0 引言

单螺杆水力马达是现代钻井中普遍使用的一种井下动力钻具，常用于定向井、水平井的造斜段和水平段钻进，其低转速、大扭矩和硬输出特性很适合与牙轮钻头或PDC钻头配合钻进，可获得较高的机械钻速。

螺杆钻具的核心部件是由定转子组成的工作总成，它是螺杆钻具的动力来源。定转子的线型设计直接影响螺杆钻具的输出性能和使用寿命。传统的线型设计方法将普通内摆线的外等距线作为齿根部位，以等距线偏移距离为半径的圆弧作为齿顶部位组成定转子的轮廓线^[1-7]。这样的设计在摆线弧和圆弧连接处并不平滑，该部位在运行过程中不断磨损定子橡胶，会加速橡胶衬套的损坏，缩短螺杆钻具的使用寿命。而基于齿条啮合方法的定转子造型设计不仅可以克服传统线型的造型缺点，而且还可设定更多参数，获得的线型更加多样，除了用于螺杆钻具定转子线型外，还可供其他螺杆式水力机械使用。

1 齿条啮合理论以及定转子线型生成方法

螺杆钻具定转子线型设计主要分为两部分：一部分是生成初始线型，即定子线型；另一部分是根据啮合原理生成其共轭线型，也就是转子线型。本文利用齿条啮合方法生成定子初始线型，首先按照图 1生成初始齿条轮廓，其次初始齿条轮廓滚动生成定子初始线型，如图 2所示。图 2展示的是四头(lobe)内摆线定子的一个周期，4个周期完成1个循环，生成完整的定子初始曲线^[8]。

在图 1中，1为短幅内摆线，2为具有水平偏移变量Δx₁的摆线(1摆线水平偏移Δx₁)，3为具有r_ex距离的等距偏移变量，4为参考直线，5为导圆，6为动圆。动圆6的半径为r，摆线生成点的偏心距为e，导圆5的半径为z₁r，z₁为初始定子线型头数。

定子初始线型一般采用短幅内摆线(e < r)的外等距线线型，不采用普通内摆线线型(e=r)和长幅内摆线线型(e>r)，这是因为其会产生尖端和发生自交。用内摆线作定子则利用外滚法形成共轭转子，即将定子线型固定在半径为a(a=z₁e)的外部动圆上，动圆在半径为b(b=z₂e)的定圆外部无滑滚动。定子线型转动形成的内包络线即为其共轭转子线型，这里z₂=z₁-1，因此形成的共轭转子比初始定子线型少1头^[8-9]。

短幅内摆线1的参数方程如下(Y轴为参考直线4，X轴如图 1所示)：

(1)

式中：ψ为滚动圆6滚动旋转的角度，ψ∈(0, 2π)；c₀为偏心系数，无量纲，${{c}_{0}}=\frac{r}{e}$；u为线型参数，若u=-1，则形成的曲线为内摆线，若u=1，则形成的曲线为外摆线。

图 3为水平偏移量Δx₁或等距偏移量r_ex的线型计算图。如图 3a所示，滚圆顺时针向上滚动，摆线生成点M转过角度ψ，此时M点所在的摆线位置其法线与Y轴相交，与内摆线的外等距线相交于点M′，MM′的距离为等距线偏移距离r_ex，可证明MM′线与Y轴相交的点P也正是滚圆和Y轴的切点(可以通过几何证明，或通过运动学证明)。因此，内摆线外等距线上的点和原内摆线上的点以及滚圆与Y轴的切点具有对应关系。

令

(2)

式中：α_P为法线与Y轴的夹角。

于是内摆线的外等距线的参数方程可以写为：

(3)

假设除了有外等距偏移量外，还有水平偏移量Δx₁，如图 3b所示，则外等距偏移线是在有水平偏移量的摆线的基础上再进行等距偏移。其中直线l为初始摆线的法线，直线l′为经过水平偏移后的摆线上的法线，这两条线之间也平移了Δx₁，形成的MM′为r_ex。尽管发生了偏移，水平偏移后的摆线和进行等距偏移后的摆线上的点还是相互对应，只是与Y轴的交点发生了变化，从图 3a中的P点变成图 3b中的P′点，变化距离为Δx₁cotα_P。此时水平偏移的内摆线的外等距线参数方程表示如下：

(4)

将式(1)代入式(4)，利用三角函数将式中α_P转化为ψ，得到的参数方程如下：

(5)

其中，q=1-c_e/w, ，c_e为齿形系数，c_e=r_ex>/e。

2 初始定子线型生成

完成初始齿条轮廓线的构成后，可通过齿条啮合方法形成初始定子线型(见图 4)。由图 4可知，从(x₀, y₀)经过水平偏移、等距偏移后变成(x_P, y_P)，将该齿条固定在坐标轴X_POY_P内，其Y_P轴在半径为z₁r的导圆上进行无滑滚动，导圆所在的坐标轴为XO₁Y。滚动的初始位置是X_POY_P的原点在XO₁Y坐标系内的(z₁r, 0)点上，两坐标系的X轴指向相同，滚过的Y_P轴上的距离OP和导圆上的弧相等，由此可以通过坐标变换法^[10-12]将X_POY_P坐标系中的齿条方程在XO₁Y坐标系中表示，参数方程为：

(6)

可以发现该参数方程中有两个自变量φ_p和ψ(ψ与x_P和y_P相关)，可通过两自变量间的函数关系转化为一个自变量。根据上述结论，当齿条摆线随着自身固定坐标轴在导圆上无滑滚动的同时，生成摆线的滚圆6(图 1)也相当于在y_P轴上无滑滚动。如图 4所示，滚圆6在y_P轴上的啮合点与y_P轴在半径为z₁r的导圆上的啮合点为同一个啮合点，都是P点，这样摆线生成点M对应的外等距线上的点既参与了滚圆6沿参考直线y_P轴滚动的运动过程，也参与了y_P轴在导圆上滚动的运动过程，这两个运动共同作用的合运动就形成了定子初始线型。因此，齿条滚动角φ_P和滚圆参数角ψ、齿条上摆线点的关系也有确定关系。由于，所以可以得到齿条滚动角φ_P和滚圆参数角ψ的关系如下。

在没有水平偏移量Δx₁的情况下为：

(7)

在有水平偏移量Δx₁的情况下，OP′的长度可表示为：

(8)

因，则可得：

(9)

令，则有：

(10)

定义第3个无量纲参数(c_Δ为偏移系数)，此时已有3个基本的几何设计参数(偏心系数c₀、齿形系数c_e和偏移系数c_Δ)。这3个参数是定转子线型设计的基本几何参数，在优化定转子结构中经常使用。

将式(10)和式(5)代入式(6)可得：

(11)

式中：u₁为传动系数, δ₁。

该公式即为利用齿条啮合滚动得到的初始定子线型的一般公式，在某些无量纲几何参数为特殊值时还有以下几种特殊情况。

(1) 若没有水平偏移量Δx₁，则该线型称为理想线型，与传统摆线生成方法(滚圆在导圆上无滑滚动生成摆线)一样可得到相同的参数方程。令，参数方程可写为：

(12)

(2) 在偏心系数c₀趋近于1的情况下，摆线生成点M近似在滚圆6的圆周上形成普通摆线。这种线型常用于螺杆泵和高转速螺杆钻具的定转子线型设计中^[13]。参数方程可写为：

(13)

(3) 在等距偏移量c_e=0的情况下，存在水平偏移量Δx₁，该线型被称为骨线线型。这种啮合常用于旋转活塞液压机、内燃机机油泵和压缩机等内部的定转子设计^[14-16]。参数方程如下：

(14)

3 共轭摆线线型求解

外滚法形成共轭转子示意图如图 5所示。图 5a中，初始定子线型(x₁, y₁)固定在外滚圆上，滚圆半径为a=z₁e，所在坐标系为X₁O₁Y₁，内部定圆半径为b=z₂e，所在坐标轴为X₂O₂Y₂，两圆切点为P。当外部滚圆顺时针无滑滚动到图 5b位置时，固定在滚圆上的定子也随X₁O₁Y₁坐标轴发生行星转动，此时两圆切点为P，滚过的弧长相同。利用坐标变换法把坐标系X₁O₁Y₁内的方程在X₂O₂Y₂中表示为：

(15)

在参数方程中有两个变量，一个是齿条滚角φ_P(φ_P与x₁和y₁相关)，一个是初始线型旋转角φ。为了转化成只有一个变量的参数方程，需寻找两个变量间的关系。根据Willis原理^[10-11]，任意时刻定转子啮合点处曲线的法线必通过该时刻定转子的运动瞬心。如图 5b所示，若K为啮合点，则该点既在定子初始线型上，也在其共轭转子上。这样的点在任意滚动瞬间都存在，在连续时间下这些点的轨迹就可以描绘出共轭转子线型，在△KPB中有比例关系：

(16)

在一般情况下(有水平偏移量Δx₁)解上面的方程要使用数值方法，若使用理想线型(x₁=0)求解，则将式(12)代入式(16)可得到以下三角函数方程：

(17)

解方程可得：

(18)

通过这两个解可以看出，在滚动过程中的任意时刻，摆线啮合都会发生在z₂个齿顶部分(对应φ₁)和一个齿根部分(对应φ₂)。由于两个解不同，共轭转子的线型需要用两个方程来表示。将φ₁代入式(15)可得到齿顶的参数方程^[12-16]:

(19)

从参数方程可以看出，齿顶部是以(z₂r, 0)为圆心，r_ex为半径的圆弧。将φ₂代入式(15)可得转子齿根处的参数方程：

(20)

通过上述两组参数方程可以精确描述理想线型情况下初始定子线型的共轭转子线型。而严格来讲，在有水平偏移量Δx₁下形成的初始线型不能称为摆线线型，利用数学分析方法不能够获得精确的线型方程解析式，只能通过数值方法求解定子的共轭线型。但由于实际工程中加工精度受限，定子橡胶衬套制备后会产生一定变形，装配过程中也会留有过盈量等各种因素的综合干扰，所以在转子工作时并不能达到理想的啮合状态，可以容许有一定误差。为了计算方便，可以使用以下参数方程来近似替代转子线型。

(21)

式中： 。

数值计算和近似方程得到的共轭转子线型如图 6所示。初始定子线型通过上述方法利用参数方程(11)确定，虚线为利用数值方法根据啮合原理确定的精确共轭转子线型，红色实线为利用公式(21)确定的近似转子线型。由图 6可知：根据近似方程得到的转子线型与理想情况下数值计算形成的精确共轭线型相差不大，只是在齿顶和齿根相接处附近有微小差异；近似方程线型在与定子的接触点处稍有加厚，超过了定子线型的边界，但这一变化十分微小，可以忽略。由此可说明近似方程在工程应用中的可行性。

水平偏移量Δx₁可以改变线型齿根和齿顶连接处的形态。不同水平偏移量时初始定子线性如图 7所示。由图 7可知，Δx₁ < 0时形成的线型在齿顶和齿根连接处起伏比较明显，Δx₁>0时形成的线型其齿顶和齿根连接处逐渐平缓。

4 结论

(1) 基于齿条啮合的螺杆钻具定转子线型生成方法包括传统的经典线型生成方法。这种齿条啮合方法拥有更多的基本几何参数，具有更多形式的共轭线型。

(2) 齿条啮合方法使用广泛，对生成螺杆式水力机械线型具有普遍适用性，其不同情况下得到的方程适用于不同类型的螺杆式水力机械。

(3) 利用该方法得到的线型表面更平滑，曲率曲线连续可导，尤其减轻了转子齿顶与齿根连接处对橡胶衬套的磨损，可以有效延长定子衬套的使用寿命。