概率推理是根据不确定信息作出推理，同时需要对得出结论的概率作出估计的推理模型。贝叶斯推理问题是条件概率推理问题^[1-2]，最早在18世纪由英国学者贝叶斯提出，这一领域的研究可以深化人们对概率信息加工过程的理解，能够有效地指导人们进行判断决策以及数据推理。形式概念分析^[3]是1982年由Wille首先提出的，它描述了对象和属性之间的联系，在数据分析和知识获取等方面有着非常重要的意义。形式背景是一类具有特殊关系的数据库，其特殊性反映在对象与属性之间的关系仅有是与非2种，决策形式背景是由对象集合、条件属性集合和决策属性集合形成的数据表。

目前许多学者正在进行将贝叶斯概率推理应用到数据库的研究^[4-7]。Pawlak^[8]建立了贝叶斯理论和数据表之间的联系，Slezak等^[9]依据贝叶斯推理提出了贝叶斯数据模型，Y.Y.Yao^[10]基于贝叶斯决策过程提出了新的决策理论粗糙集模型，为数据推理提供了新的思想。本文提出的主观贝叶斯概率推理应用了贝叶斯公式的变形公式和主观给出的某些估计量，讨论决策形式背景中条件属性和决策属性的依赖关系。对于决策形式背景，条件属性的重要性存在差异，虽然一些对象含有某种条件属性的数目比较多，但是这些条件属性对决策的影响程度可能比较小；而另外一些对象含有的某种条件属性的数目比较少，但是这些条件属性对决策的影响程度可能比较大。因此，不仅要考虑条件属性的个数，还要考虑条件属性和决策属性的关联程度。

1 基本概念

决策形式背景中知识的发现首先要根据不同的属性将对象进行分类，同一类中的对象均具有共同的属性，所以对属性的研究可以归结到对某类对象的研究。下面给出决策形式背景中对象的分类方法。

定义1^[11]  称(U, A, I)为形式背景，其中U=x₁, x₂, ..., x_n为对象集，x_i(i≤n)称为对象；A={a₁, a₂, ..., a_m}为属性集，a_j(j≤m)称为属性；I为上的二元关系，。若(x, a)∈I, 则称x具有属性a；若(x, a)∉I，则称x不具有属性a。

定义2^[12] 如果(U, A, I)与(U, D, J)是2个形式背景，称(U, A, I, D, J)为决策形式背景。

定义3 设(U, A, I, D, J)是一个决策形式背景，当(x, a)∈I时，记为I_a(x)=1，即x具有属性a；当(x, a)∈I时，记为I_a(x)=0，即x不具有属性a。

称R_A为形式背景(U, A, I, D, J)中U上的确定关系。由于关系R_A满足自反性、对称性和传递性，因此R_A是U上的等价关系。在决策形式背景(U, A, I, D, J)中，由R_A可以产生U上的一个划分^[13]：

式中：

同样对于决策属性d，有：

式中：。

2 主观贝叶斯概率推理

概率理论是研究具有不确定性问题的理论，可以将其理解为信任的程度，也就是主观概率。它反映了人们的经验，可能会因人而异。不过它本身的不确定性并不影响其在不确定推理中的应用，依据主观概率进行推理可以更加明显地反映客观事实。下面给出决策形式背景中的主观贝叶斯概率推理。

定义4  设(U, A, I, D, J)是决策形式背景，对于划分，可以表示为，其中表示与x_i具有完全相同的条件属性的对象全体，x_i所具有的所有条件属性构成的集合称为i-条件属性集，记为A_i，a∈A_i为i-条件属性；表示与x_i不具有完全相同的条件属性的对象全体，称为非i-条件属性集，称为非i-条件属性。

显然A_i作为条件属性随机变量只有2种状态，A_i表示i-条件属性成立，表示i-条件属性不成立；D_d作为决策属性随机变量也有2种状态，D_d表示决策属性d成立，表示决策属性d不成立。

若P是(U, A, I, D, J)上的概率测度，记

则P(D_d/A_i)是条件概率，是集合A_i相对于集合D_d的包含度。

下面根据文献[14]，给出决策形式背景中的充分似然率与必然似然率的定义。

定义5 设(U, A, I, D, J)是决策形式背景，其中A_i是条件属性随机变量，D_d是决策属性随机变量，称L_S为充分似然率，L_N为必然似然率。

定理1 设(U, A, I, D, J)是决策形式背景，其中A_i是条件属性随机变量，D_d是决策属性随机变量，则有：

式中：

证明 由贝叶斯公式可得

式(8)、(9)相除即得式(3)。将式(5)和式(6)分别代入式(3)，即得

于是

即得式(4)，证毕。

定理2  充分似然率L_S对P(D_d/A_i)的影响为

1)L_S=1时，P(D_d/A_i)=P(D_d)，即i-条件属性对决策属性d的可信度无影响；

2)L_S>1时，P(D_d/A_i)>P(D_d)，即i-条件属性增加决策属性d的可信度；

3)L_S < 1时，P(D_d/A_i) < P(D_d)，即i-条件属性减少决策属性d的可信度。

证明 设y=P(D_d/A_i)，a=P(D_d)，x=L_S，则式(4)成为

对x求导即得

若0 < a < 1，则，即y是x的增函数，当x=1时，y=a。于是L_S=1时，P(D_d/A_i)=P(D_d), 同理可证(2)和(3)，证毕。

例1 一个关于人体健康状况的信息系统如表 1，其中U=x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆，A=a₁, a₂, a₃，D={d}，d成立表示人体健康，d不成立表示人体不健康。

显然(U, A, I, D, J)是决策形式背景，D_d=x¹, x₃, x₄, x₆，P(D_d)=2/3，对于3-条件属性A₃，有A₃=a₃，则。若专家给出L_S=1, 于是，也就说明了a₃这项指标对人体健康状况无影响；L_S>1, 于是，也就说明了a₃这项指标可以使人体更加健康；L_S < 1, 于是P(D_d/A₃) < 2/3=P(D_d)，也就说明了a₃这项指标危害人体健康。通过以上的讨论可以看出指标a₃与人体健康状况的关系受到专家主观给出的L_S的影响，也就是说专家自身的主观经验在推理过程中起着至关重要的作用。

定理3 设(U, A, I, D, J)是决策形式背景，其中A_i是条件属性随机变量，D_d是决策属性随机变量，则有

式中：

证明 仿定理1可证。

定理4 必然似然率L_N对的影响为：

1)L_N=1时，，即非i-条件属性对决策属性d的可信度无影响；

2)L_N>1时，，即非i-条件属性增加决策属性d的可信度；

3)L_N < 1时，，即非i-条件属性减少决策属性d的可信度。

证明 仿定理3.2可证。

主观贝叶斯概率推理为决策形式背景中的条件属性和决策属性间的关系讨论提供了一种简便的方法，计算在一定条件属性下决策成立的可信度，主要根据专家的经验知识给出充分似然率与必然似然率，由式(1)、(2)得

故可得到以下结论：

1)L_S=1, 当且仅当L_N=1；

2) , 时必；

3)当P(D_d/A_i)=0时，必有P(A_i/D_d)=0，于是L_S=0，即对象具有i-条件属性时决策属性d必然不成立；

4)当时，必有，于是L_N=0，即对象具有非i-条件属性时决策属性d必然不成立；

5)当且L_S越大，P(A_i/D_d)越大，从而P(D_d/A_i)越大，于是L_S越大时，对象具有i-条件属性时对决策属性d的确定越有利；

6)当且L_N越大，越大，从而越大，于是L_N越大时，对象具有非i-条件属性时对决策属性d的确定越有利。

由于在主观贝叶斯概率推理中，L_S和L_N是专家根据经验主观给出的，在给出L_S和L_N时必须充分理解它们的实际意义，也就是要满足以上6条性质。

3 基于包含度的概率推理

在上述推理过程中，利用了由经验给出的充分似然率与必然似然率计算条件概率P(D_d/A_i)和。条件概率也是一种包含度，因此可以利用充分似然率与必然似然率计算其他的包含度。

定义6  ^[15]X为普通集合，F(X)表示X中模糊集合的全体，设对于任意, ，有数对应且满足：

1) ;

2)对于;

3)对于, 时有,

称D为F(X)上的包含度。

容易验证：

是2种不同的包含度。

定理5 设(U, A, I, D, J)是决策形式背景，其中A_i是条件属性随机变量，D_d是决策属性随机变量，则有

证明 由定理1和定理2可知：

根据全概率公式：

及

就有

于是得到

同理可得

证毕。

定理6 充分似然率L_S和必然似然率L_N对包含度及的影响为：

1)L_S=1时, ；L_N=1时，。

2)L_S>1时，；L_N>1时，。

3)L_S < 1时，；LN < 1时，。

证明 由函数的单调性可证。

定理7 设(U, A, I, D, J)是决策形式背景，其中A_i是条件属性随机变量，D_d是决策属性随机变量，以下关系成立：

证明  由于

再将定理5中的代入即得

同理可证

证毕。

例2 根据表 1，可以得出P(D_d)=2/3，

，令L_S=2，L_N=0.5于是计算出

在计算过程中没有用到概率P(D_d)以及，也就是说不需先验概率便可将包含度D₂计算得出。

由定理7易见，当L_N≤1时，D₂(D_d/A_i)随着L_S的增加而增加；当L_S≤1时，随着L_N的增加而增加。利用L_S与L_N计算包含度D₂(D_d/A_i)和，不再用先验概率，这是包含度D₂在应用中的优势，但是它的计算结果无法与P(D_d)比较，这是该方法的不足。定理5和定理7分别提供了2种新的利用主观概率进行概率推理的方法，为决策形式背景中的不确定性推理提供了更多的选择。

4 结束语

本文将主观贝叶斯概率推理的方法应用到决策形式背景中，从推理的角度分析了属性值之间的关联性。推理过程接近人们在日常生活中获得概率信息作出判断的情况，清晰地反映出实际应用的信息特点和概率判断的过程，为决策形式背景的数据挖掘和决策判断提供了新的理论依据。在后续的研究中，将进一步探讨基于贝叶斯推理的形式背景中条件属性约简方法。