粗糙集理论于1982年被Pawlak^[1]提出以来，已经取得很大的发展。特别是在数据的决策与分析、模式识别、数据挖掘、机器学习与知识发现等方面。在粗糙集理论中有2种方式来定义近似算子：构造性方法和公理化方法。构造性方法是以论域上的二元关系、邻域系统或布尔子代数作为基本要素构造性地定义近似算子，然后得出粗糙集代数系统^[2-4]。公理化方法就是先给定一个粗糙集代数系统，然后定义二元关系使得由二元关系通过构造性方法定义的近似算子及导出的粗糙集代数系统就是给定的近似算子和粗糙集代数系统^[5-9]。基于这2种方法，在代数结构方面，不少学者做出了一些研究并提出了许多新的概念，如粗糙群^[10]、粗糙子群^[11]、粗糙不变子群^[12-13]等。在线性空间方面，日本学者N. Kuroki^[14]研究了线性空间上粗糙集的性质，提出了在线性空间上的等价关系以及上下近似算子。国内学者W.J.Liu ^[15-16]、吴明芬^[17]等也研究了粗糙线性空间的性质并联系线性空间本身的性质研究更深入的性质，同时还把粗糙集引入了线性空间和模糊线性空间中。本文就是在文献[17]基础上，结合模糊逻辑及其代数分析^[18]的有关概念，以及H.G.Zhang^[19]对经典粗糙集上信息丢失问题的提出的方法，根据上下近似算子的性质提出了2个集合，使信息丢失的问题得到解决，并建立基于布尔代数的粗糙线性近似空间模型。

1 基本概念

定义1^[17] 设V是数域P上的线性空间，X、Y是V上的非空子集，k是数域P上的任意元素，定义集合的和与数乘为：

定义2^[17] 设线性空间V上一个等价关系ρ，若对∀α,β∈V，有(α,β)∈ρ，，，,。则称ρ为V上的一个同余关系。

定义3^[17] 设W是线性空间上V的一个子空间，定义一个二元关系ρ_W：

定理1^[17] 设W是线性空间V的子空间，则下面结论成立：

1)ρ_W是V上的一个同余关系

2)∀α∈V，同余类则可将记为。是全体同余类的集合。

性质1^[17]  

定义4^[17] 设V是数域P上的线性空间，W是V的线性子空间，X是V上的任意一个非空子集，定义X在W上关于ρ_W的上、下近似分别为：

性质2^[17] 设V是数域P上的线性空间，W是V的线性子空间，X,Y是V上的非空子集，则有：

1)；

2)；

3)；

4)若，则有,；

5)；

6)。

2 集合的交(并)的上(下)近似的等式刻画

由性质2中的5)、6)可以看出，在线性空间中交的上近似、并的下近似并不是等式刻画，存在信息丢失的问题。在本节中，主要解决这一问题，为此引入以下定义：

定义5 设V是数域P上的线性空间，W是V的一个子空间，X,Y是V的2个子集，记

;

,

且。

定理2:

1)

2)

证明: 1)对,有。

若或，则有,或，则。若且，则，所以。

因此有。

对，有

或或。

若，则有，若，则有，若，则，则有。

所以，即。

2)此命题等价为

对，有。

若，则有，若，则有且，所以，则。对，则有且，即且。

若，则有；若，则。

所以。从而

例1:设线性空间V是全体实数，定义它的加法运算为，乘法运算为。V的一个线性子空间为W={－1，1}，V中的2个子集X={1,2,3,4,5}和Y={1,2,3,6}。求P_X(Y),Q_X(Y)并验证以上结论。

解：由定义可得

所以，,。

3 粗糙线性近似空间及其代数结构

研究了基于同余关系的线性空间上下近似的性质，并通过2个集合解决了信息丢失的问题，下面要讨论上下近似的代数结构。

定义6 设V是数域P上的线性空间，X是V的任意子集，定义

定义7 设V是数域P上的线性空间，X,Y是V的任意子集，则粗糙线性空间的并、交、补、差运算定义为：

1)，；

2),；

3),；

4),。

推论1 1)

2)

证明:由定义可得,，又由定理2可得。

所以。

同理可得。

定理3 设V是数域P上的线性空间，X、Y、Z是V的任意子集，则有

1)交换律：

；

。

2)结合律：

3)分配律：

4)幂等律：

5)0-1律：

6)互补律：

7)对偶律：

证明:

1)由P_X(Y)和Q_X(Y)定义可以看出P_X(Y)=P_Y(X)，Q_X(Y)=Q_Y(X)。

所以

2)

3)

4)

5)

6)

7)要证，只需证。

所以。

同理可证。

定义8: 设V是数域P上的线性空间，设(V,ρ_W)为粗糙线性空间，对X⊆V,定义,为(V,ρ_W)上的一个Rough集。定义F=(V,ρ_W(X))X⊆V,称其为粗糙线性近似空间。其上的运算定义如下：

由以上分析可得出如下定理：

定理4 代数系统为布尔代数。

4 结束语

粗糙集与代数系统的结合研究是粗糙集理论研究热点之一，把粗糙集与线性空间结合研究具有重要的理论意义。在本文中，根据线性空间中集合关于同余关系的上下近似的性质，提出了2个集合以解决线性空间中信息丢失的问题，通过对上近似的交和下近似的并的等式的刻画，同时研究了粗糙线性近似空间中上下近似的代数结构并证明了其构成了布尔代数。接下来将对此代数结构进行进一步的研究。但本文缺乏实际应用，未来将对上下近似的代数结构和实际应用做进一步的研究。