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  智能系统学报  2017, Vol. 12 Issue (5): 608-615  DOI: 10.11992/tis.201604020
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引用本文  

赵克勤, 赵森烽. 赵森烽-克勤概率的赌本分配研究与期望值定理[J]. 智能系统学报, 2017, 12(5), 608-615. DOI: 10.11992/tis.201604020.
ZHAO Keqin, ZHAO Senfeng. Distribution of gambling capital and expectation value theorem for Zhao Senfeng-Keqin probability[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2017, 12(5), 608-615. DOI: 10.11992/tis.201604020.

基金项目

国家社科基金重大项目(12 & ZD099)

通信作者

赵克勤.E-mail:spacnm@163.com

作者简介

赵克勤, 男, 1950年生, 研究员, 主要研究方向为信息处理、集对分析、联系数学、联系科学。浙江大学非传统安全与和平发展中心集对分析研究所所长, 原中国人工智能学会第5、6、7三届学会理事, 人工智能基础专业委员会副主任, 集对分析联系数学专业筹备委员会主任; 1989年提出集对分析(联系数学), 发表学术论文100余篇, 出版专著3部;
赵森烽, 男, 1993年生, 硕士研究生, 主要研究方向为信息处理、集对分析联系数学。发表学术论文6篇

文章历史

收稿日期:2016-04-18
网络出版日期:2017-06-26
赵森烽-克勤概率的赌本分配研究与期望值定理
赵克勤1,2, 赵森烽1    
1. 诸暨市联系数学研究所, 浙江 诸暨 311811;
2. 浙江大学 非传统安全与和平发展研究中心, 浙江 杭州 310058
摘要:针对概率论发展史上合理分配赌本问题,把赵森烽-克勤概率用于合理分配赌本需要的最少赌博次数研究,结果发现,该问题中基于经典概率得出的数学期望不会在实际中出现,实际中出现的是基于赵森烽-克勤概率的"数学期望"的两个极端值。利用赵森烽-克勤概率能客观地反映出给定规则下最少赌博次数与最多赌博次数时的赌博结果,同时刻画出赌博输赢的经典期望值和实际值,从而为有针对性地制定或修改赌博策略和合理地分配赌本提供依据,在此基础上给出期望值不确定定理。文中以机器人服务收费为例说明该定理的现实意义。
关键词赌本分配    数学期望    赵森烽-克勤概率(联系概率)    不确定性    期望值定理    
Distribution of gambling capital and expectation value theorem for Zhao Senfeng-Keqin probability
ZHAO Keqin1,2, ZHAO Senfeng1    
1. Zhuji Institute of Connection Mathematics, Zhuji 311811, China;
2. Center for Non-traditional Security and Peaceful Development Studies, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China
Abstract: With respect to the reasonable distribution of gambling capital in the developmental history of probability theory, Zhao Senfeng-Keqin probability has been used to investigate the minimum number of gambling times necessary for the rational allocation of the minimum amount of gambling capital. Results have shown that the mathematical expectation for this problem, based on classical probability, failed to occur in practice. What appeared instead are two extreme values of "mathematical expectation" based on the Zhao Senfeng-Keqin probability, which can objectively reflect the gambling results within the smallest and largest number of gambling times for a given rule. In addition, it describes both the classic expectation value and the actual value, thereby providing a basis for formulating or amending specific gambling tactics and the reasonable allocation of gambling capital. The result is an uncertainty theorem for the expectation value. In this paper, we illustrate the practical significance of this theorem by giving an example of service charging on a robot.
Key words: distribution of gambling capital    mathematical expectation    Zhao Senfeng-Keqin probability (contact probability)    uncertainty    expectation value theorem    

文献[1-3]在集对分析(set pair analysis,SPA)理论指导下设计和分析了一系列新的随机试验[4-6],先后借助“白球+黑球”随机试验,向指定区域随机投针试验、掷分币与掷骰子随机试验,说明随机性是事物相互联系的一个属性,随机事件成对存在。在此基础上定义了把主事件发生的概率与伴随事件发生的概率写成联系数形式的联系概率(connection probability, CP)(也称“赵森烽-克勤概率” (Zhao Senfeng Keqin probability, ZKP));论证了无论是古典概型概率(classical probability, CP), 几何概型概率(geometric probability, GP), 还是频率型概率(frequency probability, FP)都可以转化为赵森烽-克勤概率(ZKP),从而为概率理论的创新研究提供了一个新的起点。文献[7]将赵森烽-克勤概率(ZKP)应用到风险决策研究得到了新的风险决策模型,文献[8]在前述工作基础上把贝叶斯概率联系数化, 得到基于贝叶斯概型的赵森烽-克勤概率, 探讨了赵森烽-克勤概率与“智脑”的关系。

由于如何合理分配赌本问题在概率论的形成和发展过程中起着非常重要作用,同时也有着广泛和重要的应用背景,特别是涉及基于赵森烽-克勤概率数学期望的现实性与必要性认识和期望值不确定定理,等等,本文特予专题讨论。

1 如何合理分配赌本 1.1 问题描述

现有概率论著作对如何合理分配赌本问题的描述有不同版本[9-12]。文献[12]对该问题的描述如下。1654年,法国有个叫De Mere的赌徒向法国数学家帕斯卡提出如下的分赌本问题:甲、乙两位赌徒事先约定,用掷硬币的方式进行赌博,谁先赢3次就得到全部赌本100法郎,当甲赢了2次,乙只赢1次时,他们不愿意赌下去,问赌本应该如何分配?

1.2 帕斯卡解法

这个问题在当时引起不少人兴趣。有人建议按已赢次数的比例分赌本,即甲得全部赌本的2/3,乙得赌本的1/3。但有人提出异议,认为这完全没有考虑两个人再赌下去每人赢的可能性问题,因为这样不符合两人事先约定的规则,那么还要再赌几次才能解决这个问题?法国数学家帕斯卡研究后得出的结论是:在甲赢得2次,乙只赢1次的条件下,最多只需要再玩2次可以结束这场赌博游戏;再玩2次可能出现的结果有以下4种(见表 1)。

表 1 游戏结果 Tab.1 The result of game

其中前3种结果(W1, W2, W3)时甲赢得100法郎,只有当W4发生时,甲得0法郎(即乙得100法郎),由于这4种结果是等可能的,因此在甲赢得2次,乙只赢1次的条件下,再赌下去甲得赌金X是一个随机变量,其分布列见表 2

表 2 分布列 Tab.2 The distribution column

所以,甲期望得到的赌金为${\rm{E}}\left( x \right) = 100 \times \frac{3}{4} + 0 \times \frac{1}{4} = 75$法郎,而乙赢的期望赌金为${\rm{E}}\left( {\bar x} \right) = 100 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{3}{4} = 25$法郎。

1.3 惠更斯解法

对于以上分赌本问题的帕斯卡解法,惠更斯在1657年的《赌博中的计算》一文中进一步提出一般解法,如果在u+v个等可能场合中某人有u种可能赢得a,有v种可能赢得b,则该人在u+v次赌博中可以赢得ua+vb,而每次平均可赢得

$ \frac{{ua + vb}}{{u + v}} = ap + b\left( {1 - p} \right) $ (1)

式中:$p = \frac{u}{{u + v}}$ap+b(1-p)就是该人应得到的数学期望。若设μ=3, v=1, a=100, b=0就得到帕斯卡法。若设X是某人的赢钱数,按赢得全部赌本的结果看,X的概率分布见表 3

表 3 X的概率分布 Tab.3 Probability distribution of X

该人赢得的数学期望为

$ {\rm{E}}\left( X \right) = ap + b\left( {1 - p} \right) = \frac{{ua + vb}}{{u + v}} $ (2)

称(2)式为分赌本问题的一般解法,也称惠更斯解法。

分赌本问题的现实意义可以推广为合伙投资办厂、合作科研开发新产品等情况下的收益分配问题,例如,由甲、乙两人合资经营一个公司,一段时间后,甲乙两人都改为单独经营公司或因其他原因终止合作,应该如何分配经营成果(如何分摊债务)?

2 赵森烽-克勤概率(联系概率)在分赌本中的应用 2.1 赵森烽-克勤概率

赵森烽-克勤概率(联系概率)是我们在文献[1-3]中提出的一种新概率,其数学形式为

$ P\left( {A,\bar A} \right) = P\left( A \right) + P\left( {\bar A} \right)i $ (3)

式中:A为主事件(也称第一关注事件),AA的伴随事件,当AA为互不相容事件,即AA =∅时,A也称为相对于A的负事件;P(A)为A发生的大数概率,简称概率;P(A)为A发生的大数概率,也称为A的即或不发生概率,简称即或概率;P(A, A)称为赵森烽-克勤概率(联系概率),直观上说是关于事件A和事件A发生的联系概率,i为事件A发生与事件A发生的随机转换器,这里在[-∞,1]取值。当仅从主事件A角度理解式(3)时,式(3)改写成

$ {P_c}\left( A \right) = P\left( A \right) + P\left( {\bar A} \right)i $ (4)

式中的下标c是“联系”(contact)的意思,这时的P(A)就是A不发生的概率。

由于AA为互不相容的对立事件,所以,在式(3)、(4)中有

$ P\left( A \right) + P\left( {\bar A} \right) = 1 $ (5)

据此有

$ P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) $ (6)

当已知P(A)时,可利用式(6)解出P(A),从而得到式(4)或式(3)。

2.2 基于赵森烽-克勤概率的分赌本分析

首先,取“甲赢”为主事件A,把“甲输”作为A的伴随事件A,根据上一节中的赵森烽-克勤概率(联系概率)和概率补数定理[10],可由表 2知甲得赌金X的分布列(见表 4)。

表 4 基于赵森烽-克勤概率的甲得赌金X的分布列 Tab.4 A get a sweepstakes column of X distribution based on the Zhao senfeng-Keqin probability

表 4算得甲期望得到的赌金为

$ {\rm{E}}\left( X \right) = 100 \times \left( {\frac{3}{4} + \frac{1}{4}i} \right) + 0 \times \left( {\frac{1}{4} + \frac{3}{4}i} \right) = 75 + 25i $

于是,问题转化成75+25i中的i应当取何值的问题。结合题意和i在一般情况下的取值域[-1, 1],得

i=1时,甲赢得赌本100法郎;

i=-1时,甲赢得赌本50法郎;

i=0时,甲赢得赌本75法朗,这是第1节中帕斯卡法的结果。

现在要问,在已玩3次基础上最多再玩2次情况下甲有可能赢得100法郎或50法郎吗?

我们注意到,帕斯卡在解决合理分配赌本问题时,是以最多只要再玩2次(共玩5次)就可以按约定的赌本规则结束这场赌博游戏来考虑这个问题的。这种考虑,自然地隐含着最少再玩1次(共玩4次)也有可能按约定的赌博规则结束这场赌博这样一个问题。为此先来讨论再玩1次的情况,当甲已赢2次,乙只赢1次基础上再玩1次,只有2种结果:

W1出现时,甲共赢了3次,这时甲得100法郎;当W2出现时,甲、乙各赢2次,这时如果终止赌博,甲只能得50法郎,也就是不存在甲得75法郎这种情况(表 5)。

表 5 2种结果 Tab.5 Two kinds of result

由此可见,i=1和i=-1所对应的联系概率$\left( {\frac{3}{4} + \frac{1}{4}i} \right)$的值为1和0.5,原来是甲、乙玩第4次时,(至少再玩1次时)甲可能得到的2种结果;也就是说,i=1和i=-1这两种情况在这里不仅仅有数学上的意义(i在一般情况下取区间[-1, 1]的上下界值),还有实际意义(对应实际可能出现的情况)。

特别地,当玩第4次时出现甲、乙各赢2次的局面时,甲、乙都明白,再玩1次(第5次时),要么是甲赢(共赢3次),这时甲得100法郎,乙得0;要么是乙赢(共赢3次),这时乙得100法郎,甲得0。因此,如果甲、乙两人都不愿冒风险时,将选择放弃再玩一次而终止赌博(共4次)。因此,从逻辑上说,在已玩3次基础上最多再玩2次确实可按约定的规则结束赌博。但从实际出发,也有可能在已玩3次基础上再玩1次(共4次)就能按约定的规则结束赌博;也可以双方协商修改规则后结束赌博,但这种情况不在本问题讨论范围内。因此结论是:无论何种情况,甲都不可能得到75法郎。

以上分析结果表明:甲得期望赌本75法郎仅仅是一个经典概率意义上的一个理论计算值,并不具有实际上可能出现的意义;具有实际出现意义的是50法郎或100法郎;甲在共玩3次已经赢2次的条件下,继续玩1次时(第4次),可能因共赢了3次得100法郎而按规则结束赌博,也可能因输给乙而面临再玩1次(第5次)得0法郎的风险。

由于当75+25i中的i=0时,75+25i=75,恰好是帕斯卡解法时甲得期望赌本,所以75+25i是一个既含有经典期望值,又含有实际出现值的解集联系数。

由此可见,以上讨论的问题,表面上看是一个如何分赌本的问题,而其背后还隐藏着如何理解经典数学期望含义和如何定义新的数学期望以及如何计算新的数学期望等问题,为此,本文在下面将给出基于赵森烽-克勤概率的数学期望定义和计算方法,并把其与经典概率期望进行比较,讨论这种新的数学期望性质,举例说明其在实际问题中的应用。

3 基于赵森烽-克勤概率的数学期望 3.1 数学期望

数学期望是概率论中一个极为重要的概念,文献[10]中已指出数学期望的本质是一种“均值”,因此被称为“均值”更形象易懂,并分别从算术平均与加权平均2种情况说明如下。

1) 算术平均

如果有n个数,即x1, x2, …, xn, 那么把这n个数相加后得到的和除n,就是这n个数的算术平均。记算术平均为X,则有

$ \bar X = \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {xk,k = 1,2, \cdots ,n} $ (7)

2) 加权平均

如果这n个数中有相同的数,不妨设其有nt个取值为xt(t=1, 2, …,k),并将其列成表(见表 6)。

表 6 Xt的频率 Tab.6 Frequency of Xt

这时,这n个数的“均值”为

$ \bar X = \frac{1}{n}\sum\limits_{t = 1}^k {{n_t}{X_t}} = \sum\limits_{t = 1}^k {\frac{{{n_t}}}{n}{X_t}} ,\;\;\;\;t = 1,2, \cdots ,k $ (8)

显然,式(8)中的这个加权平均的权数$\frac{{{n_t}}}{n}$就是数xt的频率,而频率在n很大时就稳定在其概率附近。

由此得到经典的数学期望定义如下。

定义 1  设离散随机变量X的分布列为

$ p\left( {{X_t}} \right) = P\left( {X = {X_t}} \right),t = 1,2, \cdots ,n, \cdots $

如果$\sum\limits_{t = 1}^\infty {\left| {{X_t}} \right|} P\left( {{X_t}} \right) < \infty $,则称

$ {\rm{E}}\left( X \right) = \sum\limits_{t = 1}^\infty {{X_t}P\left( {{X_t}} \right)} $ (9)

为随机变量X的数学期望,或称为随机变量X对于给定分布的数学期望,简称期望或者均值,若级数$\sum\limits_{t = 1}^\infty {\left| {{X_t}} \right|} P\left( {{X_t}} \right)$不收敛,则称X的数学期望不存在。

式(9)是基于随机变量是离散型的数学期望定义。类似地,可得随机变量是连续型时的数学期望定义,只要将式(9)中的分布列P(Xt)改为密度函数P(X),同时把求和号改为求积号,为此有以下的定义2。

定义 2  设连续随机变量X的密度函数为p(x),如果

$ \int_{ - \infty }^\infty {\left| x \right|p\left( x \right){\rm{d}}x < \infty } $ (10)

则称

$ {\rm{E}}\left( X \right) = \int_{ - \infty }^\infty {xp\left( x \right){\rm{d}}x} $ (11)

为随机变量X的数学期望,或称为分布P(X)的数学期望,简称期望或者均值,若$\int_{ - \infty }^\infty {xp\left( x \right)} {\rm{d}}x$不收敛,则称随机变量X的数学期望不存在。以上是文献[12]中关于经典概率论意义下的数学期望说明。

数学期望E(X)的物理意义在经典概率论中被解释为随机变量的重心,被看作理论上消除随机性的主要手段,已经在实际工作中有广泛应用。但前面关于合理分赌本问题的研究和分析表明,经典概率论下的数学期望即使在理论意义上存在(级数$\sum\limits_{t = 1}^\infty {\left| {{X_t}} \right|} P\left( {{X_t}} \right)$收敛,或$\int_{ - \infty }^\infty {xp\left( x \right)} {\rm{d}}x$收敛),但在实际应用中不仅没有消除随机性,而且还不一定能在规定的随机试验中期望其出现。

3.2 基于赵森烽-克勤概率的数学期望

上面对于历史上如何合理分赌本问题的研究和分析表明,基于经典概率论的数学期望即使在给定的数学条件(级数$\sum\limits_{t = 1}^\infty {\left| {{X_t}} \right|} P\left( {{X_t}} \right)$收敛,或$\int_{ - \infty }^\infty {xp\left( x \right)} {\rm{d}}x$收敛)时存在,但在实际随机试验中仍然存在规定的随机试验中可能出现也可能不出现的不确定性(例如,前面关于如何合理分赌本问题中的甲期望得75法郎赌本事件在给定的5次随机试验中就没有出现)。因此,为了如实地从数学形式上反映出随机试验数学期望的不确定性,我们需要探讨新的数学期望概念。由于我们已经知道随机试验中的随机事件总是成对存在,应当用联系数表示随机试验中给定事件与其伴随事件的联系概率,可以从联系概率定义出发来研究一种新的数学期望,下面分别从离散和连续两个角度来给出这种新的数学期望。

定义 3  设成对离散随机变量X, X的分布列为

$ p\left( {{X_t},{{\bar X}_t}} \right) = P\left( {X = {X_t},{{\bar X}_t}} \right),t = 1,2, \cdots ,n, \cdots $

如果

$ \sum\limits_{t = 1}^\infty {\left| {{X_t}} \right|P\left( {{X_t}} \right) < \infty } $
$ \sum\limits_{t = 1}^\infty {\left| {{{\bar X}_t}} \right|P\left( {{X_t}} \right) < \infty } $

$ {\rm{E}}\left( {X,\bar X} \right) = \sum\limits_{t = 1}^\infty {\left( {{X_t},{{\bar X}_t}} \right)P\left( {{X_t},{{\bar X}_t}} \right)} $ (12)

根据文献[1-3]知,P(Xt, Xt)=P(Xt)+P(Xt)i据此由式(12)得

$ {\rm{E}}\left( {X,\bar X} \right) = \sum\limits_{t = 1}^\infty {\left( {{X_t},{{\bar X}_t}} \right)\left( {P\left( {{X_t}} \right) + P\left( {{{\bar X}_t}} \right)i} \right)} $ (13)

称(13)式为成对离散随机变量XX的联系数学期望,或称为离散随机变量对XX对于给定分布的联系数学期望,简称成对离散随机变量联系数学期望,若其中的级数$\sum\limits_{t = 1}^\infty {\left| {{X_t}} \right|} P\left( {{X_t}} \right)$$\sum\limits_{t = 1}^\infty {\left| {{X_t}} \right|} P\left( {{X_t}} \right)$不收敛,则称成对离散随机变量对XX的联系数学期望不存在。

根据联系概率的定义,式(13)是以X为主事件, XX的伴随事件的联系数学期望,因此为了简明起见,把式(13)改写为

$ {{\rm{E}}_{\rm{c}}}\left( X \right) = \sum\limits_{t = 1}^\infty {{{\left( {{X_t}} \right)}_{\rm{c}}}\left[ {{P_{\rm{c}}}\left( {{X_t}} \right)} \right]} $ (14)

式中:Ec(X)表示以X为主事件, XX的伴随事件的联系数学期望; (Xt)c表示以Xt为主事件和Xt为伴随事件的成对离散随机事件; Pc(Xt)表示以Xt为主事件和Xt为伴随事件的联系概率,式中下标c是联系(contact)的意思。也就是说,式(14)是同时计算XX数学期望的公式。实际计算时,既可以利用式(14)同时计算XX的数学期望,也可以分别计算X的数学期望E(X)与X的数学期望E(X),再把结果写成联系数学期望E(X, X)或Ec(X)的形式。要注意,这里仅仅是把伴随事件数学期望E(X)乘上表示随机转换器的i,也就是:

$ {\rm{E}}\left( {X,\bar X} \right) = {\rm{E}}\left( X \right) + {\rm{E}}\left( {\bar X} \right)i $ (15)

$ {{\rm{E}}_{\rm{c}}}\left( X \right) = {\rm{E}}\left( X \right) + {\rm{E}}\left( {\bar X} \right)i $ (16)

同理,当式(11)成立时,对于连续随机变量X,也同样有式(16)成立。为节约篇幅,叙述从略。

此外要说明的是,式(16)所示的数学期望的完整意义是基于赵森烽-克勤概率的数学期望,但也可以称为基于集对分析的联系数学期望,在不至于引起混淆时也简称联系数学期望或称数学期望。

3.3 基于赵森烽-克勤概率的数学期望性质

由式(15)、(16)可以看出,定义3给出的联系数学期望由随机变量XX各自的数学期望构成,要讨论由式(15)、(16)给定的数学期望性质,必须先明确随机变量XX各自的数学期望性质,这些性质有(为节约篇幅,证明从略,可参见文献[7]):

性质 1  若C是常数,则

$ {\rm{E}}\left( C \right) = C $ (17)

性质 2  对任意常数K,有

$ {\rm{E}}\left( {kX} \right) = k{\rm{E}}\left( X \right) $ (18)

性质 3  对任意的两个函数g1(x)、g2(x),有

$ {\rm{E}}\left[ {{g_1}\left( x \right) \pm {g_2}\left( x \right)} \right] = {\rm{E}}\left[ {{g_1}\left( x \right)} \right] \pm {\rm{E}}\left[ {{g_2}\left( x \right)} \right] $ (19)

据此联系数学期望的性质如下:

性质 4  若c, d是常数(cd, E(c)=c, E(d)=d),则有

$ {\rm{E}}\left( {c,d} \right) = c + di $ (20)

证明  先把常数c看作始终取一个值的随机变量X,则有P(X=c)=1,从而其数学期望E(c)=E(X)=c×1=c;同理,把常数d看作始终取一个值的随机变量X,则有P(X=d)=1,从而其数学期望E(d)=E(X)=d×1=d;再根据随机变量X和随机变量X的联系数学期望定义知这2个随机变量的联系数期望表达式如式(15)所示,由此得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{E}}\left( {X,\bar X} \right) = {\rm{E}}\left( X \right) + {\rm{E}}\left( {\bar X} \right)i}\\ {{\rm{E}}\left( {c,d} \right) = {\rm{E}}\left( c \right) + {\rm{E}}\left( d \right)i + c + di} \end{array} $ (21)

但要注意的是,由于式(21)把X的数学期望作为主事件对待,因此可以改写成

$ {{\rm{E}}_c}\left( X \right) = c + di $ (22)

由于随机变量X在随机试验中取常数c,与此同时的事实是不出现性质2。

4 数学期望值定理

基于以上讨论,得到以下的数学期望值定理。

定理   设XX是一对互不相容的随机事件,X的数学期望为E(X),X的数学期望为E(X),则XX基于赵森烽-克勤概率的联系数学期望为

$ {\rm{E}}\left( {X,\bar X} \right) = {\rm{E}}\left( X \right) + {\rm{E}}\left( {\bar X} \right)i $ (23)

在把X作为主事件时,式(23)改写为

$ {{\rm{E}}_{\rm{c}}}\left( X \right) = {\rm{E}}\left( X \right) + {\rm{E}}\left( {\bar X} \right)i $ (24)

在把X作为主事件时,式(23)改写为

$ {{\rm{E}}_{\rm{c}}}\left( {\bar X} \right) = {\rm{E}}\left( {\bar X} \right) + {\rm{E}}\left( X \right)i $ (25)

因为在式(23)~(25)中都含有随机转换器i,其值要根据不同情况才能确定,所以式(23)~(25)的值存在不确定性。因此,由式(23)~(25)所示的联系数学期望值依然具有随机性,本定理也因此称为基于赵森烽-克勤概率的联系数学期望不确定定理,简称期望值定理。

证明  根据定义3中给出的基于赵森烽-克勤概率的联系数学期望式(13)、(16)可知,式(13)和式(16)中的i是一个随机转换器,具有不确定性,因此式(13)和式(16)具有不确定性。

数学期望值定理从集对分析的角度说明了在随机试验中,不仅随机事件成对存在,而且随机事件的确定性与不确定性也成对存在,与之相应的刻画随机事件出现可能性的数学期望的确定性与不确定性也成对存在。因此,在有关数学期望的众多理论研究和实际问题的应用中,对于数学期望的不确定性,依然需要遵循集对分析理论多年来所倡导的“客观承认、系统描述、定量刻画、具体分析”16字处置方针,看上去这是一种无奈之举,但由于各种各样的随机事件说到底都是确定性与不确定性的对立统一,故唯如此,才能保证理论研究结果与实际情况的吻合[13-20]

5 应用

例 1  计算合理分配赌本问题中甲能赢得的赌本数。

问题的描述见第1节。由1.3节介绍的惠更斯解法和式(2)知,甲的期望为

$ {\rm{E}}\left( X \right) = ap + b\left( {1 - p} \right) = \frac{{ua + vb}}{{u + v}} $ (26)

与此同时,乙的期望为

$ {\rm{E}}\left( {\bar X} \right) = bp + a\left( {1 - p} \right) = \frac{{ub + va}}{{u + v}} $ (27)

根据式(15)得

$ {\rm{E}}\left( {X,\bar X} \right) = \left[ {ap + b\left( {1 - p} \right)} \right] + \left[ {bp + a\left( {1 - p} \right)} \right]i $ (28)

如果把甲的数学期望作为“主事件”,则可以参照式(16)把式(28)改写成

$ {{\rm{E}}_{\rm{c}}}\left( X \right) = \left[ {ap + b\left( {1 - p} \right)} \right] + \left[ {bp + a\left( {1 - p} \right)} \right]i $ (29)

显然,式(29)用联系数的形式把甲的数学期望与乙的数学期望联系在同一个数学式中,规范地说,式(29)是甲的联系数学期望,也简约地称为甲的数学期望。

根据题意把u=3, v=1, a=100, b=0代入式(29)和式(26)得

$ {\rm{E}}\left( {X,\bar X} \right) = 75 + 25i $ (30)
$ {{\rm{E}}_{\rm{c}}}\left( X \right) = 75 + 25i $ (31)

由于式(30)与式(31)相等,以下仅对式(31)计算分析。

i=-1时,得

$ 当\;i = - 1\;时,得\;{{\rm{E}}_{\rm{c}}}\left( X \right) = 75 + 25i = 50 $ (32)

i=1时,得

$ 当\;i = 1\;时,得\;{{\rm{E}}_{\rm{c}}}\left( X \right) = 75 + 25i = 100 $ (33)

前面的2.2中已通过计算与分析证实甲可以期望实现的赢得赌本数为50法郎或100法郎,不可能期望实现的赢得赌本数为75法郎,为此令

$ {{\rm{E}}_{\rm{c}}}\left( X \right) = 75 + 25i = 75 $ (34)

解式(25)得i=0。也就是说,式(29)中的i取0没有实际意义,但所对应的联系数学期望值75法郎恰恰是经典概率意义下的数学期望值。

例 2  机器人月租金期望。

某机器人服务公司向用户提供机器人清扫服务,有3种可能去家庭服务,月租费3 000元;有2种可能去为企业服务,月租费5 000元;按(1)式,该机器人月租金期望为3 800元,但一般情况下,该机器人租给某个家庭后就不能再租给一个企业,因此3 800元这个月租费是一个理论值,而不是实际值,除非这个机器人在一个月中恰好有18天租给家庭,有12天租给企业,$3\;000 \times \frac{{18}}{{30}} + 5\;000 \times \frac{{12}}{{30}} = 3\;800$, 但也可能是其他天数的组合,具体是何种组合具有不确定性,如何描述这种不确定性?

利用式(9)得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{E}}\left( X \right) = 3000 \times \left( {0.6 + 0.4i} \right) + 5000 \times }\\ {\left( {0.4 + 0.6i} \right) = 3800 + 4200i} \end{array} $ (35)

于是问题转化成如何确定其中的i值。

显然max E(X)=5 000,min E(X)=3 000。于是,3 800+4 200i=5 000,解得i=0.285 7;3 800+4 200i=3 000, 解得i=-0.190 5。由此得i∈[-0.190 5, 0.285 7],取i的平均值为0.238 1,代入式(35)得4 800元。这说明,该机器人服务公司通过适当调度出租该机器人,可以期望得到月租金4 800元。与之相应的出租天数x(为企业服务天数)与y(为家庭服务天数)只需解以下方程

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y = 30\\ \frac{{5000}}{{30}}x + \frac{{3000}}{{30}}y = 4800 \end{array} \right. $ (36)

解得,y=1天,x=29天。

6 结束语

本文从讨论概率论发展史上如何合理分赌本问题入手,研究了数学期望的不确定性及其联系数表达。虽然在概率论中早就指出数学期望是一种关于随机变量的均值,但本文是首次给出数学期望不确定定理和这一定理的实际意义。由于经典概率意义下的数学期望值在随机试验中可能出现也可能不出现,而一些实际问题极需要针对可能出现的极大极小数学期望值作出决策,基于这一事实,我们提倡在有关随机决策之类问题的研究中大胆地应用本文给出的基于赵森烽-克勤概率的联系数学期望,因为联系数学期望不仅包含了经典的数学期望值,还包含了可能出现的其他期望值,特别是,对各种可能出现的其他期望值的分析过程中,还在有意无意地引导人们去关注和分析导致不同期望值出现的那些不确定性因素,这对于提高随机决策的科学性与针对性至关重要。至于有关联系数学期望的运算规则、联系数学期望与随机变量方差的关系、联系数学期望与大数定律关系,等等问题,我们将在后续文章中讨论。

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