0 引言

随着石油和其他石化能源的日趋枯竭以及全球对于温室气体排放引起气候变化问题的关注，人们对清洁能源的需求日益增加^[1-2]。作为可再生清洁能源的吸收装置，浮子式波浪能转换装置具有能量利用率高、稳定性好和适应性强等优点，因而具有重要研究意义^[3-4]。

在浮子式波浪能转换装置的设计过程中，合理有效地确定匹配功率对最终设计的装置效率影响很大^[5-6]，人们已经进行了相关的铺垫研究。K.BUDAL ^[7]、D.V.EVANS^[8]和苏永玲等^[9]通过对振荡浮子式波浪能转换器进行研究，指出了当采用优化的几何尺寸使得装置固有频率接近波浪频率，以及施加最优线性负载阻尼时，波浪能转换器的效率可达到最大。吴必军等^[10]指出，浮子式波浪能转换器优化后的最大转换效率并不发生在共振点上。孟扬^[11]通过试验得到发电机输出功率与入射波周期和波高的关系曲线，但并没有得到确切的推导公式。勾艳芬等^[12]对转换装置功率特性进行了分析，但忽略了转化能量受力对浮子运动的影响。因此，为准确认识波浪条件与浮子式波浪能转换装置匹配功率的特性关系，需要进行更全面的考虑。

笔者采用振动理论的共振条件和线性波理论，通过对浮子受力运动数学模型的简化，从能量的角度推导出在规律波条件下的装置匹配功率与波浪参数、装置效率之间的关系式。通过代入渤海海域波浪参数，笔者进一步讨论了这些参数对匹配功率的影响，并在此基础上进行样机试验来验证所得公式的合理性。所得结论可为浮子式波浪能转换装置的设计提供帮助。

1 浮子运动受力数学模型的建立

本文考虑的是一种通过浮子上下振荡来收集波浪能进行发电的波浪能转换装置，其中振荡浮子的形状为垂直圆柱体。由于浮子在波浪力和约束力的共同作用下做上下垂荡运动，所以仅考虑浮子的竖直方向受力。图 1为浮子受力振动的阻尼模型。

假设海水是无黏性不可压缩的均匀流体，忽略浮子振荡对海水的影响，采用线性波理论来分析波浪能捕获问题。根据文献[13]，得到振荡浮子的运动方程为：

(1)

式中：M为浮子质量，kg；m为附加水质量，kg；F_PTO为转化能量受力，N；F_D为静水回复力，N；F_B为波浪激励力，N。

将式(1)转化为线性微分方程，则有：

(2)

其中：

(3)

(4)

式中：ω₀为无阻尼系统的固有角频率；ζ为阻尼比；k为弹性系数，γ为阻尼系数。

根据文献[14]的研究，在浮子振幅最大，即浮子与波浪形成共振时，波浪激励力角频率ω_d与ω₀有如下关系：

(5)

2 装置的匹配功率关系公式推导

浮子式海洋波浪能转换装置匹配功率的影响因素比较多，在本文中考虑的主要影响因素为波浪的周期T、波长λ、波高H、波速c、浮子质量M、浮子半径R、阻尼系数γ、弹性系数k、装置的总效率η₁和装置的机械效率η₂。

2.1 浮子半径的确定

波浪能量指运动过程中所产生或具有的能量，包括波动中水质点运动动能和波面相对于平均水面的重力势能。根据文献[15]，一个波长、单位波峰线宽度内，波动的动能和势能相等，波动总能量为：

(6)

那么，流经浮子宽度的波浪能量功率为：

(7)

在整体效率一定的情况下，浮子的半径越大，那么它接收到的能量越多，最终装置的匹配功率也越大。设经过浮子的波浪能功率为P_wave，装置的匹配功率为P_c，则装置的总效率可表达为：

(8)

将式(7)代入式(8)中，可得浮子的半径与装置总效率等参数的关系式为：

(9)

2.2 阻尼系数和弹性系数的近似求解

本文选用直流发电机作为装置的发电机。直流发电机在工作时的阻尼转矩和转速可近似看作是正比关系。由于发电机的阻尼力矩与浮子的转化能量受力成正比，发电机的转速与浮子的速度成正比，从而可知浮子的转化能量受力与浮子的速度成正比。因此，在图 1中用一个线性阻尼力来代替浮子转化能量受力。在阻尼力最大时，浮子的运动速度也最大，那么阻尼系数可表示为：

(10)

式中：F_km为最大阻尼力，N；v_m为浮子最大运动速度，m/s。

计算式如下：

(11)

(12)

将式(11)和式(12)代入式(10)中得：

(13)

式中：h为浮子的振幅，m(根据文献[16]，在理想运动时，取h=0.842H)。

而浮子所受到的回复力为：

(14)

式中：A_wp为浮子水面截面积。

将式(9)代入式(14)得弹性系数为：

(15)

2.3 装置匹配功率的关系式

根据上述模型的建立，为使浮子的能量吸收率最高，那么就需要波浪的频率ω等于共振时波浪激励力的频率ω_d，即：

(16)

将式(5)、式(13)和式(15)代入式(16)可得：

(17)

可以得到装置匹配功率的关系式：

(18)

在得到匹配功率与其他参数的关系式后，即可对匹配功率的取值范围进行分析。将式(17)转换为关于浮子质量的关系式：

(19)

条件一：为使方程(19)有意义，须满足：

(20)

可以得到：

(21)

条件二：波浪能转换装置的匹配功率越大时，浮子下行时所需要的驱动力越大，而下行时浮子的驱动力由浮子的重力提供，只有当重力大于最大阻尼力时，浮子才能顺利下行，因此须满足：

(22)

将式(19)代入式(22)可得：

(23)

为了使浮子吸收波浪能最大，需满足条件：

(24)

将式(19)对P_c求导，可得:

(25)

其中：

(26)

(27)

(28)

由式(25)可知，浮子质量随匹配功率的增加而减小，为了节约制造成本，浮子质量尽量小一些，因此发电机功率的选取值尽量接近匹配功率取值范围的最大值，即。

3 主要参数对装置匹配功率的影响

根据式(18)得到在浮子与波浪形成共振的条件下，装置匹配功率与主要参数的关系式，即可得到装置匹配功率特性曲线，一般描述为匹配功率与浮子质量的关系。表 1列出了渤海区域的波浪平均参数以及本文所选取的参数值^[17]。假设转换装置的总效率η₁=20%，机械效率η₂=60%，利用MATLAB软件绘制出符合渤海波浪条件的匹配功率特性曲线，如图 2所示。由图 2可以看出，在其他参数不变的情况下，随着浮子质量的增加，装置的匹配功率呈现减小的趋势，并且趋向于恒定值。

为研究波浪的波高、周期以及机械效率对匹配功率的影响，在保持其他参数不变的前提下，通过改变这3个参数的值来研究其对特性曲线的影响。图 3~图 5分别绘制出不同参数组合下的匹配功率特性曲线。

笔者选取0.9、1.0、1.1和1.2 m波高，研究匹配功率与浮子质量的关系，结果如图 3所示。由图 3可知：随着波高的增大曲线上移，浮子质量的取值范围稍有减小，匹配功率取值范围增大，波高0.9 m时匹配功率取值范围为941.1~2 043.2 W，而波高1.2 m时匹配功率取值范围为1 673.2~2 838.1 W；匹配功率的最优取值增加，波高0.9 m时匹配功率的最优取值为2 043.2 W，而波高1.2 m时匹配功率的最优取值为2 838.1 W。造成这种变化趋势的原因是：波高的增大会导致波浪能量密度的增加，从而使匹配功率增加。

不同波浪周期的匹配功率特性曲线如图 4所示。由图 4可看出：随着周期的增大，浮子质量的取值范围变大，匹配功率的变化范围增大，T=2.4 s时，匹配功率取值范围为594.9~824.3 W，而T=3.0 s时，匹配功率取值范围为1 161.9~2 298.8 W；并且匹配功率的最优取值增加，T=2.4 s时，匹配功率的最优取值为824.3 W，而T=3.0 s时，匹配功率的最优值为2 298.8 W。造成这种变化趋势的原因是：波浪周期增大后，为继续满足共振条件，转换装置的固有频率必须减小，从而使浮子质量和匹配功率都增加。

不同机械效率的匹配功率变化曲线如图 5所示。由图 5可看出：随着机械效率的提升曲线向上平移，浮子质量的取值范围完全不变；匹配功率取值范围提升，匹配功率的最优取值增加，从机械效率60%的2 298.8 W提升到90%的3 448.2 W，提升了1 149.4 W。造成这种变化的原因是：装置的机械效率增加会使总效率增加，又因波浪的能量密度不变，从而使匹配功率增加。从图中还能看出，提高机械效率对装置提升匹配功率帮助很大。

4 装置平台及试验分析 4.1 试验装置的结构与参数确定

为验证上述关系式推导的正确性，进行了小功率浮子式波浪能转换装置试验平台的搭建。试验装置模拟的波浪环境周期1.5 s，波高0.3 m，波速2.39 m/s，波长3.58 m。试验装置匹配的参数包括发电机功率20 W，浮子质量7.2 kg，浮子半径0.2 m，总效率20%。

按照试验装置匹配的参数设计了试验装置样机。整个装置由浮子、固定支架、换向装置和直流发电机组成。换向装置通过链轮、链条以及超越离合器的配合，实现将浮子的上下往复振动转化为发电机输入轴的单方向旋转。为简化结构和平衡装置受力，试验装置中的浮子选用受力面积大小一致的带孔垂直圆柱体(内半径0.15 m，外半径0.25 m)代替。

4.2 实际的输出电压变化曲线

试验中，将试验装置固定，给定预设的波浪环境，通过示波器记录发电机电压参数，以此来分析装置的发电能力。图 6给出了当负载电阻为15 Ω时输出电压随时间的变化曲线。

从图 6可看出，输出电压曲线呈现正弦曲线绝对值的变化规律。本文采用输出电压的峰值来代表装置的输出电压强弱。

4.3 变化负载时最大输出电压、电流及功率曲线

图 7给出了负载阻值变化时发电机最大输出电压和最大输出电流试验测试曲线。由图 7可看出：随着负载阻值的增加，最大输出电压呈现增大的趋势，并且趋向于恒定值；最大输出电流随着负载阻值的增加，先是小幅度增加，然后持续减小。

图 8给出了负载阻值变化时发电机最大输出功率试验测试曲线。由图 8可看出：在30 Ω负载电阻以前，随着负载阻值的增加，最大输出功率不断增加；而在负载达到30 Ω以后，最大输出功率随之缓慢减小。造成这种变化趋势的原因是：在30 Ω负载电阻以前，最大输出电压的增长速度大于最大输出电流的减小速度，而在30 Ω以后，最大输出电压的增长速度小于最大输出电流的减小速度。

在负载电阻为30 Ω时，可得到最大匹配功率为19.62 W，而根据推导公式计算选取的发电机功率为20 W，和实际中的最大匹配功率非常接近，这就验证了浮子式波浪能转换装置的匹配功率推导公式及特性曲线的合理性。

5 结论

(1) 通过匹配功率与主要参数的关系式，只要得到波浪参数和装置的机械效率，就可以匹配该工况下最适合的发电机功率。

(2) 在工作环境确定的前提下，提高装置的机械效率，可以实现在不改变浮子质量情况下提高匹配功率，为提升转换装置匹配功率提出了一种较有效的方式。

(3) 匹配功率和波浪环境的匹配关系：小功率转换装置需选择周期较短和波高较小的波浪环境；大功率转换装置需匹配周期较长和波高较大的波浪环境。