从解决实际问题的需要，Qian等^[1]根据“求同存异”和“求同排异”两种策略，提出了多粒度粗糙集模型，为粗糙集的理论研究开辟了一个全新领域。多粒度粗糙集模型的研究^[2-11]引起了人们广泛的关注，例如，通过将三支决策思想^[13]引入多粒度粗糙集，Qian等^[2]提出了多粒度决策粗糙集模型的概念，并研究了它与已有模型的关系，指出多粒度决策粗糙集模型是一个更一般的模型；Li等^[4]研究比较了多粒度粗糙集模型和概念格理论在规则提取中的异同，为多粒度粗糙集的研究提出了新的拓展方向; Yang等^[5]研究了多粒度粗糙集模型中的代价敏感问题，为多粒度粗糙集在实际中的应用提供了新思路；Xu等^[6]双量化多粒度决策粗糙集模型，较好地推动了多粒度粗糙集模型的应用；She等^[7]对多粒度粗糙集模型的代数结构进行了深入探索，给出了一些有指导意义的结论；Huang等^[8]对模糊近似空间下的多粒度粗糙集模型进行了深入研究；Lin等^[9]利用高斯核，研究了模糊信息系统下的模糊多粒度决策粗糙集模型；Liu等^[10]从粒的视角，研究了覆盖近似空间下的多粒度粗糙集模型等。

1 经典多粒度粗糙集的基本概念

定义1^[12]   给定覆盖近似空间 < U, C>, U是论域, C是U的一个覆盖。对任意的x∈U, 称md(x)={K∈C|x∈K∧(∀S∈C∧x∈S∧x∈S∧S⊆K⇒K=S)}为x的最小描述。

定义2^[11]   设U是论域，集函数P:2^U→[0,1]称为概率测度，若：1)P(U)=1；2)若A∩B=Ø，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。若P是U上的概率测度，则称为事件B发生的情况下事件A发生的条件概率。

本文约定，A⊆U的概率定义为，其中|·|表示集合的元素个数。

定义3^[1]    给定K=(U, R), 其中R是等价关系簇。对任意给定的P, Q∈R和X⊆U, 则X关于P和Q的乐观多粒度下近似和上近似定义如下：

式中～X表示X在U上的补集。

定义4^[1]    给定K=(U, R), 其中R是U上等价关系簇。对任意给定的P, Q∈R和X⊆U, 则X关于P和Q的悲观多粒度下近似和上近似定义为

为了后续工作的方便，先给出以下2个定义。

定义5    设 < U, C>是一个覆盖近似空间, 其中C是U的覆盖的集合。对给定的C₁, C₂，…, C_n∈C, 则概念X⊆U在C₁, C₂，…, C_n描述下的乐观多粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为

定义6    设 < U, C>是一个覆盖近似空间, 其中C是U的覆盖的集合。对给定的C₁, C₂，…, C_n∈C, 则概念X⊆U在C₁, C₂，…, C_n描述下的悲观多粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为

2 基于最小描述并集的多粒度覆盖粗糙集及性质

本节利用元素最小描述并集，给出了3种多粒度覆盖粗糙集，对模型的性质进行了深入分析和研究，并探讨了3种模型在α、β变化条件下的演化。

定义7   设 < U, C>是一个覆盖近似空间, 其中C是U的覆盖的集合。对给定的C₁, C₂，…, C_n∈C和0≤β＜α≤1, X⊆U在C₁, C₂，…, C_n描述下的平均多粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为

若, 则称X是C₁, C₂，…, C_n描述下的平均多粒度覆盖粗糙集，否则称X是可定义集。

定义8    设 < U, C>是一个覆盖近似空间, 其中C是U的覆盖的集合。对给定C₁, C₂，…, C_n∈C和0≤β＜α≤1, 概念X⊆U在C₁, C₂，…, C_n描述下的乐观多粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为

若, 则称X是C₁, C₂，…, C_n描述下的乐观多粒度覆盖粗糙集，否则称X是可定义集。

定义9    设 < U, C>是一个覆盖近似空间, 其中C是U的覆盖的集合。对给定C₁, C₂，…, C_n∈C和0≤β＜α≤1，概念X⊆U在C₁, C₂，…, C_n描述下的悲观多粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为

若, 则称X是C₁, C₂，…, C_n描述下的悲观多粒度覆盖粗糙集，否则称X是可定义集。

下面给出一个算例对以上定义进行解释说明。

例1    给定 < U, C>, 其中U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9}，C₁, C₂∈C, C₁={{1, 2, 4, 5, 7, 8}, {2, 5, 8}, {3, 5, 6, 9}}C₂={{1, 2, 3}, {4, 5, 6, 7, 8}, {7, 8, 9}}。则根据定义, 有

若X={1, 2, 5, 8}，则

对于C₁：

对于C₂：

若设α=2/3，β=1/2则有

下面讨论3种模型的一些基本性质。

定理1    设 < U, C>是一个覆盖近似空间, 其中C是U的覆盖的集合。对给定C₁, C₂，…, C_n∈C, 0≤β＜α≤1及任意的X⊆U, 则有

定理2    设 < U, C>是一个覆盖近似空间, 其中C是U的覆盖的集合。对给定C₁, C₂，…, C_n∈C, 0≤β＜α≤1及任意的X⊆U, 则有

1) 当α=1时，有

2) 当β=0时，有

证明    限于篇幅证明略。

定理3    给定覆盖近似空间 < U, C>, 如果C₁, C₂，…, C_n∈C，且C₁={C₁₁, C₁₂, …, C_1p}, C₂={C₂₁, C₂₂, …, C_2q}，…, C_n={C_n1, C_n2, …, C_nr}其中p, q, …, r均为自然数。则对任意C_{i, j}∈{C₁₁, C₁₂, …, C_1p, C₂₁, C₂₂, …, C_2q, …, C_n1, C_n2, …, C_nr}，i, j为自然数，对给定0≤β＜α≤1，下列等式不一定成立。

1) ；

2) ；

3) 。

例2   给定 < U, C>, 其中U={1, 2, 3, 4}, C₁, C₂∈C, C₁={{1, 2}, {2, 3, 4}, {3, 4}}, C₂={{1, 3}, {2, 4}, {1, 3, 4}}。则根据定义, 我们有

设X={1, 2}, α=0.6，β=0.3, 则有

显然有

定理4   设 < U, C>是一个覆盖近似空间, 其中C是U的覆盖的集合。对给定C₁, C₂，…, C_n∈C∈C, 0≤β＜α≤1及任意的X⊆U, 有

证明略。

定理4告诉我们，在固定α、β的情况下，针对同一目标概念X，使用不同算子对目标概念近似，结果集不同，但这些结果集有一定的关联。例如，用对X进行两次近似所得结果是分别用和对X进行近似结果的一个子集。

定理5设 < U, C>是一个覆盖近似空间, 其中C是U的覆盖的集合。给定C₁, C₂，…, C_n∈C∈C, 0≤β₂≤β₁＜α₁≤α₂≤1及任意的X⊆U, 则有

证明略。

定理5告诉我们，在α、β变化的情况下，针对同一目标概念X，使用相同算子进行近似，所得结果是不一样的。α取值越大，相应下近似集反而越小；而β取值越大，相应上近似集越大。

3 3种模型的关系

这小一节讨论了3种新模型之间的内在联系和区别。

定理6    设 < U, C>是一个覆盖近似空间, 其中C是U的覆盖的集合。对给定C₁, C₂，…, C_n∈C, 0≤β＜α≤1及任意的X⊆U, 则有

1) α=1时，有 (X)= (X)

2) β=0时，有 (X)= (X)

证明略。

定理7    设 < U, C>一个覆盖近似空间, C₁, C₂，…, C_n∈C。则对任意的X⊆U, 有

1)

2) 成立。

证明略。

4 结论

当前，多粒度粗糙集的理论和应用研究已深受广泛关注。本文在覆盖近似空间下，首先基于元素的最小描述并集并结合条件概率，提出了平均多粒度覆盖粗糙集，乐观多粒度覆盖粗糙集和悲观多粒度覆盖粗糙集，3种多粒度覆盖粗糙集模型。其次，深入研究了3种模型的特有性质，探索了3种模型与经典多粒度粗糙集以及已有2种多粒度覆盖粗糙集模型之间的内在联系与区别，并指出本文所给模型是经典模型在覆盖近似空间上的有效扩展。最后，探讨了三种新模型之间的关系。指出当时，平均多粒度覆盖粗糙下近似和悲观多粒度覆盖粗糙下近似相等；时，平均多粒度覆盖粗糙上近似和乐观多粒度覆盖粗糙上近似相等。发现悲观多粒度覆盖粗糙集和乐观多粒度覆盖粗糙集之间具有包含关系。