六足机器人具有稳定的机械结构、灵活多变的行走方式，适合在复杂环境下工作，被广泛应用于灾后探测、环境勘测等工作中。大量研究表明，昆虫及其他生物的节律步态，是根据生物神经节律控制机理产生的一种自激振荡、相位互锁的运动模式，由位于生物低级神经中枢的中枢模式发生器(central pattern generator,CPG)产生的信号控制^[1-2]。CPG已被广泛应用于机器鱼、机器海龟、机器果蝇等机器人控制领域^[3-5]。与传统的基于模型的机器人控制方法相比，CPG不需要对机器人本体和环境进行建模，不依赖于外部反馈和高层命令而产生稳定的节律运动，可适应非结构化环境，具有运动模式多样、耦合性强、自适应性强等优点。

根据不同的应用环境，CPG模型被分为不同类型^[2]，如生物神经元模型、半中心模型、耦合振荡器模型等。常见的主要是半中心模型和耦合振荡器模型。半中心模型是模拟伸肌和屈肌的交替运动。根据半中心模型思想，Matsuoka对漏极积分器进行改进，加入模拟神经元适应特性的疲劳项，构成Matsuoka神经振荡器^[3]。基于Matsuoka振荡器模型，Kimura等^[4]在CPG中加入传感器反馈，采用2个相互抑制的屈肌和伸肌神经元构成了Kimura模型，提高了四足机器人运动的稳定性，但存在控制算法复杂，参数难调节等缺点。耦合振荡器模型由非线性振荡器组成，模型参数直接对应输出曲线的物理含义，实现幅值、频率等参数可调，便于控制。常见的有Kuramoto振荡器模型、Hopf振荡器模型、Wilson-Cowan振荡器模型等^[6-7]。A. J. Ijspeert团队^[8]将非线性振荡器应用在两栖蝾螈机器人上，实现了机器人游泳和步行运动。

本文仿生对象是蚂蚁。首先参考蚂蚁的腿部结构比例，进行单腿正运动学分析，设计六足机器人。其次，采用L. Righetti和A. J. Ijspeert的改进Hopf非线性振荡器构建CPG模型^[9]，构建环形网络拓扑结构。然后设计膝踝映射函数，减少振荡器数量，优化了CPG网络结构；通过Matlab仿真得到关节角度；最后在六足机器人上进行实物验证。

1 六足机器人的基本机构及步态 1.1 六足机器人机构

本文设计的六足仿生机器人分为躯干和肢体两部分，仿生对象为蚂蚁。肢体设计参考了非洲红火蚁的腿部结构比例，如图 1所示，蚂蚁的腿部主要由基节、股节、胫节及跗节等组成。通过观察发现，蚂蚁的腿部自由度较多。为简化设计，六足机器人每条腿3个自由度，分别为髋关节、膝关节和踝关节，对应蚂蚁腿部分别是基关节、基-股关节、股-胫关节。其中，机器人的膝关节和踝关节转轴与地面平行，髋关节转轴与另外2个关节垂直，髋关节控制单腿的水平方向的横摆。

根据仿生蚂蚁腿部结构及机器人学原理，对六足机器人进行运动学建模。图 2为六足机器人机构坐标系，图 2(a)中c为机器人躯干质心坐标原点，定义∑c表示机器人躯干质心坐标系，z_c沿垂直身体向上，x_c沿身体横向方向，y_c坐标轴通过右手螺旋定则确定，为躯体轴线前进方向。o_mi为m腿i关节中心坐标原点，用∑o_mi表示其关节坐标系，∑o_m0表示机器人腿部基坐标系。图 2(b)中，m=1,2，…，6为机器人腿序号，i=1,2,3为腿部关节序号，分别表示髋关节、膝关节和踝关节，i=4时表示机器人足端，z_mi为沿关节旋转方向坐标轴，x_mi为沿连杆轴线方向坐标轴。L₁、L₂、L₃分别为基节、股节、胫节长度。

1.2 正运动学分析

根据齐次坐标变换原理，通过齐次变换，可将机器人腿部基准坐标系∑o_m0变换到躯干质心坐标系∑c中，变换矩阵^cT _omo为

式中：(x_om0,y_om0,z_om0)为机器人腿部基坐标系到躯干质心坐标系的平移坐标值，φ为腿部基坐标系∑o_m0到躯干质心坐标系∑c变换绕z轴的旋转角度。将表 1中参数带入式(1)中，可以求得机器人腿部基坐标系与躯干质心坐标系之间的关系。

机器人右侧腿部机构D-H参数如表 2所示，θ_i表示第i个关节的转动角度。左侧腿D-H参数，除α₁=-π/2，其他参数与右侧腿一致，均保持不变。

根据D-H坐标变换法^[10]，机器人足端点坐标系∑o_m4在躯干质心坐标系∑c中的位姿为

可求得右侧腿的运动学正解为

左侧腿的运动学正解为

1.3 六足机器人三角步态描述

步态指机器人的每条腿按一定顺序和轨迹的运动形式，包括通过调整迈步顺序和频率来调整身体的位姿^[11]。

步态周期T为机器人完成一次完整步态所需要的时间。机器人单腿的迈步幅度称为步长。占空比为单腿在一个步态周期内，处于支撑相的时间在整个步态周期中所占比例，用字母γ表示。

六足机器人步态通常按照与地面接触脚的数目来划分。常见有三角步态、跟导步态和波动步态。三角步态是昆虫稳定行走时速度最快的一种步态。图 3为一个步行周期内六足机器人的三角步态支撑相与摆动相示意图。白色表示摆动相，黑色阴影表示支撑相，腿1、腿3、腿5为一组，腿2、腿4、腿6为一组，同组腿相位相同，异组腿相位相差π。机器人行走时占空比分为3种情形：1)γ=0.5，即每条腿的支撑与摆动时间相等，一组腿支撑，另一组腿摆动(见图 3(a))；2)γ>0.5，即每条腿支撑时间大于摆动时间，6条腿出现同时着地的情况(见图 3(b))，此种情况下，机器人稳定性较高，但速度较慢；3)γ＜0.5，即每条腿支撑时间小于摆动相时间，6条腿出现同时悬空状况(见图 3(c))，显然，这一情况机器人速度快但稳定性欠佳。占空比对爬行速度有直接影响。本文选择占空比为0.5的三角步态作为研究对象。

2 CPG振荡器网络模型与仿真 2.1 CPG振荡器模型

中枢模式发生器(central pattern generator,CPG)是一种离散神经网络，能够产生复杂的高维信号控制动物的节律运动^[12]。机器人学上，CPG通常被看作耦合动态系统，即非线性振荡器模型。CPG神经元的自发振动性与传统的机械振动类似，是通过采用互相连接的单个或者多个非线性振荡器来模拟CPG产生信号。其中非线性振荡器都有极限环，若极限环稳定，系统中所有的轨迹都会接近该极限环，这样即使系统中有小的扰动，系统也能回到稳定状态。

Hopf振荡器存在一个稳定的极限环，邻域中的轨线都螺旋趋近该极限环，具有很好的稳定性。与传统Hopf振荡器相比，本文采用改进的Hopf振荡器作为机器人信号发生器，不仅可以实现幅值频率可调，还可以独立调节支撑相与摆动相的相位关系，易于实现六足机器人腿部控制。其数学模型为

式中：振幅为$\sqrt{\mu }$，频率为ω，ω_stance与ω_swing分别表示支撑相和摆动相的频率，b是一个较大的正值，保证振荡器的频率在支撑相与摆动相之间能取到不同的值；α>0、β>0控制极限环收敛速度，其值越大，收敛越快；x和y是振荡器的2个状态变量，规定y的输出作为振荡器信号的输出。

令x=rcosφ，y=rsinφ，γ=ωt，极坐标形式为r·=r(μ-r²)

如图 4(a)所示，当μ≤0时，系统有唯一的渐近稳定焦点(0,0)；当μ≥0时，系统在μ=0发生突变，(0,0)成为不稳定焦点，出现Hopf分岔，并且系统存在一个稳定的极限环r=μ。利用μ>0时系统的极限环特性实现CPG的振荡输出。图 4(b)为不同初值下Hopf振荡器状态变量x与y的相平面图，黑点表示初值。从图中看出，无论初值大小，除(0,0)奇点外，Hopf极限环都是稳定的。通过控制输出的上升和下降时间，可以控制支撑相和摆动相的相位时间，这里取ω_swing=3ω_stance，μ=1，输出波形如图 4(c)所示。

由图 4(c)可见，该振荡器能自发地产生稳定的周期振荡信号，方便调节上升和下降时间，从而很好地模拟了生物系统中的CPG神经元。

要实现六足机器人腿部之间的协调运动，需要振荡器的相互耦合，保证运动的同步性与协调性。耦合关系为

将式(10)与式(6)对比，式(10)中加入了多项式δ·$\sum\limits_{j}{{}}$Δ_ji，δ表示振荡器之间耦合强度，θ_jⁱ表示第i个振荡器与第j个振荡器之间的相位差。取ω_stance= ω_swing，收敛系数α=β=1，通过设定不同的相位差θ₂¹，其值分别取0、π/4、π/2、π，可以得到第1个和第2个振荡器的输出曲线，如图 5所示。

2.2 环形CPG网络模型构建

六足机器人的CPG网络拓扑结构由6个CPG单元构成，每个CPG单元对应六足机器人的一条腿，由Hopf振荡器组成。采用加权有向图构成网状结构，6个CPG单元作为有向图的6个顶点，相邻顶点之间采用全对称的双向连接。CPG网络拓扑结构如图 6所示，在三角步态下，将腿分成｛1，3，5｝和｛2，4，6｝两组。同组腿相位相同，异组腿相位相反。

2.3 关节轨迹设计方案

六足机器人行走过程中，单腿关节角度具有如下规律：1)摆动相时，腿向前摆，髋关节角度增大，膝关节先正转再反转回到平衡位置，膝关节角度先增大后减小，踝关节转角与膝关节变化规律相同；2)支撑相时，腿后摆，髋关节角度减小，膝关节与踝关节角度几乎保持不变。

机器人有6条腿18个关节，如果每个关节都采用1个振荡器，需要18个振荡器，会使CPG网络过于复杂，非线性微分方程阶数过高，不利于CPG网络的参数优化和求解。

机器人在运动过程中，各关节之间相互配合，具有一定联系。为了简化模型结构，采用膝踝映射函数，根据踝关节的转角得到膝关节的转角。单腿CPG控制规律如下：1个CPG单元对应2个Hopf振荡器，输出信号相互耦合，分别控制髋关节、踝关节，膝关节信号通过膝踝映射函数得到。图 7为2个Hopf振荡器生成的髋关节与踝关节的相位关系，其中y₁为髋关节控制信号，y₂为踝关节控制信号，调节两者频率值比为1:2，且两者保持固定的相位差。

选取CPG模型髋关节输出曲线上升沿作为机器人摆动相，下降沿作为支撑相。根据机器人腿部摆动规律，对踝关节输出进行调整，在支撑相时调节参数，使踝关节输出趋向于零，符合实际规律。值得注意，两个振荡器耦合系数δ的取值会影响支撑相踝关节起始和末尾零值。当δ>1时，踝关节输出曲线振荡不符合正弦函数；当δ=0.35时，如图 8，踝关节输出y₂₁支撑相起始和结束位置数值有跳变；当δ=0.01时，踝关节输出y₂₂支撑相基本趋于零值，关节输出平滑且趋于零。

根据膝关节、踝关节的关节角度变化规律，将踝关节角度映射得到膝关节角度曲线，实现踝膝关节的耦合。单腿各个关节角度函数定义为

式中：k为比例系数，b为常数。调节k₀、k₁、k₂、b₁、b₂使振荡器输出为髋关节、踝关节角度值。k₃、k₄、b₃、b₄为膝踝映射函数参数，参数b₃、b₄控制膝关节摆动幅度。

结合六足机器人机构参数，取k₀=0.8,k₁=0.78,b₁=1.01,k₂=0,b₂=0,k₃=0.78,b₃=π/2,k₄=0,b₄=π/2。为了区分不同腿的不同关节角度，对每条腿的每个关节角度进行定义：用θ_ij表示，其中i表示腿的序号(i=1,2,3,4,5,6)，j=1表示髋关节，j=2表示踝关节，j=3表示膝关节。图 9为三角步态下两条腿关节角度输出曲线，其中组｛1,3,5｝摆动角度用实线表示，以腿1作为示例；组｛2,4,6｝摆动角度用虚线表示，以腿2作为示例。两者相位相差为π。

根据前文正运动学分析，由机器人对应时刻各关节角度，可求出六足机器人足端位置轨迹，从而推出六足机器人三角步态下的理论步长。图 10所示，点A₁、A₂、A₃为机器人腿1在摆动相初始时刻髋关节、膝关节、踝关节角度，点B₁、B₂、B₃为机器人腿1在摆动相结束时刻髋关节、膝关节、踝关节角度，A₁=-0.796，A₂=0.004，A₃=1.58，B₁=0.804，B₂=0.008，B₃=1.58，带入(4)式，求得六足机器人理论步长为17.25 cm。

3 实物样机验证

为验证基于Hopf振荡器的六足机器人步态调节算法的有效性，本文搭建了六足机器人实验平台。六足机器人样机采用KST X20-8.4-50伺服舵机驱动，控制器为Arduino USB 32路伺服舵机控制器。主要包括显示模块、无线通讯模块、MPU6050模块、舵机控制模块。设计仿照六足蚂蚁的腿部比例，表 3为六足机器人主要参数。其中，基节L₁长度为髋关节到膝关节轴线距离；股节L₂为膝关节到踝关节轴线距离；胫节L₃为踝关节到足端的轴线距离。

图 11为六足机器人三角步态行走实验。实验平台上，每个短黑线间隔为20 m，样机搭载液晶显示，显示当前步态类型、振荡器预设参数。实验结果表明，机器人运动平稳，步态协调。经测量，六足机器人实际步长约为13.2 m,平均速度为6.45 m/s,100 m内直线运动略向左侧平移4 m。机器人行走步长与理论步长有一定偏差，原因主要由于机构设计髋关节预留空间不足，实际行走未达到理论角度，实验中为避免关节发生碰撞，实际髋关节摆动范围约为[-π/6,π/6]。

4 结论

本文设计了一种六足机器人节律运动CPG模型，仿真和实验表明：

1) 加入膝踝映射函数，可实现对六足机器人关节节律运动设计，简化CPG耦合网络模型；

2) 本文设计的关节映射函数参数合适，关节运动之间的相位关系合理；

3) 本文设计的CPG网络能够稳定的生成机器人的运动关节角度，输出结果较好的符合六足机器人三角步态的相位要求。

下一步将利用Hopf振荡器相位可调优点，进行六足机器人步态转换研究，实现更复杂灵活的动作。