0 引言

钻井液振动筛作为固控系统中的第一级筛分设备，在石油开采过程中起着至关重要的作用^[1]。常用的钻井液振动筛大多采用激振电机分别驱动偏心转子产生激振力使筛箱振动从而筛分物料，激振电机的个数、参数以及安装位置的不同都会对振动形式和振动效果产生不同的影响^[2]。近几年来国内外学者对多电机多质体振动筛、自同步动力学特性理论、物料颗粒的运移规律以及机电耦合机理做了大量的研究工作，也取得了很大的进展。文献[3]首次给出了三电机激振自同步振动系统的机电耦合模型，研究了其机电耦合机理。文献[4]建立了一种四电机自同步振动系统的自同步条件和稳定性判据，并进行了数值分析。文献[5-6]从能量的角度针对平面内两同向和反向旋转的偏心转子振动筛的同步稳定性做了深入研究。文献[7-8]通过对平面内多偏心转子(≥3)振动筛的同步稳定理论、数值仿真和试验测试的对比研究，得出其理论方法在设计和工程应用中具有可行性和实用性。文献[9-11]运用DEM方法，研究了颗粒在不同轨迹振动筛筛面的运移规律、透筛率及参数对筛分性能的影响。文献[12]研究了一种通过扭簧在两同向旋转转子间连接一个刚性摆杆的多自由度振动系统的同步运动。文献[13]研究了双机双质体振动系统的自同步运动，通过机电耦合验证了理论研究的正确性。文献[14]研究了双机驱动的三质体振动机系统实现同步稳定性的条件及其工作特性。

现场应用的钻井液振动筛振动轨迹一般为圆形、直线或平动椭圆等形式。这3种振动形式都是在纵向平面内发生振动，因此物料只在X和Y方向受透筛力，在Z向没有受力。这样难筛分颗粒和不规则的临界颗粒易被卡在筛网孔内，很难受到合适的力使之抛出或脱落，进而形成筛糊，影响筛分效率。

关于多质体双电机和多电机单质体振动筛的平面运动及其自同步理论与机理，学者们已经有了较深入的研究，但对于多电机合理布置安装于三维空间中形成空间运动轨迹的振动筛还缺乏深入研究。鉴于此，笔者通过合理选择并布置安装3个激振电机得到一种李萨如空间轨迹钻井液振动筛，通过建立振动筛的空间运动微分方程，求出其稳态解；通过Simulink进行数值仿真分析，研究振动筛各方向的运动学参数变化，验证李萨如空间轨迹的可行性，以期为空间运动轨迹钻井液振动筛的设计分析及新的筛分方法研究提供参考。

1 数学模型

三电机李萨如空间轨迹钻井液振动筛计算模型如图 1所示。它主要由两台产生直线振动的激振电机，一台产生圆周振动的激振电机、筛体和支承弹簧组成。只要往复直线振动的激振力方向通过筛箱质心，圆激振电机偏心块旋转中心面也通过筛箱质心，同时往复直线振动的激振力方向与圆形振动激振电机偏心块旋转平面垂直，且两直线激振电机的转速为圆激振电机转速的2倍，这样就可以实现空间李萨如轨迹振动筛。

建立的振动筛空间坐标系如图 1所示，产生直线振动的激振电机在YZ平面内产生激振力，产生圆周振动的激振电机在XZ平面内产生激振力，通过运动合成以及电机安装和转速关系形成李萨如空间运动轨迹。考虑到两台产生直线振动激振电机之间的相位差α₁和产生圆周振动激振电机的初始相位α₂，运用达朗贝尔原理和振动理论，建立振动筛的运动微分方程：

(1)

式中：M为筛箱的参振质量(也包括钻井液的质量)，kg；m_c为圆周激振电机偏心块的质量，kg；m_l为直线激振电机偏心块的质量，kg；r_c为圆周激振电机偏心距，m；r_l为直线激振电机偏心距，m；ω_c为圆周激振电机角速度，rad/s²；ω_l为直线激振电机角速度，ω_l=2ω_c，rad/s²；x、y、z为筛箱质心在x、y、z方向的位移，m；C_x、C_y、C_z为筛箱在x、y、z方向的阻尼系数，(N·s)/m；K_x、K_y、K_z为支承弹簧在x、y、z方向总的弹簧刚度系数，N/m；J_x、J_y、J_z为筛箱参振质量绕三坐标轴各自对应的转动惯量，kg·m²；Ψ_x、Ψ_y、Ψ_z为筛箱质心绕三坐标轴各自对应扭摆的角位移，rad；R_cx、R_cy、R_cz为筛箱在各扭摆方向的阻尼系数，(N·s)/m；R_kx、R_ky、R_kz为筛箱在各扭摆方向的弹簧刚度系数，N/m；δ₁为直线激振电机偏心块的旋转中心和坐标原点的连线与z轴的夹角，rad；l为直线激振电机偏心块旋转中心与原点的距离，m。

其中，，，分别为两直线激振电机偏心块的角位移。

方程(1)中的稳态解为：

(2)

式中：A_x、A_y、A_z1、A_z2、A_ψx分别表示各方向的振幅；α_x、α_y、α_z1、α_z2、α_ψx分别表示各方向的初始相位，其表达式分别如下。

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

2 仿真模型

选择型号相同、批次相同的两台直线激振电机来研究振动筛的运动学特性。该振动筛的相关参数如表 1所示。

根据振动筛数学模型可以在Simulink中建立仿真模型，代入表 1中的参数，模拟出该振动筛在激振电机角速度恒定时各方向的位移曲线、空间运动轨迹以及振动筛稳定后运动参数的时间历程。振动筛的Simulink仿真模型如图 2所示。模型选用Runge—Kutta四五阶解法器进行求解。

3 仿真结果与分析

将研究点选在筛箱质心位置，仿真时间为10 s。

运行模型，仿真得到了x、y、z这3个方向的位移曲线和x方向的扭摆角位移ψ_x的曲线，结果如图 3所示。

由图 3可知，振动筛在质心实现了稳定运动，在起步时会产生共振现象，振幅较大。随着时间的延长，各方向位移逐步趋于稳态，其中x方向达到稳态最慢，大约为2 s。x方向的最大振幅为4.0 mm左右，y方向的最大振幅为5.0 mm左右，z方向的最大振幅为1.5 mm左右，扭摆的最大振幅约为0.001 rad。筛箱在x、y和扭摆方向的振动都是对称振动，而在z方向的振动为非对称振动。虽然振动筛在起步时产生了共振，但各方向最大振幅均在经验参考值的范围之内，并不会对振动筛运动产生太大影响，故仿真结果可信。此外，z方向的非对称振动可能由两台直线电机之间的相位差造成。

图 4为振动筛9~10 s稳定时各方向的位移曲线。由图 4可见，筛箱在x、y方向以及扭摆位移稳定时均做对称的简谐运动，而z方向位移为非对称非简谐运动。x方向平均振幅为0.619 mm，周期近似为0.08 s；y方向平均振幅为2.574 mm，周期近似为0.04 s；z方向平均振幅为0.657 mm，周期近似为0.08 s；扭摆角位移平均振幅为0.000 448 rad，周期近似为0.04 s。可见，振动筛在稳定运行时主运动为y方向的运动，可使物料抛掷透筛；辅运动为x方向和z方向的运动，其中主运动稳定位移约为辅运动位移的4倍，辅运动使得筛分颗粒不再卡孔筛糊。振动筛的扭摆角位移非常小，研究时可以忽略不计，可认为振动筛在稳定时做平动运动，振动筛上各点运动轨迹与质心相同。

忽略振动筛的扭摆角位移，由仿真模型获得振动筛在振动稳定后沿x、y和z方向的速度、加速度曲线，结果如图 5所示。由图 5可知：振动筛在y方向的速度和加速度幅值远大于x和z方向的幅值；x方向速度幅值为0.048 m/s，加速度为3.8 m/s²；y方向的速度幅值为0.400 m/s，加速度为60.0 m/s²；z方向的速度与加速度曲线有波动，速度幅值为0.067 m/s，加速度为8.6 m/s²；各方向速度、加速度的周期与各方向位移的周期相同，反映出了振动筛系统的激振频率与固有频率的综合信息^[15]。振动筛在y方向的速度较大，有利于物料在筛体上被迅速抛出，强化物料的分层过程；振动筛的加速度研究为物料在振动筛上受到的惯性力分析和抛送能力研究提供了理论依据。

图 6为稳定时由各方向位移合成的振动筛质心的空间运动轨迹。从图 6可以看出，在给定参数下振动筛轨迹合成为空间李萨如轨迹，这与理论分析结果相符。

4 结论

(1) 提出了一种三激振电机形成李萨如空间轨迹钻井液振动筛，采用达朗贝尔原理和振动微分理论建立了振动筛的空间运动微分方程，并解出了其稳态解。

(2) 运用Simulink对李萨如空间轨迹钻井液振动筛的质心运动进行了建模仿真。仿真结果表明：该振动筛在沿着圆周激振电机的轴线方向为主运动方向，其位移、速度和加速度幅值远大于辅运动的幅值，有利于振动筛上物料的迅速抛出和分层；辅运动的形成能够降低筛网的堵塞。

(3) 质心位移的合成为李萨如空间轨迹，为物料筛分提供了一种新的可以借鉴的筛分轨迹和筛分方法。