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2. 哈尔滨船舶锅炉涡轮机研究所, 黑龙江 哈尔滨 150036
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2. Harbin Marine Boiler and Turbine Research Institute, Harbin 150036, China
智能投球机器人是一个由微处理器控制，集环境感知、避障、行走、投球等功能于一体的智能机器人。对于投球机器人来说，运动控制的目的就是使之能精确并且快速地实现机械臂转角运动。传统的机器人运动控制常采用PID控制器[1]。由于各种干扰因素，机器人的运动具有时变、非线性、干扰大和不确定等特性，传统的PID控制器已不能达到较好的控制效果[2]。近几年,机器人智能控制在理论和应用方面都取得较大的进展[3]。在模糊控制方面，由J. J. Buckley等论证了模糊系统的逼近特性[4]，E. H. Mamdan首次将模糊理论运用于一台实际机器人，使模糊控制技术在机器人中的应用得以展现[5]。文献[6]针对移动机器人在传统控制器控制下自主运动时出现的不稳定状况，将模糊控制策略引入移动机器人运动控制系统中。通过分析比较不同的控制方法，设计了由速度误差率和速度误差变化率为输入、电机输出功率为输出的双输入单输出模糊逻辑控制器。文献[7]模仿人工预瞄驾驶行为,提出了移动机器人运动控制的模糊控制方法,实验表明,该模糊控制方法可保证移动机器人快速、准确地沿着各种参考轨迹行走，且具有良好的鲁棒性。文献[8]在智能轮椅机器人中使用超声波的探测距离作为输入信号,经模糊控制技术处理后,输出机器人左右轮的转动速度来实现超声波避障。
本文首先对二连杆投球机器人进行运动学建模，然后在此基础上对机器人的控制方法进行了研究，通过PID和模糊PID2种控制方法，实现二连杆投球机器人运动轨迹的有效控制，用MATLAB软件进行仿真，并对仿真结果进行对比分析。
1 二连杆投球机器人的运动学建模 1.1 二连杆机械臂机械手臂是机器人重要构成部件。图 1为二杆机械臂结构图，其中θ1和θ2分别为关节1、2转角，l1和l2分别为第1、2根杆的长度，r1为关节1到第1根杆质心的距离，r2为关节2到第2根杆质心的距离，Mpl为负载质量。
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| 图 1 二连杆机械臂结构 Fig. 1 Dual-arm mechanical structure |
式(1)是二连杆机械臂的矢量方程，其中R1、R2是沿r1和r2方向上的矢量，Rpl为合成矢量。由于在二连杆机械臂中，各连杆的长度保持不变，但它们各自的方位却随机构的运动而改变，所以矢量方程对时间求导将闭环矢量方程分解成2个标量表达式，分别沿x、y方向分解。
对末端坐标进行积分得到末端速度方程：
对二连杆机械臂末端速度方程(3)~(4)进行求导得到末端加速度方程：
首先，对二连杆平面投球机器人的第1根连杆应用牛顿定律[11]，受力分析如图 2所示。
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| 图 2 第1根连杆受力分析 Fig. 2 The first arm force analysis |
图 2中，F01x、F21x分别代表第1根杆2端所受x方向的力，F01y、F21y分别代表第1根杆2端所受y方向的力，M1为第1根杆的质量，τ1、τ2分别为关节1和关节2的控制力矩。
由图 2可以推导出机械臂第1杆的运动方程：
其次，对二连杆机械臂的第2根连杆进行受力分析，如图 3所示。
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| 图 3 第2根连杆受力分析 Fig. 3 The second arm force analysis |
图 3中，F21x为第2根杆2端所受x方向的力，F21y为第2根杆2端所受y方向的力，M2为第2根杆的质量，F32x为第2根杆所受x方向的力，F32y为第2根杆所受y方向的力。第2根杆的3个运动方程为：
作用在机器人上的有效载荷的变化直接与2个连杆相联系，因此可将其与连杆一起表示，如图 4所示。其中F32x为末端所受x方向的力，F32y为末端所受y方向的力，Mplg为负载的质量。
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| 图 4 负载受力分析 Fig. 4 Load force analysis |
有效载荷的质量是由二连杆机械臂举起的重物所决定的，将加载物视为集中质量，可以得到以下方程：
将2个关节电机输入转矩作为输入，联立运动约束方程(6)~(10)和运动学方程(11)~(18)，推导出约束矩阵方程(19)：
分别采用PID控制和模糊PID控制对二连杆投球机器人进行运动轨迹控制。
2.1 PID控制PID控制策略其结构简单、稳定性好、可靠性高[12]。式(20)为PID控制标准公式,其中U(t)为PID控制器输出，Kp为比例放大系数，Ti为积分常数,Td为微分放大系数，e为偏差信号。
PID参数设置：首先确定比例增益Kp，而后确定积分时间常数Ti，最后确定微分时间常数Td，通常为0即可。
2.2 模糊PID控制 2.2.1 模糊控制基本原理模糊控制的核心是模糊控制器，而模糊控制器的关键是模糊控制规则的确定，即模糊控制规则表[13]。模糊控制系统框图如图 5所示，把误差e及其变化率ec作为模糊控制器的输入，把控制量u作为模糊控制器的输出，得
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| 图 5 模糊控制器基本结构 Fig. 5 The basic structure of the fuzzy controller |
二连杆平面机器人2个关节预定角度θ1d和θ2d与实际角度θ1和θ2的误差e及其变化率ec作为控制器输入，输出为驱动关节转矩τ。
2.2.2 输入量的模糊化精确输入量e和ec分别乘以量化因子ke和kec以转换到各自的论域范围。设模糊控制器的输入量标准域均为{-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}。输入量论域划分成7个模糊子集，即{NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB}。模糊子集的隶属函数采用高斯函数，函数曲线如图 6所示。
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| 图 6 隶属函数曲线 Fig. 6 Membership functions curve |
规则选取的总体原则是：当误差较大时，选择控制量以消除误差为主；当误差较小时，选择控制量要防止超调，以系统的稳定性为主。
输出变量与输入变量取一样的模糊子集,即u={NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB},同样采用高斯隶属函数。e和ec分别定义为7个模糊子集、49条规则，如表 1所示。
| e | u | ||||||
| ec=NB | ec=NM | ec=NS | ec=ZO | ec=PS | ec=PM | ec=PB | |
| NB | PB | PB | PB | PB | PM | 0 | 0 |
| NM | PB | PB | PB | PB | PM | 0 | 0 |
| NS | PM | PM | PM | PM | 0 | NS | NS |
| ZO | PM | PM | PS | 0 | NS | NM | NM |
| PS | PS | PS | 0 | NM | NM | NM | NM |
| PM | 0 | 0 | NM | NB | NB | NB | NB |
| PB | 0 | 0 | NM | NB | NB | NB | NB |
根据二连杆机械臂在重力作用下的受力情况，如果让机器人从任何初始位置开始运动，将输入的值设置为零，那么二连杆机械臂将在自身重力作用下下落，最后到达2个连杆都在一条铅垂线上的位置。参考图 1中节点角的定义，此时相应的节点角度θ1=－π/2和θ2=0。表 2给出二连杆平面机器人的惯性参数和几何参数。
| 参数 | 取值 |
| M1/kg | 2.5 |
| M2/kg | 2.8 |
| Mpl/kg | 0.05 |
| l1/m | 1.0 |
| l2/m | 0.5 |
| r1/m | 0.8 |
| r2/m | 0.1 |
| J1/(kg·m2) | 0.15 |
| J2/(kg·m2) | 0.05 |
图 7是一个Simuarm模型[14]的原理框图。仿真调用robot.m来求解联立约束矩阵，采用一种线性摩擦力模型，在该模型中，抵抗输入扭矩的摩擦力矩与转速成正比。2个标“Damping”的增益模块表示由于轴承和电动机的粘滞阻尼而产生的速度损失。
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| 图 7 两连杆机器人的Simuarm仿真模型 Fig. 7 Simuarm simulation model of dual-arm robot |
仿真初始条件：θ1=0和θ2=－π/2，末端位置：xpl=1.0,ypl=0.8，与此同时，积分求解器的初始条件也是相容的。仿真结果如图 8所示。图 8给出了关节转角θ1和θ2的转角曲线，在经过一定的仿真时间后，二连杆机械臂运动趋于稳定，θ1为－π/2，θ2为0，与机械臂在自重下试验姿态相吻合。
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| 图 8 关节转角θ1和θ2的变化曲线 Fig. 8 Curve of joint angle θ1 and θ2 |
在对二连杆机械臂进行建模与仿真基础上加入PID控制模块来控制各个节点电动机的位置，控制二连杆机械臂无震荡的从一个节点快速移动到另一个节点。选择Simarm中的SimMechanics工具箱进行PID控制及模糊PID控制的仿真。
3.2.1 控制模型图 9为二连杆投球机器人的SimMechanics仿真图[15]。Ground为机架模块，barAB、barBC代表第1、2根杆，A、B分别代表转动副模块，Joint Sensor1代表运动副传感器模块，Joint Actuator为运动驱动模块。
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| 图 9 二连杆机器人仿真框图 Fig. 9 Simulation block of dual-arm robot |
在系统中首先加入PID控制器[16]，控制器输入二连杆平面机器人两关节预定角度θ1d和θ2d与实际角度θ1和θ2的误差e，输出为驱动关节转矩τ。
仿真模型建立后，要对每个模块都进行参数的设置。以AB杆为例，见图 10。双击barAB，填入参数：杆的质量、刚体坐标和质心位置。所有参数设置完成后，再设置允许每个连杆的旋转角度。在此，设置第1根杆旋转90°，第2根杆旋转135°。
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| 图 10 AB杆模型参数 Fig. 10 Model parameters of AB arm |
得到二连杆机械臂的旋转角度曲线，根据上节所述方法调节PID参数，得到理想的响应曲线。图 11为经过PID调节后二连杆平面投球机器人的旋转角度情况。可以看到，经过PID调节后，系统可以实现快速启动，并且缩短了时间，快速地进入新的稳定状态。
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| 图 11 两连杆机械臂旋转角度 Fig. 11 Rotation angle of dual-arm |
通过SimMechanics建立仿真模型，并利用模糊PID进行控制[17]。如图 12所示。启动仿真，调节模糊PID参数。从仿真曲线可以看到PID控制与模糊PID控制两者之间的差别。图 13为启动仿真后得到的第1根杆旋转角度的完整图，图 14为图 13的局部放大图。图 15为第2根杆旋转角度的完整图，图 16为图 15的局部放大图。从图 14和图 16两根杆旋转角度的局部放大图可以看到，模糊PID控制要比PID控制的定位更加精确。
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| 图 12 第1、2根杆模糊PID模块 Fig. 12 Fuzzy PID block of the first and second arm |
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| 图 13 第1根杆旋转角度完整图 Fig. 13 The complete graph of the first arm rotation angle |
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| 图 14 第1根杆旋转角度局部放大图 Fig. 14 Partial enlarged drawing of the first arm rotation angle |
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| 图 15 第2根杆旋转角度完整图 Fig. 15 The complete graph of the second arm rotation angle |
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| 图 16 第2根杆旋转角度局部放大图 Fig. 16 Partial enlarged drawing of the second arm rotation angle |
通过对二连杆投球机器人运动学方程和动力学方程的推导，得到了二连杆投球机器人的动态数学模型，此建模过程简单、方便、有效，便于进行动力学分析和控制问题的研究。把得到的二连杆投球机器人的数学模型嵌入到MATLAB仿真中，得到二连杆机器人的运动情况，并在仿真过程中加入了PID模块和模糊PID模块，仿真结果得出模糊PID控制精确性更高。本设计仅对二连杆投球机器人进行了建模与仿真，下一步将对整体系统进行进一步的研究。
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