DOI: 10.3969/j.issn.1673-4785.201304072
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在工业生产中，往往需要对生产装置的温度、压力和液位等控制在一定的范围内，或者按一定的规律进行变化，从而满足生产工艺规格的要求。PID控制器就是用于对生产中的控制变量进行偏差调节，使得控制变量与产品生产工艺要求的预定值一致[1-3]。PID(proportional-integral-derivative)控制器由比例单元、积分单元和微分单元组成。为了最小化受控对象的输出和期望输出的差异，使其能够精确输出。PID控制器的优化设计关键是整定3个参数：比例系数KP、积分系数KI和微分系数KD。根据被控生产过程的特性确定比例系数的大小。因此，如何对PID控制器的参数进行整定是PID控制系统设计的核心[4-5]。然而，设计比较满意的PID控制器并不是很容易，这是由于PID参数存在不确定性，是动态的。因此，文献[6-7]提出了自动调整的、自适应的PID控制器，文献[8-9]设计出一种模糊PID控制器。尽管这些设计方法对于PID控制器的设计提供了有效的方法，但是，由于PID参数调整往往是非线性的复杂问题，为了最小化PID输出误差，需要快速有效的参数调整方法。近年来，随着智能优化技术的发展，遗传算法[10]、粒子群优化算法[11]和声搜索算法[12]等成功应用于PID控制的优化中。教与学优化(teaching-learning-based optimization,TLBO)[13]算法是一种新型的智能优化技术，具有优化速度快，收敛能力强等特性，本文提出一种改进的教与学优化(modified teaching-learning-based optimization,MTLBO)算法进行PID控制器参数的优化整定。
1 基本的“教”与“学”优化算法TLBO算法和其他群智能优化算法一样，也是利用群体信息进行启发式搜索[14]。TLBO算法是印度学者R.V.Rao和V.D.Kalyankar于2010年提出，算法通过模拟人类在学习过程中的“教”和“学”2个阶段的学习方法，从而提高每个个体的能力。
1.1 基本概念TLBO算法是模拟以班级为单位的学习方式，班级中的学员水平的提高需要教师的“教”来引导，同时，学员之间需要相互“学习”来促进知识的吸收。其中，教师和学员相当于进化算法中的个体，而教师是适应值最好的个体之一。每个学员所学的某一科目相当于一个决策变量。具体定义如下：
1) 搜索空间：搜索空间可表示为S={X|xiL≤xi≤xiU,i=1,2,…,d}，d表示维空间的维数(决策变量的个数)，xiL 和xiU(i=1,2,…,d)分别为每一维的上界和下界。
2) 搜索点：设 Xj=(x1j,x2j,…,xdj) (j=1,2,…,NP )为搜索空间中的一个点，xij(i=1,2,…,d)为点Xj的一个决策变量。NP为空间搜索点的个数(种群规模)。
3) 班级：在TLBO算法中，将搜索空间中所有点的集合称为班级(Class)。
4) 学员：班级中某一个点Xj=(x1j,x2j,…,xdj)称之为一个学员。
5) 教师：班级中成绩最好的学员Xbest称之为教师，用Xteacher表示。
一个班级(Class)可以表示为如下形式：
| $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{X^1}}\\ {{X^2}}\\ \vdots \\ {{X^{NP}}} \end{array}} \right.\left. {\left| \begin{array}{l} f\left( {{X^1}} \right)\\ f\left( {{X^2}} \right)\\ \vdots \\ f\left( {{X^{NP}}} \right) \end{array} \right.} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x_1^1}&{x_2^1}& \cdots &{x_d^1}\\ {x_1^2}&{x_2^1}& \cdots &{x_d^2}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {x_1^{NP}}&{x_2^{NP}}& \cdots &{x_d^{NP}} \end{array}\left| \begin{array}{l} f\left( {{X^1}} \right)\\ f\left( {{X^2}} \right)\\ \vdots \\ f\left( {{X^{NP}}} \right) \end{array} \right.} \right]$ |
式中：Xj(j=1,2，…,NP)表示班级学员，Xteacher=argmaxf(Xj),j=1,2，…,NP。NP为学员个数，d为学员所学科目数量。
1.2 教与学优化(TLBO)算法1) “教”阶段。
在TLBO算法的“教”阶段，班级中每个学员Xj(j=1,2,…,NP)根据Xteacher和学员平均值Mean之间的差异性进行学习。
如图 1所示，在开始时，班级平均成绩是MeanA=30，平均成绩较低，并且成绩分布比较广，通过Teacher多次的努力教学，班级平均成绩逐步提高到了MeanB=80，成绩分布也越来越集中。在“教”阶段，每个学员向老师学习，学习的方法是利用老师Xteacher和学员的平均值Mean之间的水平差异性进行学习，具体的教学方法如式(1) 和(2)。
| $X_{{\text{new}}}^i = X_{{\text{old}}}^i + {\text{Difference}}$ | (1) |
| ${\text{Difference}} = {r_i}\cdot({X_{{\text{teacher}}}} - {\text{T}}{{\text{F}}_i}\cdot{\text{Mean}})$ | (2) |
式中：Xoldi和Xnewi分别表示第i个学员学习前和学习后的值，${\text{Mean = }}\frac{1}{{{\text{NP}}}}\sum\limits_{i = 1}^{NP} {{X^i}} $是所有学员的平均值，还有2个关键的参数：教学因子 TFi=round[1+rand(0,1)]，学习步长ri=rand(0，1) 。
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| 图 1 教学方法 Fig. 1 The teaching method of TLBO |
2) “学”阶段。
在“学”阶段，对每一个学员Xi(i=1,2,…,NP),在班级中随机选取一个学习对象Xj(j=1,2,…,NP,j≠i),Xi通过分析自己和学员Xj的差异进行学习调整，学习改进的方法类似于差分算法中的差分变异算子，不同在于，TLBO算法中的学习步长r对每个学员采用不同的学习因子。采用式(3) 实现“学”的过程。
| $X_{\text{new}}^{i}=\left\{ \begin{align} & X_{\text{old}}^{i}+{{r}_{i}}\cdot \left( {{X}^{i}}-{{X}^{j}} \right),f\left( {{X}^{j}} \right)<f\left( {{X}^{i}} \right) \\ & X_{\text{old}}^{i}+{{r}_{i}}\cdot \left( {{X}^{j}}-{{X}^{i}} \right),f\left( {{X}^{i}} \right)<f\left( {{X}^{j}} \right) \\ \end{align} \right.$ | (3) |
式中：ri=U(0,1) 表示第i个学员的学习因子(学习步长)。
3) 更新，学员在经过“教”阶段和“学”阶段都要分别进行更新操作。更新思想类似于差分进化算法，如果学习后的个体Xnewi比学习前的学员Xoldi更好，则用Xnewi替换Xoldi。否则，保持Xoldi不变。更新方法如下：
IFXnewi is better than Xoldi
Xoldi=Xnewi
End IF
1.3 TLBO算法流程算法1 TLBO算法。
1) 设置初始参数，个体初始化。
2) 计算学员适应值
3) 选择最好个体作为老师，计算个体平均值。
4) “教”阶段。
For i=1 to NP
Xnewi=Xoldi+Differencei
If f(Xnewi)<f(Xoldi) then Xnewi=Xoldi
End
5) 学员间相互“学习”阶段。
For i=1 to NP
$X_{{\rm{new}}}^i = \left\{ \matrix{ X_{{\rm{old}}}^i + {r_i} \cdot \left( {{X^i} - {X^j}} \right),f\left( {{X^i}} \right) < f\left( {{X^j}} \right) \hfill \cr X_{{\rm{old}}}^i + {r_i} \cdot \left( {{X^j} - {X^i}} \right),f\left( {{X^j}} \right) < f\left( {{X^i}} \right) \hfill \cr} \right.$
If f(Xnewi)<f(Xoldi) then Xnewi=Xoldi
End
6) 如果满足终止条件，则优化结束并输出最优解，否则迭代次数t=t+1并转至3) 继续。
TLBO算法具体流程如图 2所示。
2 改进的TLBO算法(MTLBO)对单模优化问题，TLBO算法的收敛速度很快,求解精度很高，并且在搜索空间很大时也能够快速获得最优解，运行代价较小,算法的时间复杂度为O(NP×T)，(NP是种群规模，T是最大允许迭代次数)。TLBO算法的缺点是，对于 “多模态”复杂优化问题，全局探索能力较差，这是由于TLBO算法的“教”阶段算法的收敛性很强，学员很容易快速向“老师”的位置聚集，导致种群的多样性快速丢失，并陷入局部搜索。这样，对于 “多模态”问题，TLBO算法往往会丢失全局最优解而获得局部最优解[15-16]。
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| 图 2 TLBO算法流程图 Fig. 2 Flow chart of TLBO |
这是由于TLBO算法中，学员的学习过程完全依赖老师的“教”和学员之间的交流“学习”，造成学员在学习过程中对他人的过度依赖，但却丧失了学习过程中自我学习和自我创新能力挖掘。因此，为了发挥群体中每个学员的智慧和才能，本文针对TLBO算法的缺陷，提出一种改进的教与学优化算法(MTLBO)，算法借鉴和声搜索算法思想进行个体的自我学习和自我探索创新能力挖掘，用于加强每个个体的自我局部搜索能力，从而增加种群的全局探索能力。
2.1 改进的“教”(Teaching) 学阶段在标准的教与学优化算法的“教”阶段，教学过程中(如式(2))的Difference=ri·(Xteacher-TFi·Mean) 显示，Xteacher和Mean对于所有学员都是一样的，对每个学员来说，只有随机数ri和TFi不相同，这说明“教师”Xteacher对每位学员的“教”是盲目的，只依赖于随机数ri和TFi，并没有考虑每位学员的水平差异性，从而，造成种群多样性很快丧失，导致搜索停滞。本文通过对Mean进行改进，使Mean=(Xworst+Xi)/2，这样计算的好处是Mean对每个个体Xi 其值都不同，“教”学更具有针对性，还能保证种群的多样性，避免算法早熟,改进后的教学过程如下所示。
For i=1:NP
TF=round[1+rand(1,d)];
${\text{rand}}\left( {1,d} \right) * \left[ {{X_{{\text{teacher}}}} - TF * \frac{{\left( {{X^{{\text{worst}}}} + {X^i}} \right)}}{2}} \right];$
End
2.2 改进的相互“学习”阶段在相互“学习”阶段，TLBO算法中每个学员Xi(i=1,2,…,N)每次随机选取另一个学习对象Xj(j=1,2,…,N,j≠i)进行学习。本文中，每次随机选取2个学习对象Xr1和Xr2，(r1=1,2,…,N；r2=1,2,…,N；r1≠r2)，通过比较Xr1和Xr2的优劣性并计算二者的差异性进行学习，这样能够有效提高学习成功率，避免“盲目学习”。本文学习过程伪代码如下：
For i=1:NP
Select 2 individuals at random Xr1≠Xr2 from the current population
If FITS(Xr1)<FITS(Xr2)
XR=2×Xr1-Xr2;
Else
XR=2×Xr2-Xr1;
End
Xnew=Xi+rand(1,d).×(XR-Xi);
End
rand(1,d)表示在[0,1]随机生成一个d维的行向量。
在本文算法的相互“学习”阶段，与TLBO算法的不同点有：
1) 学习方法不同。根据文献[17]中的最好个体与最差个体的差异性思想，算法首先利用2个随机选择的学员做差异计算：XR=2×Xr1-Xr2，对XR修正后再次和学员Xi 做差异学习，使得算法具有更强的自适应学习能力。
2) 更新操作不同。首先判断产生的新个体Xnew是否比原来的个体更好，如果是则用新个体替换原个体，否则，再次判断新个体是否比种群中的最差个体Xworst优秀，如果是，则用Xnew替换Xworst。如下：
If Xnew is better thanXi，Xi=Xnew;
ElseIf Xnew is better than Xworst,Xworst=Xnew;
由于算法在应用上述的“教”与“学”过程时，收敛速度很快，局部开发能力较强，种群的多样性容易丢失，全局搜索能力较弱，本文引入“自学”阶段，每个学员通过自学阶段，充分发挥每个学员的能力，增强算法的全局探索能力。本文中的“自学”阶段采用类似于作者提出的一种改进的和声算法[18-19]思想进行。
2.3 提出新的“自我”学习阶段在前面的“教”和 “学”阶段，学习的对象是学员整体进行，但是，由于每个学员都会学习多门科目(对应于搜索算法中的决策变量)，学员学习时可能会出现“偏科”现象，有些学员可能会部分科目学习较好，部分科目学习效果较差。因此，在“自学”阶段，根据每个学员的特点对成绩不够理想的科目进行针对性学习。采用3种学习策略对学员的某些科目进行自我学习调整：1) 以学习率(learn from others probability,LoP)选择学习对象；2) 以概率SRP(self repair probability,SRP)进行自我学习方法调整；3) 以概率(innovative learning probability,ILP)进行创新学习。具体“自我”学习阶段的算法如下：
For i=1 to NP
For j=1 to d//第i个学员开始“自我”学习
If rand()<LoP// 向他人学习
xjnew=Xja，a∈U{1,2,…,NP};
ElseIf rand()<SRP//自我学习方法调整
xjnew=xjnew±rand(0,1)*Step(j);
Elseif rand()<ILP // 创新学习
xjnew=xjL+rand×xUj-xjL;
Else
xjnew=xji
End
End
End
If Xnew is better than Xi,Xi=Xnew;
其中：Step是自我学习调整步长，定义为：Step=min Step+(max Step-min Step)$\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)$其中，max Step=(xU-xL)/50 ，min Step=(xU-xL)/3 000，t是当且迭代次数，T是允许最大迭代次数。
3 仿真实验 3.1 PID控制器本文利用MTLBO对PID控制器进行优化，以便快速获得高性能的PID控制器参数(KP，KI，KD)。为了验证MTLBO算法的有效性，将其和粒子群PSO算法[21]、遗传算法GA[20]和基本TLBO算法进行比较。采用ITAE作为误差性能指标[22],定义如下：
| $J = \int\limits_0^\infty {t\left| {e\left( t \right)} \right|{\text{d}}t} $ |
选取被控对象为：$G\left( s \right) = \frac{{s + 2}}{{{s^4} + 8{s^3} - s + 0.4}}$，其PID系统控制模型如图 3所示。
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| 图 3 PID系统控制模型 Fig. 3 System control model of PID |
对图 1所示PID控制器的优化设计，分别采用粒子群算法PSO、遗传算法GA、基本TLBO算法和本文算法TLBO对其进行优化测试。在允许最大评价次数(FEs)=2 000，种群大小N=20时，4种算法其他参数设置如表 1。
| 算法 | 其他参数 |
| PSO | w=0.6,c1=c2=2 Vmax=1,Vmin=-1 |
| GA | 交叉概率cp=0.6 变异概率mp=0.1 |
| TLBO | / |
| MTLBO | ToP=0.55,SRP=0.3, ILP=0.1 |
设置(KP，KI，KD)的搜索范围为0~30。
为了验证算法的性能，对每种算法分别独立运行20次，并记录20次运行结果(ITAE)，结果见表 2。20次运行中最优解对应的(KP，KI，KD)见表 3。
| 指标算法 | ITAE | |||
| 最佳适应值 | 平均值 | 最差值 | 标准差 | |
| MTLBO | 1.058 3 | 1.091 7 | 1.106 2 | 0.016 4 |
| TLBO | 1.074 4 | 1.203 6 | 1.274 4 | 0.089 3 |
| PSO | 1.058 3 | 1.301 8 | 1.861 3 | 0.154 1 |
| GA | 1.091 4 | 3.114 7 | 5.013 7 | 1.484 1 |
| 算法 | KP | KI | KD |
| MTLBO | 33.562 7 | 0.166 2 | 38.711 0 |
| TLBO | 46.311 5 | 0.169 8 | 53.301 0 |
| PSO | 33.562 7 | 0.166 2 | 38.711 0 |
| GA | 91.158 1 | 0.164 8 | 104.923 0 |
由表 2可明显看出，在种群大小和适应值最大评价次数(FEs)相同时，在20次独立运行中本文算法(MTLBO)获得的最佳适应值,平均值，最差值和标准差都是最优的。虽然PSO算法在20次独立运行中也获得过最优解，但平均值，最差值和标准差也不够理想，说明PSO算法获得最优解的能力如MTLBO算法稳定可靠。
图 4绘制出了4个算法在20次独立运行时的优化过程曲线。可以看出MTLBO算法不论是收敛速度还是求解精度都明显优于其他3种算法。
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| 图 4 4种算法对PID参数优化过程曲线 Fig. 4 Convergence curves of four algorithms for PID optimization |
图 5是MTLBO、TLBO、PSO和GA算法在20次运行中获得的最优解统计盒图。明显可以看出本文算法的稳定性和最优解分布都是最好的。图 6~图 9是TLBO算法优化获得的PID参数(KP=33.576 1,KI=0.166 2,KD=38.727 0) 对应的阶跃响应曲线。设置输入信号源Step 初始值为0，采样时间为0，终止值分别设置为0.8、1.0、1.5和2时. 分别对应的阶跃响应曲线如图 6~9，表 4是相应的阶跃响应的指标性量化比较。
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| 图 5 算法运行结果统计盒图 Fig. 5 Results box plot of algorithms |
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| 图 6 阶跃响应曲线(最终值=0.8) Fig. 6 Step response curve(step final value=0.8) |
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| 图 7 阶跃响应曲线(最终值=1) Fig. 7 Step response curve(step final value=1) |
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| 图 8 阶跃响应曲线(最终值=1.5) Fig. 8 Step response curve(step final value=1.5) |
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| 图 9 阶跃响应曲线(最终值=2) Fig. 9 Step response curve(step final value=2) |
| 终止值 | 最大峰值 | 最大超调量Mp/% | 峰值时间 | 稳定时间 |
| 0.8 | 0.845 | 5.62 | 2.1 | 5.0 |
| 1.0 | 1.326 | 3.20 | 2.2 | 5.0 |
| 1.5 | 1.580 | 5.33 | 2.5 | 6.0 |
| 2.0 | 2.780 | 39.00 | 3.3 | 8.1 |
从图 6~9的阶跃响应曲线可以看出，通过本文算法可以快速获得最优参数值(KP,KI,KD)，并且使得PID控制器具有快速、稳定和精确控制特性，说明本文算法MTLBO适用于PID参数优化。最大超调量计算方法如下：
| ${M_p} = \frac{{{x_0}\left( {{t_p}} \right) - {x_0}\left( \infty \right)}}{{{x_{0\left( \infty \right)}}}} \times 100\% $ |
本文首先介绍了一种新的群智能优化算法—“教”与“学”优化算法TLBO，通过实验和分析发现TLBO算法的一些缺陷，并对此提出一种改进策略。对基本TLBO算法中“教”和“学”方法的分别进行改进，并提出一种新的学习方式——“自我”学习。通过仿真实验测试表明，改进后的算法在优化速度和求解精度等方面都有了明显的改善，和其他传统的智能优化算法(GA，PSO)相比优势明显，说明本文算法适用于PID控制器的优化。
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