DOI: 10.11992/tis.201606008
2. 计算智能与中文信息处理教育部重点实验室, 山西 太原 030006
2. Key Laboratory of Computational Intelligence and Chinese Information Processing of Ministry of Education, Taiyuan 030006, China
概念格[1-3]是数据分析和知识处理的一种有力工具，由Wille[1]在1982年提出。近年来获得了飞速的发展，概念格理论[2]已经被广泛地应用于软件工程、知识工程、数据挖掘和信息检索等领域。
在多源信息系统和数据分布式存储与并行处理中，数据都是分别存储和处理的。另一方面，在较大的形式背景下概念格构造的复杂度很高，一个可行的方法是把形式背景拆分成多个子形式背景[4-5]，分别存储和处理。这种方法的思想是在每个子形式背景上构造概念格并通过子概念格的合并得到所需的概念格。概念格的分布式处理大大减少了概念格的构造复杂度，但对子概念格上获得的规则集之间的联系，以及不通过子概念格合并直接利用规则集融合产生新规则的研究还较少。
概念格表明了概念之间的泛化和例化关系，这种层次关系有利于规则提取[6-10]。在概念格的规则提取方面学者们进行了一定的研究，王志海等[6-7]提出了概念格上规则提取的一般算法和渐近式算法并研究了概念格与关联规则发现。针对不同的形式背景有不同的规则提取方法，如李金海等[8]提出的在决策形式背景上的规则提取。还有一些提取规则的改进方法，如梁吉业等[9]提出的基于概念格的规则产生集挖掘算法等。近来对概念格的研究也主要是围绕概念格的约简、缩小概念格的构造和规则提取的复杂度[11-23]。但上述规则提取方法，一方面大都是针对一个形式背景，且得到的规则集数量较多、规模较大。而用户有时可能只需要一部分感兴趣的规则信息，而从规模较大的规则集中找出这些感兴趣的规则信息也是一个难题。另一方面规则形式大都是文献[6]和文献[10]提出的规则形式，这种规则结构不便于两个规则集之间的合并研究。
针对上述问题，本文提出一种伪规则的概念，给出渐近式获取伪规则的方法。同时说明了通过伪规则集，用户可以得到原概念格上的蕴含规则。伪规则集的规模相对较小，其结构适于两个规则集的合并。用户可以根据自己的兴趣有选择地从伪规则集合中产生出所需的蕴含规则。在伪规则集的基础上，提出了将两个伪规则集进行合并的方法，通过此方法用户可以直接利用伪规则集得到范围更大的规则集。最后通过实验验证了该方法的有效性。
1 基本定义 1.1 概念格在形式概念分析[1]中，形式背景用一个三元组K=(U, A, I)表示，如表 1所示，其中U是对象集合，A是属性集合，I是U和A之间定义的一个二元关系。对于∀x∈U，∀y∈A，若x具有属性y，那么x与y之间具有关系I，记为xIy。关系I与一个偏序集合对应，并且这偏序集合产生一种格结构如图 1所示。这种由I诱导的格L就称为一个概念格。格中的每个节点是一个序偶，记为(X, Y)，称X是概念(X, Y)的外延，Y是概念(X, Y)的内涵。两者之间满足如下两个映射函数f和g：
 |
| AU | a | b | c | d | e | f | g | h | i |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 3 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 5 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
|
| 图 1 L(U, {a, b, c, d, f, g, h, i}, I) Fig. 1 L(U, {a, b, c, d, f, g, h, i}, I) |
格中所有概念的集合用L(K)表示。给定格中两个概念C1=(X1, Y1), C2=(X2, Y2)，满足X1⊆X2，则称(X1, Y1)是(X2, Y2)的子概念，记为(X1, Y1)≤(X2, Y2)。根据此偏序关系可以生成Hasse图，揭示了概念的内涵和外延之间的范化和例化关系，可作为数据分析与知识获取的一种有效工具。形式背景1上对应的概念格如图 1。
1.2 规则提取下面简要介绍由文献[6]提出的规则提取方法的主要依据定理，该方法的基本思想是依据其双亲节点即直接泛化的个数及形式来对格中每个节点生成其无冗余的所有规则。关于此方法的详细描述可参考文献[6]。
定理1[6] 如果格中节点H=(X1, Y1)只有一个双亲节点M=(X2, Y2)，则H所产生的规则前件只能为单个描述符，且∀p∈{Y1-Y2}，都存在一条无冗余规则p→Y1-p。
定理2[6] 如果格中节点H=(X1, Y1)具有d个双亲节点M1(X2, Y2)，M2(X3, Y3)，…，Md(Xd, Yd)，则对于任意一个描述符p∈{Y1-(Y2∪Y3∪…∪Yd)}，都存在一条规则p→Y1-p。
定理3[6] 若果格中节点H=(X1, Y1)具有两个双亲节点M1(X2, Y2)和M2(X3, Y3)，则对于每个元素∀p1∈{Y2-Y2∩Y3}和∀p2∈{Y3-Y2∩Y3}，都存在一条规则p1p2→Y1-p1p2。
注：只有当‖X′‖>k时，才可能有前件至多为k个描述符的规则，并且规则前件的描述符个数至多为其双亲节点的数目。除了前件为单个描述符的规则之外，其他规则的形式与数目仅仅依赖于其双亲节点。
例1 对图 1用上述定理，获得的蕴含规则为b→a，g→a，d→abf，f→abd，bg→a，bh→ag，h→ag，c→agh，bc→agh，i→acgh。
1.3 形式背景拆分思想通过对形式背景的拆分，形成多个子背景，分别构造概念格，然后再将子概念格合并是概念格分布处理的中心思想。
目前对形式背景的拆分有纵向和横向之分，对应的有两种合并方法。横向拆分是指对象域相同，属性项不同的拆分。纵向拆分是指对象域不同，属性项相同的拆分。本文将采用横向拆分的方式。
2 伪规则及其渐近式提取在一个形式背景上通过文献[6]提出的方法以及其他的一些改进方法所得到的规则数目较多，规模较大，其规则形式不便于两个规则集之间的合并操作。因此，我们提出一种新的规则形式及其渐近式提取方法。其基本思想是对格中每个节点生成与其直接关系的父节点之间的一种关系，包括属性集之间的关系和对象集之间的关系，并证明通过伪规则集可以推导出全部的蕴含规则。
2.1 伪规则基本定义定义1 在形式背景K=(U, A, I)上，概念C1=(X1, Y1)，C2=(X2, Y2)，概念C1是概念C2的父亲节点，则概念C1和C2之间产生规则r：Y2/Y1→Y1，称r为一个伪规则。每个伪规则同时附有其对应的对象集表示如：X2→X1/X2。
注：上述伪规则不是真正的蕴含规则，是一种便于规则集合并和产生蕴含规则的一种规则形式。
定理4 由伪规则集可以推导出全部蕴含规则。
证明 通过上述定理1~3可知，对于一个子节点，根据其父节点的数量采取不同的方法来获取蕴含规则。上述提出的伪规则是子节点与其直接父节点之间的一个关系。对于一个子节点找到与其直接相关的父亲节点对应的伪规则，运用定理1~3即可得到其对应的全部蕴含规则。
例如：图 1所示格结构中获得的伪规则g(123)→ab(5)和b(123)→ag(4)，由此伪规则可以得出子节点为abg，父亲节点为ab和ag。则通过定理2和定理3可以得到如下的蕴含规则：bg→a。
2.2 伪规则的渐近式提取方法采用基于对象的概念格渐近式构造思想，对每个新生成的节点产生其对应的伪规则。并对更新节点判断其对应的原伪规则是否已经失效，如失效不再记录。剩下的没有变更的节点规则全部原样进行记录。下面给出在已建好的格上提取规则的算法。该算法采用基于对象的渐近式构造思想，函数generaterule(N=(X, Y))生成节点之间的伪规则。
算法
输入 已有的格L与规则集R，要追加的概念({x}, f({x}))；
输出 更新后的格L′与规则集R。
BEGIN
R′←φ/*规则集合*/
FOR每个节点H=(X, X′)∈L
IF X′⊆f({x})THEN
把x加到X中, 将节点H加入到Modify(记录更新节点)中
IF X′=f({x})THEN continue;
ELSE
new=X′∩f({x})/*生成新节点*/
IF new∉L THEN;
新增节点N=(X∪x, new)并加入
Modify中, 增加边N→H;
FOR Modify中的每个节点M=(Xm, Ym)
IF Ym⊆new THEN加入边M→N,
IF M是H的双亲THEN
删去边M→H;
R′[H]=generaterule(H)R′=R′[H]∪R′;
R′N=generaterule(N)R′=R′[N]∪R′;
ENDFOR
ENDFOR
FOR每个规则p→q∈R
IF N的任意子节点N′=(Xn, Yn)
都有Yn≠p∪q THEN
R′=R′∪p→q/*记录原来的规则*/
ENDFOR
R=R′/*记录新的规则集*/
END
Function generaterule(N=(X, Y))
BEGIN
FOR N的每个父亲节点F=(Xi, Yi)产生规则：Y/Yi(Xi)→Yi(Xi/X)
ENDFOR
END
3 伪规则集合并概念格的构造一直是影响其应用的主要因素，文献[4]和文献[5]提出了拆分和合并的思想。将形式背景拆分成多个子形式背景，分别构造概念格并对其进行合并。但是，目前提出的合并都是针对子概念格的合并，而每个子概念格上都可以提取规则，因而可以将直接利用两个规则集进行合并，直接产生所需的规则信息。对于两个子规则集直接进行合并，相关研究还较少。下面提出通过伪规则集来实现两个规则的合并。
两个对应概念格上的伪规则集合并的主要思想是通过伪规则中包含的概念属性和对象信息，运用一定的合并原理来生成新的规则。在合并的过程中产生新的节点概念信息，记录新生概念信息。因此规则合并后也就得到了合并后的一个概念格的结构。合并规则依据的是概念格横向合并的思想，根据合并时新规则产生的信息来判断是否是新生成的规则，比较与原规则之间的关系来判断是否要更改原规则。因格中的节点在规则中既可以是前件也可以是后件，因此合并时只考虑其作为后件的情况，避免重复规则。
例如给定两个伪规则A(O1)→B(O2)和C(O3)→D(O4)，则有如下合并规则：
定理5 (O1∪O2)⊆(O3∪O4)，则更新原有规则：A→BD。
证明 因为节点C={(O1∪O2), B}对象集包含于节点C′={(O3∪O4), D}对象集，则节点C同样具有节点C′的属性，同时C的子节点也具有节点C′的属性，因此节点C及其子节点的属性变为{BD, ABD}，则规则更新为A→BD。
实际操作中每次都记录更新节点(O1∪O2)，以便后续合并处理重复的问题。
定理6 若有O1⊆(O3∪O4)，O2 
证明 因为节点C={O1, (A∪B)}对象集包含于节点C′={(O3∪O4), D}，而O2
定理7 (O1∪O2)∩(O3∪O4)≠φ，则生成new=(O1∪O2)∩(O3∪O4)，是(O1∪O2)和(O3∪O4)与的子集，如果new在原概念格节点集中不存在，且(O3∪O4)与(O1∪O2)的所有子节点的交集都不是new，则生的规则有：BD/B→B，BD/D→D。
证明两个概念节点C={(O1∪O2), B}和C′={(O3∪O4), D}产生的新节点new={(O1∪O2)∩(O3∪O4), (B∪D)}是两个节点的子节点当原概念格节点中不存在此节点，因此依据伪规则生成方法，可以生成BD/B→B，BD/D→D。且(O3∪O4)与(O1∪O2)的所有子节点的交集都不是new，保证生成正确的规则。记录new。
定理8 (O1∪O2)∩(O3∪O4)=φ，如果φ在原概念格节点集中不存在，则直接生成前者子节点与新节点之间的规则。
证明 因为如果两规则的父节点与父节点的交集是空集，那么前者对应的子节点与后者父节点的交集也一定是空集，则记录ABD/AB→AB，ABD/D→D记录新节点φ。
注：在每个规则集中增加一个辅助规则，即内涵最大的节点自身生成一个辅助规则：Y→Y，保证在规则合并时可以访问到概念格中的每个节点。在合并的过程中会产生新的概念节点，也要对这些新产生的概念节点判断它们之间是否可以产生伪规则。同时判断更新节点与新生节点之间是否产生新的规则，可以防止重复地生成规则。
例2 给定的形式背景如表 1所示。图 2和图 3是对形式背景横向拆分每3个属性为一个子形式背景所对应的概念格。在图 2上提取的伪规则集R1为：b(1235)→a(4)，c(34)→a(125)，c(3)→ab(125)，b(3)→ac(4)，abc(3)→abc(3)。图 3对应的伪规则集R2为：h(234)→g(1)，i(4)→gh(23)，ghi(4)→ghi(4)。
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| 图 2 子概念格L(U, {a, b, c }, l) Fig. 2 Sub-concept lattice L(U, {a, b, c }, I) |
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| 图 3 子概念格L(U, {g, h, i}, I) Fig. 3 Sub-concept lattice L(U, {g, h, i}, I) |
合并过程如下：首先判断要加入的伪规则对应的节点信息是否已经存在，若存在不做任何操作。否则加入伪规则h(234)→g(1)到伪规则集R1上，遍历R1对应的所有概念节点信息，更新(1234, g)的属性信息为(1234, ag)。
1) 与规则b(1235)→a(4)进行运算有12345∩1234=1234，对应的属性集为ag。则得到(1234, ag)是新生成的节点，产生的规则为g(1234)→a(5)，因为与节点(1235, ab)没有包含关系，因此依然记录规则b(1235)→a(4)。
2) 与规则c(34)→a(125)进行运算得到的节点与(1)相同，同时记录规则c(34)→ag(12)。
3) 与规则b(3)→ac(4)进行运算，34⊂1234，更新规则b(3)→acg(4)，记录更新节点(34, acg)。
4) 与规则c(3)→ab(125)进行运算，因为节点3⊂1234，所以更新原来的规则cg(3)→ab(125)，记录更新节点(3, abcg)。
5) 与规则abc(3)→abc(3)，3⊂1234，不产生新的节点，依然作为结尾节点，更新辅助规则abcg(3)→abcg(3)。
最后生成更新节点与新生节点之间的规则，以及新生节点与新生节点之间的规则，生成的规则如下：c(34)→ag(12)，(b)中已经记录则不再记录。
加入h(234)→g(1)后得到的规则为：g(1234)→a(5)，b(1235)→a(4)，c(34)→ag(12)，b(3)→acg(4)，abcg(3)→abcg(3)，cg(3)→ab(125)。将此伪规则集记录为R1，用于下次插入规则。
将R2中的规则按照上述的步骤加入R1，得到的规则集为：b(1235)→a(4)，g(1234)→a(5)，b(123)→ag(4)，g(123)→ab(5)，h(23)→abg(1)，c(34)→agh(2)，b(3)→acgh(4)，h(234)→ag(1)，b(23)→agh(4)，i(4)→acgh(3)，c(3)→abgh(2)，i(φ)→abcgh(3)，b(φ)→acghi(4)。由此伪规则集最终可以产生例1中的蕴含规则集。
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| 图 4 L(U, {a, b, c, g, h, i}, I) Fig. 4 L(U, {a, b, c, g, h, i}, I) |
上述规则合并方法我们已在Windows7环境下用MATLAB2013实现，并在UCI上的具有单值(二值)或可转换为单值，可数量化的Spect数据集、Mushroom数据集、Nursery数据集，和随机生成的数据集上进行了实验。在Mushshroom数据集上随机选定前10个属性和前180个对象，每30个对象为一组。在Spect数据集上随机选定前6个属性和前120个对象，每30个对象为一组。在Nursery数据集上随机选定前8个属性，前120个对象，每30个对象为一组。在随机生成的数据集上选定属性个数为15个，每个对象有5个属性，同样30个对象为一组。每次递增一组对象。对Mushroom数据集属性平均拆分为5份，每两个属性为一个拆分。同样对随机生成的数据集属性平均拆分成5份，每3个属性为一个拆分。对Spect数据集属性平分为3份，每2个属性为一个拆分。对Nursery数据集属性平分为4份，每2个属性为一个拆分。在这4个数据集上进行了测试并和文献[6]算法进行了对比，在4个测试集上两种方法的执行时间结果如下图 5~8所示，两种方法获取规则数目的比较结果如图 9~12。
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| 图 5 随机数据集上两种方法的执行时间 Fig. 5 Execution time of two methods on random data set |
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| 图 6 Mushroom数据集上两种方法的执行时间 Fig. 6 Execution time of two methods on Mushroom data set |
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| 图 7 Spect数据集上两种方法的执行时间 Fig. 7 Execution time of two methods on Spect data set |
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| 图 8 Nursery数据集上两种方法的执行时间 Fig. 8 Execution time of two methods on Nursery data set |
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| 图 9 随机数据集上两种方法获取的规则数目 Fig. 9 The number of rules obtained by two methods on random data set |
在随机数据集上两种方法的执行时间及概念数如表 2所示。
| 对象个数 | 概念数 | 直接提取 蕴含规则 时间 | 拆分合并 后生成蕴 含规则的时间 |
| 30 | 90 | 8.15 | 8 |
| 60 | 160 | 34 | 20.5 |
| 90 | 228 | 77 | 33.9 |
| 120 | 259 | 115.8 | 40.4 |
从表 2中可以看出，利用伪规则集生成蕴含规则的方法所用时间较直接构造概念格生成蕴含规则明显减少。且时间的增长基本呈线性。在这个过程中避免了概念格的合并，降低了构造概念格的时间复杂度对规则获取的制约。
从图 5~8中可以看出，本文算法执行时间低于文献[6]中的算法，且具有稳定性。在获取蕴含规则时间花销方面有一定的优势。
从图 9~12中可以看出，本文算法所获取的伪规则的数目远小于文献[6]中算法所获取的规则数目，得到的伪规则集的规模较小，用户可以根据所需灵活地通过伪规则生成部分和全部的蕴含规则。在随机数据集以及Spect数据集上，获取的概念数与规则数对比如表 3所示。
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| 图 10 Mushroom数据集上两种方法获取的规则数目 Fig. 10 The number of rules obtained by two methods on Mushroom data set |
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| 图 11 Spect数据集上两种方法获取的规则数目 Fig. 11 The number of rules obtained by two methods on Spect data set |
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| 图 12 Nursery数据集上两种方法获取的规则数目 Fig. 12 The number of rules obtained by two methods on Nursery data set |
从表 3和表 4中可以看出，当概念数量较多时，所获得的伪规则集的数量明显小于所获取的蕴含规则集的数量。在规模较小的伪规则中，用户能够更好地选取感兴趣的属性并生成全部的蕴含规则。
| 对象个数 | 概念数 | 蕴含规则数 | 伪规则数 |
| 30 | 90 | 263 | 214 |
| 60 | 160 | 845 | 426 |
| 90 | 228 | 1 024 | 645 |
| 120 | 259 | 1 135 | 755 |
| 对象个数 | 概念数 | 蕴含规则数 | 伪规则数 |
| 30 | 37 | 98 | 89 |
| 60 | 42 | 96 | 111 |
| 90 | 64 | 416 | 197 |
| 120 | 64 | 416 | 197 |
6 结论
本文在横向拆分的形式背景下，对基于概念格的规则提取进行了研究。1)首先提出了伪规则的概念，并给出了伪规则的渐近式提取方法，证明了通过伪规则集可以生成全部的蕴含规则；2)本文基于伪规则形式，给出了伪规则合并的法则及快速规则获取方法，通过理论推理和实验验证说明了本文方法的有效性；3)本文所提的规则获取方法主要是针对于横向拆分的形式背景，但是对形式背景的拆分有多种拆分方式，对于不同的拆分方式下的规则获取是进一步需要研究的工作。
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