针对模糊、不确定等问题，波兰学者Pawlak基于粒化和近似思想于1982年提出了粗糙集^[1]，该理论于20世纪90年代逐步走向成熟并随后引起了国内外学者的广泛关注^[2]。与其他类似理论相比较，其不需要借助复杂的先验知识便可以在数据集中有效获取知识，相对来讲会更加客观和易用。近年来，粗糙集正快速从单一理论向多理论融合方向发展、从简单应用向复杂数据建模方向延伸，其相关研究成果已被广泛应用于数据挖掘、机器学习等领域^{[3, 4, 5]}。

概念格是与粗糙集同时代产生的一种数据分析工具^[6]，其最早是由德国学者Wille基于人脑的概念思维提出来的。在概念格构筑的理论体系中，概念、格代数结构，伽罗瓦(Galois)连接等是核心要素。其中，概念可以分别从内涵和外延两个不同角度进行刻画，具有丰富的语义，有助于深化人们对现实生活中概念的概要认识和准确理解；代数格结构作为一种基于序关系建立起来的概念层次模型，客观上反映了概念之间的泛化/特化关系；伽罗瓦连接则为生成概念和代数结构的核心理论基础。近年来，关于概念格的基础理论研究和应用拓展已经取得了一系列重要成果^{[7, 8, 9, 10]}。

虽然上述理论方法上存在一定差异，但集合论和二元关系都是它们的建模基础，同时它们均面向相类似的数据集，这就意味着它们之间可能存在着某种紧密的关联。在充分挖掘它们各自理论优势的基础上，探讨二者之间的融合理论必将有助于粗糙集和概念格的进一步拓展。近年来，许多学者探讨了它们之间的融合理论^[11]。一些学者把概念格中的概念思维、格代数结构、伽罗瓦连接等要素引入到粗糙集中，探讨了信息系统中的格代数结构、约简、规则获取等^{[12, 13]}；一些学者把形式背景视为一类特殊的信息系统，然后借助粗糙集中的近似算子和区分矩阵，提出了概念格中的粗糙概念分析、属性约简，以及上近似格和下近似格等^{[14, 15, 16]}；一些学者从不同角度对比了两种理论，揭示了它们之间的紧密联系^{[17, 18, 19, 20]}，这样做不仅有助于人们从不同角度深化对单一理论的认识和理解，同时也有助于两种理论之间的深度融合。

在关于经典信息系统的描述中，对象在属性下的取值是唯一的。然而，在一些复杂的信息系统，对象在属性下的取值有时可能不是一个值，而是由若干个元素组成的一个非空集合，即取值不是一个值而是一个集合。当取值是一个集合时，若其代表一个取值范围，那么此时取值就存在一定的不确定性。例如，在地震预测中，不同专家可能得出不一样的预测结果，也许这些预测结果都是合理的，但却只有一种预测是正确的。据此，人们将经典信息系统进一步泛化为集值信息系统。本质上，信息的不完备性也可以理解为上述不确定性的一种特殊情况^{[21, 22]}。例如，在不完备信息系统中，针对取值缺失的情况，人们通常会用一个集合替代某个缺失值，即依据先验知识或算法将缺失值限定在某个范围，并将该范围视为缺失值。在此意义下，不完备信息系统本质上是一种特殊的集值信息系统。针对上述不确定性，以往人们更多采用的是一些间接的知识获取方法，即数据建模是建立在对数据预处理的基础之上。此类方法虽然简单易用，但数据预处理可能会丢失大量的有用信息或由于人为因素增加一些额外的偏差信息，存在一定的局限性。针对上述情况，许多学者尝试发展直接面向集值信息系统的知识获取方法^{[23, 24, 25, 26, 27, 28]}，诸如基于相容关系、优势关系等的粗糙集模型。直接处理方法不经过数据预处理，能直接对原始数据进行处理，可以有效避免由于数据预处理不当所导致的偏差逐层传导扩大。

针对上述不确定性问题，同时考虑到概念格在二元关系分析中的良好数学基础，本文引入了概念格，并重点探讨了基于相容关系的粒化模型和集值系统中的格代数结构，该代数结构可以将论域中的所有覆盖以格的形式有机结织起来。此外，本文还重点探讨了集值信息系统中的约简、核等问题。总的来讲，本文结论一方面有助于拓展概念格的应用范围，另一方面也为集值信息系统的分析和处理提供了一种有益思路。

定义 1 一个形式背景通常由一个三元组(G,M,I)来表示，其中G和M分别是非空有限的对象集和属性集，I$ \subseteq $G×M。一个典型的形式背景如表 1所示，其中website1,website2,…,website6分别表示一些网站的编号；Finance,Culture,…,Shopping则表示上述网站可能涉及的一些主题；若某个网站含有某种主题，用“×”进行标记。

定义2 定义1 在形式背景(G,M,I)中，对于任意 X∈P(G)，定义

相应地，对于任意B∈P(M)，定义

其中P(G)和P(M)分别是G和M的幂集。如果X^*=B且B^*=X，则称X,B是一个形式概念，其中X和B分别是外延和内涵。若将任意概念(X₁,B₁)和(X₂,B₂)之间的序关系“≤”定义为

在此意义下，偏序集(B(G,M,I),≤)本质上是一个完备格，其中B(G,M,I)是所有概念组的集合。

引理1 在形式背景(G,M,I)中，对于任意B$ \subseteq $M，有

定义3在表 1所示的背景中，若a₁=Finance、 a₂=Culture、a₃ =Military、a₄=History、a₅=Shopping，且将website1,website2,…,website6简记为1,2,…,6，则表 1中的概念格如图 1所示，图 1可以直观反映信息在不同层次上的聚类。例如，概念(456,a₃a₄a₅)揭示website4、website5和website6等网站均含有主题Military、History和Shopping。

图 1 从表 1导出的概念格结构Fig. 1 The concept lattice derived from table 1

图选项

定义4关于概念格的详细介绍请参阅文献^[29]。

一个集值信息系统一般由四元组(U,AT,V,F)进行表示。其中U是一个非空对象集，称为论域；AT是一个非空属性集；V=∪_m∈ATV_m，其中V_m是属性m的值域；F={f_m:m∈AT}，其中 f_m:U→P(V_m)。一个典型的集值信息系统如表 2。

单值背景中的经典算子往往并不适用于多值的信息系统。即若采用定义1中的算子，必须将信息系统转化为单值形式背景。由此，针对集值信息系统，本文采用了如下转化策略。

定义3 设(U,AT,V,F)是一个集值信息系统，称(U×U,AT,J)是(U,AT,V,F)的衍生形式背景，其中J被描述为：对于任意(x,y)∈U²,m∈AT，有

由于衍生背景不再保留原信息系统中属性值自身的信息，仅体现相同属性下不同对象之间的关系，因而在形式上较原信息系统更加简单明了。一个由表 2所示集值信息系统衍生的形式背景如表 3。

概念格是一类重要的格代数结构，其在形式概念分析理论中扮演了重要的角色。据此，本文尝试基于形式概念分析理论重点探讨集值信息系统中的格代数结构、信息粒化等问题。其中，本文提到的粒化模型是基于定义3中的相容关系构造的。

定义4^[23] 设(U,AT,V,F)是一个集值信息系统，对于任意B$ \subseteq $AT,论域U中的相容关系定义为

定理1 设(U×U,AT,J)是(U,AT,V,F)的衍生背景，对于任意B$ \subseteq $AT，有B^*=R_B。

证明 由定义1、定义2和定义3即得，证毕。

定义5 设R是论域U中的一个相容关系，H$ \subseteq $U。若H×H$ \subseteq $R，且不存在N×N$ \subseteq $R满足H×H⊂N×N，称H是一个极大相容类。U中所有极大相容类组成的集合记为U/R。设R₁和R₂是U中的相容关系，对于任意X∈U/R₁，若存在Y∈U/R₂且满足X$ \subseteq $Y，则称U/R₂相对于U/R₁是一种更粗的粒化结果，记为U/R₁$\overline \subseteq $U/R₂。

引理2 在定义4中，有下述结论成立：

1)若R₁和R₂是论域U中的相容关系，则R₁$ \subseteq $R₂⇔U/R₁$\overline \subseteq $U/R₂；

2)在(U,AT,V,F)中，设B,D$ \subseteq $AT，则B$ \subseteq $D⇒R_D$\overline \subseteq $R_B。

定义6 若R是论域U中的一个相容关系，则称(U,U,R)是由R决定的中间背景。

定理2 在上述背景(U,U,R)中，有下述结论成立:

证明 由定义1和定义4即得，证毕。

在表 2中，表 4是由R_{d,e}决定的中间背景，相应的概念格如图 2所示。显然，依据定理2，可以判定{u₁,u₂,u₅,u₆}、{u₁,u₂,u₇,u₈}、{u₃,u₄}均是U/R_B中的极大相容类。在图 2中，“u_i”简化表示为“i”。

依据定理2，本文在集值信息系统中进一步定义如下 α和β映射。

定义7 设ν(R)和ν(L)分别是由论域U中所有相容关系和覆盖组成的集合。映射α:ν(R)→ν(L)定义为

映射β:ν(L)→ν(R)定义为

图 2 从表 4导出的概念格结构Fig. 2 A concept lattice derived from table 4

图选项

定义8 设(U×U,AT,J)是(U,AT,V,F)的衍生背景，映射+:ν(L)→P(AT)被描述为

偏序集(B(U,AT,V,F),≤)是一个完备格，其中B(U,AT,V,F)是由所有相容概念构成的集合。该结论与经典概念格中的相关结论类似，具体证明详见文献^[29]，在此不再详述。事实上，依据上述定义，对于任意覆盖U/R，有

对于任意属性子集B$ \subseteq $AT，有

定理3 设(C,B)是一个相容概念，则C=U/R_B。

证明 由于(C,B)是一个相容概念，所以由定义7即得B⁺=C。又由于B⁺=U/R_B，故C=U/R_B成立，证毕。

定理4 在上述定义中，设R,R₁和R₂是论域U中的相容关系，B,D$ \subseteq $AT。有下述结论成立：

1)U/R₁$\overline \subseteq $U/R₂⇒(U/R₂)⁺$ \subseteq $(U/R₁)⁺

2)B$ \subseteq $D⇒D⁺$\overline \subseteq $B⁺

3)U/R$\overline \subseteq $(U/R)⁺⁺；B$ \subseteq $B⁺⁺

4)(U/R)⁺=(U/R)⁺⁺⁺；B⁺=B⁺⁺⁺

证明 1)当U/R₁$\overline \subseteq $U/R₂时，有β(U/R₁)$ \subseteq $β(U/R₂)，进而由定义7即得结论成立。

2)由于B$ \subseteq $D⇒R_D$ \subseteq $R_B⇒U/R_D$ \subseteq $U/R_B⇒D⁺$ \subseteq $B⁺，故B$ \subseteq $D⇒D⁺$ \subseteq $B⁺成立。

3)当(U/R)⁺=B时，有(U/R)⁺⁺=B⁺=U/R_B成立。又(U/R)⁺=B={m∈AT|R$ \subseteq ${m}^*}，故m∈B⇔R$ \subseteq ${m}^*⇔R$ \subseteq $R_m，从而有R$ \subseteq $R_B。显然，此时由R$ \subseteq $R_B即得U/R$\overline \subseteq $ U/R_B，进而U/R$\overline \subseteq $(U/R)⁺⁺成立。由于

4)由上述结论可知U/R$\overline \subseteq $(U/R)⁺⁺⇒$\overline{{{\left( U/R \right)}^{+++}}\subseteq }$ (U/R)⁺，此外，又由结论3)即得 (U/R)⁺$\overline \subseteq $((U/R)⁺)⁺⁺=(U/R)⁺⁺⁺，故(U/R)⁺=(U/R)⁺⁺⁺成立；同理可证B⁺=B⁺⁺⁺，证毕。

定理5 对于任意B$ \subseteq $AT，(B⁺,B⁺⁺)是一个相容概念，且U/R_B是(B⁺,B⁺⁺)的外延。

证明 由B⁺⁺⁺=B⁺即得(B⁺,B⁺⁺)是一个相容概念，进而由B⁺=U/R_B可知U/R_B是相容概念B⁺,B⁺⁺的外延。证毕。

由上述定理可知，(B(U,AT,V,F),≤)可以将所有覆盖的集合{U/R_B|B$ \subseteq $AT}以格的形式有机地组织起来，由此，本文将其视为集值信息系统(U,AT,V,F)中的重要代数结构。

定理6 设Int(S)是S=(U,AT,V,F)中所有相容概念内涵的集合，则对于任意B$ \subseteq $AT，有

证明 与参考文献^[29]中有关结论的证明过程相类似，在此不再详述。证毕。

例如，基于定义7中的算子，可以从表 3导出一个如图 3的格结构，该结构即为表 2所示集值信息系统中的相容概念格。图 3中的X₁/X₂/…/X_l表示覆盖{X₁,X₂,…,X_l}，任意“u_i”表简化表示为“i”。

图 1 一个相容概念格 Fig. 1 A tolerance concept lattice

图选项

定理1 约简、核、依赖等作为粗糙集研究的重要组成部分，也是本文研究的重点。针对集值信息系统中的相关问题，本文给出一种基于定理6的求解方法。此节内容是通过借鉴文献^[12]得到的。

在S=(U,AT,V,F)中，设m∈B$ \subseteq $AT，若R_B≠R_B-m，称m是B中的必要属性；B中所有必要属性的集合称为B的核，记为Core(B)；设C$ \subseteq $B$ \subseteq $AT，若C是满足R_B=R_C的最小属性子集，称C是B的一个约简；设B,D$ \subseteq $AT，若R_B$ \subseteq $R_D，称B→D是一个依赖。

定理7 设m∈B$ \subseteq $AT，若满足下述条件：

定理4 则m∈Core(B)成立。

证明 假设m∉Core(B)成立。有如下结论：

进而由(B-m)⁺⁺=B⁺⁺即得

又(B-m)$ \subseteq $L⇔(B-m)⁺⁺$ \subseteq $L且B$ \subseteq $L⇔B⁺⁺$ \subseteq $L，故

定理8 设C$ \subseteq $B$ \subseteq $AT，若C是满足下述条件的最小属性子集：

则C是B的一个约简。

证明 基于定理6，由上述条件即得B⁺⁺=C⁺⁺，进而有

在表 2中所示的集值信息系统中，当B={a,b,c,d}时，依据上述定理，并参照表 5中的包含关系，我们不难发现{a,d}和{b,c,d}是B的约简，Core(B)={d}；而当B={a,b,c}时，{a}和{b,c}是B的约简，Core(B)=∅。为便于表示，表 5中的任意属性子集{m₁,m₂,…,m_n}简化为m₁m₂… m_n。

定理9 设B,D$ \subseteq $AT，若满足条件：

证明 由条件可知：

一个信息系统中往往包含着大量的冗余依赖，例如，当D$ \subseteq $B时，B→D是绝对冗余的；当B₁$ \subseteq $B₂且D₂$ \subseteq $D₁时，由B₁→D₁可以推导出B₂→D₂，即B₂→D₂是相对冗余的。在表 2中，去掉上述冗余依赖后，一个规模较小的依赖集如表 6。在表 6中，m₁m₂…m_n表示集合{m₁,m₂,…,m_n}。

我们知道，二元关系是粗糙集的核心要素，而概念格本质上又是一种以二元关系为研究对象的数学工具，因此将概念格融入到粗糙集研究中，必将有助于拓展粗糙集的分析能力。本文尝试将概念格中的概念思维、格代数结构、伽罗瓦连接等引入到集值信息系统中，重点探讨了基于相容关系的粒化模型和集值系统中的格代数结构，该代数结构可以将论域中的所有覆盖以格的形式有机结织起来。此外，本文还探讨了集值信息系统中的约简、核等问题。理论推理和实例验证揭示了本文结论的合理性和有效性。本文从概念格视角提出了集值信息系统中的知识获取方法，有助于人们深入理解粗糙集理论，也有助于揭示两种理论之间的紧密联系。相关研究内容仍将是我们下一阶段的研究重点。