在多属性决策中，往往需要对方案或属性进行两两比较，形成判断矩阵。在实际的决策过程中，专家受到知识结构、评判水平和个人偏好等众多因素的影响所给出的判断矩阵是不同的，因此需要集结多个专家给出的判断矩阵进行决策。根据判断矩阵确定各属性的权重和专家权重的方法在多属性决策中得到了广泛应用^[1,2,3,]。在对多属性决策问题进行分析时，由于客观事物的复杂性和不确定性，人类思维的模糊性以及非人为所能控制的估计不精或测量误差等原因，此时采用模糊数来表示决策中出现的不确定信息较为贴切。对模糊数排序^{[4, 5, 6, 7]}问题的研究已经受到了国内外学者的广泛关注，并取得了丰富的研究成果。梯形模糊数比三角模糊数的隶属函数更加复杂，并且将区间数或三角模糊数作为特例，因此可以更好地反映属性值的不确定性。目前以梯形模糊数来表示决策信息的多属性决策方法的研究引起了人们的重视，并取得了一定的研究成果^{[8, 9, 10]}。

目前对于模糊多属性决策问题的研究主要集中在属性权重的确定和模糊决策矩阵的排序问题上。本文在以上研究的基础上，研究一种属性值为梯形模糊数、属性偏好以互补判断矩阵形式给出的不确定模糊多属性决策^{[11, 12]}问题。集结专家们给出的关于属性两两比较的结果以形成群的偏好，给出了判断矩阵相似接近度和属性优势度的定义，进而确定专家权重和属性权重。基于加权平均法对规范化的模糊属性值进行集结，根据文献[4]给出的模糊数的排序方法对方案进行排序和择优。

对带有属性偏好的模糊多属性决策问题基本模型可以描述成：

决策问题的备选方案集为A={A₁,A₂,…,A_n}，评价方案的属性集为C={c₁,c₂,…,c_m}，梯形模糊数规范化^[9]决策矩阵可表示为 ，其中梯形模糊数=(a_ij,b_ij,c_ij,d_ij)为方案A_i在属性c_j下的属性值，属性权重向量为ω =[ω₁ ω₂ … ω_m]，。决定属性偏好的专家集为E={e₁,e₂,…,e_t}，专家的权重向量为 λ =[λ₁ λ₂ … λ_t]，，专家e_k针对属性集C给出的偏好信息为互补判断矩阵P_k=(p_ij^k)_m×m。假设N={1,2,…,n}，M={1,2,…,m}，T={1,2,…,t}，决策的目的是找出最优方案或对方案进行优劣排序。

基于判断矩阵信息得到属性权重的方法主要分为：1)专家赋权；2)属性赋权。这2个步骤均基于专家给出的判断矩阵，认为判断矩阵中蕴含了反映属性权重和专家权重的全部信息。

首先给出关于属性集C的互补判断矩阵定义。

定义1    称矩阵P _k=(p_ij^k)_m×m为互补判断矩阵，如果对i∈M，p_ii^k=0.5且对i,j∈M，p_ij^k+p_ji^k=1，其中0≤p_ij^k≤1表示专家e_k认为属性c_i对属性c_j的相对重要程度,c_i,c_j∈C。

由互补判断矩阵的定义知：

1)若p_ij^k > 0.5，则专家e_k认为属性c_i优于属性c_j，记为c_i^k > c_j^k；

2)若0≤p_ij^k < 0.5，则专家e_k认为属性c_i劣于属性c_j，记为c_i^k < c_j^k；

3)若p_ij^k=0.5，则专家e_k认为属性c_i与属性c_j同样重要，记为c_i^k=c_j^k。

在应用判断矩阵进行决策的过程中，要求判断矩阵具有较好的一致性，现给出互补判断矩阵可接受一致性的定义。

定义2    若在专家e_k给出的关于属性集合C的比较结果中出现形如c_i^k > c_j^k > c_l^k > c_i^k的情形，称这种现象为循环现象，其中i,j,l∈M。若集合C的元素间的优劣关系具有传递性且不存在循环现象，称关于C的互补判断矩阵 P _k具有可接受一致性。

通过定义1可以得出每个专家对属性集的排序，根据定义2可以判断P _k是否具有可接受一致性，如果不具有可接受一致性，应根据一些办法进行相应的调整^[13]，使其具有一致性。

为了得到属性的优劣排序，给出如下定义。

定义3    对于专家e_k(k∈T)，c_i,c_j∈C，记

称r_ij=为c_i优于c_j的优先度指数，R_i=为c_i(i∈M)在C中的优先度指数。

为了得到属性的优劣排序，给出如下定义。

定义4    对,c_j∈C，e_k∈E，2个属性间不同的序关系可定义为

1)c_i ≥ c_j当且仅当对k∈T，有c_i^k ≥ c_j^k且存在k₀∈T满足c_i^k₀>c_j^k₀；

2)c_i > c_j当且仅当对k∈T都有c_i^k > c_j^k。

定义5    设c_p为C中的一个属性，则有：

1)如果存在c_i∈C，使得c_p ≤ c_i成立，则称c_p为C中的劣属性；

2)如果不存在c_i∈C，使得c_p ≤ c_i成立，则称c_p为C中的非劣属性；

3)如果对∈C，都有c_i ≤ c_p，则称c_p为C中的优属性；

4)如果对∈C(i≠p)，都有c_i < c_p，则称c_p为C中的最优属性。

从上述的定义可以得到：

引理1:

1)如果c_p为C中的优属性，则有R_p=；

2)设c_p,c_q∈C，如果c_q ≤ c_p，则有① r_qq < r_pq；② R_q < R_p；

3)令c_p为C中的一个属性，如果R_p=，则c_p为C中的一个非劣属性。

定理 1    设c_p,c_q∈C，如果R_q=，则c_q为C′=C \ {c_p}中的非劣属性。

证明    假设c_q不是C′中的非劣属性，则存在c_k∈C′，使得c_q ≤c_k。因此由引理1中2)知R_q < R_k，这与R_q=矛盾，定理1得证。

定理 2    设c_p,c_h,c_q∈C，R_p=，这里R_j是c_j的优先度指数。如果|R_h－R_q| > t－1，则c_h和c_q的序关系在C′=C \ c_p中是不变的。

证明    因为R_p= ，由引理1中3)知c_p为C中的一个非劣属性。

现证明对j∈M，均有r_jp ≤ t－1。假设不成立，则存在c_j0∈C，使得r_j0p=t或者r_j0p=t－1/2。因此对k∈T，都有r_j0p^k ≥ 且存在k₀∈T，使得r_j0p^k₀=1。从而对k∈T，都有c_p^k ≤ c_j0^k且存在k₀∈T，使得c_p^k₀ < c_j0^k₀成立。故由定义4，有c_p ≤ c_j0。再由引理1中的2)有R_p < R_j0与R_p=矛盾。

又由于r_jp ≥ 0，对C中任意的属性c_h和c_q，有

由于|R_h－R_q|>t－1，有： 当R_h > R_q时，R′_h > R′_q；当R_h < R_q时，R′_h < R′_q。

以上2个定理表明在属性的优劣排序中，找到了C中最优的属性后，下一个最优属性是剩余属性中的最优属性。定理1表明如果c_i(i∈M)在C中的优先度指数最大，它就是最优属性。

专家们形成的群体决策应尽量接近于每一个专家的偏好效用或意见，给专家赋权时，由不同的专家给出的判断矩阵越接近，表明专家的意见越一致。因此可以采用互补判断矩阵间的相似性度量来决定专家的权重。

定义 6    设P_u和P_v为专家e_u和e_v给出的关于属性偏好的互补判断矩阵，其中e_u,e_v∈E，定义2个互补判断矩阵的相似接近度为

从而可以构造相似性矩阵S为

通过A(e_u)来确定专家e_u的权重为

设P_k=(p_ij^k)_m×m(k∈T)为专家e_k给出的关于属性集C的互补判断矩阵，根据定义1可以得出专家e_k给出的属性的优劣顺序。由定义2判断P_k是否具有可接受一致性，如果P_k不具有可接受一致性，必须进行相应的调整，否则无法判断属性的优劣。如果P_k具有可接受一致性，当考虑到专家的权重时，可将属性c_i优于c_j的优先度指数定义为

从而得出属性c_i在C中的优先度指数R_i，即

通过属性c_i在C中的优先度指数R_i来判定属性的权重，其中

综上，专家权重和属性权重的计算过程如图 1。

图 1 属性权重的确定Fig. 1 The step of determining the attribute weights

图选项

梯形模糊数通常用4个参数来表示一个区间数^[14]，例如=(a,b,c,d)，且a ≤ b ≤ c ≤ d，其中a和d分别表示区间数取值的上限和下限，(b,c)表示区间数在此范围内可能性最大。

当用区间模糊数表示一个模糊量时，为了覆盖整个取值范围，区间可能会取得过大并且认为在整个区间内，取值是均等的，结果容易产生较大的偏差。用梯形模糊数进行决策时，不仅保留了参数的取值区间，而且还能突出取值可能性最大的范围，可以弥补区间数的不足。

下面给出梯形模糊数的定义如下：

定义 7^[4]    一个模糊数=(a,b,c,d;ω)被称为梯形模糊数，如果其隶属函数为

文献[4]将梯形模糊数分成3个平面图形，分别为三角形ABP，矩形BPQC和三角形QCD，如图 2所示。记这3个图形的中心点分别为G₁、G₂和G₃，该文证明了这三点不在一条直线上，从而构成了三角形。

图 2 梯形模糊数Fig. 2 Trapezoidal fuzzy number

图选项

定义 8^[4]    设=(a,b,c,d;ω)是R上的一个梯形模糊数，三角形G₁G₂G₃的外接圆的圆心坐标为

圆心与坐标原点之间所形成的矩形面积为

文献[4]根据梯形模糊数通过式(6)和式(7)得出的的值来比较模糊数的大小，越大，则相应的梯形模糊数越大，并证明了其合理性。因此可以用这种模糊数排序的方法来对方案进行排序或择优。

基于简单加权平均法则对规范化的决策矩阵及权重向量ω =[ω₁ ω₂ … ω_m]进行集结，得到各方案的模糊综合评估值为

设将分成如图 2的3部分后得到的外接圆心O_i=(f_i^x,f_i^y)与原点之间形成的矩形面积为S_i=f_i^xf_i^y，则S_i越大，方案A_i越优。

在投资决策过程中，对投资方案进行经济评价是非常重要的环节，尤其是对长期投资的评价更显重要，因为长期投资数额大、回收期长，如果决策失误，投资者将承担巨大的损失。由于运用传统的财务指标进行投资价值评估具有单一性、滞后性、预算松弛和数据操纵等局限性，因此有必要引入非财务指标评估体系。20世纪90年代初，卡普兰和诺顿创造出平衡计分卡。他们认为，在知识作为第一生产力要素的信息社会中，影响企业经营成败的关键因素有财务、客户、内部流程和学习与成长方面^[15]。对服务行业的战略投资是一个多风险、多目标的决策问题，该问题信息量少、不充分，具有模糊性。此外，服务性行业个体性较强，很难搜集到有效的数据记录，而本文给出的模糊多属性决策方法对样本的要求量较低，在分析和处理相关数据方面有其特有的优势，将其引入平衡计分卡将为服务行业投资的价值评价提供更为可靠的依据。

现有某风险投资公司决定选择一个服务性行业进行投资，选取了5个上市公司，记为A₁、A₂、A₃、A₄和A₅。利用平衡计分卡的4个因素作为投资产业的评价属性，分别记为c₁财务,c₂客户,c₃内部流程和c₄学习与成长。采用专家调查法，根据专家经验并对所得数据进行统计整理，得专家e₁、e₂、e₃和e₄给出的关于属性偏好的互补判断矩阵分别为P₁、P₂、P₃和P₄。

由于评估指标具有不同的量纲和类型，指标间具有不可共度性，因此在评估前要将属性值进行规范化，本文采用文献[9]的规范化方法将属性值规范化到无量纲区间[0,1]。根据专家意见和统计数据等确定每个企业规范化后的评价信息为梯形模糊决策矩阵 F 。试确定最佳投资企业。

专家给出的对各项指标的评价都是模糊的，通过对属性重要性的比较给出了互补判断矩阵，专家很难直接得到决策结果。

下面利用MATLAB软件并根据本文给出的决策方法，具体决策步骤如下：

1)首先由定义1，得

专家e₁给出的属性的优劣顺序为c₄¹ > c₂¹> > c₁¹ > c₃¹;专家e₂给出的属性的优劣顺序为c₁² > c₂² > c₃² > c₄²;专家e₃给出的属性的优劣顺序为c₂³ > c₁³ > c₃³ > c₄³;专家e₄给出的属性的优劣顺序为c₄⁴ > c₁⁴~c₃⁴ > c₂⁴。显然，在每个专家对属性的比较结果中没有出现循环现象且具有传递性，则由定义2可判断 P _j (j=1,2,…,4)均具有可接受一致性。

2)根据式(1)~(3)计算出决定属性偏好的专家的权重为

3)由定义3得出属性c_i的优先度指数矩阵U _i=(r_ij^k)_4×4(k=1,2,…,4)分别为

4)由式(4)计算每个属性c_i在C中的优先度指数分别为 R₁=2.4155，R₂=2.564，R₃=1.3715，R₄=1.649进而由式(5)计算属性的权重为ω₁=0.302，ω₂=0.321，ω₃=0.171，ω₄=0.206。可见客户的权重最大，其次是财务指标的权重，这与服务性行业的服务性有很大的联系，因此顾客的满意度对投资能否实起到了关键的作用。

5)由式(8)集结权重向量ω和模糊决策矩阵F，得到如图 3所示的关于每个备选方案A_i,i=1,2,…,5的模糊评价值为

图 3 梯形模糊数Fig. 3 Trapezoidal fuzzy numbers and their circumcenters of centroids

图选项

6)模糊综合评估值F_i,(i=1,2,…,5)按照如图 2所示的方法分块后得到的外接圆的圆心坐标分别为

进而又因式(9)得出这些点与坐标原点之间形成的矩形面积即方案的综合评价值分别为 S₁=0.168,S₂=0.179,S₃=0.189, S₄=0.200,S₄=0.190。

综上，得出方案的优劣顺序为

从而得出最佳投资公司为A₄，其次为A₅。

本文基于判断矩阵信息获得属性权重，并且给出了一种方案排序或择优的方法，从而丰富和发展了模糊多属性决策方法。采用正的梯形模糊数表达专家的评估意见并且给出了互补判断矩阵相似度和属性优势度的定义更能反映专家偏好的模糊性，使模型更加符合实际情况，计算简便，避免了规划求解的繁琐过程。该方法可以弥补平衡计分卡的不足，有助于企业对投资评价做出更为科学准确的判断，便于管理人员在实践中应用。