ₃^*=40°, θ₆^*=－55°, θ₄^*=sin (πt/5)×20°, θ₅^*=sin (πt/2)×5+90°。机械臂单轴输出的力矩范围为：τ_i∈[－10, 10] N · m。

实验结果图 4表明，优化后的全局快速终端滑模控制策略较之优化之前系统的上升时间更短，响应速度更快，两者皆避免了超调现象的出现，减小了机械的来回摩擦造成的磨损。对于稳态阶段如95~100 s，图 4(a)~(c)和 (f) 的阶跃响应表明，优化前的稳态误差范围为[0.05°，0.2°]，优化后的稳态时刻，几乎与设定值重合。图 4(d)~(e)的正弦跟踪响应表明优化前跟踪误差范围为[1.5°，4°]，优化后的跟踪误差为[0.3°，0.6°]。在末端执行器轨迹中，通过运动学计算，优化前的误差范围为：[5.2-11.0]mm，优化后的误差范围为：[0.8，4.2]mm。因此，优化后的控制算法拥有响应速度快，无超调，跟踪精度高的优点。

由图 5、6可知，在接近设定值时，图 5仍有力矩在输出，说明未优化的趋近速度较慢；在正弦跟踪方面，优化后的调节速度快于优化前的速度。各轴的输出力矩表明，各轴力矩并未在零附近来回切换，表明，此法可消除抖振。因此，优化后的滑模算法有利于工业机械臂实现快速准确定位，在物品搬运、零件装备、点焊等方面有一定的优势。

4 结束语

针对六自由度工业机械臂控制问题，考虑机械臂本身的MIMO特性，将其分解成单关节SISO系统，在全局快速终端变结构滑模控制的基础上，分析并克服了全局快速终端滑模控制的奇异性，同时采用PSO优化其控制律参数。实验结果表明：相比于优化前的滑模控制，基于PSO优化的全局快速终端滑模算法可以更加有效地减小被控系统的抖振问题，减小系统的上升时间，跟踪误差更小，可缩短滑模系统收敛时间，提高系统的动静态性能。