近年来，对小型无人驾驶飞行器(micro air vehicle,MAV)和微型无人驾驶飞行器的设计和研究有了飞速的发展，特别随着微机电系统(micro-electro-mechanical system,MEMS)的发展，小型无人驾驶飞行器更具有吸引力^[1]。MAV当前主要包括固定翼、扑翼和微型旋翼3种形式。其中四旋翼飞行器由4个螺旋桨对称分布，静态盘旋的稳定性更好，更容易实现机型的微小型化。由于其起降和自由悬停的特点，特别适合在近地面环境中执行军事、民事等任务(如航拍摄影、环境监测和灾情巡查等)。然而四旋翼飞行器系统作为一个复杂的非线性系统，它的输入变量和输出变量之间具有强耦合性。系统本身的不确定性及外部的干扰，会给系统的控制带来很大的问题。因此需要设计一种合理的控制策略。

在四旋翼飞行器的控制研究中，反演设计方法得到了越来越多的国内外研究机构和高校的重视。近十几年来，反演设计方法作为非线性反馈控制系统的一种递归设计方法，已经成为不确定非线性系统控制的有效方法之一。传统的反演设计方法基本原理是将复杂的非线性系统分解为简单的子系统，然后从系统输出开始为每个子系统设计李雅普诺夫函数和虚拟控制量^[2]。此反演设计过程清晰、系统化、结构化、易于实现，但也有潜在的问题，推导出的表达式复杂，抗干扰性不强^[3]。

本文结合四旋翼飞行器控制系统自身的特点对传统的反演控制系统进行改进，运用自适应控制律引入积分项，补偿由模型简化引起的模型误差。由于四旋翼飞行器姿态控制是整个控制系统的基础，机体位置的变化都是由姿态变化引起的，本文重点将所设计的控制器运用到姿态稳定控制当中。

本文目的是设计四旋翼姿态控制器，因此只建立四旋翼姿态运动模型。由图 1可以看出四旋翼飞行器的4只螺旋桨是对称分布的，其中I号和III号螺旋桨在电机驱动下逆时针转动，II号和IV号螺旋桨顺时针转动，这样可将每个螺旋桨所产生的反扭矩抵消掉^[4]。

图 1 四旋翼飞行器动力学示意 Fig. 1 Schematic diagram of quadrotor aircraft dynamics

图选项

首先定义基本的坐标系和相应的表示符号，如图 1。机体坐标系(X_b,Y_b,Z_b)是原点在四旋翼重心的右手直角正交系统，用于确定飞行器在空中的姿势。四旋翼的飞行姿态由3个欧拉角描述Φ={φ,θ,Ψ}。

当四旋翼无人机在无风及慢速飞行的情况下，先忽略阻力系数对四旋翼飞行器的影响，根据牛顿运动定理和欧拉方程，四旋翼姿态变化所受力矩和表述为向量形式，具体展开为

根据欧拉角与机体坐标系角速度间关系^[5]:

由式(1)~(5)可得机体的简化模型为

反演控制器的设计过程是通过逐步构造中间量z_i=x_i－x_i－1^v完成的，其中x_i－1^v是第i－1步的虚拟控制量，最后的虚拟控制量x_n^v是施加于系统实际控制量u的一部分^[6]。

本文姿态控制器采用反演设计方法，为进行系统设计，对系统进行必要的假设。

假设1 输入指令x_d及其n阶导数是存在且有界的^[7]。

假设2 外部扰动信号Δ是有界的，且上界Δ_v是未知的，|Δ|＜Δ_v。

为了方便起见，参考文献^{[8, 9]}将动力学模型公式转换成一阶空间表达式X=f(X,U)，其中状态量，控制量U=[U₁U₂U₃]。根据四旋翼数学模型可知，系统为欠驱动系统。它只有4个控制输入，姿态控制部分中横滚角、俯仰角和偏航角3个自由度为受控变量。为了更简单有效控制，将姿态控制回路划分为3个二阶控制器，分别是横滚角、俯仰角、偏航角控制3个通道。

针对四旋翼姿态数学模型，下面以一个横滚角φ控制器为例，忽略外部扰动信号Δ，设计反演控制器为

首先设置目标值与实际值之差：

根据李雅普诺夫相关理论，选取正定且一阶导数半负定的李雅普诺夫函数V(z₁)^[10]:

选取一个虚拟量x₁^v，使z₁稳定：

选取二阶李雅普诺夫函数^{[11, 12, 13]}：

令，则结合式(7)~(15)可得

由李雅普诺夫函数可知，通过上述设计步骤得到的闭环系统渐近稳定。将俯仰角变量代入和偏航角变量代入，按上述相似步骤便可得控制量U₂,U₃。这2个通道控制器的设计过程与此类似，设计过程就不再赘述，只给出了最后得出的反演控制律：

针对通常反演控制器不具备自适应能力，且由于外部扰动和系统模型的不确定性，控制效果有时可能不理想，提出将自适应控制的相关理论与反演控制相结合，设计出一种自适应反演控制器，引入积分项，将此控制器应用在对四旋翼飞行器的控制上。

同样以横滚角φ为例，将姿态角子系统的动力学方程(7)写为二阶一般形式：

定义横滚角跟踪误差，给出一个横滚角参考信号y_r，以角速度v_ref为虚拟控制输入^{[14 ,15]}：

角速度跟踪误差为

选择李雅普诺夫函数：

引入积分项后，扩展的李雅普诺夫函数为

由于不知道Γ的真实值，利用估计值代替，设计自适应控制律如下：

再次使用李雅普诺夫函数，扩展参数估计误差，构造系统控制的自适应律：

通过式(22)和(23)，最终得到横滚角φ的自适应控制输入表示为

由以上分析可知，式(6)描述的四旋翼飞行器姿态控制数学模型在自适应反演控制律式(24)的作用下，能够跟踪误差达到全局渐进稳定状态^[16]。同理，俯仰角θ和偏航角Ψ的自适应律设计也有相似的过程，在此不再赘述。

为验证所设计方法的有效性，在MATLAB中搭建了四旋翼飞行器的仿真模型并进行2组实验。令四旋翼的初始状态为x₁=[1 1 1]^T，控制的目的是使四旋翼最终稳定在原点，即x_d=[0 0 0]^T，。设置采样时间t=2 ms,γ₁=1，λ₁=1，参数估计的初值。仿真模型参数及控制器参数值见表 1。

首先检验算法对飞行器的姿态稳定控制效果，不考虑四旋翼模型中的未建模项和干扰项，设定参数得到自适应反演控制器3个姿态角响应仿真结果如图 2所示，观察可知四旋翼三姿态角能够在2 s内快速稳定地调整到平衡状态。

图 2 3通道姿态角响应控制效果 Fig. 2 Control effect of the attitude subsystem

图选项

图 3为四旋翼自适应反演控制器4个螺旋桨的旋转速度。由图 3可知当四旋翼稳定在悬停状态时，电机的转速大约为210 rad/s，该值小于电机的最大转速。

图 3 4个螺旋桨的旋转速度 Fig. 3 Rotate speed of rotors

图选项

为了检验所设计自适应积分反演控制器的鲁棒性，分析加入的积分项对于控制系统的性能影响，即λ₁=1，λ₂=1和无积分项，即λ₁=0，λ₂=0时的控制系统的响应性能，加入干扰信号，Δ=diag(3sin(πt),3sin(πt))，其他控制参数与上述相同。

仿真结果如图 4所示，积分项的引入提高了姿态角的跟踪精度。图 4为运用反演控制方法和改进的反演控制方法在基于Matlab-Simulink环境下，四旋翼飞行器的横滚角φ、俯仰角θ，偏航角Ψ的控制对比仿真结果，仿真的初始位置为φ=－0.07rad,θ=0.034rad,Ψ=0.016rad。

图 4 自适应积分与普通反演控制3个姿态角的响应曲线 Fig. 4 Sate parameters between adaptive integral back-stepping and back-stepping

图选项

控制期望的目标是在受干扰的情况下，四旋翼飞行器能迅速恢复至稳定的悬停(3个欧拉角度为零)的状态，即欧拉角φ,θ,Ψ由非零状态能够恢复到零状态的过程。

表 2为反演控制器和积分反演控制器的性能比较，由表 2可见，横滚角φ的控制中，Back-stepping方法控制的超调量为64%，而改进Back-stepping方法控制的超调量仅为3.2%，前者是后者的20倍；前者的上升时间5 s是后者2.4 s的2.1倍。俯仰角θ和偏航角Ψ也有类似的规律。可见，在系统受到外界扰动情况下，改进的积分反演控制系统的效果优于反演控制系统。这主要是由于积分项的引入，补偿了由模型简化引起误差，保证了在模型参数不确定的情况下的全局稳定性，使得系统的抗外部干扰性和鲁棒性大大增强。

图 5为四旋翼飞行器的基本三维飞行轨迹图，起始位置[x₀y₀z₀]=[0 0 0]，目标位置为[x_dy_dz_d]=[1 1 1]，实验验证了四旋翼飞行器能够实现稳定的飞行，并保持在悬停状态。

图 5 三维飞行轨迹 Fig. 5 The three-dimensional trajectory

图选项

针对四旋翼飞行器姿态控制建模困难、易受外界干扰的问题，在传统反演法的基础上加入积分环节，设计了自适应积分反演控制器，有效提高了控制器的鲁棒性，并通过稳定控制实验和存在干扰情况2组仿真实验验证了自适应积分反演控制器的有效性和对外部干扰信号的抑制作用。