0 引言

随着油气开发由浅海迈向深海，海底管道的工作环境也越来越恶劣，管道会受到更大的轴向载荷和弯矩载荷。因此，管道的初始设计成为重要环节，可确保管道在使用过程中的安全性。

L.G.BRAZIER^[1]最早对管道弯矩和横截面变形之间的关系进行了研究，并建立了两者之间的简单关系式。S.KYRIAKIDES等^[2-4]通过理论分析和模型试验研究了海底管道在受到弯矩时的屈曲状态，得到了管道的极限承载能力。PAN W.F.等^[5-9]基于非线性环理论和内涵时间函数，对薄壁铝管弯曲过程中的屈曲现象进行了研究，并用大量试验进行了验证，但是由于内涵时间函数本身的局限，该方法的应用受到一定限制。YUAN L.和梁振庭等^[10-11]基于S.KYRIAKIDES等提出的方法，对海底管道在承受弯矩、静水压力等外部载荷时的屈曲现象进行了研究。刘冰和李璞等^[12-13]基于应变设计准则对管道的承载能力进行了研究，并与相关规范进行了对比。王立权等^[14]通过理论和仿真手段，对铺设中管道的可靠性进行了研究。胡家顺和杨辉等^[15-16]对含裂纹缺陷的管道进行了研究，其成果都为国内管道设计提供了思路，但都未考虑初始曲率对管道承载能力的影响。

笔者基于梁理论建立了管道横截面应变能与变形之间的数学关系式，采用三角级数法对方程进行求解，获得了管道相对弯矩和椭圆度，同时以254 mm(10 in)管道为例，基于有限元仿真计算了含有初始曲率管道的弯矩、张力承载能力和椭圆度，并通过试验对弯矩和椭圆度进行比较分析，对理论的正确性进行了验证。

1 理论分析 1.1 管道受力变形理论模型

在铺设和生产运行过程中，管道主要受轴向拉力、弯矩以及静水压力。管道外压承载能力主要与横截面相关，通常忽略长度因素，故本文主要分析初始曲率对管道弯矩和张力承载能力的影响。

为便于分析，将管道横截面变形过程简化，建立了管道变形示意图，如图 1所示。管道壁厚为t，平均半径为r，管道横截面变形为a，任意一点A(A为管道中径上的点)在环向和径向的位移为v、w，单位为m。

管道在受力变形时，其变形能U主要由轴向应变能和环向应变能组成，即有：

(1)

式中：U_L为轴向应变能，N；U_H为环向应变能，N。

根据梁理论，横截面上轴向应变能和任一点应力σ_L、应变ε_L之间的关系为：

(2)

(3)

式中：E为弹性模量，Pa；κ为管道在受力时产生的曲率，m^-1；y为横截面上任意一点与中性轴之间的距离，m；κ₀为管道的初始曲率，m^-1；u_n为横截面上任意一点的位移，m。

管道的弯曲总曲率可表示为：

(4)

管道横截面任意一点的环向应变可表示为：

(5)

式中：ε_θ0为几何中性轴的初始环向应变；κ_θ为变形后任意一点的环向曲率变化量，m^-1；ρ为任意一点在径向方向与平均半径之间的差，m；()′为该参数相对于θ的一阶导数，()″为该参数相对于θ的二阶导数。

当管道为纯弯时，ε_θ0=0，则有：

(6)

因此，管道的环向应变能可表示为：

(7)

式中：σ_θ为横截面任意一点环向应力，Pa；ε_θ为横截面任意一点环向应变；()"'为该参数相对于θ的三阶导数。

1.2 方程求解

根据三角级数，可将管道横截面任意一点的径向位移w和环向位移v表示为：

(8)

根据式(6)和式(8)，并忽略式中的较小项，可以得到以下关系式：

(9)

定义椭圆度，可获得管道纯弯时横截面的变形能：

(10)

1.3 弯矩和椭圆度

根据能量法，可以得到此时管道承受的弯矩：

(11)

根据文献[17]，管道发生屈曲时的临界弯矩M_buck与管道参数之间满足下式：

(12)

将管道屈曲时的弯矩无量纲化，可以得到：

(13)

根据最小势能原理，变形能和变形之间的关系式为：

(14)

于是，可以得到管道屈曲时椭圆度和曲率的关系：

(15)

2 算例分析 2.1 初始曲率对张力和椭圆度的影响

选取管道外径254 mm(10 in)，壁厚10 mm，弹性模量207 GPa，屈服强度414 MPa，硬化指数n=10.3。采用ANSYS软件对管道弯曲过程进行模拟，其初始曲率为0.1 m^-1，弯曲长度l₁为直径D的8倍。为减少计算量，取其作为分析模型。网格划分后的有限元模型如图 2a所示。采用Ramberg-Osgood线性化后的材料模型和Von Mises屈服准则，假设材料为各向同性。通过对管道末端施加弯矩，横截面X向对称约束，轴向截面Z向对称约束。通过后处理可得Z=0、θ=±π/2(该截面处直径最高点和最低点)处的节点位移，进而可计算出管道的椭圆度。图 2b、图 2c分别为管道在施加曲率0.2 m^-1时的等效应力和变形云图。

图 3为初始曲率对相对弯矩的影响曲线。从图 3可以看出：随着初始曲率的产生，管道的弯矩承载能力变小；随弯曲曲率的增大，管道相对弯矩呈现出先增加再减小的趋势。其原因在于管道发生屈曲后，为减小弯曲应力对管道受力的影响，通过横截面形状的变化降低管道的最大应力，而横截面的变化又降低了弯矩的承载能力。管道相对弯矩的仿真值比理论值平均偏大约8.5%，主要原因是理论值忽略了横截面上较小的径向变形。

图 4为初始曲率对管道椭圆度的影响曲线。从图 4可以看出：在同一初始曲率下，椭圆度随曲率的增加而增加；在增加同样大小曲率的情况下，含有初始曲率的管道，其椭圆度也更大。这是因为在承受同样弯矩的情况下，为减小管道截面上的应力，使其不超过管道的极限应变，需要更大的变形，因而椭圆度更大。仿真值比理论值平均偏小约9.1%，主要是理论计算忽略了横截面的径向变形，而实际过程中径向上的应力会抵抗弯曲时的变形。

2.2 初始曲率对张力承载能力的影响

张力的增加会逐渐导致管道管壁变薄，导致管道失效甚至破裂。当张应力达到某一值后，会导致管壁迅速减薄，甚至达到材料的拉伸强度。在此刻若施加很小的一个外力，管道就将被破坏。根据文献[18]，无初始曲率管道的极限张力T为：

(16)

式中：σ_s为材料屈服强度，Pa；σ_b为材料拉伸强度，Pa；A′为管道横截面积，m²。

通过软件分析了初始曲率对张力承载能力的影响，结果如图 5所示。从图 5可以看出：随着曲率的增加，管道所允许承受的张力逐渐变小；随着管道弯曲长度的增加，管道张力承载能力逐渐降低。其原因在于，在对管道横截面施加拉力时管道初始曲率会给管道横截面一个弯矩，并且随着弯曲段长度的增加弯矩也更大，因此导致了管道张力承载能力的降低。

3 试验研究

为验证理论计算的正确性，设计了如图 6所示的试验方案。将试验管道夹持于试验框架中，在液压缸的作用下管道发生弯曲，通过压力传感器记录液压缸的工作压力，进而得到推力F；同时通过位移传感器记录液压缸的行程y_y；管道最大挠度为y。假设两液压缸之间的距离为l；框架两支点之间的距离为L，可以得到管道的弯矩和曲率：

(17)

(18)

初始曲率为0.1 m^-1管道椭圆度和相对弯矩的理论值和试验值对比如图 7所示。从图 7可以看出：相对弯矩试验值比理论值偏大，最大约为18.9%；椭圆度试验值比理论值偏小，小约17.5%。其主要原因为：一是材料参数带来的影响，理论计算时采用的材料参数与实际值有所差异，通常情况下管道材料的实际屈服强度会大于该钢级的参考值；二是管道的实际受力是三维受力，而理论计算主要考虑轴向和环向受力，忽略了径向受力。根据试验结果，理论计算结果比实际结果更加保守，但偏差在应用的允许范围内，因此该理论方法可用于指导实践。

4 结论

(1) 基于梁理论建立管道横截面应变能和变形之间的关系，利用三角级数对方程求解，获得了管道相对弯矩和椭圆度与管道参数之间的表达式。

(2) 随曲率增大弯矩呈现先增加再减小的规律，椭圆度则一直增大。

(3) 初始曲率的产生导致管道的弯矩承载能力减小、椭圆度增大；管道张力承载能力随初始曲率和弯曲长度的增加而降低。

(4) 在相同的初始曲率下，管道相对弯矩的试验值和仿真值分别比理论值大约18.9%和8.5%，椭圆度试验值比理论值和仿真值分别小约17.5%和9.1%，表明理论值偏保守，偏差在工程应用的允许范围内，验证了该理论的正确性。