DOI: 10.3969/j.issn.1673-4785.201305002
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现代社会中，电力系统发生突发性的停电事故不仅会导致巨大的经济损失，也可能引发社会问题。因此，系统和深入地研究停电后的电力系统快速恢复，具有重大理论意义和现实意义[1-2]。
黑启动是电力系统全部停电后迅速恢复供电的方式。对现代大型电力系统而言，黑启动是一件复杂的事情，快速优选出合理的黑启动方案有助于加速系统的恢复[3]。为此，文献[4]提出基于分层案例推理的黑启动决策方法，文献[5]采用基于数据包络分析的层次法评估黑启动决策方案。基于黑启动决策方案中指标及其权重以及参与决策的专家知识存在不确定性的问题，文献[6]把直觉模糊集用于黑启动群决策一致性分析与优化，文献[7]不仅把vague理论用于指标间存在关联性时的黑启动决策研究，而且还考虑了参与决策的专家间也存在关联性的问题，但计算复杂，由于vague集是一个含有不确定性的集合，借用vague集可以方便地描述一个模糊的不确定信息，却为建模计算带来麻烦；而忽略vague集的不确定性，虽可以使计算得以具体操作，但同时也丢失了vague集含带的不确定性信息，严重时可能使决策结果偏离实际。
鉴于此，本文把集对分析联系数用于黑启动vague集决策研究，理由是集对分析联系数作为处理系统不确定性信息的数学理论，得到广泛应用[8-10]，在供配电领域也有不少应用，如文献[11]建立了基于联系数模型的电网灵活规划方法，文献[12]把联系数用于配电系统可靠性评估，文献[13]把联系数用于计及可靠性参数影响的电压暂降频次评估，文献[14]把集对分析联系数用于输变电工程风险评估，文献[15-16]则把集对分析用于电能质量评估。此外，文献[17]把集对分析联系数用于直觉模糊多属性决策的改进，而文献[18]在1996年就指出vague集其实就是直觉模糊集。受上述文献启发，本文把集对分析联系数用于vague数据环境下黑启动多方案选优排序的分析计算，给出一种既简明又便于作不确定性分析的黑启动vague集决策新方法。
1 集对分析与联系数简介 1.1 集对分析具有一定联系的两个集合组成的系统称集对。用E、F表示集合，H表示集对，则H=(E,F)。
集对是一种客观现象，如正电与负电，系统的输入与输出等，都可以在一定条件下看成是一个集对。在一定的问题背景下，分析集对中两个集合的所有关系，并把这些关系分成相对确定与相对不确定的关系两类(或分成同异反关系三类或更多)，用联系数描述这些关系的多少，该联系数称为集对的特征函数；再建立适当联系数模型，借助模型作进一步的分析[19]。
1.2 联系数集对分析联系数有不同的数学表达式[8-12]。下面仅列出二元联系数和三元联系数的定义。
定义1 设集对H=(E,F)在问题W中的全部关系数为N，A、B分别为相对确定和相对不确定的关系数，则称u=A+Bi为二元联系数；i为不确定系数，在[－1,1]区间视不同情况取值。若令N=A+B，µ=u/N，a=A/N，b=B/N，即得
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(1) |
为归一化处理后的二元联系数，a、b为联系数µ的联系分量。同理，u=A+Bi+Cj为三元联系数，也称同异反联系数，C表示反关系，j=－1。若采用式(1)类似的归一化处理，则得
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为了便于叙述，这里只介绍本文所用联系数µ=a+bi的普通加法与乘法运算[8-9,20]。
2.1 加法运算定义2 设有联系数µ1=a1+b1i，µ2=a2+b2i，则有
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定义2给出的联系数加法运算可以推广到3个或3个以上联系数相加，并满足交换律和结合律(证明略)。
2.2 乘法运算定义3 设有联系数µ=a+bi是n个联系数的和，则有
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即为µ的平均联系数。
定义4 设有联系数µ1=a1+b1i、µ2=a2+b2i，则它们的乘积
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(2) |
由于i∈[－1,1]，则in∈[－1,1](n=1,2,…)。如，某电力系统故障需分2个阶段修复，第1阶段计划8 h完成，若顺利可提早2 h，有意外需增加2 h，即需时间8+2i；如第2阶段需时5+1i，则共需13+3i(引起所需时间变化的原因可能不同，但结果相同，即最少10h，最多16 h)；如每小时需费用为1000+150i，则所需全部费用为(13+3i)(1000+150i)=13000+1950i+3 000i+450i2=13000+5 400i(引起工期变化和所需费用变化的原因可能完全不同，但所需费用范围的分析结果却相同)，最节约即取i=-1时，需7600元；最大费用即取i=1时，需18 400元，等等。因此，在不需要计及不确定性层次性时，为简化分析计算，可以有
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这一简化公式，据此，可以把式(2)改写成：
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说明两个联系数相乘，其积仍是一个联系数。
3 vague集向联系数的转换 3.1 vague的概念定义5 设x是给定论域U上的元素。U上的vague集V是指相关的一对隶属函数tV(x)和fV(x)，tV(x)：U→[0,1]和fV(x)：U→[0,1]满足0≤tV(x)+fV(x)≤1，tV(x)为vague集V的真隶属函数，表示支持x∈V的证据的隶属度下界；fV(x)为vague集V的假隶属函数，表示反对x∈V的证据的隶属度下界，如图 1所示。下文将vague集V简记为(x,tV(x),fV(x))或(tV(x),fV(x))。
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| 图 1 Vague集 Fig. 1 Vague set |
以上是文献[7]对vague集的定义。
3.2 vague集的不确定度由于vague集V中0≤tV(x)+fV(x)≤1，可令
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(1) |
称πV(x)为vague集V的不确定度。
3.3 vague集的不确定性及其特征联系数从定义5可见，vague集V中的tV(x)与fV(x)是相对确定的，可以组成相对确定的集合E=(tV(x),fV(x))；πV(x)是相对不确定的一个元素，组成集合F=πV(x)。于是，一个vague集V可以表示成一个集对V=(E,F)或
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既然vague集V可以组成一个集对，则这个集对的特征函数可以用μ=a+bi+cj或μ=a+bi的形式来表示。令tV(x)=a，fV(x)=c，πV(x)=b，则vague集V就可以写成
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(4) |
结合式(3)得a+b+c=1，故用a+bi描述vague集V时也完全考虑了“反”fV(x)=c的变化情况，因此，也可以把a+bi作为vague集V的特征函数，即
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(5) |
选用式(4)还是式(5)作为vague集V的特征联系数，由实际问题定。在本文研究中，拟用式(5)，称式(5)是一个vague集向联系数的转换公式，其中：
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(6) |
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(7) |
这类指标通常有定量指标和定性指标两类，黑启动路径上变电站的个数、启动时间、被启动机组的容量等为定量指标，启动路径上负荷的重要性等级、机组状态等为定性指标，计算时，需要把定性指标化为定量指标。又由于指标的量纲不一，所以，还需作规范化处理，处理时要注意指标的属性。当然，这些指标数据最后都用vague集表示，设第k个指标c的指标数据用p(ck)表示。
4.1.2 指标权重W(ck)指标权重反映该指标的重要程度，通常用介于0～1之间的点实数表示，但这里也用vague集表示。
另外，黑启动方案评价中涉及到的指标一般情况下并不是相互独立的。如黑启动路径上变电站个数的增大会延长黑启动时间，待启动机组的额定容量与启动电能相关等。为此，用W(ck,ck+1)表示2个指标的关联权重，用W(ck,ck+1,ck+2)表示3个指标的关联权重，依此类推。当然，所有的权重数据也都用vague集表示。
4.1.3 专家人数与专家权重黑启动方案选优与决策过程通常需要有多个专家参与，但专家在决策过程中所起的作用有大小之分。因此，需要根据发挥的作用大小给参与黑启动的专家分配一定的权重，用W(Ej)表示第j位专家的权重。但正如文献[7]所指，专家对指标及指标数据的偏好受到其知识、经验、权力及社会地位等因素的影响，相互之间也存在一定的关联性。2个专家之间的关联权重用W(Ej,Ej+1)表示，3个专家之间的关联权重用W(Ej,Ej+1,Ej+2)表示，依此类推。这些专家权重也用vague集表示。
4.2 群决策模型 4.2.1 基本模型当黑启动方案评价指标数据p(ck)(k=1,2,…,n)都是越大越好型数据，越重要的指标权重W(ck)也越大，越重要的专家权重W(Ej)(j=1,2,…,p)也越大时，黑启动评价基本模型为
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(8) |
其中
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(9) |
Sv代表第v个方案(v=1,2,…,m)，M(Sv)表示第v个方案的综合评价值，pv(ck)表示第v个方案的指标k(k=1,2,…,n)的值，W(ck)表示指标ck的权重，W(Ej)表示专家权重。
m个方案的优劣评价准则为：M(Sv)值大的优于M(Sv)值小的。
4.2.2 关联模型当计及指标与指标之间的关联性、专家与专家之间的关联性时，式(8)、(9)变为
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于是，关键的问题就转化为如何从p个专家给出的关于指标ck的关联权重，计算出该指标的权重，以满足式(8)的计算。
4.3 专家关联权重与指标关联权重的计算设有p(p>0)个相互有关联的专家对n个相互有关联的指标赋权，且专家的关联权重和指标的关联权重都用vague集表示。
1)利用式(5)~(7)把各vague集转化为a+bi形式的联系数。
2)把Q个专家之间的关联权重W(E1,E2,…,EQ)一一折算给各个关联专家，即得平均关联权重W(E1,E2,…,EQ)的计算公式：
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因为根据集合论知识，一个有p个专家组成的集合，其子集个数为2p个，关联性的子集有2p/2个。为了计算方便并便于比较待评方案的优劣，必须把这2p/2个关联权重折算为某个指标在非关联意义下的权重(本文称为独立权重)。由于缺乏关联程度的具体信息(当专家E1对专家E2的关联权值是R时，E2对E1的关联权值不一定是R)，只能作平均分配，即假定所谓关联是相互之间的一种作用，这种相互作用大小相等，作用在相互关联的专家之间，所以作“平均分配”。第1次平均是把给出的每一个关于指标的关联权重“平均分摊”给相关联的各个指标，第2次平均是指2p/2个被平均分摊后的关联权重加和后再平均(算术平均)。
3)根据上述分析得出每个专家共2p/2个平均关联权重的平均值:
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4)用类似于前3步的方法计算各指标的(独立)权重。
4.4 不确定性分析把给出的各指标值vague集，参照式(5)～(7)改写成a+bi形式的联系数，并利用式(8)算得各方案的综合评价联系数；再令联系数中的i=-1、-0.5、0、0.5、1等典型值，得到各方案的评价值在不同情况下的变动趋势；根据变动趋势，决出最优方案，并给出被评价诸方案的优劣排序。
很明显，不确定系数i是联系数的关键所在，它形式上是一个数，但同时又是不确定性系统的一个代号，需要结合问题的实际作系统分析；但是当问题本身没有提供不确定性系统的具体信息时，只能根据i的定义域作纯数学意义上的取值分析，借此检验黑启动决策结论的可靠性和客观合理性。
5 实例为便于比较，此处引用文献[7]中的例子说明前述方法的应用。某地区电力系统事故后需要黑启动，共有6个待评价的方案，方案的评价指标数为4个，各方案在各指标上的vague集数据已经规范化处理成越大越好型数据，见表 1。
| 方案 | 机组状态c1 | 爬坡速率c2 | 机组容量c3 | 变电站个数c4 |
| 1 | (0.30,0.50) | (0.96,0.04) | (1.00,0.00) | (0.20,0.80) |
| 2 | (0.60,0.17) | (0.53,0.47) | (0.67,0.33) | (0.25,0.75) |
| 3 | (0.45,0.33) | (1.00,0.00) | (0.42,0.58) | (0.33,0.67) |
| 4 | (0.30,0.50) | (0.50,0.50) | (0.42,0.58) | (0.33,0.67) |
| 5 | (0.60,0.17) | (0.27,0.73) | (0.42,0.58) | (1.00,0.00) |
| 6 | (0.90,0.00) | (0.91,0.09) | (0.67,0.33) | (0.25,0.75) |
参与黑启动决策专家共3人Ej=(e1,e2
e3)，权重、关联权重分别为
W({e1})=(0.30,0.60)
W({e2})=(0.40,0.50)
W({e3})=(0.40,0.30)
W({e1,e2})=(0.60,0.20)
W({e1,e3})=(0.70,0.10)
W({e2,e3})=(0.70,0.20)
W({e1,e2,e3})=(1.00,0.00)
专家e1给出的各指标权重、关联权重如下：
W({c1})=(0.10,0.65)
W({c2})=(0.25,0.55)
W({c3})=(0.20,0.50)
W({c4})=(0.20,0.70)
W({c1,c2})=(0.30,0.40)
W({c2,c3})=(0.50,0.25)
W({c2,c4})=(0.45,0.35)
W({c3,c4})=(0.40,0.30)
W({c1,c3})=(0.30,0.30)
W({c1,c4})=(0.30,0.40)
W({c2,c3,c4})=(0.85,0.10)
W({c1,c3,c4})=(0.70,0.20)
W({c1,c2,c4})=(0.65,0.30)
W({c1,c1,c3})=(0.75,0.20)
W({c1,c2,c3,c4})=(1.00,0.00)
专家e2、e3给出的各指标权重、关联权重数据见附录。计算和决策过程如下：
1)根据式(5)～(7)计算3位专家权重如表 2。
| W1) | W(e2) | W(e3) | |
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| 平均 | 0.32075+ 0.075i |
0.34575+ 0.0625i |
0.35825+ 0.1125i |
2)根据式(5)～(7)计算专家e1给出的黑启动指标权重及计及专家权重后的各指标权重，见表 3。
| 专家 | 指标c1 | 指标c2 | 指标c3 | 指标c4 |
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| 平均权重 联系数 |
(0.1875+0.1021i)× (0.32075+0.075i)= 0.0601+0.0546i |
(0.2344+0.0783i)× (0.32075+0.075i)= 0.0752+0.0486i |
(0.227+0.1053i)× (0.32075+0.075i)= 0.0728+0.0587i |
(0.2291+0.0709i)× (0.32075+0.075i)= 0.0735+0.0452i |
专家e2、e3给出的黑启动指标权重以及计及专家权重后的各指标权重见附录。
由此得出，把各专家权重计入各指标的权重后相加得到各指标的权重联系数如下：
W(c1)=0.2034+0.1877i
W(c2)=0.2116+0.1732i
W(c3)=0.2144+0.1797i
W(c4)=0.2255+0.1702i
| 方案 | c1 | c2 | c3 | c4 |
| 1 | 0.30+0.20i | 0.96+0i | 1+0i | 0.2+0i |
| 2 | 0.60+0.23i | 0.53+0i | 0.67+0i | 0.25+0i |
| 3 | 0.45+0.22i | 1+0i | 0.42+0i | 0.33+0i |
| 4 | 0.30+0.20i | 0.50+0i | 0.42+0i | 0.33+0i |
| 5 | 0.60+0.23i | 0.27+0i | 0.42+0i | 1+0i |
| 6 | 0.90+0.10i | 0.91+0i | 0.67+0i | 0.25+0i |
4)利用表 4，并结合第2步得到的各指标权重，采用式(8)算得各方案的综合评价值联系数为
M(s1)=0.523 62+0.514 542i
M(s2)=0.434 211+0.457 318i
M(s3)=0.467 593+0.475 347i
M(s4)=0.331 283+0.352 77i
M(s5)=0.494 72+0.495 011i
M(s6)=0.575 639+0.528 601i
5)对各方案的综合评价值联系数作不确定性计算分析，得表 5。
| i=－1 | i=－0.5 | i=0 | i=0.5 | i=1 | |
| M(s1) | 0.0091② | 0.2663② | 0.5237② | 0.7809② | 1.0382② |
| M(s2) | -0.0231⑥ | 0.2056⑤ | 0.5237② | 0.6629⑤ | 0.8915⑤ |
| M(s3) | -0.0078④ | 0.2299④ | 0.4676④ | 0.7053④ | 0.9429④ |
| M(s4) | -0.0215⑤ | 0.1549⑥ | 0.3313⑥ | 0.5077⑥ | 0.6840⑥ |
| M(s5) | -0.0002③ | 0.2472③ | 0.4947③ | 0.7422③ | 0.9897③ |
| M(s6) | 0.0470① | 0.3113① | 0.5756① | 0.8299① | 1.1042① |
由表 5知，在对各方案综合评价联系数中的i作同步取值时，方案的优劣排序为
方案6>方案1>方案5>方案3>方案2>方案4
只有i=－1时的第5、6优方案排名有了变化，但由于实际应用时，一般只有最优方案和最优方案的备用方案才有实际被采用的可能，所以该变化对实际不产生作用。
与文献[7]给出的结果(方案6>方案2>方案5>方案3>方案1>方案4)对照，最优方案、第3优方案、最差方案(i=－1时不同)相同，但在第2优方案是方案1还是方案2上存在差异。
从表 5可知，当M(s1)与M(s2)中的i同步取值时，总有方案1优于方案2；只有当M(s1)中的i取较小的值(如i=-0.5)，而同时又让M(s2)中的i取较大的值(如i=0)时，会导致M(s2)M(s1)，即方案2优于方案1。由此提示：在各方案综合评价联系数中的i作不同步取值时，有可能引起各方案综合评价值大小排序的变化，为此需要就各方案综合评价联系数中的i作不同步取值时各方案排序问题展开进一步的讨论和分析。
为了分析i不同步取值时方案排序的变化情况，把i=－1和i=1这两种极端情况下的所有64种排序进行统计，并按排名先后分别赋以6、5、4、3、2、1的权值，求和得表 6。
| 方案 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次 | 第6次 | 总分 |
| 1 | 16 | 18 | 8 | 12 | 8 | 2 | 272 |
| 2 | 2 | 8 | 12 | 8 | 3 | 31 | 161 |
| 3 | 4 | 12 | 12 | 12 | 16 | 8 | 208 |
| 4 | 1 | 5 | 10 | 10 | 20 | 18 | 159 |
| 5 | 8 | 16 | 12 | 12 | 12 | 4 | 240 |
| 6 | 33 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | 304 |
| Σ | 64 | 64 | 64 | 64 | 64 | 64 | 1344 |
总分最高的为最优方案，最低的为最差方案。可见，在i不同步取值情况下所得的排序结果与同步情况下所得结果一致，即：方案6>方案1>方案5>方案3>方案2>方案4。
6 结束语当vague集中的不确定度πv(x)≠0时，需要对vague集的不确定性展开分析，为此，本文给出把vague集转化为集对分析联系数，借助联系数中i的不同取值展开不确定性分析的思路，并应用于一个黑启动vague集决策实例，不仅给出了更为客观合理的黑启动方案排序，也为利用vague集数据开展不确定性分析提供了一种可行的途径；此外，文章还给出了专家关联权重和指标关联权重向专家独立权重与指标独立权重过渡的计算方法，对其他领域中的类似决策也有一定参考作用。
附录 专家e2与专家e3给出的指标关联权重的计算
专家e2给出的指标权重如下：
W({c1})=(0.15,0.7)
W({c2})=(0.2,0.7)
W({c3})=(0.15,0.7)
W({c4})=(0.25,0.55)
W({c1,c2})=(0.3,0.5)
W({c2,c3})=(0.37,0.43)
W({c2,c4})=(0.5,0.3)
W({c3,c4})=(0.45,0.3)
W({c1,c3})=(0.35,0.45)
W({c1,c4})=(0.45,0.30)
W({c2,c3,c4})=(0.75,0.10)
W({c1,c3,c4})=(0.75,0.10)
W({c1,c2,c4})=(0.68,0.15)
W({c1,c2,c3})=(0.55,0.25)
W({c1,c2,c3,c4})=(1.00,0.00)
专家e3给出的指标权重如下：
W({c1})=(0.2,0.5)
W({c2})=(0.1,0.65)
W({c3})=(0.15,0.7)
W({c4})=(0.15,0.7)
W({c1,c2})=(0.35,0.3)
W({c2,c3})=(0.3,0.4)
W({c2,c4})=(0.3,0.4)
W({c3,c4})=(0.35,0.4)
W({c1,c3})=(0.42,0.28)
W({c1,c4})=(0.42,0.28)
W(c2,c3,c4)=(0.6,0.05)
W(c1,c3,c4)=(0.65,0.05)
W(c1,c2,c4)=(0.55,0.15)
W(c1,c2,c3)=(0.6,0.05)
W(c1,c2,c3,c4)=(1.00,0.00)
专家e2与专家e3给出的指标关联权重联系数如附表。
| 专家 | 指标c1 | 指标c2 | 指标c3 | 指标c4 |
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| 平均权重 联系数 |
(0.2013+0.0810i)× (0.34575+0.0625i)= 0.0696+0.0457i |
(0.2119+0.0716i)× (0.34575+0.0625i)= 0.0733+0.0425i |
(0.2085+0.0802i)× (0.34575+0.0625i)= 0.0721+0.0457i |
(0.2409+0.0883i)× (0.34575+0.0625i)= 0.0833+0.0510i |
| 专家 | 指标c1 | 指标c2 | 指标c3 | 指标c4 |
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| 平均权重 联系数 |
(0.2056+0.1365i)× (0.35825+0.1125i)= 0.0737+0.0874i |
(0.1764+0.1324i)× (0.35825+0.1125i)= 0.0631+0.0821i |
(0.194+0.113i)× (0.35825+0.1125i)= 0.0695+0.0753i |
(0.1910+0.1115i)× (0.35825+0.1125i)= 0.0687+0.0740i |
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