雷达成像是一种全天时、全天候的主动信息获取手段，然而受奈奎斯特采样准则的限制，传统基于匹配滤波的高分辨雷达成像面临高数据率的问题，这就需要研究出低奈奎斯特采样下的非完全观测数据处理方法^[1]，除此之外，复杂电磁环境下雷达多功能、多任务以及抗干扰特点，都会不可避免地产生非完全观测数据，这也进一步要求雷达成像方法具有非完全数据的的处理能力^{[2, 3]}。目前，压缩感知技术使得非完全观测数据下的稀疏信息恢复成为可能^[4]。由于它能够满足雷达成像中处理非完全数据的需求，因此结合了压缩感知技术和雷达成像技术的压缩感知雷达成像方法成为近年来人们研究的热点^{[5, 6, 7]}。通常情况下，压缩感知雷达成像方法不仅能够降低雷达成像的数据率，同时还能够提高雷达成像的质量，这使它得到迅猛的发展。不过，压缩感知雷达成像的实现是以目标具有稀疏性作为前提的，实际上，在雷达成像中对于某些特殊场景如海面舰船目标等来说，该前提是自然成立的，到目前为止，针对压缩感知雷达成像问题，研究者们进行了大量卓有成效的研究，其中，文献^{[7, 8, 9, 10]}给出了基于精确观测模型的压缩感知雷达成像方法，虽然这些方法能够大幅提高雷达成像的质量，但是由于雷达成像中距离向与方位向的耦合，使得观测矩阵过于庞大，成像过程将面临大存储量和高计算量，这使得这些压缩感知雷达成像方法难于实现，在此基础上，文献^{[11, 12]}给出了基于近似观测模型的压缩感知雷达成像方法，这类方法使用距离多普勒算子或是线调频变标算子来获得近似的观测矩阵，利用迭代收缩阈值(iterative shrinkage thresholding,IST)算法实现雷达成像，得益于传统成像算法的解耦合操作，距离向和方位向操作可以分开处理，从而有效地降低压缩感知雷达成像单步迭代的计算量。这使得压缩感知雷达成像的效率明显提高，然而值得注意的是：压缩感知雷达成像的运算量不仅与单步迭代的计算量有关，而且与具体的算法选择也存在一定的关系，受IST算法收敛慢的影响，这类方法的总体计算量依然十分可观。实际上，为了解决IST算法收敛慢的问题，文献^{[13, 14, 15]}给出了基于置信传播理论的近似消息传递(approximate message passing,AMP)算法，它无论在收敛速度和恢复质量以及算法评估方面都表现出比较独特的优势，非常适合大观测矩阵的压缩感知问题，然而如果将其应用到压缩感知雷达成像中，势必和其他迭代收缩类算法一样面临大观测矩阵带来的大存储量和大计算量问题。有鉴于此，本文给出一种结合近似观测模型和近似消息传递算法的新方法来实现压缩感知雷达成像，利用近似观测模型来降低单步迭代产生的计算量和存储量，利用近似消息传递算法来提高算法的收敛速度。

雷达成像中，雷达接收到的回波可以建模成发射的雷达波形与反射区域目标分布的二维卷积，对于某一观测场景A，雷达经去载频后的回波为

式中：s(·)为去载频后的回波；x(u)表示场景中位于u处的散射点的散射系数；v表示天线的时间-空间位置；w(·)表示天线的加权；ι(·)为目标和天线位置决定的回波时延；p(·)为雷达波形中的基带信号；f为雷达载频；n(·)为观测噪声，一般情况下可以认为是高斯白噪声。离散化观测场景，同时对回波进行离散采样，可以获得雷达回波精确的离散观测模型如下：

式中：s∈C^N、n∈C^m分别表示离散回波和噪声；当X∈C^N_r×^N_a,Y∈C^m_r×^m_a分别表示二维离散的观测场景和二维离散回波矩阵时，y=vec(Y)∈C^m表示经采样后的回波向量，x=vec(X)∈C^N表示场景中各离散散射点组成的散射系数向量，vec(·)为向量化算子；Θ=Θ_a^TΘ_r∈C^m×N表示下采样矩阵，表示Kronecker 积，Θ_r和Θ_a分别表示距离向和方位向的下采样矩阵；Φ∈C^m×N为感知矩阵；H∈C^N×N为观测矩阵，它与式(1)中发射信号的波形有关。

实际上，雷达成像问题就是利用式(2)所示的精确观测模型，从离散回波中恢复观测场景的问题，当雷达场景为空域稀疏的场景时，雷达成像问题可以转化为式(4)所示的优化问题：

式中λ为正则化参数，它和目标稀疏性有关。上述问题被称作最小绝对收缩和变量选择(the least absolute shrinkage and selectionator operator,LASSO)问题，实现空域稀疏场景雷达成像的过程就是求解上述LASSO问题的过程。

如式(3)所示的LASSO问题实际上可以通过AMP算法来求解^[13]，AMP算法是一种通过置信传播理论来求取变量空间边缘概率密度分布的迭代算法，与一般的置信传播算法不同，AMP算法通过利用中心极限定理以及泰勒展开来进行近似，能够极大地降低消息传递所带来的计算量。通常情况下，一阶的近似消息传递算法可以使用式(4)所示的迭代过程来表示。

式中：x^t为目标场景的当前估计；z^t为当前的残差，γ^t为当前选取的软阈值；μ(x,γ)为软阈值算子；μ′(x,γ)为μ(x,γ)的一阶导数；δ是由观测模型决定的数据采样率。

近似消息传递算法的迭代过程与迭代收缩阈值算法大体相同，因此其单步迭代产生的计算量与IST算法相当^[12]。唯一不同在于AMP算法比IST算法多了一个软阈值算子的导数项(通常被称为Onsager项)，得益于Onsager项，AMP算法能够获得更高的收敛速度，同时其重建效果也要明显优于IST算法^[15]，因此它将更适合于实际中的雷达成像。

然而，值得注意的是，式(4)中的感知矩阵Φ依赖于如式(2)所示的精确观测模型，距离向和方位向的耦合使得它的规模极其庞大，这使得如式(4)所示AMP算法雷达成像面临高存储量大计算量的问题，物理实现将非常困难。

通常情况下，典型的雷达成像算法如距离多普勒算法、线调频变标算法等利用去耦合措施，能够有效地解决高存储量和大计算量问题；同时，在复杂场景的雷达回波的仿真中，利用逆线调频变标算子来构造回波能够有效降低计算量。鉴于此，本文试图通过逆线调频变标算子来近似回波，同时结合采样矩阵的Kronecker积形式，以期解决AMP算法在压缩感知成像中遇到的高存储量大计算量问题。由逆线调频变标算法可知，式(2)所示观测矩阵H可以使用式(5)所示逆线调频变标算子来近似表示^[16]。

式中：F_a，F_r∈C^N×N分别为方位向和距离向傅里叶变换矩阵，它们都可以表示为DFT矩阵与单位矩阵的Kronecker积；对角矩阵P₁、P₂、P₃∈C^N×N为逆线调频变标过程中各步骤进行相位补偿的相位矩阵。因此，与观测矩阵有关的矩阵向量乘积可以表示为如下的形式：

式中：T_CS(·)和T_ICS(·)分别表示线调频变标算子和逆线调频变标算子；X、Y分别表示二维离散的观测场景和二维离散回波矩阵。因此，使用近似观测模型的雷达成像可以转化为如式(7)所示的优化问题：

当雷达场景由少数强散射点构成时，X可以认为是一个具有空域稀疏性的稀疏信号，因此可以认为目标服从拉普拉斯分布^[17]，同时，不失一般性，观测噪声可以认为服从高斯分布，即

式中：(·)_i表示矩阵的第i个元素；β为常数。此时可以构造如式(9)所示后验分布来解决式(7)所示的优化问题。

式中Z为该分布的归一化常数。当β→∞时，上述分布将在式(7)所示的稀疏解处聚集。这就意味着只要能够求取上述分布的边缘概率密度分布，即可获得式(7)所示优化问题的稀疏解，因此该雷达成像问题的求解过程实际上就是β→∞时式(10)所示分布边缘概率密度分布的求解过程。虽然精确的求取上述分布的边缘概率密度分布非常困难，但是通过置信传播理论可以获得该边缘概率密度分布的近似结果。

为了利用置信传播理论来求解边缘概率密度分布，首先需要以X₁，X₂，…,X_N作为变量节点，以Y₁,Y₂,…,Y_m作为因子节点，以任意变量节点和因子节点之间的关系作为边构造双向因子图，然后可以通过下述的和-积形式的置信传播理论来求取相应的边缘概率密度分布：

式中：N(i)表示与节点i相邻的节点的集合，N(i)＼j表示除节点j以外与节点i相邻的节点的集合，X_－i表示除了X_i以外的所有变量节点，m_i→j(X_i)和m_j→i(X_i)为节点之间传递的消息。则如式(9)所示分布的边缘概率密度分布可以表示为

通过假设m_j→i(X_i)表征变量的三阶矩有界，可知m_j→i(X_i)可以使用高斯分布进行近似，而m_i→j(X_i)可以近似认为具有高斯分布与拉普拉斯分布的乘积形式，当β→∞时，通过一阶近似，基于近似观测模型的置信传播算法可以通过下面的迭代过程来实现，本文将该新算法称作基于近似观测模型的AMP算法。

式中：μ(a,b)表示软阈值算子，μ′(a,b)为其一阶导数；δ=m/N表示数据采样率；〈·〉为求取均值。上述算法流程可以正式描述如下：

当t=0,初始化设置X⁰=0；Z⁰=Y。

当t≥1; 执行以下主迭代步骤：

1) 使用逆线调频变标算子计算Gamma项。

2) 对执行软阈值操作获得更新的场景X^t。

3)使用线调频变标算子计算残差Z^t。

4)更新软阈值算子的阈值。

当t>t_max或误差小于一定阈值停止，否则继续迭代。

第t步迭代后输出X^t。

下面将主要从算法收敛速度和单步迭代计算量两方面来考察新提出算法的性能，为了便于表述，下文中将基于近似观测模型的AMP算法称作AAMP(approximated model approximate message passing)算法，将文献^[11]中的算法称作AIST(approximated model iterative shrinkage thresholding)算法。

首先考察新算法收敛速度，由式(12)可知，AAMP算法与AMP算法具有相同的算法结构，因此其收敛速度将与AMP算法相当，其收敛速度将由式(13)决定^[13]。

式中：b为常数。X^*为真实场景。与此形成对比的是，AIST算法与IST算法具有相同的算法结构，它们的收敛速度也将相当，当将式(7)写成如下形式时：

在使用文献^[18]中的加速方法的前提下，其收敛速度将受式(15)限制：

式中C为常数。

由式(13)和(15)可知，AAMP算法以指数形式收敛，而AIST算法以二次形式收敛，因此通常情况下，相对于AIST算法AAMP算法在收敛速度方面将具有明显的优势，其次考察新算法单步迭代的计算复杂度，不失一般性，可以使用二维可分离观测进行统计。易知AAMP算法单步迭代计算量主要来源于迭代过程中的线调频变标和逆线调频变标操作，很显然其单步迭代计算量可以近似表示为

20Nlog₂N+36N+4m+16(mN_a+m_rN)

而与此形成对比，AIST算法的单步迭代计算量为

20Nlog₂N+36N+16(mN_a+m_rN)

因为它们计算量之间的差别不大，可以认为它们的单步迭代计算量相当。

综上所述，相对于目前最为优秀的AIST算法，AAMP算法在保证不增加单步迭代计算量的同时，具有更高的收敛速度，从整体上来说，其计算复杂度将更小。

本文通过以下4组实验来评估AAMP算法在非完全数据下的成像效果以及收敛速度等方面的性能。第1组实验中给出了无噪声情况下单点目标成像效果，分别使用了距离多普勒(range Doppler,RD)算法、线调频变标(chirp scaling,CS)算法以及AAMP算法对10%观测情况下的数据进行成像，并与完全数据情况下的CS算法成像结果进行了对比，实验结果如图 1所示。

图 1 单点目标成像结果 Fig. 1 Point target imaging results

图选项

从图中可以看出，AAMP算法能够很好地实现非完全数据下的稀疏场景成像，即使是在10%观测数据的情况下依然能够很好地恢复目标，同时可以看到，受非完全观测的影响，传统的成像算法在真实目标周围出现了一些波动的旁瓣，而AAMP算法却能够很好地抑制掉这部分旁瓣。图 2给出了图 1成像结果在距离向和方位向上的剖面。

图 2 单点目标成像距离方位向剖面 Fig. 2 Range section and azimuth section of point target

图选项

从图中可以看出，在非完全数据情况下，新方法的旁瓣在整体上要低于使用传统CS算法的雷达成像方法，其旁瓣性能甚至要优于完全数据情况下的CS算法雷达成像方法。为了进一步定量比较各算法旁瓣抑制方面的性能，表 1给出了非完全数据下RD算法、CS算法以及AAMP算法成像结果的目标背景比(target background rate,TBR)，其中TBR的定义为^[11]

式中：i_i为成像结果的第i个像素的幅值，I_t为所有目标像素组成的集合，I_b为所有背景像素组成的集合。从表中可以看出，AAMP算法在TBR上要明显高于传统的成像算法，这也进一步反应出相对于传统的成像方法AAMP具有更好的旁瓣抑制能力。

为进一步验证AAMP算法在噪声存在下的成像性能，第2个实验中给出点目标在40%观测数据下，CS算法、AIST算法和AAMP算法的成像结果，表 2中给出了不同信噪比下各成像算法成像结果的目标背景比。从表中可以看出，随着信噪比的降低，各算法的TBR值都有所降低，然而，无论在哪种信噪比下，AAMP算法的TBR值都要远远高于传统的CS算法，其值与AIST算法相当。

由上面2个实验可以看出，无论在有噪声和无噪声的情况下，AAMP算法成像性能都与AIST算法相当，同时，相对于传统的成像算法，它们在旁瓣抑制上表现更好的性能，其目标背景比要远远高于传统的CS算法。

为了进一步验证AAMP算法在非单点目标情况下的成像性能，第3个实验中给出了RADARSAT-1数据中舰船目标20%观测数据的成像结果，实验结果如图 3所示。从图中可以看出AAMP算法在复杂目标情况下同样表现出了良好的非完全目标复原能力，同时可以看到AAMP算法成像结果目标更加集中，这表明在复杂场景下该算法在旁瓣抑制性能方面依然具有一定的优势。

图 3 RADARSAT-1数据数据成像结果 Fig. 3 RADARSAT-1 data imaging results

图选项

最后一个实验考虑了AAMP算法的单步迭代计算量以及算法收敛速度方面的性能，实验结果如图 4所示。从图中可以看出，AAMP的单步迭代计算量要明显低于AMP算法，实际上由式(12)分析可知其单步迭代计算量与AIST算法相当，但是从图 4(b)中可以看出新提出的AAMP算法的收敛速度要明显优于AIST方法，AAMP算法在10~20步以内即可实现算法收敛，而AIST算法需要40~50步。因此从总体上来看，AAMP算法的计算量要远远低于AIST算法。

图 4 计算量与收敛速度 Fig. 4 Computational complexity and convergence rate

图选项

本文给出了一种基于近似观测模型的近似消息传递算法，通过结合近似观测模型和消息传递算法，有效地降低了压缩感知雷达成像的计算量，理论分析和仿真实验表明，新提出的方法不仅能够有效实现单点目标的非完全观测情况下的成像，同时对复杂目标同样具有非完全观测下的稀疏场景复原能力。同时在非完全观测情况下的雷达成像中，相对于传统方法，新方法具有更好的旁瓣性能。此外，新提出的方法的单步迭代计算量要明显低于使用精确观测模型的消息传递算法，与AIST算法相当，同时其收敛速度要明显高于AIST算法，因此整体计算量更小。此外，本文算法在性能上也有进一步提升的空间，在后续的研究中可以通过结合目标场景的结构化稀疏信息来进一步的提升算法的性能。